Operativa.docx

DEPARTAMENTO DE ENERGÍA Y MECÁNICA INGENIERÍA PETROQUÍMICA

CUADERNO DIGITAL DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA

ESTUDIANTE CHILUISA CANDO JESSICA PATRICIA

DOCENTE ING. BYRON COCHA

OCTUBRE- FEBRERO 2017

SEGUNDO PARCIAL TEMA: MÉTODO SIMPLEX El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de la función objetivo en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho valor, es decir, se ha alcanzado la solución óptima (el mayor o menor valor posible, según el caso, para el que se satisfacen todas las restricciones). Partiendo del valor de la función objetivo en un punto cualquiera, el procedimiento consiste en buscar otro punto que mejore el valor anterior. Dichos puntos son los vértices del polígono (o poliedro o polícoro, si el número de variables es mayor de 2) que constituye la región determinada por las restricciones a las que se encuentra sujeto el problema (llamada región factible). La búsqueda se realiza mediante desplazamientos por las aristas del polígono, desde el vértice actual hasta uno adyacente que mejore el valor de la función objetivo. Siempre que exista región factible, como su número de vértices y de aristas es finito, será posible encontrar la solución. El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo Z no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte de A y a lo largo de la cual el valor de Z aumenta. Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja con restricciones del problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor o igual) y sus coeficientes independientes sean mayores o iguales a 0. Por tanto habrá que estandarizar las restricciones para que cumplan estos requisitos antes de iniciar el algoritmo del Simplex. ORIGEN Este método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables. Es un método iterativo (aproximaciones sucesivas). Existen tres requisitos en la solución de un problema de programación lineal por el método simplex.

  

Todas las limitaciones deben estar establecidas como ecuaciones. El segundo miembro de una limitante, no puede ser negativo. Todas las variables están restringidas a valores no negativos.

VENTAJAS DEL MÉTODO SIMPLEX    

Es un método heurístico. Se basa en consideraciones geométricas y no requiere el uso de derivadas de la función objetivo. Es de gran eficacia incluso para ajustar gran número de parámetros. Es fácil de implementar y usar, y sin embargo tiene una alta eficacia. Se puede usar con funciones objetivo muy sinuosas pues en las primeras iteraciones busca el mínimo más ampliamente y evita caer en mínimos locales fácilmente.

DESVENTAJAS DEL METODO SIMPLEX 

Converge más lentamente que otros métodos pues requiere mayor número de iteraciones.

APLICACIONES DE LA TECNICA SIMPLEX: De entre todos los algoritmos usados en la programación lineal, destaca por su importancia histórica y práctica el método simplex. Dicho método fue desarrollado por Dantzig en 1947, alcanzando un éxito inusitado en las décadas posteriores con el desarrollo de los computadores. Dicha técnica se aplica comúnmente en todos los campos de aplicación de la programación lineal, es decir en los ámbitos de: 

Marketing, Producción



Asignación de Tareas



Finanzas



Logística y Mezclas.

Esta clasificación no es exhaustiva: existen otros muchos campos de aplicación de la Programación Lineal que aquí no aparecen citados, todos ellos relacionados con tomas de

decisiones operativas y tácticas en la gestión empresarial. En algún caso, también aparecen aplicaciones en tomas de decisiones estratégicas. La aplicación del método del Simplex, se utiliza cuando el problema es de un tamaño suficientemente grande. Está diseñado para problemas de programación lineal cuya matriz tiene la propiedad de diseminación (el número de no-cero es pequeño). PASOS PARA LA RESOLUCION DEL METODO SIMPLEX. Pasos para el desarrollo del método simplex: 1. Hallar una solución básica factible inicial. a. Convertir las desigualdades en igualdades. b. Igualar la Función Objetivo a cero. c. Escribir la tabla inicial simplex. (en las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la primera fila con los coeficientes de la función objetivo. 2. Prueba de optimización: determinar si la solución básica factible inicial es óptima, esto ocurre si todos los coeficientes de la ecuación son no negativos (= 0), para el caso de maximización. Si es así, el proceso termina; de otra manera se lleva a cabo otra iteración para obtener la nueva solución básica factible inicial. 3. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la primera fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor a. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos. b. Si en la primera fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la primera fila no haya elementos negativos (para el caso de maximización). c. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote

