Operacoes Element Ares De Matrizes

Matrizes

Operações Elementares sobre Matrizes „

Operações elementares sobre matrizes „

„

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As linhas (ou colunas) de uma matriz podem ser considerados vector, sendo esse conjunto de vectores linearmente dependente ou independente. Existe um conjunto de operações que podem ser efectuadas sobre as linhas (ou colunas) de uma matriz, que não alteram a dependência ou independência linear das mesmas. São as operações elementares!!! As operações elementares podem ser: „ „

„

Troca de duas linhas; Multiplicação dos elementos de uma linha por um escalar diferente de zero; Substituição de uma linha, por outra que se obtém somando essa linha a qualquer outra multiplicada por um escalar diferente de zero.

Paulo Alves, 2006/07

Matemática I, EST IPCB

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Condensação de uma Matriz „

Definição „

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Designa-se por condensação ao processo que consiste em efectuar operações elementares sobre as linhas de uma matriz de forma a obter uma matriz triangular superior ou uma matriz diagonal.

Como efectuar a condensação?

Paulo Alves, 2006/07

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Condensação de uma Matriz „

Definição „

„

Os elementos das linhas que servem para eliminar os elementos abaixo (ou acima) deles, chama-se pivots ou elementos redutores.

No Processo de Condensação: „ „ „

1º Pivot: 2º Pivot: 3º Pivot:

⎡ a1,1 ⎢a 2 ,1 A=⎢ ⎢ ... ⎢ ⎣a n ,1

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a11 a22 a33

a1,2 a 2 ,2 ... a n ,2

... a1,m ⎤ ... a 2 ,m ⎥ ⎥= a i, j ... ... ⎥ ⎥ ... a n ,m ⎦

[ ]

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i = 1,...., n; j = 1,..., m

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Outra Definição de Característica de uma Matriz „

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„

Foi dada uma definição de característica de uma matriz como sendo o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. No entanto, e após ter sido introduzida a noção de condensação, pode-se avançar para uma segunda definição de característica:

A característica de uma matriz é igual à ordem da maior matriz triangular superior (cujos elementos da diagonal principal são todos diferentes de zero) que se obtém a partir da matriz inicial, após o processo de condensação. „

Assim, condensação de uma matriz é um processo que serve para determinar a característica de uma matriz.

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Inversa de uma Matriz „

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Definição „ Uma matriz quadrada A, de ordem n diz-se invertível se existir uma matriz B da mesma ordem que A, tal que AB = BA = I, em que I é a matriz identidade de ordem n. Teorema „ A inversa de A, se existir, é única e representa-se por Definição „ Um matriz diz-se regular se tiver inversa e singular caso contrário. Teorema „ Uma matriz quadrada de ordem n é invertível se e só se a sua característica for igual à sua ordem.

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Inversa de uma Matriz „

Algoritmo do Cálculo da Inversa de uma Matriz Seja A uma matriz de ordem n, invertível 1. Formar a matriz ampliada [ A :

I]

[

2. Através de operações elementares, passar da matriz [ A : I ] à matriz I

: B]

3. Se for possível formar a matriz B, significa que a inversa de A existe e que B é precisamente a matriz procurada, ou seja, B = (pois a inversa duma matriz, quando existe, é única).

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Matriz Ortogonal „

Definição „

Uma matriz diz-se ortogonal se:

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Propriedades das Matrizes Inversas „

Propriedades das Matrizes Inversas

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