Operacoes Financeiras - Alunos

OPERAÇÕES FINANCEIRAS O objetivo da Matemática Financeira é estudar a evolução do dinheiro no tempo em decorrência de eventos econômicos como: aplicação, empréstimos, pagamentos, liquidação, etc. Vamos definir de forma simples, os conceitos das variáveis que iremos tratar de modo a obtermos uma uniformidade de pensamento e facilidade de comunicação. JURO: O juro é a remuneração do capital, ou seja, a recompensa a qual o detentor do capital espera ser premiado pelo empréstimo de seu dinheiro a terceiros. Essa recompensa esperada (juro) estará ligada ao prazo em que o capital ficou emprestado e a taxa de juros estipulada. O juro é determinado pela diferença entre o Montante e o Capital e é representado pela letra “J”. Portanto: J=M-C Exemplo: Uma pessoa resgata $4.809,00 de uma aplicação de $3.758,00. Qual o valor do juro obtido? J = 4.809,00 - 3.758,00

⇒

J = $1.051,00

MONTANTE: É o valor do Capital final de uma determinada operação e é representada pela letra “M” ou pela letra “S”. Determinamos o valor do montante através da seguinte fórmula: M=C+J Exemplo: Uma pessoa aplica $3.478,00 em CDB e recebe $158,00 de juros pela aplicação. Qual o valor do resgate obtido? M = 3.478,00 + 158,00

⇒

M = $3.636,00

CAPITAL: Muito embora o capital constitui-se como um dos agentes de produção de riqueza sob diversas formas (equipamentos, edificações, matéria-prima, etc.), vamos considerá-lo como dinheiro, pois trata-se de nossa ferramenta de trabalho. É esse o capital que dará origem a todos os nossos cálculos, seja na forma de um empréstimo, seja na de uma aplicação financeira. O valor do Capital inicial, ou Principal, de uma determinada operação é representado pela letra “C” ou pela letra “P”. Determinamos o valor do Capital através da seguinte fórmula: C=M-J Exemplo: Uma pessoa paga $5.627,00 para liquidar um empréstimo que lhe custou $542,00 de juros. Qual o valor emprestado? C = 5.627,00 - 542,00

⇒

C = $5.085,00

TAXA DE JUROS A taxa de juros representa a proporcionalidade do valor do juro em relação ao capital. A taxa de juros é a fração pela qual o Capital é remunerado e é representada pela letra “i”. A taxa de juros pode ser expressa das seguintes formas:

Decimal :

Percentual :

20%

Fracionária :

20 100

0,20

Geralmente os cálculos são efetuados na forma decimal e a apresentação do resultado na forma percentual. i= J C Determinamos a taxa de juros no período através da seguinte fórmula: Exemplo: Qual a taxa de juros no período, obtida numa aplicação efetuada por $12.780,00, remunerada pelo valor de $1.723,00. i = 1.723,00 . ⇒ i = 0,1348 ou 13,48% a.p. 12.780,00 Na HP 12C introduzimos o valor do capital inicial ($12.780,00), digitamos o valor do juros ($1.723,00) e pressionamos a função de percentual do total (%T) para obter o resultado (13,48%).

2 1) Qual a taxa de juros no período recebida pelo indivíduo que efetuou uma aplicação de $25.000,00 tendo resgatado o valor de $37.500,00? Quando conhecemos o Montante e o Principal, determinamos a taxa de juros no período através da fórmula: C = $25.000,00 i= M-C Decorrente de : i = J . e J = M - C C M = $37.500,00 C i = 0,50 ou 50% a.p. Na HP 12C introduzimos o valor do Capital Inicial (25.000,00), digitamos o valor do Montante (37.500,00) e pressionamos a função de variação percentual ( ∆ %) para obter o resultado (50% a.p.). 2) Sabe-se que o comerciante resgatou o valor de $48.976,51 tendo recebido uma remuneração de $1.678,20 por essa aplicação. Qual foi a taxa de juros no período? Quando conhecemos o valor dos juros e do montante e queremos identificar qual a taxa de juros aplicado no período, usamos a fórmula: M = $48.976,51 i= J = $1.678,20 Decorrente de: i = J e C=M-J J . i = 0,0355 ou 3,55% a.p. C M-J Na HP 12C calculamos o valor do capital (48.976,51 – 1.678,20), introduzimos o valor do juros (1.678,20) e pressionamos a função de percentual do total (%T) para obter o resultado (3,55% a.p.). 3) Uma pessoa aplicou $3.826,00 e receberá uma remuneração de 3,5% no período. Qual o valor de juros que ela receberá? Quando conhecemos o capital e a taxa de juros no período, determinamos o valor do juros através da fórmula: J=Cx C = $3.826,00 Decorrente de : i = J . ⇒ i . = J . ⇒ C x i = J i i = 3,5% a.p. ou 0,035 C 1 C J = $133,91 Na HP12C introduzimos o valor do capital (3.826,00), digitamos o percentual do juros (3,5) e pressionamos a função de porcentagem (%) para obter o resultado ($133,91). 4) O investidor recebeu o valor de $984,32 de juros por uma aplicação remunerada a taxa de 16,08% a.p.. Qual o valor aplicado? Quando conhecermos o valor do juros e a taxa de juros no período, determinamos o valor do Capital utilizando a fórmula: J = $984,32 C= J i = 16,08% a.p. ou 0,1608 Decorrente de : J = C x i ⇒ J . = C x i ⇒ J . =C x i ⇒ J = C i C = $6.121,39 i i i i i Na HP 12C introduzimos o valor do juros (984,32), introduzimos a taxa de juros no período em decimal (16,08% / 100 = 0,1608) e pressionamos a função de divisão (÷ ) para obter o resultado ($6.121,39). 5) Um aplicador que recebeu o valor de $987,80 de juros em função de uma taxa de 12,31% no período, terá resgatado qual valor? Quando conhecemos o valor do juros e a taxa de juros no período determinamos o montante através da seguinte fórmula: M= J+J J = $987,80 i i = 12,31% a.p. ou 0,1231 Decorrente de : M = C + J e C = J M = $9.012,17 i Na HP 12C introduzimos o valor do juros (987,80), pressionamos ENTER duas vezes, introduzimos a taxa de juros no período em decimal (0,1231), pressionamos a função de divisão (÷ ) e pressionamos a função de soma (+) para obter o resultado ($9.012,17).