4. Para todos los problemas de maximización y minimización, la variable que sale es la variable básica que tiene la razón más pequeña (positiva). Una coincidencia se anula arbitrariamente. a. Para determinar la razón de cada renglón, se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. b. Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir. c. El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base. Esta fila se llama fila pivote. 5. En la intersección de la fila pivote y columna pivote se encuentra el elemento pivote. 6. Se determina la nueva solución básica factible construyendo una nueva tabla en la forma apropiada de eliminación de Gauss, abajo de la que se tiene. Para cambiar el coeficiente de la nueva variable básica en el renglón pivote a 1, se divide todo el renglón entre el número pivote, entonces Nueva fila del pivote = renglón o fila pivote antigua / número pivote 7. Para el resto de las filas: Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote) Ó renglón nuevo = renglón antiguo - (coeficiente de la columna pivote X renglón pivote nuevo) 8. Si en los elementos de la primera fila hay un coeficiente negativo, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Entonces se repite el proceso. 9. Si todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima. La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base.

EJEMPLO Un laboratorio farmacéutico desea preparar un tónico de tal manera que cada frasco contenga al menos 32 unidades de vitamina A, 10 de vitamina B y 40 de vitamina C. Para suministrar estas vitaminas, el laboratorio emplea el aditivo X 1, a un costo de 2 dólares por onza, el cual contiene 15 unidades de vitamina A, 2 de B y 4 de C, un aditivo X 2 a un costo de 4 dólares por cada onza, que contiene 4 unidades de vitamina A, 2 de B y 14 de C. ¿Cuántas onzas de cada aditivo se deben incluir en el frasco para minimizar el costo?

Función objetivo X 1 = Aditivo A X 2 = Aditivo B Z(MIN) = 2X 1 + 4X 2 Sujeta a : 15X 1 + 4X 2

 32 Vitamina A

2X 1 + 2X 2

 10 Vitamina B

4X 1 + 14 X 2  40 Vitamina C Z(max) 32𝑥1 + 10𝑥2 + 40𝑥3 + +0𝑆1 + 0𝑆2 + 0𝑆3 + 𝑀𝑚1 + 𝑀𝑚2 + 𝑀𝑚3 Restricciones

Abstracciones

MM1 ½𝑥1 + ½𝑥2 ≥ 65 MM2 𝑥1 + ½𝑥2

½𝑥1 + ½𝑥2 − 𝑆1 + 𝑚1

≥ 95

𝑥1 + ½𝑥2

MM3 ½𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 100

− 𝑆2

½𝑥1 + 2𝑥2

= 65 + 𝑚2

− 𝑆3

= 95 + 𝑚3 = 100

Matriz Simplex Columna pivote 3

Cj Xj

bn

𝑿𝟏

5 𝑿𝟐

0

0

0

M

M

M

𝑺𝟏

𝑺𝟐

𝑺𝟑

𝒎𝟏

𝒎𝟐

𝒎𝟑

M

𝒎𝟏

65

½

½° -1

0

0

1

0

0

M

𝒎𝟐

95

1

½°

0

1

0

0

1

0

M

𝒎𝟑

100

½

0

0

1

0

0

1

2*

260M 2M

Zj

Zj - Cj -

2M

3M

-M

-M

-M

M

M

M

3M

-M

-M

-M

0

0

0

M

M

M

𝒎𝟏

𝒎𝟐

*fila pivote

𝑿𝟏

𝒎𝟐

𝒎𝟏

100/2 =50

95-(50*1/2)

=70

65-(50*1/2)

=40

½/2

=1/4

1-(1/4*1/2)

=7/8

½-(1/4*1/2)

=3/8

2/2

=1

½-(1*1/2)

=0

½-(1*1/2)

=0

0/2

=0

0-(0*1/2)

=0

-1-(0*1/2)

= -1

0/2

=0

-1-(0*1/2)

=-1

0-(0*1/2)

=0

½

= -1/2

0-(-1/2*1/2) =1/4

0-(-1/2*1/2) =1/4

0/2

=0

0-(0*1/2)

=0

1-(0*1/2)

=1

0/2

=0

1-(0*1/2)

=1

0-(0*1/2)

=0

½

=1/2

0-(1/2*1/2)

= -1/4

0-(1/2*1/2)

= -1/4

3

Cj Xj

bn

𝑿𝟏

M

𝒎𝟏

40

3/8°

M

𝒎𝟐

70

7/8*

5

𝒙𝟐

50

¼°

Zj

0

0

𝑿𝟐

𝑺𝟏

𝑺𝟐

0

-1

0

¼

1

0

-¼

0

1

¼

0

1

-¼

0

0

-1/2

0

0

½

-M

½M

M

M

-½M

-M

½M

-

-

-

0 1

110M 5/4M 0M -M

Zj - Cj -

X1

5

5/4M 0M -M

m1

0 𝑺𝟑

𝒎𝟑

x2

70/7/8

=80

40-(80*3/8)

