Opciones Reales En Palma De Aceite.pdf

UNIVERSIDAD EXTERNADO DE COLOMBIA FACULTAD DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS MAESTRÍA EN GESTIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN

VALORACIÓN CON OPCIONES REALES APLICACIÓN EN PROYECTOS DE INVERSIÓN DE CULTIVOS DE PALMA DE ACEITE EN COLOMBIA

ROBERTO CARLOS BARRANTES PINZÓN

JOHN FREDDY MORENO TRUJILLO, Docente investigador

BOGOTÁ D.C. MAYO, 2016

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CONTENIDO

1.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ......................................................................10

2.

OBJETIVOS .................................................................................................................. 13

3.

2.1.

Objetivo general .....................................................................................................13

2.2.

Objetivos específicos.............................................................................................. 13

FUNDAMENTO TEÓRICO ......................................................................................... 14 3.1.

Valor presente neto.................................................................................................14

3.2.

Valoración con opciones reales ..............................................................................15

3.2.1 Opciones financieras............................................................................................. 16 3.2.2. Valoración de las opciones financieras ............................................................... 19 3.2.3. Arbitraje y ley de único precio ............................................................................22 3.2.4 Cotas del arbitraje .................................................................................................23 3.2.5 Modelo de valoración ........................................................................................... 28 3.3.

Comportamiento del precio del subyacente ........................................................... 36

3.3.1.

Comportamiento discreto con árboles binomiales ..........................................37

3.3.2.

Comportamiento continuo con procesos estocásticos.....................................37

3.4.

Valoración por Montecarlo .................................................................................... 39

3.5.

Equivalencia entre opciones financieras y opciones reales ....................................41

3.6.

Tipos de opciones reales ........................................................................................ 42

3.6.1.

Opción de ampliación o crecimiento de la inversión ......................................42

3.6.2.

Opción de reducción o contracción.................................................................43

3.6.3.

Opción de diferimiento ................................................................................... 43

3.6.4.

Opción de abandono ....................................................................................... 44

3.6.5.

Opción de cierre temporal ...............................................................................44

3.6.6.

Opción de selección u opción de escoger ....................................................... 45

3.7.

Estimación de la volatilidad en opciones reales ..................................................... 45

3.7.1. 4.

Modelo de Copeland-Antikarov .....................................................................46

DESARROLLO Y APLICACIÓN DEL MODELO ..................................................... 48 4.1.

Análisis del precio del fruto de palma de aceite en Colombia ............................... 48

3

5.

4.2.

Definición de variables para el modelo de opciones reales ...................................54

4.3.

Tipo de opción real .................................................................................................56

4.4.

Aplicación del modelo de análisis de opciones reales ...........................................56

4.5.

Presentación de resultados ..................................................................................... 62

4.6.

Análisis de resultados ............................................................................................. 77

CONCLUSIONES .........................................................................................................82

BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................. 88

4

LISTA DE ECUACIONES

Ecuación 1.- Valor presente neto .................................................................................................. 14 Ecuación 2.- Pay-off de una posición larga en una call Europea.................................................. 17 Ecuación 3.- Pay-off de una posición larga en una opción put Europea ...................................... 18 Ecuación 4.- Pay-off de una posición corta en una call Europea.................................................. 18 Ecuación 6: Pay-off con prima de una posición larga en una opción call Europea ...................... 20 Ecuación 7: Pay-off con prima de una posición larga en una opción put Europea ...................... 21 Ecuación 8: Pay-off con prima de una posición corta en una opción call Europea ...................... 21 Ecuación 9: Pay-off con prima de una posición corta e una opción put Europea ........................ 22 Ecuación 10: Paridad put-call ....................................................................................................... 24 Ecuación 11: Paridad put-call con dividendos .............................................................................. 25 Ecuación 12: Paridad put-call con dividendos continuos ............................................................. 26 Ecuación 13: Cota para una opción call europea .......................................................................... 26 Ecuación 14: Cota para una opción put europea ........................................................................... 26 Ecuación 15: Caminata aleatoria geométrica ................................................................................ 29 Ecuación 16: Movimiento Browniano aritmético ......................................................................... 31 Ecuación 17: Movimiento Browniano geométrico ....................................................................... 32 Ecuación 18: Valor de un activo libre de riesgo ........................................................................... 33 Ecuación 19: Valor de activos riesgosos ...................................................................................... 34 Ecuación 20: Aplicación de la fórmula de Itô .............................................................................. 34 Ecuación 21: Fórmula de Black-Scholes-Merton ......................................................................... 35 Ecuación 22. Fórmula de Black-Scholes-Merton para el valor de la prima en una opción call europea .......................................................................................................................................... 35 Ecuación 23. Constantes d1 y d2 en la fórmula de Black-Scholes-Merton .................................. 35 Ecuación 24. Fórmula de Black-Scholes-Merton para el Valor de la prima en una opción put europea .......................................................................................................................................... 36 Ecuación 25. Fórmula de Black-Scholes-Merton para el valor de la prima en una opción call europea con pago de dividendos en continuo ............................................................................... 36 Ecuación 26. Constantes d1 y d2 en la fórmula de Black-Scholes-Merton para pago de dividendos en continuo ................................................................................................................. 36

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Ecuación 27. Valoración de un derivado financiero ..................................................................... 39 Ecuación 28. Cambios en el precio del activo subyacente ........................................................... 40 Ecuación 29. Solución de los cambios de precio de un activo subyacente para un instante de tiempo fijo ..................................................................................................................................... 40 Ecuación 30. Precio del activo subyacente en el tiempo t + dt ..................................................... 40 Ecuación 31. Precio del activo subyacente en el instante t a partir de su precio en el instante 0 . 41 Ecuación 32. Comportamiento Browniano con tendencia del flujo de caja ................................. 46 Ecuación 33. Retorno logarítmico del proyecto en el periodo 1................................................... 47 Ecuación 34. Precio de la tonelada de fruto de aceite de palma como un movimiento browniano geométrico..................................................................................................................................... 54 Ecuación 35. Función de utilidad para la producción de fruto de aceite de palma....................... 54 Ecuación 36. Utilidad en el estado 1 para el productor de fruto de palma de aceite .................... 54 Ecuación 37. Utilidad en el estado 2 para el productor de fruto de palma de aceite .................... 55 Ecuación 38. Pay-off del productor de fruto de aceite de palma .................................................. 56 Ecuación 39. Valor de la opción real ............................................................................................ 56

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1.- Perfil de pago de una posición larga en una opción call Europea ................................ 17 Figura 2.- Perfil de pago de una posición larga en una opción put Europea ................................ 18 Figura 3.- Perfil de pago de una posición corta en una opción call Europea ................................ 19 Figura 4.- Perfil de pago de una posición corta en una opción put europea ................................. 19 Figura 5: Perfil de pago con prima de una posición larga en una opción call Europea ................ 20 Figura 6: Perfil de pago con prima de una posición larga en una opción put Europea ................ 20 Figura 7: Perfil de pago con prima de una posición corta en una opción call Europea ................ 21 Figura 8: Perfil de pago con prima de una posición corta en una opción put Europea ................ 21 Figura 9: Cotas para opciones europeas (A) ................................................................................. 27 Figura 10: Cotas para opciones europeas (B) ............................................................................... 27 Figura 11: Trayectoria caminata aleatoria simétrica ..................................................................... 29 Figura 12: Trayectoria del Browniano aritmético con 𝝁 = 𝟏 y 𝝈 = 𝟎, 𝟒 ..................................... 32 Figura 13: Trayectoria del Browniano geométrico con 𝝁 = 𝟏 y 𝝈 = 𝟎, 𝟔 ................................... 33 Figura 14. Gráfica de la serie de precios mensuales por tonelada de fruto de aceite de palma en Colombia ....................................................................................................................................... 48 Figura 15. Auto correlación de los retornos del fruto de aceite de palma .................................... 50 Figura 16. Auto correlación parcial del precio del fruto de palma de aceite ................................ 50 Figura 17. Gráfico PP-Plot de los rendimientos logarítmicos del precio del fruto de aceite de palma en Colombia ....................................................................................................................... 52 Figura 18. Histograma de frecuencias de los rendimientos logarítmicos del precio del fruto de palma de aceite en Colombia ........................................................................................................ 53 Figura 19. Resultados de Crystal Ball® para el valor de la prima de la opción real en la distribución triangular para Magdalena ........................................................................................ 62 Figura 20. Resultados de Crystal Ball® para el valor del pay-off de la opción real en la distribución triangular para Magdalena ........................................................................................ 63 Figura 21. Resultados de Crystal Ball® para la utilidad en el estado 1 en la distribución triangular para Magdalena ............................................................................................................ 63

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Figura 22. Resultados de Crystal Ball® para el valor de la prima de la opción real en la distribución normal para Magdalena ............................................................................................ 64 Figura 23. Resultados de Crystal Ball® para el valor del pay-off de la opción real en la distribución normal para Magdalena ............................................................................................ 64 Figura 24. Resultados de Crystal Ball® para la utilidad en el estado 1 en la distribución normal para Magdalena ............................................................................................................................. 65 Figura 25. Resultados de Crystal Ball® para el valor de la prima de la opción real en la distribución normal truncada para Magdalena .............................................................................. 65 Figura 26. Resultados de Crystal Ball® para el valor del pay-off de la opción real en la distribución normal truncada para Magdalena .............................................................................. 66 Figura 27. Resultados de Crystal Ball® para la utilidad en el estado 1 en la distribución normal truncada para Magdalena .............................................................................................................. 66 Figura 28. Resultados de Crystal Ball® para el valor de la prima de la opción real en la distribución triangular para Meta .................................................................................................. 67 Figura 29. Resultados de Crystal Ball® para el valor del pay-off de la opción real en la distribución triangular para Meta .................................................................................................. 67 Figura 30. Resultados de Crystal Ball® para la utilidad en el estado 1 en la distribución triangular para Meta ...................................................................................................................... 68 Figura 31. Resultados de Crystal Ball® para el valor de la prima de la opción real en la distribución normal para Meta ...................................................................................................... 68 Figura 32. Resultados de Crystal Ball® para el valor del pay-off de la opción real en la distribución normal para Meta ...................................................................................................... 69 Figura 33. Resultados de Crystal Ball® para la utilidad en el estado 1 en la distribución normal para Meta ...................................................................................................................................... 69 Figura 34. Resultados de Crystal Ball® para el valor de la prima de la opción real en la distribución normal truncada para Meta ....................................................................................... 70 Figura 35. Resultados de Crystal Ball® para el valor del pay-off de la opción real en la distribución normal truncada para Meta ....................................................................................... 70 Figura 36. Resultados de Crystal Ball® para la utilidad en el estado 1 en la distribución normal truncada para Meta ........................................................................................................................ 71

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Figura 37. Resultados de Crystal Ball® para el valor de la prima de la opción real en la distribución triangular para Santander .......................................................................................... 71 Figura 38. Resultados de Crystal Ball® para el pay-off de la opción real en la distribución triangular para Santander .............................................................................................................. 72 Figura 39. Resultados de Crystal Ball® para la utilidad en el estado 1 en la distribución triangular para Santander .............................................................................................................. 72 Figura 40. Resultados de Crystal Ball® para el valor de la prima de la opción real en la distribución normal para Santander .............................................................................................. 73 Figura 41. Resultados de Crystal Ball® para el pay-off de la opción real en la distribución normal para Santander .................................................................................................................. 73 Figura 42. Resultados de Crystal Ball® para la utilidad en el estado 1 en la distribución normal para Santander ............................................................................................................................... 74 Figura 43. Resultados de Crystal Ball® para el valor de la prima de la opción real en la distribución normal truncada para Santander ............................................................................... 74 Figura 44. Resultados de Crystal Ball® para el pay-off de la opción real en la distribución normal truncada para Santander.................................................................................................... 75 Figura 45. Resultados de Crystal Ball® para la utilidad en el estado 1 en la distribución normal truncada para Santander ................................................................................................................ 75 Figura 46. Gráfico de las medias para el pay-off y la utilidad en el estado 1 - cifras en miles de pesos .............................................................................................................................................. 80

