Operations Research 2

Investigación de Operaciones I Sesión 2

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

Actividades de la Sesión • Lista • Formar equipos con los que se va a trabajar durante el semestre • Presentación de Modelos Matemáticos • Presentación de las técnicas de IO y las diferentes etapas que tiene la IO • Introducción a la modelación de programas lineales. • Ejemplos

Objetivos de la Sesión • Dar a conocer los componentes de la toma de decisiones así como los diferentes modelos matemáticos y las diferentes técnicas usadas en investigación de operaciones. Introducir al alumno a la modelación matemática de problemas lineales

¿Que implica "tomar una decisión" ? • Tomar una decisión implica identificar tres elementos: – ¿Cuáles son las alternativas de la decisión? – ¿Qué restricciones están presentes e influyen en la decisión? – ¿Qué criterio objetivo se usará para evaluar las alternativas?

Modelos Matemáticos • Determinístico – Todos los datos son conocidos y se suponen invariables

• Estocástico – Algunos o todos los datos son inciertos, pero se conoce su distribución de probabilidad

• Robusto – Algunos o todos los datos son inciertos, no se conoce su distribución de probabilidad

Técnicas de Investigación de Operaciones ✰ Programación Lineal ✰ Programación Dinámica ✰ Programación Entera ✰ Programación No Lineal ✰ Programación de Metas ✰ Programación de Redes ✰ Técnicas heurísticas ✰ Simulación

Modelación • ¿Qué es la Modelación? – Pasar un problema real a un modelo matemático

• ¿Que requiere? – Trabajo en equipo… Necesitamos del conocimiento de todos los involucrados

• ¿Que implica? – Simplificación de las condiciones reales… Esto nos lleva a una disyuntiva

Metodología para el Análisis de un Problema • Definición del Problema – Alternativas de decisión – Objetivos – Limitaciones

• Construcción del Modelo Matemático • Solución del Modelo – Incluye análisis de sensibilidad

• Validación del Modelo • Puesta en práctica de la solución

Programación Lineal • ¿Qué es la Programación Lineal? – Es una técnica para optimizar el uso de recursos

• ¿Que características tiene la PL? – Proporcionalidad – Aditividad

Elementos de un Modelo • Variables : – lo que queremos determinar

• Objetivo : – lo que trataremos de optimizar (maximizar o minimizar)

• Restricciones : – limitaciones que debemos satisfacer

Un Ejemplo La compañía Reddy Mikks produce pinturas para exteriores y para interiores a partir de 2 materias primas M1 y M2. La tabla nos muestra la información: Toneladas de MP para fabricar 1 ton de Pintura

M1 M2 Utilidad x Ton.

PINT. EXT. 6 1 $5

Utilidad por vender 1 ton de Pintura

PINT INT 4 2 $4

DISPONIBILIDAD 24 6

Máximo número de Ton. disponibles de MP

Restricciones del problema • El mercado restringe la demanda de pintura para interiores a 2 ton. • La producción de pintura para interiores no puede exceder a la de exteriores por más de una tonelada

¿Qué deseamos conocer? • Un paso muy importante es definir desde un inicio el por qué del estudio que se está llevando a cabo, es decir, qué es lo que se pretende hacer o lograr. Esto incluye la definición de las variables de decisión, la definición del objetivo y la forma de medirlo.

Pasos para formular un Modelo • Paso 1: Definición de variables de decisión • Paso 2: Definición de la función objetivo • Paso 3: Definición de las restricciones

En nuestro caso: qué cantidad de pintura de cada tipo producir

• 1er. Paso. Definir las variables de decisión, es decir, qué se desea saber… – X1 ∼ Cantidad de Pintura para exteriores a fabricar – X2 ∼ Cantidad de pintura para interiores a fabricar

• 2do. Paso. Definir la función objetivo que debe incluir las variables definidas en el paso 1:

Z = 5 x1 + 4 x2 La llamamos “Z” pues aún no sabemos que valor tomará, pues depende de las cantidades de los productos a elaborar

Esto está algo difícil…

• Paso 3. Se definen ahora las restricciones inherentes al problema – Restricciones sobre la materia prima (2) – Restricciones sobre la demanda (2) – Restricciones de no negatividad

Restricciones del Problema •

Sobre la Materia Prima M1: Nota que por cada tonelada de pintura para exteriores se requieren 6 toneladas de M1 y por cada tonelada de pintura para interiores se requieren 4 toneladas de M1. En total, la materia prima empleada se calcularía así:

6 x1 + 4 x2 •

Si consideramos que máximo disponemos de 24 toneladas de M1, entonces la restricción queda:

6 x1 + 4 x2 ≤ 24

Restricciones (cont.) • De forma similar para la materia prima M2: x1 + 2 x2

≤ 6

• Respecto a la demanda, la cantidad de pintura para interiores no debe exceder 2 toneladas: x2 ≤ 2 • Y la producción de pintura para interiores no debe exceder a la de exteriores por más de 1 tonelada: x2 ≤ x1 + 1

Restricciones de No negatividad • Finalmente todo problema lineal requiere que sus variables sean definidas como no negativas, es decir, cero o positivas: x1 , x2 ≥ 0 Es obvio!!, no podemos fabricar cantidades negativas de pintura!!

