Operadores X E P

1 Operadores hermitianos p e x Neste estudo, escrito em Latex, destrinchamos passo a passo as contas usadas para achar os operadores hermitianos p e x, dados os operadores de destrui¸c˜ao a e de cria¸c˜ao a† . Muitas outras contas est˜ao resolvidas no meu endere¸co eletrˆonico: http:// elisiofisica.blogspot.com.

1.1

Operadores de destrui¸ c˜ ao e de cria¸ c˜ ao

Em mecˆanica quˆantica as grandezas f´ısicas mensur´aveis s˜ao chamadas de observ´aveis e os operadores dessas grandezas pertencem a uma classe especial de operadores, chamados de hermitianos ou auto-adjuntos. Neste estudo queremos achar os operadores hermitianos p e x dados os operadores de destrui¸c˜ao e de cria¸c˜ao. Iniciaremos achando o operador x.

1.1.1

Express˜ ao para o operador x dado a e a†

O operador de destrui¸c˜ao ou operador de abaixamento ´e um operador, n˜ao hermitiano, definido por r a=

mw p (x + i ) 2~ mw

(1.1)

CAP´ITULO 1. OPERADORES HERMITIANOS P E X

2

e o operador de levantamento ou operador de cria¸c˜ao, n˜ao hermitiano, ´e definido por

r

†

a =

mw p (x − i ). 2~ mw

(1.2)

Usando a equa¸c˜ao (1.1) temos que

a p ) = p mw = (x + i mw 2~

r

2~ a. mw

(1.3)

A equa¸c˜ao acima fica da forma

r

p 2~ a = (x + i ). mw mw

(1.4)

Somando ambos os lados da equa¸c˜ao (1.4) com o termo

r

2~ † a, mw

(1.5)

resulta na express˜ao

r

2~ a+ mw

r

2~ † p a = (x + i )+ mw mw

r

2~ † a. mw

(1.6)

Evidenciando o termo (1.5) no primeiro membro da equa¸c˜ao (1.6) obteremos

r

2~ p (a + a† ) = (x + i )+ mw mw

r

2~ † a. mw

(1.7)

CAP´ITULO 1. OPERADORES HERMITIANOS P E X

3

Substituindo o operador de cria¸c˜ao, dado pela equa¸c˜ao (1.2), no segundo termo da equa¸c˜ao acima, obteremos

r

2~ p (a + a† ) = (x + i )+ mw mw

r

r 2~ mw p ( (x − i )) mw 2~ mw

(1.8)

Trabalhando o segundo termo da equa¸c˜ao acima, temos

r

2~ p (a + a† ) = (x + i )+ mw mw

r

2~mw p (x − i ), mw2~ mw

(1.9)

resultando em r

p p 2~ (a + a† ) = (x + i ) + (x − i ) = 2x. mw mw mw

(1.10)

Isolando x na equa¸c˜ao acima resulta em q x=

2~ mw

2

r (a + a† ) =

2~ 1 (a + a† ) = mw 2

r

2~ (a + a† ) = 4mw

r

1~ (a† + a). 2mw

(1.11)

Portanto, r x=

1.1.2

~ (a + a† ) 2mw

(1.12)

Express˜ ao para o operador p dado a e a†

Vamos achar a express˜ao para o operador p. Usando a equa¸c˜ao (1.2) temos que

p a† (x − i ) = p mw = mw 2~

r

2~ † a. mw

(1.13)

CAP´ITULO 1. OPERADORES HERMITIANOS P E X

4

A equa¸c˜ao acima fica da forma

r

2~ † p a = (x − i ). mw mw

(1.14)

Somando ambos os lados da equa¸c˜ao (1.14) com o termo

r −

2~ a, mw

(1.15)

resulta na seguinte express˜ao:

r

2~ † a − mw

r

p 2~ a = (x − i )− mw mw

r

2~ a. mw

(1.16)

Evidenciando o termo (1.15) no primeiro membro da equa¸c˜ao (1.16) obteremos

r

2~ p (−a + a† ) = (x − i )− mw mw

r

2~ a. mw

(1.17)

Substituindo o operador de destrui¸c˜ao, dado pela equa¸c˜ao (1.1), no segundo termo da equa¸c˜ao acima, resulta em

r

r r 2~ p 2~ mw p (−a + a† ) = (x − i )−( ( (x + i ). mw mw mw 2~ mw

(1.18)

Trabalhando o segundo termo da equa¸c˜ao acima temos que

r

r 2~ p 2~mw p (−a + a† ) = (x − i )−( (x + i ), mw mw mw2~ mw

(1.19)

CAP´ITULO 1. OPERADORES HERMITIANOS P E X

5

resultando em

r

2~ p p −2ip (−a + a† ) = (x − i ) − (x + i )= √ . mw mw mw mw

(1.20)

Isolando p na equa¸c˜ao acima, temos q −p=

2~ mw

2i

√ (−a + a ) mw = †

r

2~m2 w2 1 1 (−a + a† ) = mw 2i i

r

2mw~ (−a + a† ). 4

(1.21)

Portanto a express˜ao r

mw~ (−a + a† ), 2

(1.22)

r r r mw~ mw~ mw~ mw~ † † + (−i)(a ) = ia − ia 2 2 2 2

(1.23)

− p = −i

pode ser expressa como

r − p = (−i)(−a)

que equivale a r p = −ia

mw~ + ia† 2

r

mw~ 2

(1.24)

ou r p = −i

mw~ (a − a† ). 2

(1.25)

Portanto, o operador p pode ser expresso, tamb´em, por

r p=i

mw~ † (a − a). 2

(1.26)

Na pr´oxima etapa substituiremos a express˜ao (1.12), encontrada para o operador x , e

CAP´ITULO 1. OPERADORES HERMITIANOS P E X

6

a express˜ao (1.26), encontrada para o operador p, na seguinte express˜ao do Hamiltoniano:

H=

1 p2 + mw2 x2 . 2m 2

Vocˆe pode visualizar este estudo clicando em Operadores p e x no Hamiltoniano.

(1.27)