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LISTA DE CUADROS

Cuadro 1. Analogía entre las opciones financieras y las opciones reales ..................................... 42 Cuadro 2. Resultados estadísticos de la serie de precios de fruto de acite de palma en Colombia ....................................................................................................................................................... 49 Cuadro 3. Estadística descriptiva de los rendimientos logarítmicos del precio del fruto de aceite de palma en Colombia .................................................................................................................. 51 Cuadro 4. Parámetros para la expresión del precio del fruto de aceite de palma ......................... 53 Cuadro 5. Costos de producción por actividad para productor pequeño en Magdalena ............... 57 Cuadro 6. Costos de producción por actividad para productor no pequeño en Magdalena .......... 57 Cuadro 7. Costos de producción por actividad para productor pequeño en Meta ........................ 58 Cuadro 8. Costos de producción por actividad para productor no pequeño en Meta ................... 58 Cuadro 9. Costos de producción por actividad para productor pequeño en Santander ................ 59 Cuadro 10. Costos de producción por actividad para productor no pequeño en Santander ......... 59 Cuadro 11. Cálculo de la producción anual del cultivo de palma ................................................ 61 Cuadro 12. Resultados generales para Magdalena – valores en miles de pesos ........................... 76 Cuadro 13. Resultados generales para Meta – valores en miles de pesos .................................... 76 Cuadro 14. Resultados generales para Santander – valores en miles de pesos............................. 77 Cuadro 15. Medias de las variables para las 3 distibuciones – valores en miles de pesos ........... 78 Cuadro 16. Desviaciones estándar como un porcentaje de las medias ......................................... 78 Cuadro 17. Resultados con ajuste de costos a la distribución normal – valores en miles de pesos ....................................................................................................................................................... 79 Cuadro 18. Valor agregado de la opción real (valores en miles de pesos) ................................... 81

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1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El aceite de palma y sus derivados tienen diversas aplicaciones en las industrias alimenticia, química, cosmética, farmacéutica, en la de jabones y detergentes y en la de electricidad y biocombustibles, entre otras. Según datos de Trade Map (Centro de Comercio Internacional, 2015) en el año 2014 se importaron en el mundo más de 35 millones de toneladas de aceite de palma para cubrir las diferentes necesidades. Según Fedepalma, Colombia es el principal productor de aceite de palma en Latinoamérica y el quinto en el mundo. Para el año 2013 Colombia, con una producción de más de 1 millón de toneladas de aceite de palma la cual asciende a un valor de casi 2 billones de pesos colombianos, exportó aproximadamente el 20% de su producción. Además ésta actividad agroindustrial, con más de 500.000 hectáreas sembradas, generó alrededor de 50.000 empleos directos posicionándose como una buena fuente de empleo en el país (Fedepalma, 2013). El panorama actual del mercado permite hacer una proyección de 3,5 millones de hectáreas cultivadas en el país para cubrir la demanda de productos y subproductos del sector. Los tratados de libre comercio, la nueva situación de orden público, la inversión en infraestructura vial y la estabilidad política del país atraen inversión extranjera interesada en la extracción y refinación de aceite de palma. Es así que aparecen oportunidades interesantes para el cultivo de palma de aceite a diferentes escalas y en diferentes regiones del país (Procolombia, 2015). El precio del aceite de palma ha presentado históricamente altas fluctuaciones, por ejemplo entre los años 2.000 y 2.013 ha pasado de $222.000 a $715.000 pesos colombianos por tonelada presentando valores mínimos de $180.000 y máximos de $1.400.000 pesos colombianos por tonelada. Estas variaciones tienen incidencia directa a lo largo de la cadena productiva por lo que

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repercuten directamente en los ingresos de los agricultores y productores y además hacen que la valoración de proyectos de inversión, en este tipo de actividad, por los métodos tradicionales como el de flujo de caja descontado o el cálculo de la tasa interna de retorno, arrojen resultados que no son del todo confiables. Es decir, que si el modelo de valoración del proyecto no contempla las fluctuaciones y la incertidumbre de la información relevante como por ejemplo el precio del fruto de palma, y se realizan los cálculos sobre la base de un promedio estático sin volatilidad, los flujos de caja y el valor final del proyecto no reflejarán la realidad del comportamiento cambiante del mismo y por consiguiente no servirá como herramienta válida para la toma de decisiones a los posibles inversionistas. También es necesario tener en cuenta que los inversionistas o gerentes de los cultivos de palma tienen la posibilidad de operar de manera individual o de asociarse buscando aprovechar las economías de escala para mejorar sus beneficios. El modelo de asociación ha sido utilizado durante años en Colombia y representa una excelente alternativa para pequeños cultivadores que de manera individual no tendrían acceso a grandes mercados ni mejores proveedores. Entonces, según las condiciones del mercado, un pequeño productor de palma de aceite podría incursionar de manera individual o tomar la decisión de asociarse para mejorar sus beneficios y estas alternativas deberían ser contempladas y

valoradas en los modelos, ya que incluirlas o no en la valoración del proyecto podría ser determinante para que el inversionista tome la decisión de invertir. Es así como el análisis de opciones reales se convierte en una herramienta interesante para la valoración de estos proyectos ya que no solo permite integrar la volatilidad presente en el modelo de valoración sino que también permite valorar la flexibilidad del proyecto. Entonces en el presente trabajo se utilizará el análisis de opciones reales para la valoración de pequeños proyectos de cultivos de palma de aceite ya establecidos, en su etapa de producción,

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involucrando la volatilidad y la flexibilidad, esta última como la posibilidad de asociarse para obtener mejores beneficios.

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2.

2.1.

OBJETIVOS

Objetivo general Utilizar el análisis de opciones reales como una herramienta para productores pequeños de

cultivos de palma de aceite en Colombia ya establecidos, en su etapa de producción, permitiendo hacer una valoración que involucre la posibilidad de asociación para reducir los costos de producción por economías de escala.

2.2.

Objetivos específicos

▪ Seleccionar el tipo de opción real que se ajuste de la mejor manera a la posibilidad de asociación de un cultivador de palma de aceite.

▪ Modelar la utilidad de un productor pequeño de fruto de aceite de palma ya establecido, en su etapa de producción, en condiciones de incertidumbre a partir del proceso estocástico que describe los retornos del fruto de la palma de aceite en Colombia.

▪ Comparar la utilidad de un productor pequeño de fruto de aceite de palma ya establecido, en su etapa de producción, en condiciones estáticas, con la utilidad dada por la opción real que incluye la flexibilidad derivada de la posibilidad de asociación.

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3. FUNDAMENTO TEÓRICO

3.1.

Valor presente neto Tradicionalmente los proyectos de inversión han sido valorados a través del método por el

cual se descuentan los flujos de caja que generará el proyecto trayéndolos a valor presente con una tasa de descuento escogida por el inversionista. Cualquier valoración inicia con la estimación de los costos e ingresos netos de las fases de desarrollo y producción a través del ciclo de vida del proyecto. Debido al valor del dinero en el tiempo, cada flujo de caja futuro es convertido a unidades monetarias de hoy y luego de restar el valor de la inversión inicial se obtiene el valor presente neto del proyecto en cero:

n

VPN = ∑ t=1

FCt −I (1 + r)t

ECUACIÓN 1.- VALOR PRESENTE NETO

Donde I es la inversión inicial, FCt es el valor del flujo de caja en el momento t y r es la tasa con la cual se descuentan los flujos de caja para convertirlos a valor presente la cual es propia del riesgo del proyecto. El principio del Valor Presente es el más utilizado en los métodos de valoración de proyectos y es la base para muchas herramientas de valoración. Si el valor presente neto del proyecto es mayor a cero el proyecto es considerado financieramente atractivo. Es decir que si el total de los valores presentes de los flujos de caja esperados en el proyecto es mayor que el costo de inversión, el proyecto se considera digno de inversión (Kodupula & Papudesu, 2006)

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Aunque este es el método más usado y difundido, el método del Valor Presente Neto presenta una serie de limitaciones que implican que en muchos casos se rechacen proyectos que podrían ser verdaderamente atractivos. Entre estas limitaciones se tienen: ✓ Se basa en una serie de supuestos fijos relacionados con los retornos del proyecto aun cuando dichos retornos son inciertos y probabilísticos. ✓ No toma en cuenta las decisiones contingentes disponibles y la flexibilidad gerencial para actuar en momentos de decisión. ✓ Asume solo el riesgo negativo sin tener en cuenta las oportunidades por lo cual es común rechazar proyectos con incertidumbre.

Es así como se ha desarrollado el método de las opciones reales el cual contempla la incertidumbre y la flexibilidad de los proyectos.

3.2.

Valoración con opciones reales Esta metodología de valoración de proyectos de inversión permite involucrar la flexibilidad

del proyecto en función de las decisiones gerenciales, la adaptación del proyecto a los cambios del mercado o su valor estratégico por lo que proyectos que posiblemente son rechazados con otros métodos de valoración, podrían llegar a ser muy rentables. (Boer, 2002) La flexibilidad de un proyecto de inversión se manifiesta en las posibilidades de ampliar a nuevos productos o mercados, de reducir el tamaño del proyecto o de ampliarlo, de abandonar el proyecto, de aplazar el comienzo del mismo, etc. (Trigeorgis, 1996) Una opción real se define como el derecho más no la obligación de tomar una acción (por ejemplo diferir, expandir, contraer o abandonar un proyecto) a un determinado costo, llamado

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costo del ejercicio, por un determinado periodo de tiempo, llamado la vida de la opción (Copeland & Antikarov, 2001). Así que en otras palabras una opción real es la posibilidad que tiene una organización o un proyecto de modificar, ampliar, reducir o incluso detener por completo su fuente convencional de beneficios realizando una inversión. Las opciones reales usan la teoría de valoración de las opciones financieras para valorar activos físicos o reales en vez de acciones o bonos por lo que en el siguiente capítulo se abordará la teoría de las opciones financieras

3.2.1 Opciones financieras Según la teoría una opción financiera es un contrato que da el derecho más no la obligación, de comprar o vender un activo subyacente, en un tiempo definido y por un monto determinado (Copeland & Antikarov, 2001). Texto tomado de (Moreno T, 2015): Existen varias clasificaciones para las opciones financieras, entre ellas se encuentran las opciones Call, que otorgan el derecho a comprar y las opciones Put a vender. También se encuentran las opciones Americanas, que se pueden ejercer en cualquier momento antes del vencimiento del contrato; las opciones Europeas, que se ejercen únicamente al vencimiento del contrato y las opciones Bermuda que tienen fechas específicas para ser ejercidas. Las opciones financieras tienen diferentes usos entre los que se encuentran la cobertura de riesgo, la especulación y el arbitraje y en cualquiera de estos casos resulta importante determinar en qué situación se presentan ganancias y en qué situación se presentan pérdidas.