=10

50-(80*1/4)=30

7/8/7/8 =1

3/8-(1*3/8)

=0

¼-(1*1/4)=0

0/7/8

0-(0*3/8)

=0

1-(0*1/4)=1

-1-(0*3/8 )

= -1

0-(0*1/4)=0

0-(-8/7*3/8)

= 3/7

0-(-8/7*1/4)= 2/7

¼-(8/28*3/8)

=1/7

-1/2-(8/28*1/4)=-4/7

1-(0*3/8)

=1

0-(0*1/4)=0

0-(8/7*3/8)

= -3/7

0-(8/7*1/4)=-2/7

=0

0/7/8 =0 -1/7/8

= -8/7

¼/7/8

=8/28

0/7/8

=0

31/7/8

-1/4 –(8/28*3/8)= -1/7

=8/7

½-(-8/28*1/4)=4/7

-1/4/7/8 =-8/28

3

Cj Xj

X1

bn

5

0

X2

S1

0

0

0

M

M

m1

M

S2

S3

m2

m3

-1

3/7*

1/7

1

-3/7

-1/7

0

-8/7°

8/28

0

8/7

-8/28

-4/7

0

-2/7

4/7

M

m1

10

0

3

x1

80

1

5

x2

30

0

1

0

2/7°

10M

0

0

-M

3/7M 1/7M 0

-10/7M

-8/7M

-3

-5

-M

3/7M 1/7M -

-

-

Zj

Zj - Cj -

0

X2

X1

X2

10/ (3/7

=70/3

80-(70/3*(-8/7)

=320/21

50-(80*1/4)

=70/3

0/(3/7)

=0

1-(0*(-8/7)

=1

¼-(1*1/4)

=0

0/(3/7)

=0

0-(0*(-8/7)

=0

1-(0*1/4)

=0

-1/(3/7)

=-7/3

0-(7/3*(-8/7)

=-8/3

0-(0*1/4)

=-7/3

3/7/(3/7 ) =1

-8/7-(1*(-8/7)

=0

0-(-8/7*1/4)

=1

1/7/(3/7) =7/21

8/28-(7/21*(-8/7) =2/3

-1/2-(8/28*1/4)

=-1/3

1/(3/7)

0-(7/3*(-8/7)

=8/3

0-(0*1/4)

=7/3

-3/7/(3/7) =-1

8/7-(1*(-8/7)

=-8/7

0-(8/7*1/4)

=-7

-1/7/(3/7) =-7/21

-8/28-(7/21*(-8/7)=-2/3

½-(-8/28*1/4)

=-1/3

=7/3

3

Cj Xj

𝑿𝟏

bn

0

𝑺𝟐

70/3

3

𝑿𝟏

80320/3 1

5

𝒙𝟐

70/3

0

1310/3

Zj

Zj - Cj -

5

0

0

𝑿𝟐 0

0 𝑺𝟏

0 𝑺𝟐

M 𝑺𝟑

𝒎𝟏

M

M 𝒎𝟐

𝒎𝟑

-7/3

1

-1/3

7/3

-7

-1/3

-8/3

0

2/3

8/3

0

-2/3

1

2/3

0

-2/3

-2/3

0

2/3

3

5

-14/3 0

-4/3

14/3 0

4/3

0

0

-3

-2

-

-

0

0

-

Solución X1 = 3 Aditivo A X 2 = 2 Aditivo B Z(MIN) = $14

INTERPRETACIÓN: Esta empresa debe producir 3unidades de A y 2 unidades de B con una inversión mínima de $ 14 dólares.