El modelo finalmente queda así: Max

Z = 5 x1 + 4 x2

sa 6 x1 + 4 x2 ≤ 24 x1 + 2 x2 ≤ 6 x2 ≤ 2 - x1 + x2 ≤ 1 x1 , x2 ≥ 0

Tarea 2 • Serie de problemas 2.1A – 1, 2, 3 y 4

Ejercicios de Modelación

Ejercicio 1 •

Una compañía elabora dos clases de fertilizantes, llamados Hiphosphate y Lo-phosphate. 3 materias primas básicas se usan en la elaboración de estos fertilizantes. Modela matemáticamente para maximizar la ganancia. Toneladas Requeridas para Elaborar 1 Tonelada Hi-phosphate

Lo-phosphate

Máximo disponible x mes

MP 1

2

1

1500

MP 2

1

1

1200

MP 3

1

0

500

$15

$10

Ganancia neta por Tonelada Elaborada

Ejercicio 2

• Un ave de rapiña necesita para subsistir al día 30 unidades de proteínas, 20 de grasas y 8 de vitaminas. Sus presas son dos tipos de animales: ratones que le proporcionan 3 unidades de proteínas, 4 de grasas y 1 de vitaminas y palomas que le proporcionan 6 unidades de proteínas, 2 de grasas y 1 de vitaminas. Si cazar y comer un ratón le cuesta 7 unidades de energía y una paloma le cuesta 12 unidades de energía, ¿ cuántas presas de cada clase debe cazar para satisfacer sus necesidades con el menor gasto de energía ?

Ejercicio 3 • Con 80 kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabricar bicicletas de montaña y de paseo que se venderán a 200 euros y 150 euros respectivamente. Para la de montaña son necesarios 1 kg de acero y 3 de aluminio y para la de paseo 2 kg de cada uno de los metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y cuántas de montaña se deben fabricar para obtener el máximo beneficio ?

Ejercicio 4

• Para abonar un parcela de huerta se necesitan, por lo menos, 8 kg de nitrógeno y 12 kg de fósforo. Se dispone de un producto M cuyo precio es de 3 euros por kilogramo y que contiene un 10 % de nitrógeno y un 30 % de fósforo y otro producto N que contiene un 20 % de nitrógeno y un 20 % de fósforo, y cuyo precio es de 4 euros por kilogramo. ¿ Qué cantidades se deben tomar de M y N para abonar la parcela con el menor gasto posible ?

Ejercicio 5 • Una compañía elabora alimento para vaca, oveja, y pollos. Esto se hace mezclando los siguientes ingredientes: maíz, calcárea, soya, pescado. Estos ingredientes contienen los siguientes nutrientes: vitaminas, proteínas, calcio, grasa. El contenido de los nutrientes en cada kilo de los ingredientes esta distribuido de la siguiente manera:

Ingredientes Maíz Calcárea Soya Pescado

Vita. Prot. Calcio Grasa 8 10 6 8 6 5 10 6 10 12 6 6 4 8 6 9

La compañía quedó en producir 10, 6, y 8 toneladas de alimento para ganado, oveja, y pollos. Debido a un desabasto, solo una cantidad limitada de los ingredientes están disponibles: 6 ton de maíz, 10 de calcárea, 4 de soya y 5 de pescado.

Minimiza el costo de elaboración… • El precio por kilogramo de estos ingredientes es $2.00, $1.20, $2.40, y $1.20 respectivamente. Las unidades mínimas de los diferentes nutrientes que se permites están sumarizados abajo para cada kilo de almiento de ganado, oveja, y pollo. ALIMENTO

VITAMINAS

PROTEINAS

CALCIO

GRASA

Min

Max

Min

Max

Min

Max

Min

Max

Vaca

6

-

6

-

7

-

4

8

Oveja

6

-

6

-

6

-

4

6

Pollo

4

6

6

-

6

-

4

6

Tarea 3 • Serie de problemas de Modelación que se encontrarán en Blackboard – Archivo en Word: TAREA_03.doc