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Existe una representación gráfica que permite observar el comportamiento de las ganancias y pérdidas de las opciones llamada perfil de pago o pay-off. Considerando que se tiene una opción call europea de un subyacente con precio S0 al inicio del contrato (en el tiempo t = 0), si el precio del ejercicio (precio en el cual se ejerce la compra de la opción) es K, entonces en el vencimiento (T) de la opción el poseedor se enfrenta a 2 escenarios: En el primero el precio del subyacente es menor que K por lo cual no ejercería su derecho a comprar ya que estaría pagando un mayor valor que el del mercado. En el otro escenario el precio del activo subyacente en el mercado es mayor que K por lo que el poseedor ejerce su derecho a comprar el activo por el valor K obteniendo una utilidad. Entonces el perfil de pago de una opción call europea se representa de la siguiente manera:

Pay off

K

St

FIGURA 1.- PERFIL DE PAGO DE UNA POSICIÓN LARGA EN UNA OPCIÓN CALL EUROPEA

Y la expresión analítica que define el valor de la opción de compra al vencimiento para el poseedor de la opción estaría dada por:

max{St − K; 0} ECUACIÓN 2.- PAY-OFF DE UNA POSICIÓN LARGA EN UNA CALL EUROPEA

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Entonces de igual manera se deduce que la expresión analítica que define el valor de una opción de venta o put europea para el poseedor es:

max{K − St ; 0} ECUACIÓN 3.- PAY-OFF DE UNA POSICIÓN LARGA EN UNA OPCIÓN PUT EUROPEA

Y su perfil de pago corresponde a:

Pay off

K

St

FIGURA 2.- PERFIL DE PAGO DE UNA POSICIÓN LARGA EN UNA OPCIÓN PUT EUROPEA

Construyendo el perfil de pago del vendedor (posición larga) de una opción call, se tiene que la opción será ejercida por el tomador si el precio del subyacente en el mercado es mayor al precio del ejercicio K lo cual le generaría pérdidas al vendedor. En este caso la expresión analítica sería:

mín{−(St − K); 0}

ECUACIÓN 4.- PAY-OFF DE UNA POSICIÓN CORTA EN UNA CALL EUROPEA

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Y la representación gráfica del perfil de pago corresponde a: Pay off

K

St

FIGURA 3.- PERFIL DE PAGO DE UNA POSICIÓN CORTA EN UNA OPCIÓN CALL EUROPEA

Pay off

K

St

FIGURA 4.- PERFIL DE PAGO DE UNA POSICIÓN CORTA EN UNA OPCIÓN PUT EUROPEA

3.2.2. Valoración de las opciones financieras Dado que el precio del subyacente será desconocido tanto para el vendedor como para el tomador de la opción en cualquier tiempo futuro a partir del momento en el cual se negocia la opción, existe un riesgo de pérdida para ambas partes. En el caso de una opción Call la pérdida máxima para el tomador, que es quién compra la opción y tiene el derecho a ejercerla si las condiciones de mercado le favorecen, se limita a la prima pagada al vendedor por el derecho de ejercer la opción. Sin embargo la pérdida del vendedor, que está obligado a vender el activo subyacente, puede llegar a ser infinita por lo que este tratará de disminuir su riesgo de pérdida con

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la prima cobrada al tomador. Entonces una de las situaciones centrales de las opciones financieras radica en determinar el valor de dicha prima, lo que en finanzas es una expresión del problema de valorar activos contingentes ya que su valor futuro depende de condiciones inciertas. Entonces incluyendo el valor de la prima en los perfiles de pago se obtiene: Posición del tomador en una call Europea incluyendo el valor de la prima: Pay off

K

St

FIGURA 5.- PERFIL DE PAGO CON PRIMA DE UNA POSICIÓN LARGA EN UNA OPCIÓN CALL EUROPEA

𝑚𝑎𝑥{𝑆𝑡 − 𝐾 − 𝐶𝑒 ; −𝐶𝑒 } ECUACIÓN 5.- PAY-OFF CON PRIMA DE UNA POSICIÓN LARGA EN UNA OPCIÓN CALL EUROPEA Posición del tomador en una opción put europea incluyendo el valor de la prima: Pay off

K

St

FIGURA 6.- PERFIL DE PAGO CON PRIMA DE UNA POSICIÓN LARGA EN UNA OPCIÓN PUT EUROPEA

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𝑚𝑎𝑥{𝐾 − 𝑆𝑡 − 𝑃𝑒 ; −𝑃𝑒 }

ECUACIÓN 6: PAY-OFF CON PRIMA DE UNA POSICIÓN LARGA EN UNA OPCIÓN PUT EUROPEA

Posición del vendedor en una opción call europea incluyendo el valor de la prima: Pay off

K

St

FIGURA 7.- PERFIL DE PAGO CON PRIMA DE UNA POSICIÓN CORTA EN UNA OPCIÓN CALL EUROPEA

𝑚í𝑛{−(𝑆𝑡 − 𝐾) + 𝐶𝑒 ; 𝐶𝑒 } ECUACIÓN 7.- PAY-OFF CON PRIMA DE UNA POSICIÓN CORTA EN UNA OPCIÓN CALL EUROPEA

Posición del vendedor en una opción put europea incluyendo el valor de la prima: Pay off

K

St

FIGURA 8.- PERFIL DE PAGO CON PRIMA DE UNA POSICIÓN CORTA EN UNA OPCIÓN PUT EUROPEA

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𝑚í𝑛{−(𝐾 − 𝑆𝑡 ) + 𝑃𝑒 ; 𝑃𝑒 } ECUACIÓN 8.- PAY-OFF CON PRIMA DE UNA POSICIÓN CORTA E UNA OPCIÓN PUT EUROPEA

En 1973 Fisher Black, Myron Scholes y Robert Merton presentaron una fórmula que, con algunos supuestos, permite calcular el valor de la prima para opciones call y put europeas en tiempo continuo.

3.2.3. Arbitraje y ley de único precio Uno de los supuestos del teorema de la valoración de activos contingentes es la ausencia de oportunidades de arbitraje. Una oportunidad de arbitraje es un activo (o combinación de activos), con valor inicial cero y cuyo precio en algún instante del tiempo futuro es no negativo en cualquier estado de la naturaleza (es decir, en cualquier potencial escenario), y es estrictamente positivo en algún estado de la naturaleza. De esta forma si detonamos por ht al valor en t de una estrategia u oportunidad de arbitraje se tiene que: ℎ0 = 0 ; 𝑃[ℎ𝑡 ≥ 0] = 1 ; 𝑃[ℎ𝑡 > 0] > 0 Así que como consecuencia de asumir que los mercados son libres de oportunidades se tiene el siguiente resultado conocido como ley de único precio:

Teorema 1 - Ley de único precio: Consideremos 2 activos A y B con precios 𝑆0𝐴 ≥ 0 y 𝑆0𝐵 ≥ 0 en t = 0, negociados en un mercado libre de oportunidades de arbitraje. Si en algún 𝑇 ≥ 0, 𝑆𝑇𝐴 = 𝑆𝑇𝐵 en todos los estados de la naturaleza, entonces 𝑆0𝐴 = 𝑆0𝐵 .

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Demostración 1: Sin pérdida de generalidad asumimos que 𝑆0𝐴 > 𝑆0𝐵 . En este escenario podemos construir el siguiente portafolio h0 en t = 0. •

Realizamos una venta en corto del activo A, es decir, lo tomamos prestado hoy y lo vendemos por 𝑆0𝐴 , con el compromiso de devolverlo en t = T.

•

Con el monto recibido por la venta de A, compramos el activo B. Esta operación nos deja la diferencia positiva (𝑆0𝐴 − 𝑆0𝐵 ) que puede ser invertida a la tasa libre de riesgo del mercado (rf).

En el instante t = T se debe cumplir con la obligación de la venta en corto, de forma que hT es: •

Vendemos el activo B por 𝑆𝑇𝐵 .

•

Compramos el activo A por 𝑆𝑇𝐴 con el dinero recibido por la venta de B, cantidades que por la hipótesis del teorema deben ser iguales.

•

Recibimos la cantidad (𝑆0𝐴 − 𝑆0𝐵 )(1 + 𝑟𝑓 ), producto de la inversión a la tasa libre de riesgo

3.2.4 Cotas del arbitraje Antes de presentar los modelos para la determinación de la prima de las opciones es necesario establecer unos límites o cotas para el valor de estas primas. El principal argumento para la determinación de estas cotas es la ausencia de oportunidades de arbitraje. En adelante se notará 𝐶𝐸 como la prima de una opción call Europea, 𝑃𝐸 la prima de una opción put Europea, 𝐶𝐴 la prima de una opción call Americana y 𝑃𝐴 como la prima de una opción put Americana.

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Paridad put-call Si se consideran opciones put y call Europeas, pactadas sobre un mismo activo subyacente, que no paga dividendos, las dos con igual precio de ejercicio (k) e igual tiempo de maduración (T) se tiene que: 𝐶𝐸 − 𝑃𝐸 = 𝑆0 − 𝐾𝑒 −𝑟𝑓 𝑇 ECUACIÓN 9: PARIDAD PUT-CALL

Demostración 2: •

Si 𝐶𝐸 − 𝑃𝐸 > 𝑆0 − 𝐾𝑒 −𝑟𝑓 𝑇 , la estrategia de arbitraje es:

✓ En t=0 - Vender una opción call por 𝐶𝐸 - Comprar una opción put por 𝑃𝐸 - Comprar el activo subyacente por 𝑆0 - Invertir o tomar prestado, 𝐶𝐸 − 𝑃𝐸 − 𝑆0 a la tasa 𝑟𝑓 hasta el instante t

✓ En t=T - Recibir o pagar (𝐶𝐸 − P𝐸 − 𝑆0 )𝑒 𝑟𝑓 𝑇 - Se tienen los casos: Call Put Total

𝑆𝑇 > 𝐾 Vender por un valor K 0 K

𝑆𝑇 ≤ 𝐾 0 Vender por un valor K K

En total se tiene (𝐶𝐸 − 𝑃𝐸 − 𝑆0 )𝑒 𝑟𝑓 𝑇 + 𝐾 > 0, por el supuesto inicial

25

•

En el caso en el que 𝐶𝐸 − 𝑃𝐸 < 𝑆0 − 𝐾𝑒 −𝑟𝑓 𝑇 , la estrategia de arbitraje es:

✓ En t=0 - Comprar una opción call por 𝐶𝐸 - Vender una opción put por 𝑃𝐸 - Vender en corto el activo subyacente recibiendo 𝑆0 - Invertir o tomar prestado, 𝑃𝐸 − 𝐶𝐸 + 𝑆0 a la tasa 𝑟𝑓 hasta el instante t

✓ En t=T - Recibir o pagar (𝑃𝐸 − 𝐶𝐸 + 𝑆0 )𝑒 𝑟𝑓 𝑇 - Se tienen los casos:

Call Put Total

𝑆𝑇 > 𝐾 Comprar por un valor K 0 -K

𝑆𝑇 ≤ 𝐾 0 Comprar por un valor K -K

En total se tiene (𝑃𝐸 − 𝐶𝐸 + 𝑆0 )𝑒 𝑟𝑓 𝑇 − 𝐾 > 0, por el supuesto inicial

Nota 2. Si el activo sobre el cual son pactadas las opciones paga un dividendo 𝐷𝑇 en algún instante t ente 0 y T, entonces la paridad se escribe como:

𝐶𝐸 − 𝑃𝐸 = 𝑆0 − 𝐷𝑡 − 𝐾𝑒 −𝑟𝑓 𝑇 ECUACIÓN 10.- PARIDAD PUT-CALL CON DIVIDENDOS

Y si los dividendos son pagados continuamente a una tasa q entonces:

26

𝐶𝐸 − 𝑃𝐸 = 𝑆0 𝑒 −𝑞𝑇 − 𝐾𝑒 −𝑟𝑓 𝑇 ECUACIÓN 11.- PARIDAD PUT-CALL CON DIVIDENDOS CONTINUOS

Desigualdades put-call en el caso de opciones americanas Si se consideran opciones put y call americanas, pactadas sobre un mismo subyacente que no paga dividendos, con igual fecha de maduración (T) y precio de ejercicio (K), se tiene que las primas de estas opciones cumplen que : 𝑆0 − 𝐾𝑒 −𝑟𝑓 𝑇 ≥ 𝐶𝐴 − 𝑃𝐴 ≥ 𝑆0 − 𝐾 Cuya demostración se puede consultar en (Moreno T, 2015)

Cotas básicas ▪

𝐶𝐸 ≤ 𝐶𝐴 y 𝑃𝐸 ≤ 𝑃𝐴 , para opciones sobre el mismo subyacente, con igual precio de ejercicio K e igual fecha de maduración T.

▪

𝐶𝐸 ≥ 0; 𝑃𝐸 ≥ 0; 𝐶𝐴 ≥ 0; 𝑃𝐴 ≥ 0

▪

𝐶𝐸 < 𝑆0

Cuyas demostraciones también se pueden consultar en (Moreno T, 2015) Las cotas básicas para opciones europeas se pueden resumir mediante las siguientes expresiones:

𝑚á𝑥{0; 𝑆0 − 𝐾𝑒 −𝑟𝑓 𝑇 } ≤ 𝐶𝐸 ≤ 𝑆0 ECUACIÓN 12.- COTA PARA UNA OPCIÓN CALL EUROPEA

𝑚á𝑥{0; −𝑆0 + 𝐾𝑒 −𝑟𝑓 𝑇 } ≤ 𝑃𝐸 ≤ 𝐾𝑒 −𝑟𝑓 𝑇 ECUACIÓN 13.- COTA PARA UNA OPCIÓN PUT EUROPEA

27

Cuya representación se muestra en la siguiente figura:

CE

−𝐾𝑒 −𝑟𝑓 𝑇

So

FIGURA 9.- COTAS PARA OPCIONES EUROPEAS (A)

−𝐾𝑒 −𝑟𝑓 𝑇

PE

So

FIGURA 10.- COTAS PARA OPCIONES EUROPEAS (B)

28

3.2.5 Modelo de valoración Como se comentó en el apartado 3.2, el valor de la opción real expresa el valor de la flexibilidad del proyecto en los instantes futuros por lo que también debe contemplar la incertidumbre del precio del subyacente. Existen varios modelos para valorar las opciones reales y en general su uso depende de cada situación particular. El uso de estos métodos involucra criterios como el comportamiento del precio del subyacente y la periodicidad del proyecto en la generación de flujos de caja. Entonces para valorar una opción real se puede usar el modelo binomial para tiempo discreto o el modelo para tiempo continuo según sea el caso. Dado que en la situación específica del cultivo de palma de aceite un cultivador podría tomar la decisión de asociarse en cualquier momento del tiempo 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇, se abordará el modelo en continuo.