EJERCICIOS MAXIMIZACIÓN 1. La empresa Shaman, dedicada a la fabricación de muebles ha ampliado su producción en dos líneas más. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas y bibliotecas. Cada mesa requiere de dos piezas rectangulares de 8 pines y dos piezas cuadradas de 4 pines. Cada silla requiere una pieza rectangular de 8 pines y dos piezas cuadradas de 4 pines. Cada cama requiere una pieza rectangular de 4 pines, una cuadrada de 4 pines y dos bases trapezoidales de 2 pines, y finalmente cada biblioteca requiere de dos piezas rectangulares de 2 pines, dos bases trapezoidales de 2 pines. Cada mesa cuesta producirla 10 mil dólares y se vende a 30 mil, cada silla cuesta producirla 8 mil y se vende en 28 mil dólares y cada cama cuesta producirla 20 mil y se vende a 40 mil, cada biblioteca cuesta producirla 40 mil y se vende en 6 mil dólares. El objeto de la fábrica es maximizar las utilidades de inventario. El inventario de la pieza rectangular de 8 pines es 24, de la pieza cuadrada de 4 pines es 20, de la pieza trapezoidal 20 y de 2 pines es 16. Variables de decisión o variables del problema Mesas= X1 Sillas = X2 Camas = X3 Bibliotecas = X4

FUNCIÓN OBJETIVO 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 20𝑋1 + 20𝑋2 + 20𝑋3 + 20𝑋4 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + 0𝑆3 + 0𝑆4

RESTRICCIONES O LIMITACIONES Disponibilidad de piezas rectangulares de 8 pines: 2𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 2𝑋4 ≤ 24 Disponibilidad de piezas cuadradas de 4 pines: 2𝑋1 + 2𝑋2 + 𝑋3 ≤ 20 Disponibilidad de piezas trapezoidales de 8 pines: 2𝑋3 + 2𝑋4 ≤ 20 Disponibilidad de piezas rectangulares de 2 pines: 4𝑋4 ≤ 16 VARIABLES DE NO NEGATIVIDAD 𝑋1, 𝑋2 , 𝑋3, 𝑋4 ≥ 0 ABSTRACCIONES 2𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 2𝑋4 + 1𝑆1 + 0𝑆2 + 0𝑆3 + 0𝑆4 = 24 2𝑋1 + 2𝑋2 + 𝑋3 + 0𝑆1 + 1𝑆2 + 0𝑆3 + 0𝑆4 = 20 2𝑋3 + 2𝑋4 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + 1𝑆3 + 0𝑆4 = 20 4𝑋4 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + 0𝑆3 + 1𝑆4 = 16