6) Um investimento de $3.984,37 está sendo remunerado pela taxa de 5,94% no período. Qual será o valor do resgate?

3 Quando conhecemos a taxa de juros no período e o capital, determinamos o montante através da fórmula: C = $3.984,37 Decorrente de : M = C + J e J = C x i então M = C x (1 + i) i = 5,94% a.p. ou 0,0594 M = C + C x i ⇒ M = C x (1 + i) M = $4.221,04 Na HP 12C introduzimos o valor do capital (3.984,37), digitamos o percentual da taxa de juros (5,94), pressionamos a função porcentagem (%) e a tecla da soma (+) para obter o resultado ($4.221,04). 7) Você resgatou $25.460,49 de uma aplicação que rendeu 13,42% no período. Qual foi o valor que você aplicou? Se conhecermos o valor do montante e a taxa de juros no período determinamos o capital inicial através da fórmula: M = $25.460,49 Decorrente de M = C x (1 + i) ⇒ M = C x (1 + i) ⇒ M = C C= M . i = 13,42% a.p. ou 0,1342 (1 + i) (1 + i) (1 + i) 1+i C = $22.447,97 Na HP 12C introduzimos o valor do montante (25.460,49), somamos 1 a taxa de juros no período em decimal (1,1342) e pressionamos a função de divisão (÷ ) para obter o resultado ($22.447,97). 8) Uma empresa resgatou uma aplicação em CDB pelo valor de $13.914,00 tendo recebido como remuneração a taxa de 23,18% no período. Qual foi o valor dos juros recebidos? Quando conhecemos o montante e a taxa de juros no período determinamos o valor do juros através da fórmula: J=MM = $13.914,00 Decorrente de J = M – C e C = M . M . i = 23,18% a.p. ou 0,2318 (1 + i) 1+i J = $2.618,34 Na HP 12C introduzimos o valor do montante (13.914,00), pressionamos ENTER mais uma vez, somamos 1 a taxa de juros no período em decimal (1,2318), pressionamos a função de divisão (÷ ) e pressionamos a função de subtração (-) para obter o resultado ($2.618,34). 9) Uma duplicata foi liquidada em atraso pelo valor de $18.735,80. Sabe-se que houve incidência de uma taxa de 11,37% de juros no período do atraso. Qual o valor relativo ao juros pagos e qual o valor de face da duplicata? Para identificarmos o valor do juros no período, conhecendo o montante e a taxa de juros no período utilizamos a fórmula: J=MM = $18.735,80 M . i = 11,37% a.p. ou 0,1137 1+i J = $1.912,78 Na HP 12C introduzimos o valor do montante (18.735,80), pressionamos ENTER mais uma vez, somamos 1 a taxa de juros no período em decimal (1,1137), pressionamos a função de divisão (÷ ) e pressionamos a função de subtração (-) para obter o resultado ($1.912,78). E para identificarmos o valor de face da duplicata podemos utilizar a formula:

C=M-J

M = $18.735,80 J = $1.912,78 C = $16.823,02 Na HP 12C introduzimos o valor do montante (18.735,80) e o valor do juros encontrado (1.912,78) e pressionamos a função de subtração (-) para obter o resultado ($16.823,02).

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RESUMO GERAL Operações com Mercadorias e Serviços Conhecemos: Queremos: Utilizamos a fórmula: L L=V-C VeC i i=V-C C I I=V-C V i i= L . V-L VeL C C=V-L I I=L V V V=C+L CeL i i=L C I I= L . C+L L L=Cxi Cei V V = C x (1 + i) I I= Cxi . C x (1 + i) L L=VxI VeI C C = V – (V x I) i i= VxI . V – (V x I) C C=L i Lei V V=L+L i I I= L . L+L i V V=L I LeI C C=L-L I i i= L . L–L I L L=V- V . 1+i Vei C C= V . 1+i I V- V . I= 1+i . V V V= C . 1–I CeI L L= C x I 1–I i i= C x I 1–I . C

Conhecemos: MeC

Operações Financeiras Queremos: Utilizamos a fórmula: J J=M-C i i= M-C C i

i=

J . M-J C=M-J

MeJ

C

CeJ

M i

M=C+J i= J C

Cei

J M

J=Cxi M = C x (1 + i)

C

C= J i M= J+J i

Jei

M

J Mei

C

J=M-

M . 1+i C= M . 1+i