Movimiento Browniano y procesos asociados El primer paso para realizar la valoración de derivados financieros en tiempo continuo es la elaboración del modelo que describa el comportamiento del precio del activo subyacente a dichos derivados. Para lo anterior es necesario considerar que el precio de los activos sigue un movimiento Browniano geométrico.

Proceso estocástico Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias indexadas en algún conjunto 𝐼, {𝑋𝑡 }𝑡∈𝐼 , donde el conjunto 𝐼 por lo general representa tiempo.

Considerando por ejemplo los posibles precios que puede tomar un activo a lo largo de un mes, si se denota por 𝑆𝑡 al precio del activo en el instante t, entonces {𝑆𝑡 }𝑡≥0 es el proceso estocástico que representa el precio del activo.

29

Un proceso estocástico muy asociado a la modelación del precio de activos es la caminata aleatoria simétrica. Este proceso se define a partir de una variable aleatoria discreta 𝑋𝑗 , con posibles valores 1 o -1, ambos con probabilidad de ocurrencia de ½ (considere que el valor que tome depende del resultado de lanzar una moneda).

Partiendo de esta variable, la caminata aleatoria simétrica es un proceso estocástico {𝑀𝑛 } definido como: 𝑛

𝑀𝑛 = ∑ 𝑋𝑗 ;

𝑀0 = 0

𝑗=1

ECUACIÓN 14.- CAMINATA ALEATORIA GEOMÉTRICA

La siguiente figura representa una posible trayectoria de la caminata aleatoria considerando 500 realizaciones de la variable 𝑋𝑗 (500 lanzamientos de la moneda).

35 30 25 20 15 10 5

-5

1 19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253 271 289 307 325 343 361 379 397 415 433 451 469 487

0

-10

-15 -20

FIGURA 11.-TRAYECTORIA CAMINATA ALEATORIA SIMÉTRICA

30

Sobre la caminata aleatoria (𝑀𝑛 ) podemos observar que: 1. El valor esperado de la caminata es cero: 𝑛

𝑛

𝐸[𝑀𝑛 ] = 𝐸 [∑ 𝑋𝑗 ] = ∑ 𝐸[𝑋𝑗 ] = 0 𝐽=1

𝐽=1

2. La varianza de la caminata hasta el instante n es igual a n 𝑛

𝑛

𝑛

𝑉[𝑀𝑛 ] = 𝑉 [∑ 𝑉[𝑋𝑗 ]] = ∑ 𝑉[𝑋𝑗 ] = ∑ 1 = 𝑛 𝐽=1

𝐽=1

𝐽=1

3. Los resultados anteriores se tienen también para incrementos de la caminata aleatoria.

Definiendo el incremento o cambio de la caminata entre los instantes t y s como (𝑀𝑡 − 𝑀𝑠 ) se puede ver que:

𝐸[(𝑀𝑡 − 𝑀𝑠 )] = 0;

𝑉[(𝑀𝑡 − 𝑀𝑠 )] = 𝑡 − 𝑠

El movimiento Browniano es un proceso estocástico {𝑊𝑡 }𝑡≥0 , muy utilizado en finanzas y en otras áreas del conocimiento (particularmente en la física, donde es propuesto originalmente para describir el movimiento de partículas) y puede definirse a partir de la caminata aleatoria como:

𝑊𝑡 = 𝑙𝑖𝑚

1

𝑛→∞ √𝑛

𝑀𝑛𝑡

Otra forma equivalente en la cual se puede definir el movimiento Browniano es la siguiente: Un proceso estocástico 𝑊𝑡 se denomina movimiento Browniano estándar si: 1. 𝑊0 = 0 2. Las trayectorias del proceso son continuas en el tiempo

31

3. Los incrementos del proceso son independientes, es decir, dados los instantes 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑢 ≤ 𝑣, se tiene que (𝑊𝑡 − 𝑊𝑠 ) es independiente de (𝑊𝑣 − 𝑊𝑢 ). 4. Para 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 se tiene que (𝑊𝑡 − 𝑊𝑠 )~𝑁(0, 𝑡 − 𝑠)

Si

se

denota

el

cambio

diferencial

del

proceso

como

𝑑𝑊𝑡 = (𝑊𝑡+𝑑𝑡 − 𝑊𝑡 ) ,

entonces 𝑑𝑊𝑡 ~ 𝑁(0, 𝑑𝑡)

Nota: dado que la notación 𝑑[. ] se utiliza en este caso para el diferencial de una determinada función o proceso, se puede demostrar que se cumple la siguiente ley de multiplicación entre diferenciales: 𝑑𝑊𝑡 𝑑𝑊𝑡 = 𝑑𝑡,

𝑑𝑡𝑑𝑡 = 0,

𝑑𝑊𝑡 𝑑𝑡 = 0

Movimiento browniano Existen muchos procesos estocásticos en cuya definición el movimiento Browniano juega un papel principal. Dos de estos procesos, que son relevantes en la modelación financiera son: el movimiento Browniano aritmético o con tendencia y el movimiento Browniano geométrico.

Un proceso estocástico 𝑋𝑡 se dice un movimiento Browniano si se tiene que:

𝑋𝑡= 𝜇𝑡 + 𝜎𝑊𝑡 ECUACIÓN 15.- MOVIMIENTO BROWNIANO ARITMÉTICO

32

Con 𝜇 y 𝜎 constantes. En este caso el proceso sigue un componente de tendencia lineal 𝜇𝑡 y presenta fluctuaciones aleatorias sobre este componente, representadas por el movimiento Browniano 𝑊𝑡 , y ponderadas por el valor de 𝜎.

Browniano con tendencia 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2

-0,2

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101

0

E[Xt]

Xt

FIGURA 12.- TRAYECTORIA DEL BROWNIANO ARITMÉTICO CON 𝝁 = 𝟏 Y 𝝈 = 𝟎, 𝟒

Este tipo de procesos son utilizados frecuentemente para modelar el comportamiento de los retornos de un activo a lo largo del tiempo. Un proceso estocástico 𝑋𝑡 se dice un movimiento Browniano geométrico si se tiene que:

𝑋𝑡 = 𝑒𝑥𝑝{𝜇𝑡 + 𝜎𝑊𝑡 } ECUACIÓN 16.- MOVIMIENTO BROWNIANO GEOMÉTRICO

Con 𝜇 y 𝜎 constantes. En este caso el proceso es el exponencial de un Browniano aritmético, lo que lo hace ideal para representar precio de los activos, ya que no toma valores negativos. La siguiente figura representa una posible trayectoria de este proceso.

33

Movimiento Browniano geométrico 3,5 3

2,5 2 1,5 1 0,5

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101

0

FIGURA 13.- TRAYECTORIA DEL BROWNIANO GEOMÉTRICO CON 𝝁 = 𝟏 Y 𝝈 = 𝟎, 𝟔

El modelo Black –Scholes-Merton Este modelo de valoración, desarrollado por Fisher Black, Myron Scholes y Robert Merton en 1973, está fundamentado en los siguientes supuestos: 1. Las negociaciones transcurren de forma continua en el intervalo [0, 𝑇] 2. El mercado es libre de fricciones 3. Existe en el mercado un activo libre de riesgo al cual se asocia una tasa constante y conocida 𝑟𝑓 , que es igual para invertir o tomar prestado. El valor de este activo es descrito por la expresión: 𝐵𝑡 = 𝐵0 𝑒 𝑟𝑓 𝑡 ;

𝑡 ∈ [0, 𝑇]

ECUACIÓN 17.- VALOR DE UN ACTIVO LIBRE DE RIESGO

4. Existen en el mercado activos riesgosos cuyo precio satisface la ecuación diferencial estocástica:

34

𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 ECUACIÓN 18: VALOR DE ACTIVOS RIESGOSOS

Con 𝜇 y 𝜎 constantes y conocidas, con 𝜎 > 0 y 𝑊𝑡 un movimiento Browniano estándar. 𝜇 representa la tasa instantánea de retorno del activo y 𝜎 su volatilidad instantánea. Por la aplicación de la fórmula de Itô se puede concluir que: 1 𝑆𝑡 = 𝑆0 𝑒𝑥𝑝 {(𝜇 − 𝜎 2 ) 𝑡 + 𝜎𝑊𝑡 } 2 ECUACIÓN 19.- APLICACIÓN DE LA FÓRMULA DE ITÔ

5. El mercado es libre de oportunidades de arbitraje, lo que en este caso se garantiza imponiendo la condición de que el precio de los activos sea Martingala1.

Bajo la consideración de estos supuestos se tiene que: ▪

El retorno logarítmico del activo riesgoso es: 𝑆𝑡 𝜎2 𝑙𝑛 ( ) = (𝜇 − ) 𝑡 + 𝜎𝑊𝑡 𝑆0 2

▪

𝐸[𝑆𝑡 ] = 𝑆0 𝑒 𝜇t

▪

𝑉[𝑆𝑡 ] = 𝑆02 𝑒 2𝜇𝑡 (𝑒 𝜎 𝑡 − 1)

2

La fórmula de Black-Scholes-Merton

1

Un proceso estocástico 𝑋𝑡 se dice que es una Martingala si el valor esperado del proyecto en algún momento futuro, dada la información hasta hoy, es igual al valor del proceso hoy

35

Bajo los supuestos anteriores, y considerando el principio de valoración por replicación, se tiene que el valor en el instante t de un derivado pactado sobre el activo riesgoso está determinado por: 𝑉𝑡 = 𝑒 −𝑟𝑓 𝑡(𝑇−𝑡) 𝐸 𝑄 [𝑉𝑡 ] ECUACIÓN 20.- FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES-MERTON

Aplicando este resultado al caso de una opción call Europea con vencimiento en T y precio de ejercicio K, se tiene que el valor de la prima de la opción está determinado por: 𝐶𝐸 = 𝑒 −𝑟𝑓 (𝑇) 𝐸 𝑄 [𝑚𝑎𝑥{𝑆𝑇 − 𝐾, 0}]

1

Donde 𝑆𝑇 = 𝑆0 𝑒𝑥𝑝 {(𝑟𝑓 − 2 𝜎 2 ) 𝑑𝑡 + 𝜎𝑊𝑡 } Al desarrollar esta expresión se llega a la fórmula de Black-Scholes-Merton de valoración de opciones call europeas: 𝐶𝐸 = 𝑆0 𝑁(𝑑1 ) − 𝐾𝑒 −𝑟𝑓 𝑇 𝑁(𝑑2 ) ECUACIÓN 21.- FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES-MERTON PARA EL VALOR DE LA PRIMA EN UNA OPCIÓN CALL EUROPEA

Con

𝑑1 =

𝑆 𝜎2 𝑙𝑛 ( 𝐾0 ) + (𝑟𝑓 + 2 ) 𝑇 𝜎√𝑇

; 𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎√𝑇 =

𝑆 𝜎2 𝑙𝑛 ( 𝐾0 ) + (𝑟𝑓 − 2 ) 𝑇 𝜎√𝑇

ECUACIÓN 22.- CONSTANTES D1 Y D2 EN LA FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES-MERTON

Donde N(x) denota el valor de la distribución estándar acumulada hasta el valor x. Para el caso de una opción put europea con vencimiento en T y precio de ejercicio K se tiene que:

36

𝑃𝐸 = 𝐾𝑒 −𝑟𝑓 𝑇 𝑁(−𝑑2 ) − 𝑆0 𝑁(−𝑑1 ) ECUACIÓN 23.- FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES-MERTON PARA EL VALOR DE LA PRIMA EN UNA OPCIÓN PUT EUROPEA

Si el activo subyacente a la opción paga dividendos a una tasa compuesta continuamente 𝑦, se tiene que: 𝐶𝐸 = 𝑆0 𝑒 −𝑦𝑇 𝑁(𝑑1 ) − 𝐾𝑒 −𝑟𝑓 𝑇 𝑁(𝑑2 ) ECUACIÓN 24.- FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES-MERTON PARA EL VALOR DE LA PRIMA EN UNA OPCIÓN CALL EUROPEA CON PAGO DE DIVIDENDOS EN CONTINUO

Con

𝑑1 =

𝑆 𝜎2 𝐿𝑛 ( 𝐾0 ) + (𝑟𝑓 − 𝑦 + 2 ) 𝑇 𝜎√𝑇

; 𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎√𝑇

ECUACIÓN 25. CONSTANTES D1 Y D2 EN LA FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES-MERTON PARA PAGO DE DIVIDENDOS EN CONTINUO

3.3.