Tabla de Simplex

Cj

20

20

20

20

0

0

0

0

Xj

Bn

𝑿𝟏

𝑿𝟐

𝑿𝟑

𝑿𝟒

𝑺𝟏

𝑺𝟐

𝑺𝟑

𝑺𝟒

0

𝑺𝟏

24

2°

1

1

2

1

0

0

0

0

𝑺𝟐

20

2*

2

1

0

0

1

0

0

0

𝑺𝟑

20

0°

0

2

2

0

0

1

0

0

𝑺𝟒 Zj

16 0

0° 0

0 0

0 0

4 0

0 0

0 0

0 0

1 0

Zj - Cj

-

-20

-20

-20

-20

0

0

0

0

Cj

20

20

20

20

0

0

0

0

Xj

Bn

𝑿𝟏

𝑿𝟐

𝑿𝟑

𝑿𝟒

𝑺𝟏

𝑺𝟐

𝑺𝟑

𝑺𝟒

0

𝑺𝟏

4

0

-1

0

2*

1

-1

0

0

20

𝑿𝟐

10

1

1

1/2

0°

0

½

0

0

0

𝑺𝟑

20

0

0

2

2°

0

0

1

0

0

𝑺𝟒 Zj

16 200

20

0 20

0 10

4° 0

0 0

0 10

0 0

1 0

Zj - Cj

-

0

0

-10

-20

0

10

0

0

20

Cj

20

20

20

0

0

0

0

Xj

Bn

𝑿𝟏

𝑿𝟐

𝑿𝟑

𝑿𝟒

𝑺𝟏

𝑺𝟐

𝑺𝟑

𝑺𝟒

20

𝑿𝟒

2

0

-1/2°

0

1

½

-1/2

0

0

20

𝑿𝟏

10

1

1°

½

0

0

1/2

0

0

0

𝑺𝟑

16

0

1°

2

0

-1

1

1

0

0

𝑺𝟒 Zj

8 0

0 20

2* 10

0 10

0 20

-2 10

2 0

0 0

1 0

Zj - Cj

-

0

-10

-10

0

10

0

0

0

20

20

Bn

𝑿𝟏

𝑿𝟐

Cj Xj

20

0

𝑿𝟑

𝑿𝟒

𝑺𝟏

𝑺𝟐

𝑺𝟑

𝑺𝟒

20

0

0

0

20

𝑿𝟒

4

0

0

0°

1

0

0

0

1/4

20

𝑿𝟏

6

1

0

1/2 °

0

1

-1/2

0

-1/2

0

𝑺𝟑

12

0

0

2*

0

0

0

1

-1/2

20

𝑿𝟐 Zj

4 280

0 20

1 20

0° 10

0 20

-1 0

1 10

0 0

1/2 5

Zj - Cj

-

0

0

-10

0

0

10

0

5

20

20

20

20

0

Bn

𝑿𝟏

𝑿𝟐

𝑿𝟑

𝑿𝟒

𝑺𝟏

0

0

1

0

0

0

1/4

0

0

1

-1/2

-1/4

-3/8

Cj Xj

0

0 𝑺𝟐

0 𝑺𝟑

𝑺𝟒

20

𝑿𝟒

4

0

20

𝑿𝟏

3

1

20

𝑿𝟑

6

0

0

1

0

0

0

1/2

-1/4

20

𝑿𝟐 Zj

4 340

0 20

1 20

0 20

0 20

-1 0

1 10

0 5

1/2 2.5

0

0

0

0

0

10

5

2.5

Zj - Cj -

0

Análisis: La empresa SHAMAN, debe producir 3 mesas, 4 sillas, 6 camas y 4 bibliotecas, lo cual da una ganancia de 340 mil pesos. Se utiliza en su totalidad las piezas de 8 pines rectangulares, se utilizan 10 unidades menos de piezas cuadradas de 4 pines disponibles. Se utiliza 5

unidades menos de piezas trapezoidales de 2 pines. Se utiliza 3 unidades menos de piezas rectangulares de 2 pines disponibles.

MINIMIZACIÓN 2. PROCAN debe decidir la mezcla óptima para desarrollar un alimento para gatos llamado “Come más”. Se combinaron y pusieron a prueba dos ingredientes básicos, y la firma determinó que a cada lata de “Come más” se le debe agregar por lo menos 30 unidades de proteína y por lo menos 80 de riboflavina. Estos dos nutrientes están disponibles en dos marcas competidoras de suplementos de alimentos para animales. El costo por kilogramo de suplemento marca A es 9 dólares y el de la marca B 15 dólares.. Un kilogramo de marca A agregado a cada lote de producción de “Come más” proporciona un suplemento de 1 unidad de proteína y 1 unidad de riboflavina a cada lata. Un kilogramo de marca B proporciona 2 unidades de proteína y 4 unidades de riboflavina a cada lata. PROCAN desde satisfacer estar normas de nutrientes mínimos, pero al mismo tiempo mantener los costos de los suplementos a un valor mínimo. Formule el modelo matemático para este problema y encuentre la mejor combinación de los dos suplementos para satisfacer los requerimientos mínimos al menor costo posible. Resuelva por el método simplex. Variables de decisión o variables del problema Kg Marca A= X1 Kg Marca B= X2 FUNCIÓN OBJETIVO 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 9𝑋1 + 15𝑋2 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + 𝑀𝑚1 + 𝑀𝑚2 RESTRICCIONES O LIMITACIONES Requerimiento de proteína: 𝑋1 + 2𝑋2 ≥ 30 Requerimiento de riboflavina: 𝑋1 + 4𝑋2 ≥ 80 VARIABLES DE NO NEGATIVIDAD 𝑋1, 𝑋2 ≥ 0 ABSTRACCIONES

𝑋1 + 2𝑋2 − 1𝑆1 + 𝑚1 − 0𝑆2 + 0𝑚2 = 30 𝑋1 + 4𝑋2 − 0𝑆1 + 0𝑚1 − 1𝑆2 + 1𝑚2 = 80

Tabla de Simplex

Cj

15

9

0

0

M

M

Xj

bn

𝑿𝟏

𝑿𝟐

𝑺𝟏

𝑺𝟐

𝒎𝟏

𝒎𝟐

M

𝒎𝟏

30

1

2*

-1

0

1

0

M

𝒎𝟐

80

1

4°

0

-1

0

1

Zj

110 M

2M

6M

-M

-M

M

M

Zj - Cj

-

2M

6M

-M

-M

2M

2M

15

9

0

0

M

M

Cj Xj

bn

𝑿𝟏

𝑿𝟐

𝑺𝟏

𝑺𝟐

𝒎𝟏

𝒎𝟐

15

𝑿𝟐

15

½

1

-1/2°

0

1/2

0

M

𝒎𝟐

20

-1

0

2*

-1

-2

1

Zj

20 M

-M

0

2M

-M

-2M

M

Zj - Cj

-

-M

-15

2M

-M

-3M

0

15

9

0

0

M

M

Cj Xj

bn

𝑿𝟏

𝑿𝟐

𝑺𝟏

𝑺𝟐

𝒎𝟏

𝒎𝟐

15

𝑿𝟐

20

1/4

1

0

-1/4

0

1/4

0

𝑺𝟏

10

-1/2

0

1

-1/2

-1

1/2

Zj

300

3.75

15

0

-3.75

0

3.75

Zj - Cj

-

-5.25

0

0

-3.75

_

_

Análisis: PROCAN debe utilizar 20 kg de suplemento B. Este suplemento tiene 10 unidades más de proteína sobre el mínimo requerido. Se va a incurrir en un gasto de 300 dólares. 3. Una compañía produce dos tipos de pantalones A y B, cada pantalón tipo A requiere del doble de mano de obra que el de tipo B. Se deben producir por lo menos 250 pantalones combinados. El mercado limita la venta diaria de pantalones tipo A, a un máximo de 75 y los de clase B a un total de 125 pantalones. Los beneficios por pantalón son 6 dólares para el tipo A y 4 dólares para el tipo B. Determinar el número de pantalones de cada clase que maximice la ganancia. Variables de decisión o variables del problema Pantalón A = X1 Pantalón B = X2

FUNCIÓN OBJETIVO 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 6𝑋1 + 4𝑋2 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + 𝑀𝑚1 + 𝑀𝑚3

RESTRICCIONES O LIMITACIONES Horas disponibles para cortado: 2𝑋1 + 𝑋2 ≥ 250 Horas disponibles para mezclado: 𝑋1 ≤ 75 Horas disponibles para enlataje: 𝑋2 = 125

VARIABLES DE NO NEGATIVIDAD 𝑋1, 𝑋2 ≥ 0 ABSTRACCIONES 2𝑋1 + 𝑋2 − 𝑆1 + 𝑚1 = 250

𝑋1 + 𝑆2 = 75 𝑋2 + 𝑚3 = 125

MATRIZ

Cj

6

4

0

0

M

M

xj

bn

x1

x2

s1

s2

m1

m2

M

m1

250

2*

1

-1

0

1

0

0

S2

75

1°

0

0

1

0

0

M

m3

125

0°

1

0

0

0

1

Zj

375

2M

2M

-M

0

M

M

Zj- Cj

-

2M

2M

-M

0

0

0

6

4

0

0

M

M m2

Cj xj

bn

x1

x2

s1

s2

m1

M

m1

100

0

1*

-1

-2

1

6

x1

75

1

0°

0

1

0

0

M

m3

125

0

1°

0

0

0

1

225M

0

2M

-M

-2M

M

M

Zj

0

-

Zj- Cj

Cj

0

2M

-M

-2M

6

0

0

4

0

0

M

M

xj

bn

x1

x2

s1

s2

m1

m2

4

X2

100

0

1

-1

-2°

1

0

6

X1

75

1

0

0

1°

0

0

M

m3

25

0

0

1

2*

-1

1

Zj

25M

0

0

M

2M

-M

M

Zj- Cj

-

0

0

M

2M

-2M

0

Cj

6

4

0

0

M

M

xj

bn

x1

x2

s1

s2

m1

m2

4

X2

125

0

1

0°

0

0

1

6

X1

62.5

1

0

-0.5°

0

0.5

-0.5

0

S2

12.5

0

0

0.5*

1

-0.5

0.5

Zj

875

6

4

-3

0

3

1

Zj- Cj

-

0

0

-3

0

-

-

Cj

6

4

0

0

M

M

xj

bn

x1

x2

s1

s2

m1

m2

4

X2

125

0

1

0

0

0

1

6

X1

75

1

0

0

1

0

0

0

S2

25

0

0

1

2

-1

1

Zj

950

6

4

0

6

0

4

Zj- Cj

-

0

0

0

6

-

-

CONCLUSIÓN Se debe producir 75 pantalones tipo A y 125 del tipo B, lo cual da una ganancia de 950 dólares. Se requiere 25 unidades más del personal mínimo requerido. Se vende el máximo de pantalones tipo A. Se vende el total de pantalones tipo B. En la segunda restricción hay una sensibilidad de ±6