Comportamiento del precio del subyacente Para determinar el valor de las opciones reales se deben modelar las variables de las cuales

dependen y específicamente en la valoración del cultivo de palma será necesario determinar el comportamiento del precio del fruto de la palma.

En general se encuentran comportamientos discretos y continuos para la modelación de las variables (Frache & Katz):

37

3.3.1. Comportamiento discreto con árboles binomiales De entre los métodos de valoración de opciones reales existentes, el binomial es el más intuitivo y el que utiliza unos cálculos matemáticos más sencillos. Esto es importante porque la aplicabilidad de las opciones reales descansa fundamentalmente en que los directivos y empresarios entiendan perfectamente cómo el método obtiene el valor para poder así confiar en sus resultados. (Mascareñas, 2015) Éste método de valoración de opciones financieras realiza sus cálculos en tiempo discreto, con la vista puesta en la valoración de opciones sobre acciones pero que, sin embargo, es perfecto para valorar opciones reales (Cox, Ross, & Rubinstein, 1979). Para ver cómo funciona nada mejor que comenzar valorando una opción de compra sobre una acción que no reparte dividendos y cuyo plazo es un año. Dado que el modelo que se aplicará es de tipo continuo, no se abordará en este documento el detalle del comportamiento de activos subyacentes en discreto.

3.3.2. Comportamiento continuo con procesos estocásticos Una variable aleatoria X es una función definida sobre el espacio muestral  que asigna a cada  ∈  un único número real x(). X = (x1, x2,…xn) es un vector aleatorio n-dimensional si sus componentes son variables aleatorias. Un proceso estocástico en continuo, {xt}t≥0, es una colección de variables aleatorias definidas en , donde xt representa el valor del objeto descrito por el proceso en el momento t. Una trayectoria muestral es una posible realización de la evolución del proceso en el tiempo; puede concebirse como el equivalente al concepto de serie de tiempo para las realizaciones de procesos estocásticos en tiempo discreto. El espacio muestral  es el conjunto de todas las trayectorias muestrales.

38

Los agentes en los mercados financieros pueden operar virtualmente en cualquier momento del tiempo. En realidad debido a consideraciones prácticas (los mercados están “abiertos” todo el tiempo) y a la existencia de costos de transacción, ningún inversor realizará transacciones continuamente. No obstante, dado un número suficientemente grande de agentes, habrá transacciones prácticamente en todo momento, por lo que los precios de los instrumentos y las tasas de interés variarán casi continuamente. Por esto los modelos dinámicos de la estructura temporal de los tipos de interés suelen adoptar el supuesto de que las transacciones financieras ocurren continuamente, recurriendo entonces a procesos estocásticos en tiempo continuo para dar cuenta de la evolución de las variables de estado. Asumiendo que todas las variables aleatorias xt toman valores en el mismo conjunto S, denominado el espacio de estados del proceso. Más rigurosamente, S es el conjunto más pequeño con la propiedad de que P {xt ∈ S} = 1 ∀ t. Si S ⊆ IR, estaremos ante un espacio unidimensional. Si S es un subconjunto de IRn, se tratará de un proceso n-dimensional, que puede concebirse como un vector de n procesos unidimensionales. En tanto se consideran medidas de probabilidad equivalentes, el espacio de estados no se verá afectado por cambios en la medida de probabilidad. A medida que transcurre el tiempo, se observa la evolución del objeto descrito por el proceso estocástico. En cualquier momento del tiempo t’, los valores previos {xt} t ∈ [0, t’) donde xt ∈ S, serán conocidos. Estos valores constituyen la historia del proceso hasta el momento t’; los valores futuros son estocásticos. Conforme pasa el tiempo, además, será posible revisar las experiencias acerca de los valores futuros del proceso o, más precisamente, revisar la distribución de probabilidad que se atribuyó al valor del proceso {xt} t ≥ 0 en cualquier punto futuro del tiempo.

39

Situándose en el momento t, y considerando el valor del proceso en algún momento futuro u> t. La distribución del valor xu está caracterizada por las probabilidades P(xu ∈ A) para subconjuntos A medibles del espacio de estados S. (Frache, Serafín; Katz, Gabriel, 2013)

3.4.

Valoración por Montecarlo El problema de la valoración de un derivado financiero puede ser resuelto mediante el

cálculo del valor esperado del flujo de caja que promete generar este activo en algún momento futuro, bajo una medida de riesgo neutral.

𝑉𝑡 = 𝑒 −𝑟𝑓 (𝑇−𝑡) 𝐸 𝑄 [𝑉𝑡 ] ECUACIÓN 26. VALORACIÓN DE UN DERIVADO FINANCIERO

Entonces se puede utilizar el método de Montecarlo para valorar el derivado, aproximando el valor esperado correspondiente mediante el promedio de los valores del flujo de caja descontado para cada valor simulado. En este caso la variable a simular es 𝑉𝑡 , expresión que para el caso de las opciones resulta ser una función del precio del activo subyacente 𝑆𝑡 , lo que significa que la variable a simular debe ser el precio del activo subyacente. Con anterioridad se presentó el modelo clásico para describir el precio de activos riesgosos, asumiendo que estos precios siguen un movimiento Browniano geométrico. Continuando con el modelo, los cambios en el precio del activo subyacente, bajo riesgo neutral, pueden ser descritos mediante la siguiente ecuación diferencial estocástica:

40

𝑑𝑆𝑡 = 𝑟𝑓 𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡 ECUACIÓN 27. CAMBIOS EN EL PRECIO DEL ACTIVO SUBYACENTE

O mediante su solución para un instante de tiempo fijo:

1 𝑆𝑡 = 𝑆0 𝑒𝑥𝑝 {(𝑟𝑓 − 𝜎 2 ) 𝑡 + 𝜎𝑊𝑡 } 2 ECUACIÓN 28. SOLUCIÓN DE LOS CAMBIOS DE PRECIO DE UN ACTIVO SUBYACENTE PARA UN INSTANTE DE TIEMPO FIJO

En las expresiones 28 y 29 se observa que la única variable aleatoria a simular es 𝑑𝑊𝑡 o 𝑊𝑡 respectivamente (esto para estos modelos básicos), y como 𝑑𝑊𝑡 ~𝑁(0, 𝑑𝑡), se puede usar para su simulación una variable aleatoria 𝑍~𝑁(0, 1), de forma que:

𝑑𝑊𝑡 = √𝑑𝑡𝑍 Donde la igualdad es en distribución. De esta forma utilizando una aproximación de Euler, la expresión 29 puede escribirse como: 𝑆𝑡+𝑑𝑡 − 𝑆𝑡 = 𝑟𝑓 𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 √𝑑𝑡𝑍 ; 𝑍~𝑁(0, 1)

De donde, 𝑆𝑡+𝑑𝑡 = 𝑆𝑡 + 𝑟𝑓 𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 √𝑑𝑡𝑍 ; 𝑍~𝑁(0, 1) ECUACIÓN 29. PRECIO DEL ACTIVO SUBYACENTE EN EL TIEMPO T + DT

Expresión que muestra como simular el precio del activo en el instante 𝑡 + 𝑑𝑡 a partir de su precio en el instante 𝑡.

41

De forma análoga la expresión 31 muestra como simular el precio en el instante 𝑡 a partir de su precio en el instante 0. 1 𝑆𝑡 = 𝑆0 𝑒𝑥𝑝 {(𝑟𝑓 − 𝜎 2 ) 𝑡 + 𝜎√𝑡𝑍} ; 𝑍~𝑁(0, 1) 2 ECUACIÓN 30. PRECIO DEL ACTIVO SUBYACENTE EN EL INSTANTE T A PARTIR DE SU PRECIO EN EL INSTANTE 0

Una vez que se tiene la expresión para el cálculo del precio del activo subyacente, el procedimiento de valoración sigue los pasos mostrados en la sección anterior para el cálculo de la integral (valor esperado). Este procedimiento de valoración puede ser aplicado a una amplia variedad de productos derivados, convirtiéndolo en una alternativa sencilla y eficiente para la estimación del valor de algunos tipos de derivados exóticos.

3.5.

Equivalencia entre opciones financieras y opciones reales La posibilidad de realizar un proyecto de inversión tiene grandes similitudes con la toma

de posición en las opciones financieras sobre activos subyacentes. Esto se tiene porque los dos casos implican el derecho más no la obligación de adquirir un activo (flujo de caja) pagando (invirtiendo) una cierta cantidad en un momento determinado. Como se expuso en capítulos anteriores muchos proyectos tienen flexibilidades (opciones) que de ser ejercidas por el administrador implicarán un incremento en los flujos de caja generados, y por ende, la existencia de este tipo de flexibilidades debe alterar a valoración del proyecto. Estas opciones reales son valoradas mediante la implementación de las técnicas de valoración de opciones financieras expuestas en los capítulos anteriores, lo que implica considerar primero una

42

analogía entre las variables necesarias para la valoración de opciones financieras y las variables que serán consideradas para la valoración de opciones reales así:

CUADRO 1. ANALOGÍA ENTRE LAS OPCIONES FINANCIERAS Y LAS OPCIONES REALES Variable

3.6.

Opciones financieras

𝑆0

Precio actual del subyacente

𝐾 𝑇 𝜎 𝑟𝑓

Precio de ejercicio Fecha de vencimiento de la opción Volatilidad del precio del activo Tasa libre de riesgo

𝑦

Dividendos

Opciones reales Valor actual del flujo de caja que genera el proyecto Inversión asociada al proyecto Tiempo que está vigente la opción Volatilidad del flujo de caja Tasa libre de riesgo Flujos de caja a los cuales se tiene acceso si se ejerce la opción o a los cuales se renuncia si no se ejerce

Tipos de opciones reales Existen múltiples tipos de opciones reales según la flexibilidad del proyecto por lo que un

factor importante en la valoración es determinar el tipo de opción financiera que mejor se ajuste a la situación del proyecto, es decir, compra, venta, europea o americana.

3.6.1. Opción de ampliación o crecimiento de la inversión Si las condiciones resultan favorables, es posible que el administrador de un proyecto de inversión decida incrementar su posición en el proyecto con el ánimo de percibir flujos de caja mayores, incurriendo en un costo adicional (𝐾2 ). Esta posición es análoga a la adquisición de una opción de compra sobre una parte adicional del proyecto, con precio de ejercicio 𝐾2 . De esta forma, la oportunidad de inversión con la opción de ampliación incluida puede ser considerada como un proyecto con inversión inicial 𝐾1 más una opción de compra sobre una inversión futura.

43

Esta opción solo sería ejercida cuando el comportamiento futuro el mercado sea claramente favorable, y puede hacer que un proyecto con valor presente neto básico negativo, resulte con un valor positivo.

3.6.2. Opción de reducción o contracción La opción de reducir un proyecto de inversión proporciona al inversionista el derecho a renunciar a una parte del proyecto a cambio de un ahorro adicional, que sería el precio de ejercicio de la opción. Esto aplicará para el caso en el cual las condiciones de mercado no sean favorables, y el inversionista busque mantenerse en el proyecto pero disminuyendo en un porcentaje el desembolso inicialmente previsto. Estas opciones son análogas a opciones financieras de venta sobre un porcentaje del flujo de caja inicialmente previsto, con un precio de ejercicio igual al ahorro de los costes potenciales. Este tipo de opciones pueden resultar muy útiles en el caso de la introducción de nuevos productos en mercados inciertos.