DUAL SIMPLEX EJERCICIO Una compañía produce dos tipos de pantalones A y B, cada pantalón tipo A requiere del doble de mano de obra que el de tipo B. Se deben producir por lo menos 250 pantalones combinados. El mercado limita la venta diaria de pantalones tipo A, a un máximo de 75 y los de clase B a un total de 125 pantalones. Los beneficios por pantalón son 6 dólares para el tipo A y 4 dólares para el tipo B. Determinar el número de pantalones de cada clase que maximice la ganancia. Variables de decisión o variables del problema

Pantalón A = X1 Pantalón B = X2 FUNCIÓN OBJETIVO 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 6𝑋1 + 4𝑋2 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + +0𝑆3 + 𝑀𝑚1 + 𝑀𝑚3 RESTRICCIONES O LIMITACIONES Horas disponibles para cortado: 2𝑋1 + 𝑋2 ≥ 250 Horas disponibles para mezclado: 𝑋1 ≤ 75 Horas disponibles para enlataje: 𝑋2 = 125

VARIABLES DE NO NEGATIVIDAD 𝑋1, 𝑋2 ≥ 0

DUAL FUNCIÓN OBJETIVO 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = −250𝑦1 + 75𝑦2 − 125𝑦3 +125𝑦4 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + 𝑀𝑚1 + 𝑀𝑚2

RESTRICCIONES O LIMITACIONES −2𝑦1 + 𝑦2 + 0𝑦3 + 0𝑦4 ≥ 6 −𝑦1 + 0𝑦2 − 𝑦3 + 𝑦4 ≥ 4 VARIABLES DE NO NEGATIVIDAD 𝑦1, 𝑦2 , 𝑦3, 𝑦4 ≥ 0

ABSTRACCIONES −2𝑦1 + 𝑦2 + 0𝑦3 + 0𝑦4 − 𝑆1 + 𝑚1 = 6 −𝑦1 + 0𝑦2 − 𝑦3 + 𝑦4 − 𝑆2 + 𝑚2 = 75

MATRIZ Cj

-250

75

-125

125

0

0

M

M

xj

bn

y1

y2

y3

y4

S1

S2

m1

m2

M

m1

6

-2

1*

0

0

-1

0

1

0

M

m2

4

-1

0°

-1

1

0

-1

0

1

Zj

10M

-3M

M

-M

M

-M

-M

M

M

Zj- Cj

-

-3M

M

-M

M

-M

-M

0

0

-250

75

-125

125

0

0

M

M

Cj xj

bn

y1

y2

y3

y4

S1

S2

m1

m2

75

y2

6

-2

1

0

0°

-1

0

1

0

M

m2

4

-1

0

-1

1*

0

-1

0

1

Zj

4M

-M

0

-M

M

0

-M

0

M

Zj- Cj

-

-M

0

-M

M

0

-M

-M

0

-250

75

-125

125

0

0

M

M

Cj

75 125

xj

bn

y1

y2

y3

y4

S1

S2

m1

m2

y2

6

-2

1

0

0

-1

0

1

0

m2

4

-1

0

-1

1

0

-1

0

1

Zj

950

-275

75

-125

125

-75

-125

75

125

Zj- Cj

-

-125

0

0

0

-75

-125

-

-

CONCLUSIÓN Se debe producir 75 pantalones tipo A y 125 del tipo B, lo cual da una ganancia de 950 dólares. Se requiere 25 unidades más del personal mínimo requerido. Se vende el máximo de pantalones tipo A. Se vende el total de pantalones tipo B. Banco del Pichincha planifica sus operaciones y ofrece 3 tipos de créditos: préstamos personales, préstamos para autos y préstamos para vivienda, cuyo rendimiento anual es de 15, 14 y 13% respectivamente. Los requisitos legales de la política del banco imponen los siguientes límites: los préstamos personales no pueden exceder el 10% de la cantidad total de préstamos. La cantidad total de préstamos personales y para vivienda no debe ser mayor del 20% de los préstamos. El banco desea maximizar los ingresos de los intereses de los préstamos sujetándose a las restricciones anteriores. El banco puede prestar como mínimo 150000 dólares. Formule el modelo matemático, resuélvalo por el método dual simplex y realice un análisis del mismo. Variables de decisión o variables del problema Préstamos personales = X1 Préstamos para autos = X2 Préstamos para vivienda= X3 FUNCIÓN OBJETIVO 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 0.15𝑋1 + 0.14𝑋2 + 0.13𝑋3 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + 0𝑆3 + 𝑀𝑚1 + 𝑀𝑚2 + 𝑀𝑚3 RESTRICCIONES O LIMITACIONES Dinero requerido para préstamos: 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 ≥ 150000 (-1) −𝑋1 − 𝑋2 − 𝑋3 ≤ −150000 Dinero disponible para préstamos personales: 𝑋1 ≤ 0.1(𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 ) 0.9𝑋1 − 0.1𝑋2 − 0.1𝑋3 ≤ 0 Dinero disponible para préstamos personales y vivienda: 𝑋1 + 𝑋3 ≤ 0.2(𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 ) 0.8𝑋1 − 0.2𝑋2 + 0.8𝑋3 ≤ 0