3.6.3. Opción de diferimiento La opción de diferir un proyecto de inversión otorga a su poseedor el derecho a posponer durante un plazo de tiempo determinado la realización del proyecto. Este tipo de opción es más valiosa en proyectos en los cuales la empresa tiene derechos exclusivos para invertir, y va perdiendo su valor en la medida en que las barreras para la entrada de la competencia desaparecen. Es análoga una opción financiera de compra sobre los flujos de caja esperados del proyecto, con un precio de ejercicio igual a la inversión necesaria para realizar el proyecto en la fecha de vencimiento de la opción.

44

Debido a que la realización anticipada del proyecto implica renunciar a la opción de diferirlo, el valor de la opción actúa como coste de oportunidad, justificando la realización ya del proyecto sólo cuando el valor actual de los flujos de caja exceda el valor actual de la inversión en una cantidad mayor o igual al costo de la opción de diferimiento, es decir, cuando el VPN básico es mayor que el valor de la opción real de diferirlo.

3.6.4. Opción de abandono Esta opción otorga a su poseedor el derecho a vender, liquidar o cerrar un proyecto determinado a cambio de un precio. Este tipo de opciones aparecen con frecuencia en cierto tipo de negocios, por ejemplo, los inversionistas de riesgo cuando comprometen una determinada cantidad de dinero en una empresa, suelen hacerlo por etapas, lo que les permite mantener vigente la opción de abandonar el proyecto sin arriesgar la totalidad del capital cuando las condiciones no son favorables. Otro ejemplo son las empresas que buscan atraer a una mayor masa de clientes ofreciéndoles opciones de abandono de sus compromisos. Desde luego estas compañías tendrían que comparar los mayores ingresos con el valor de las opciones de abandono que les entregan a sus clientes.

3.6.5. Opción de cierre temporal Este es un tipo de opción asociada a la opción de abandono que se presentó en la sección anterior, pero en este caso el derecho que se otorga al poseedor es el de detener temporalmente la producción o servicio que se asocia al proyecto.

45

Este tipo de opciones son comunes en industrias como la de extracción de recursos naturales, las cuales tienen la característica particular de que se puede detener temporalmente la producción, cuando los ingresos son insuficientes para sostener la producción. De esta forma, el análisis de este tipo de opcionalidad implica considerar la posibilidad de una serie de cierres y reaperturas del proyecto, dependiendo de las condiciones del mercado, en particular, dependiendo del comportamiento del precio del activo asociado al proyecto. Así, las operaciones temporales pueden considerarse como opciones de compra americanas (bermudas) sobre los ingresos de un determinado periodo (𝐼𝑡 ), y cuyo precio de ejercicio son los costos variables operativos del periodo (𝐶𝑡 ).

3.6.6. Opción de selección u opción de escoger Este tipo de opciones dan a su poseedor el derecho a escoger entre diferentes estrategias como expandir, contraer o abandonar un proyecto. Su valoración se realiza por los métodos ya estudiados y comparando entre las diferentes estrategias para determinar aquella que genere mayor valor.

3.7.

Estimación de la volatilidad en opciones reales Como se puede apreciar de la teoría presentada en los capítulos anteriores, los modelos de

valoración de opciones reales están basados en considerar que la incertidumbre asociada al proyecto está reflejada en la variable flujo de caja (𝐹𝐶𝑡 ), y proponen diversos esquemas para representar esta variable. Un elemento crítico de esta aproximación es la estimación de la volatilidad asociada al valor estocástico del proyecto. En el caso de las opciones financieras existen diversas

46

aproximaciones al valor de la volatilidad del activo subyacente, que van desde modelos econométricos aplicados sobre series históricas de los precios o retornos de este activo, aproximaciones numéricas al valor de la volatilidad a partir de los valores de opciones negociadas en el mercado, en lo que se conoce como volatilidad implícita, hasta modelos estocásticos para describir la variable volatilidad, en lo que se conoce como modelos de dos factores. En el caso de las opciones reales, al no existir un mercado de proyectos, no se cuenta con información para la implementación de modelos como los anteriores en la estimación de la volatilidad. Copeland y Antikarov en 2001 presentan una aproximación a esta variable, basada en la idea de que el valor presente neto del proyecto sin opciones es el mejor estimador insesgado del valor de mercado del proyecto.

3.7.1. Modelo de Copeland-Antikarov El modelo de Copeland y Antikarov utiliza la simulación de Monte Carlo para estimar la volatilidad del proceso que describe el activo subyacente al proyecto (que es el flujo de caja sin considerar la opcionalidad), bajo el supuesto de que el proceso del flujo de caja sigue un movimiento Browniano geométrico, es decir:

𝑑𝐹𝐶𝑡 = 𝛼𝐹𝐶𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝐹 𝐹𝐶𝑡 𝑑𝑊𝑡 ECUACIÓN 31. COMPORTAMIENTO BROWNIANO CON TENDENCIA DEL FLUJO DE CAJA

Donde 𝛼 es el componente de tendencia del proceso (tasa media de retorno o tasa de crecimiento), 𝜎𝐹 es la v1olatilidad del flujo de caja y 𝑊𝑡 es el movimiento Browniano estándar.

47

El procedimiento inicia considerando el archivo pro-forma del proyecto, tomando el valor esperado de las variables inciertas, y calculando el valor presente del proyecto en el instante t = 0 (𝑉0). Las variables inciertas relevantes del proyecto se toman como elementos de entrada en la simulación del flujo de caja pro-forma. En cada simulación se calcula el flujo de caja y el valor de 𝑉0, y además se calcula el valor presente de los flujos de caja al final del periodo 1 (𝑉1). Se define entonces una variable aleatoria como el retorno logarítmico del proyecto en el primer periodo, es decir: 𝑉1 γ = 𝑙𝑛 ( ) 𝑉0 ECUACIÓN 32. RETORNO LOGARÍTMICO DEL PROYECTO EN EL PERIODO 1

Sobre la serie de valores simulados de la variable 𝛾 se calcula la desviación estándar (s) y se define la volatilidad del proyecto 𝜎 como el porcentaje anualizado de la desviación estándar de estos retornos calculado de la relación

𝑠 √𝛥𝑡

donde 𝛥𝑡 es la longitud del periodo de tiempo en años,

utilizado para el cálculo del flujo de caja en el formato pro-forma del proyecto. Considerando por ejemplo, un proyecto a 5 años, sujeto a una única fuente de incertidumbre en los ingresos, la cual es aproximada a un movimiento Browniano geométrico con tasa de crecimiento 𝛼 = 6% y una volatilidad 𝜎𝐹 = 25%. Los costos variables son iguales al 30% de los ingresos y los costos fijos son de 3.000 para cada uno de los 5 años del proyecto. La tasa de descuento ajustada por riesgo aplicable al proyecto es 𝜇 = 10%, y se estima un ingreso inicial (en el año cero) de 10.000. La inversión inicial necesaria es de 20.000. Los ingresos para los años 1 a 5 son calculados mediante la expresión: 𝐹𝐶𝑡+1 = 𝐹𝐶𝑡 ∗ 𝑒𝑥𝑝 {(𝛼 −

𝜎𝐹2 2

) 𝛥𝑡 + 𝜎𝐹 √𝛥𝑡𝑍} ; 𝑍~𝑁(0, 1)

48

4.

4.1.

DESARROLLO Y APLICACIÓN DEL MODELO

Análisis del precio del fruto de palma de aceite en Colombia Fedepalma, la Federación Nacional de Cultivadores de Palma de aceite, organización

creada en el año 1962, conformada por pequeños, medianos y grandes cultivadores y cuyo propósito es el de apoyar a los cultivadores en la defensa de sus intereses y el logro de la competitividad de la industria promoviendo el progreso y el bienestar, recopila y presenta información del sector a través de diferentes publicaciones. Es a través de esta organización que se tiene acceso a los datos históricos oficiales del precio de la tonelada de fruto de palma de aceite en Colombia. (Fedepalma, 2016). A continuación se muestra la gráfica de los datos del precio por tonelada, desde enero de 2001 hasta diciembre de 2013, presentados en el anexo 1. PRECIO MENSUAL DEL FRUTO (MILES DE PESOS/TON) $ 1.500

$ 1.300

$ 1.100

$ 900

$ 700

$ 500

$ 300

$ 100 01/10/2000 13/02/2002 28/06/2003 09/11/2004 24/03/2006 06/08/2007 18/12/2008 02/05/2010 14/09/2011 26/01/2013 10/06/2014

FIGURA 14. GRÁFICA DE LA SERIE DE PRECIOS MENSUALES POR TONELADA DE FRUTO DE ACEITE DE PALMA EN COLOMBIA Fuente: (Fedepalma, 2016)

49

Una vez analizados los datos con el complemento de estadística descriptiva de Microsoft Excel 2013 ® se obtienen los siguientes resultados: Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta Nivel de confianza (95,0%) CUADRO 2. RESULTADOS

$558,6703846 17,11601728 $519 $410 $213,7789873 45701,4554 3,227467035 1,406591534 $1250 $188 $1438 $87152,58 156 33,81076027

ESTADÍSTICOS DE LA SERIE DE PRECIOS DE FRUTO DE ACITE DE PALMA

EN COLOMBIA

Como se había mencionado con anterioridad, es necesario que el comportamiento del subyacente cumpla con ciertas condiciones con el fin de determinar si los datos de precio tienen un comportamiento Browniano Geométrico. Dichas condiciones implican verificar que la serie no sea autoregresiva y que sus retornos se ajusten a una distribución normal.

50

FIGURA 15. AUTO CORRELACIÓN DE LOS RETORNOS DEL FRUTO DE ACEITE DE PALMA

FIGURA 16. AUTO CORRELACIÓN PARCIAL DEL PRECIO DEL FRUTO DE PALMA DE ACEITE

Dados los anteriores gráficos se observa que no hay comportamientos sistemáticos de los residuos, es decir que los retornos de los datos de precio del fruto de aceite de palma no presentan

51

auto correlación, por lo cual cumplen con la primera condición de un movimiento browniano geométrico. Las pruebas de normalidad sobre los rendimientos logarítmicos implican inicialmente el cálculo de los logaritmos naturales del precio actual sobre el precio del periodo anterior. En el anexo 2 se presenta la tabla de datos. Una vez calculados los rendimientos logarítmicos se procede a realizar un análisis de estadística descriptiva en Microsoft Excel 2013 ®. Los resultados se presentan a continuación.

Parámetro Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta

Valor 0,00754584 0,00794207 0,008298803 0 0,098877979 0,009776855 1,935266365 -0,062364219 0,649825906 -0,293150962 0,356674944 1,169605161 155

CUADRO 3. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA DE LOS RENDIMIENTOS LOGARÍTMICOS DEL PRECIO DEL FRUTO DE ACEITE DE PALMA EN COLOMBIA

Analizando los datos se observa que la media, la moda y la mediana tienen valores que no son tan cercanos lo cual es una indicación de que los datos difieren de una distribución normal. El valor de la curtosis, menor a 3, indica que los datos tienen una alta dispersión, sin embargo también indica que los datos tienen un sesgo a la izquierda lo cual difiere del comportamiento normal. Y

52

finalmente el valor del coeficiente de asimetría, diferente de cero, indica que los datos son asimétricos, lo cual confirma que el comportamiento de los datos es no es normal. Otro método para comprobar la normalidad de los datos es a través de una curva PP-Plot, esta curva es una dispersión de los datos ordenados y debe mostrar un comportamiento lineal.

Gráfico PP-Plot 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-0,1 -0,2 -0,3 -0,4

FIGURA 17. GRÁFICO PP-PLOT DE LOS RENDIMIENTOS LOGARÍTMICOS DEL PRECIO DEL FRUTO DE ACEITE DE PALMA EN COLOMBIA

La tendencia polinómica de este gráfico es una prueba más de que los datos no presentan un comportamiento normal para los rendimientos logarítmicos del precio del fruto de palma. Finalmente el histograma de frecuencias permite evidenciar una vez más que los rendimientos logarítmicos difieren de una distribución normal.

53

60

Frecuencia

50 40 30 20 10 0

Clases

FIGURA 18. HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS DE LOS RENDIMIENTOS LOGARÍTMICOS DEL PRECIO DEL FRUTO DE PALMA DE ACEITE EN COLOMBIA

Realizadas las pruebas de auto-correlación y normalidad de los datos de precio se establece que dichos datos no presentan un comportamiento browniano geométrico, sin embargo, y con el objetivo de aplicar el método de Montecarlo estableciendo una aproximación numérica para los modelos asociativos que contempla volatilidad y flexibilidad. Dado lo anterior y utilizando la ecuación 31, se obtiene la expresión que define el comportamiento del precio del fruto de palma de aceite como un movimiento browniano geométrico que será utilizado en el modelo de opciones reales.

X0 MU SIGMA dt

558,670385 0,00754584 0,098877979 0,01

CUADRO 4. PARÁMETROS PARA LA EXPRESIÓN DEL PRECIO DEL FRUTO DE ACEITE DE PALMA

54

S=X0*EXP((MU-0,5*SIGMA^2)*1+SIGMA*RAIZ(1)*INV.NORM.ESTAND(ALEAT)) ECUACIÓN 33. PRECIO DE LA TONELADA DE FRUTO DE ACEITE DE PALMA COMO UN MOVIMIENTO BROWNIANO GEOMÉTRICO

Donde X0 es el precio del fruto de aceite de palma en el tiempo cero y MU y SIGMA son la media y la desviación estándar resultantes del análisis de estadística descriptiva de los datos históricos del precio del fruto de aceite de palma.

4.2.

Definición de variables para el modelo de opciones reales Siendo la utilidad 𝑈𝑡 una función del tiempo 𝑇, del precio de venta del fruto de palma 𝑆𝑡

en pesos colombianos por tonelada, la producción de fruto de palma 𝑃𝑡 en toneladas, y el costo de venta 𝐶𝑡 en pesos colombianos por tonelada, se tiene la siguiente expresión:

𝑈𝑡 = 𝑓(𝑇, 𝑆𝑡 , 𝑃𝑡 , 𝐶𝑡 ) ECUACIÓN 34. FUNCIÓN DE UTILIDAD PARA LA PRODUCCIÓN DE FRUTO DE ACEITE DE PALMA

La cual expresa la utilidad, en términos monetarios y no de satisfacción, de un productor de fruto de aceite de palma que ya está establecido. Para 𝑈𝑡 en el estado 1, en el cual un productor de fruto de palma establecido no se asocia se tiene: 𝑈𝑡1 = 𝑆𝑡 ∗ 𝑃𝑡 − 𝐶𝑡 ∗ 𝑃𝑡 𝑈𝑡1 = 𝑃𝑡 ∗ (𝑆𝑡 − 𝐶𝑡 ) ECUACIÓN 35. UTILIDAD EN EL ESTADO 1 PARA EL PRODUCTOR DE FRUTO DE PALMA DE ACEITE

55

Las asociaciones de palmicultores en Colombia tienen diferentes esquemas para el cobro de las cuotas de asociación, algunas cobran una tarifa mensual fija, otras cobran un porcentaje de los ingresos de sus asociados y otras, en un esquema mixto, cobran una tarifa mensual fija más un porcentaje de los ingresos de los asociados. Los ingresos de las asociaciones son utilizados en los gastos de administración, disponibilidad de efectivo para créditos de sus asociados y en general para actividades de bienestar de los mismos. Es de anotar que las funciones principales de las asociaciones corresponden a la compra de insumos para sus asociados, a la asesoría técnica y a la venta del fruto de la palma (Baldovino Guevara, 2011). Según la información disponible, los costos de asociación más altos corresponden al esquema mixto en el cual el palmicultor asociado realiza pagos mensuales más un porcentaje de sus ingresos. Dado lo anterior resulta interesante observar la utilidad del análisis de opciones reales en los cultivos de palma de aceite bajo este esquema de pagos, ya que al ser el más costoso podría ser válido para cualquier otro esquema. Dado lo anterior, para 𝑈𝑡 en el estado 2, en el cual un productor de fruto de palma establecido si decide asociarse pagando una tarifa 𝛼1 como un porcentaje de sus ingresos por la venta del fruto de palma más una mensualidad fija 𝛼2 , pagos que se traducen en una reducción de los costos por tonelada producida 𝐶𝑡2 , se tiene que: 𝑈𝑡2 = 𝑆𝑡 ∗ 𝑃𝑡 − 𝐶𝑡2 ∗ 𝑃𝑡 −∝1 ∗ 𝑆𝑡 ∗ 𝑃𝑡 − 𝛼2 𝑈𝑡2 = 𝑃𝑡 (𝑆𝑡 − 𝐶𝑡2 − 𝛼1 ∗ 𝑆𝑡 ) − 𝛼2 𝑈𝑡2 = 𝑃𝑡 ((1 − 𝛼1 ) ∗ 𝑆𝑡 − 𝐶𝑡2 ) − 𝛼2

ECUACIÓN 36. UTILIDAD EN EL ESTADO 2 PARA EL PRODUCTOR DE FRUTO DE PALMA DE ACEITE

56

Entonces en un momento t el pay-off del productor estará dado por la siguiente expresión:

𝑝𝑎𝑦 − 𝑜𝑓𝑓 = 𝑚𝑎𝑥{𝑈𝑡1 , 𝑈𝑡2 } ECUACIÓN 37. PAY-OFF DEL PRODUCTOR DE FRUTO DE ACEITE DE PALMA

4.3.

Tipo de opción real En este caso, el esquema de asociación para ganar beneficios de reducción en los costos de

producción se asemeja a un esquema de expansión, ya que la producción de los asociados se suma para obtener poder de negociación en la compra de insumos disminuyendo los costos. Es decir que el tipo de opción real es una call americana de expansión ya que el productor, teóricamente, una vez que invierte en un proyecto de cultivo de palma, podría, en cualquier momento, dependiendo de las condiciones de mercado, hacer efectiva la opción asociándose con otros productores lo cual, por el pago de una prima, le mejoraría la utilidad del proyecto por la reducción de costos que conlleva.

Entonces, 𝑂𝑅 = 𝑒 −𝑟𝑓 𝑇 [𝑚𝑎𝑥{𝑆𝑇 − 𝐾; 0}] ECUACIÓN 38. VALOR DE LA OPCIÓN REAL

Donde 𝑟𝑓 es la tasa libre de riesgo y T el tiempo.

4.4.

Aplicación del modelo de análisis de opciones reales Para la aplicación del modelo de opciones reales se cuenta con los costos de producción de

pequeños y grandes productores de palma de aceite en los departamentos de Magdalena, Meta y Santander recopilados y publicados por Fedesarrollo para el año 2012.

57

A continuación se presenta la información:

Mano de obra

Insumos

Actividad Labores de cultivo Fertilización Control malezas Control plagas Control enfermedades Cosecha Otras Labores Fertilización Control malezas Control plagas Control enfermedades Otras labores

CUADRO 5. COSTOS

Mínimo Promedio Máximo $ 2.847 $ 25.249 $ 71.556 $ 4.167 $ 14.429 $ 40.889 $ 4.167 $ 15.164 $ 40.000 $ 2.500 $ 5.596 $ 15.278 $ 2.667 $ 4.283 $ 6.667 $ 1.310 $ 8.791 $ 30.667 $ 5.556 $ 109.292 $ 280.000 $ 15.625 $ 79.698 $ 187.561 $ 2.500 $ 25.722 $ 66.667 $ 2.667 $ 46.970 $ 240.833 $ 237 $ 13.440 $ 51.378 $ 194 $ 626 $ 1.556

Desviación estándar $ 19.813 $ 12.410 $ 12.021 $ 4.806 $ 1.376 $ 8.355 $ 67.695 $ 62.833 $ 35.565 $ 95.245 $ 20.564 $ 403

DE PRODUCCIÓN POR ACTIVIDAD PARA PRODUCTOR PEQUEÑO EN

MAGDALENA Fuente: (Fedesarrollo - Iquartil, 2012)

Mano de obra

Insumos

Actividad Labores de cultivo Fertilización Control malezas Control plagas Control enfermedades Otras labores Cosecha Mano de obra empleada Fertilización Control malezas Control plagas Control enfermedades Otras labores

Mínimo Promedio Máximo $ 2.139 $ 19.471 $ 65.104 $ 1.667 $ 11.137 $ 29.167 $ 2.600 $ 7.371 $ 21.889 $ 3.056 $ 8.555 $ 21.889 $ 2.222 $ 5.782 $ 13.133 $ 1.059 $ 7.017 $ 18.182 $ 44.463 $ 129.676 $ 179.667

Desviación estándar $ 18.800 $ 8.793 $ 6.269 $ 7.064 $ 3.392 $ 5.946 $ 46.955

NA $ 31.657 NA $ 4.937 $ 31.048 $ 96.994 $ 1.444 $ 6.500 $ 11.556 $ 4.866 $ 13.596 $ 37.492 $ 237 $ 21.344 $ 154.133 $ 280 $ 525 $ 1.273

NA $ 32.774 $ 7.150 $ 13.504 $ 53.720 $ 304

CUADRO 6. COSTOS DE PRODUCCIÓN POR ACTIVIDAD PARA PRODUCTOR NO PEQUEÑO EN MAGDALENA Fuente: (Fedesarrollo - Iquartil, 2012)

58

Maquinaria

Actividad Labores de cultivo Fertilización

Cosecha Labores de cultivo Fertilización Control malezas Control plagas Mano de obra Control enfermedades Otras Labores Cosecha

Insumos

Mano de obra empleada Labores de cultivo Fertilización Control malezas Control plagas Control enfermedades

Mínimo $ 5.926 $ 5.926

Promedio $ 10.602 $ 7.130

Máximo $ 22.222 $ 8.333

Desv. Est $ 7.830 $ 1.702

$ 7.500 $ 10.000 $ 3.556 $ 3.333 $ 4.667 $ 556 $ 35.000

$ 53.333 $ 23.716 $ 14.333 $ 8.458 $ 13.556 $ 6.046 $ 11.076 $ 36.250

$ 46.667 $ 18.667 $ 12.500 $ 18.667 $ 10.186 $ 14.583 $ 40.000

$ 18.009 $ 6.128 $ 3.685 $ 8.853 $ 2.760 $ 7.014 $ 2.500

$ 1.428 $ 38.635 $ 36.267 $ 998

$ 4.669 $ 2.682 $ 143.206 $ 41.178 $ 2.355

$ 8.250 $ 241.534 $ 51.000 $ 3.033

$ 2.473 $ 78.773 $ 8.506 $ 1.175

$ 2.297

$ 3.198

$ 4.100

$ 1.275

CUADRO 7. COSTOS DE PRODUCCIÓN POR ACTIVIDAD PARA PRODUCTOR PEQUEÑO EN META Fuente: (Fedesarrollo - Iquartil, 2012)

Maquinaria

Mano de obra

Insumos

Actividad Labores de cultivo Fertilización Control malezas Control plagas Cosecha Labores de cultivo Fertilización Control malezas Control plagas Control enfermedades Otras labores Cosecha Mano de obra empleada Labores de cultivo Fertilización Control malezas Control plagas Control enfermedades Otras Labores

Mínimo Promedio $ 2.424 $ 10.146 $ 3.267 $ 16.811 $ 1.515 $ 6.870 $ 452 $ 3.625 $ 16.364 $ 51.128 $ 909 $ 11.603 $ 1.000 $ 23.827 $ 909 $ 7.509 $ 250 $ 5.171 $ 909 $ 8.660 $ 250 $ 1.299 $ 6.000 $ 53.761 $ 22.296 $ 579 $ 2.655 $ 4.108 $ 123.612 $ 572 $ 19.623 $ 629 $ 17.096 $ 84 $ 7.963 $ 514 $ 27.107

Máximo $ 48.193 $ 48.193 $ 17.778 $ 12.048 $ 106.667 $ 63.311 $ 83.333 $ 19.800 $ 17.500 $ 28.000 $ 2.261 $ 140.000

Desv Est $ 14.185 $ 15.218 $ 5.936 $ 5.621 $ 35.478 $ 15.545 $ 25.301 $ 6.520 $ 4.921 $ 9.164 $ 811 $ 40.152

$ 9.214 $ 466.667 $ 74.182 $ 107.438 $ 39.935 $ 180.952

$ 2.191 $ 156.410 $ 28.549 $ 26.911 $ 12.756 $ 67.843

CUADRO 8. COSTOS DE PRODUCCIÓN POR ACTIVIDAD PARA PRODUCTOR NO PEQUEÑO EN META Fuente: (Fedesarrollo - Iquartil, 2012)