VARIABLES DE NO NEGATIVIDAD 𝑋1, 𝑋2 , 𝑋3 ≥ 0

DUAL FUNCIÓN OBJETIVO 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = −150000𝑦1 + 0𝑦2 + 0𝑦3 +0𝑆1 + 0𝑆2 + 0𝑆3 + 𝑀𝑚1 + 𝑀𝑚2 + 𝑀𝑚3 RESTRICCIONES O LIMITACIONES −𝑦1 + 0.9𝑦2 + 0.8𝑦3 ≥ 0.15 −𝑦1 − 0.1𝑦2 − 0.2𝑦3 ≥ 0.14 −𝑦1 − 0.1𝑦2 + 0.8𝑦3 ≥ 0.13 VARIABLES DE NO NEGATIVIDAD 𝑦1, 𝑦2 , 𝑦3, 𝑦4 ≥ 0 ABSTRACCIONES −𝑦1 + 0.9𝑦2 + 0.8 − 𝑆1 + 𝑚1 = 0.15 −𝑦1 − 0.1𝑦2 − 0.2𝑦3 − 𝑆2 + 𝑚2 = 0.14 −𝑦1 − 0.1𝑦2 + 0.8𝑦3 − 𝑆3 + 𝑚3 = 0.13 MATRIZ Cj

1500000

0

0

0

0

0

M

M

M

M2 M3

xj

bn

y1

y2

y3

S1

S2

S3

m 1

M

m1

0.15

1°

-0.9

0.8

-1

0

0

1

0

0

M

m2

0.14

1°

0.1

-0.2

0

-1

0

0

1

0

M

m3

0.13

Zj

0.42M -

Zj- Cj

Cj

1*

0.1

0.8

0

0

-1

0

0

1

3M

-0.7M

1.4M

-M

-M

-M

M

M

M

3M

-0.7M

1.4M

-M

-M

-M

0

0

0

M

1500000

0

0

0

0

0

M

M

M2 M3

xj

bn

y1

y2

y3

S1

S2

S3

m1

M

m1

0.02

0

-1

0

-1

0

1°

1

0

-1

M

m2

0.01

0

0

-1

0

-1

1*

0

1

-1

1500 000

y1

0.13

0.1

0.8

0

0

-1°

0

0

1

Zj

-0.03M

0

-M

-M

-M

-M

2M

M

M

-2M

-

0

-M

-M

-M

-M

2M

0

0

-3M

1500000

0

0

0

0

0

M

M

M

M2 M3

Zj- Cj

Cj

1

xj

bn

y1

y2

y3

S1

S2

S3

m1

M

m1

0.01

0

-1

1*

-1

1

0

1

-1

0

0

S3

0.01

0

0

-1°

0

-1

1

0

1

-1

1500 000

y1

0.14

1

0.1

-0.2°

0

-1

0

0

1

0

Zj

0.01M

0

-M

M

-M

M

0

M

-M

0

Zj- Cj

-

Cj

0

-M

M

-M

M

0

0

-2M -M

1500000

0

0

0

0

0

M

M

M

M2 M3

xj

bn

y1

y2

y3

S1

S2

S3

m1

0

y3

0.01

0

-1

1

-1

1

0

1

-1

0

0

S3

0.02

0

-1

0

-1

0

1

1

0

-1

1500 y1 000

0.142

1

-0.1

0

-0.2

-0.8

0

0.2

0.8

0

Zj

21300

150000

-15000

0

-30000

-120000

0

213 00

12000 0

0

-

0

-15000

0

-30000

-120000

0

-

-

-

Zj- Cj

Análisis: Banco del Pichincha debe de otorgar 30000 dólares para créditos personales, 120000 dólares en créditos para automóviles, no se otorgan créditos para vivienda. Esto da una ganancia en intereses de 21300 dólares. En préstamos personales se otorgan 15000 dólares menos al mínimo requerido.