59

Actividad Labores de cultivo Fertilización Control malezas Mano de obra Control plagas Control enfermedades Otras Labores Cosecha Fertilización Control malezas Insumos Control plagas Control enfermedades Otras Labores CUADRO 9. COSTOS

Mínimo Promedio Máximo $ 4.000 $ 18.656 $ 47.000 $ 1.250 $ 7.557 $ 19.250 $ 538 $ 16.974 $ 56.000 $ 1.667 $ 4.375 $ 7.500 $ 2.100 $ 9.900 $ 25.000 $ 1.292 $ 3.239 $ 7.317 $ 6.250 $ 26.423 $ 72.000 $ 8.258 $ 47.557 $ 99.907 $ 825 $ 5.434 $ 10.821 $ 1.611 $ 5.703 $ 15.925 $ 1.238 $ 35.576 $ 116.749 $ 556

Desviación estándar $ 13.971 $ 5.694 $ 23.519 $ 2.753 $ 10.702 $ 2.417 $ 20.249 $ 30.106 $ 5.270 $ 6.870 $ 54.996

DE PRODUCCIÓN POR ACTIVIDAD PARA PRODUCTOR PEQUEÑO EN

SANTANDER Fuente: (Fedesarrollo - Iquartil, 2012)

Actividad Mínimo Promedio Máximo Desv Est Labores de cultivo $ 5.889 $ 17.799 $ 27.632 $ 10.268 Fertilización $ 1.029 $ 12.374 $ 35.000 $ 13.310 Control malezas $ 400 $ 17.208 $ 57.500 $ 27.129 Control plagas $ 1.457 $ 11.712 $ 25.000 $ 11.400 Mano de obra Control enfermedades $ 2.763 $ 3.649 $ 4.536 $ 1.253 Otras labores $ 2.727 Cosecha $ 9.600 $ 44.037 $ 90.000 $ 30.197 Mano de obra empleada $ 52.401 Labores de cultivo $ 10.122 Fertilización $ 9.563 $ 28.791 $ 71.066 $ 26.231 Insumos Control malezas $ 1.302 $ 15.651 $ 30.000 $ 20.293 Control plagas $ 1.565 $ 9.938 $ 23.108 $ 10.340 Control enfermedades $ 381 $ 1.168 $ 1.954 $ 1.112 CUADRO 10. COSTOS DE PRODUCCIÓN POR ACTIVIDAD PARA PRODUCTOR NO PEQUEÑO EN SANTANDER Fuente: (Fedesarrollo - Iquartil, 2012)

60

Según los datos disponibles, y acudiendo a la funcionalidad del Software Crystal Ball® de Oracle® con el cual se realizarán las simulaciones de Montecarlo para determinar el valor de la opción real, los costos se ajustarán a 3 diferentes distribuciones de probabilidad: Triangular, normal y normal truncada. Se utilizan estas distribuciones ya que los datos de los costos disponibles para realizar los ajustes contienen el valor mínimo, el valor promedio, el valor máximo y la desviación estándar de cada ítem lo que permitirá comprobar con cual de dichas distribuciones hay un mejor ajuste. Estos ajustes al final permitirán complementar el análisis de opciones reales dándole validez estadística a los datos utilizados. Entonces los costos de producción 𝐶𝑡 para el cultivador de palma de aceite en el estado 1, en el cual dicho cultivador no se asocia, corresponden a la sumatoria de los costos de las actividades de producción para productor pequeño en los departamentos de Magdalena, Meta y Santander de los cuadros 5, 7 y 9, ajustados como variables de suposición, a las distribuciones triangular, normal y normal truncada. De forma similar los costos de producción 𝐶𝑡2 para el cultivador de palma de aceite en el estado 2, en el cual dicho cultivador se asocia para aprovechar las economías de escala, corresponden a la sumatoria de los costos de las actividades de producción para productor no pequeño en los departamentos de Magdalena, Meta y Santander de los cuadros 6, 8 y 10, ajustados como variables de suposición a las distribuciones triangular, normal y normal truncada.

Una vez realizada esta parametrización se procede a formular las utilidades de los estados 1 y 2 del productor de palma de aceite según las ecuaciones 36 y 37: 𝑈𝑡1 = 𝑃𝑡 ∗ (𝑆𝑡 − 𝐶𝑡 ) 𝑈𝑡2 = 𝑃𝑡 ((1 − 𝛼1 ) ∗ 𝑆𝑡 − 𝐶𝑡2 ) − 𝛼2

61

Donde la producción 𝑃𝑡 se calcula a partir del producto del área cultivada, el rendimiento por unidad de área y la unidad de tiempo así: Parámetro

Cantidad

unidades

Área de cultivo

20

Hectáreas

Rendimiento

1,5

Ton / Ha / mes

Meses

12

meses / año

360

Toneladas/año

𝑷𝒕 =Producción cultivo

CUADRO 11. CÁLCULO DE LA PRODUCCIÓN ANUAL DEL CULTIVO DE PALMA Fuente: (Fedepalma, 2013)

Se estima, según la información publicada por Fedepalma, que un productor pequeño corresponde a uno que posee un cultivo de 20 de hectáreas o menos. 𝑆𝑡 corresponde al valor del precio del subyacente o precio de la tonelada de fruto de aceite de palma según el movimiento geométrico browniano descrito en la ecuación 34, 𝛼1 corresponde al importe cobrado por la asociación como un porcentaje de los ingresos del cultivador y que según la información disponible corresponde al 1% (Baldovino Guevara, 2011), α2 es el valor cobrado por la asociación como cuota única de afiliación y que en el caso más costoso asciende a $540.000 pero para efectos de los cálculos se tomará un valor de 540 (Baldovino Guevara, 2011) (Fernandez, 2003).

Posteriormente se calculará el valor del payoff del productor según la ecuación 38: pay − off = max{Ut1 , Ut2 }

62

Y finalmente el valor de la opción real con la ecuación 39: OR = e−rf T [max{ST − K; 0}] Donde la tasa libre de riesgo rf corresponde a 5,25% (Banco de la República, 2016) Las variables de predicción para la parametrización de la herramienta de Crystal Ball ® que permitirán hacer la simulación de Montecarlo son: •

Utilidad en el estado 1: Que equivale a la utilidad calculada como flujo de caja descontado

•

Payoff de la opción real: Que incluye el valor agregado de la opción real

•

Prima de la opción real: Que corresponde al precio pagado por el productor por el derecho al estado 2

Es de anotar que cada una de estas variables se ajustará según las distribuciones triangular, normal y normal truncada de los costos en los estados 1 y 2 mencionadas con anterioridad.

4.5.

Presentación de resultados

Con el uso del software Cyrtal Ball® de Oracle® se obtienen los siguientes resultados:

FIGURA 19. RESULTADOS DE CRYSTAL BALL® PARA EL VALOR DE LA PRIMA DE LA OPCIÓN REAL EN LA DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR PARA MAGDALENA

63

FIGURA 20. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

PARA EL VALOR DEL PAY-OFF DE LA OPCIÓN

REAL EN LA DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR PARA MAGDALENA

FIGURA 21. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR PARA MAGDALENA

PARA LA UTILIDAD EN EL ESTADO

1

EN LA

64

FIGURA 22. RESULTADOS DE CRYSTAL BALL® PARA EL VALOR DE LA PRIMA DE LA OPCIÓN REAL EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL PARA MAGDALENA

FIGURA 23. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

PARA EL VALOR DEL PAY-OFF DE LA OPCIÓN

REAL EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL PARA MAGDALENA

65

FIGURA 24. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

PARA LA UTILIDAD EN EL ESTADO

1

EN LA

DISTRIBUCIÓN NORMAL PARA MAGDALENA

FIGURA 25. RESULTADOS DE CRYSTAL BALL® PARA EL VALOR DE LA PRIMA DE LA OPCIÓN REAL EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL TRUNCADA PARA MAGDALENA

66

FIGURA 26. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

PARA EL VALOR DEL PAY-OFF DE LA OPCIÓN

REAL EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL TRUNCADA PARA MAGDALENA

FIGURA 27. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

PARA LA UTILIDAD EN EL ESTADO

DISTRIBUCIÓN NORMAL TRUNCADA PARA MAGDALENA

1

EN LA

67

FIGURA 28. RESULTADOS DE CRYSTAL BALL® PARA EL VALOR DE LA PRIMA DE LA OPCIÓN REAL EN LA DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR PARA META

FIGURA 29. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

PARA EL VALOR DEL PAY-OFF DE LA OPCIÓN

REAL EN LA DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR PARA META

68

FIGURA 30. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

PARA LA UTILIDAD EN EL ESTADO

1

EN LA

DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR PARA META

FIGURA 31. RESULTADOS DE CRYSTAL BALL® PARA EL VALOR DE LA PRIMA DE LA OPCIÓN REAL EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL PARA META

69

FIGURA 32. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

PARA EL VALOR DEL PAY-OFF DE LA OPCIÓN

REAL EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL PARA META

FIGURA 33. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

DISTRIBUCIÓN NORMAL PARA META

PARA LA UTILIDAD EN EL ESTADO

1

EN LA

70

FIGURA 34. RESULTADOS DE CRYSTAL BALL® PARA EL VALOR DE LA PRIMA DE LA OPCIÓN REAL EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL TRUNCADA PARA META

FIGURA 35. RESULTADOS DE CRYSTAL BALL® PARA EL VALOR DEL PAY-OFF DE LA OPCIÓN REAL EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL TRUNCADA PARA META

71

FIGURA 36. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

PARA LA UTILIDAD EN EL ESTADO

1

EN LA

DISTRIBUCIÓN NORMAL TRUNCADA PARA META

FIGURA 37. RESULTADOS DE CRYSTAL BALL® PARA EL VALOR DE LA PRIMA DE LA OPCIÓN REAL EN LA DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR PARA SANTANDER

72

FIGURA 38. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

PARA EL PAY-OFF DE LA OPCIÓN REAL EN LA

DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR PARA SANTANDER

FIGURA 39. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR PARA SANTANDER

PARA LA UTILIDAD EN EL ESTADO

1

EN LA

73

FIGURA 40. RESULTADOS DE CRYSTAL BALL® PARA EL VALOR DE LA PRIMA DE LA OPCIÓN REAL EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL PARA SANTANDER

FIGURA 41. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

DISTRIBUCIÓN NORMAL PARA SANTANDER

PARA EL PAY-OFF DE LA OPCIÓN REAL EN LA

74

FIGURA 42. RESULTADOS DE CRYSTAL BALL® PARA LA UTILIDAD EN EL ESTADO 1 EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL PARA SANTANDER

FIGURA 43. RESULTADOS DE CRYSTAL BALL® PARA EL VALOR DE LA PRIMA DE LA OPCIÓN REAL EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL TRUNCADA PARA SANTANDER

75

FIGURA 44. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

PARA EL PAY-OFF DE LA OPCIÓN REAL EN LA

DISTRIBUCIÓN NORMAL TRUNCADA PARA SANTANDER

FIGURA 45. RESULTADOS

DE

CRYSTAL BALL®

PARA LA UTILIDAD EN EL ESTADO

DISTRIBUCIÓN NORMAL TRUNCADA PARA SANTANDER

1

EN LA

76

Parámetro Estadísticos Triangular

Normal

Media Desviación Mínimo Máximo Media Desviación Mínimo Máximo Media Desviación

Normal truncada $ 89.900,91 $ 65.793,86 $ 0,00 $ 492.985,85 $ 94.746,80 $ 69.340,32 $ 0,00 $ 519.559,05 $ 53.639,10 $ 75.112,14 -$ 162.398,06 $ 422.840,12 74,97%

$ 82.576,24 $ 117.843,09 $ 64.967,79 $ 70.122,61 Prima $ 0,00 $ 0,00 $ 481.268,32 $ 557.996,55 $ 87.027,31 $ 124.195,14 $ 68.469,72 $ 73.902,39 Pay Off $ 0,00 $ 0,00 $ 507.209,91 $ 588.073,99 $ 40.235,21 $ 90.523,83 $ 71.156,31 $ 84.885,13 -$ -$ UT1 Mínimo 142.778,88 180.199,45 Máximo $ 371.657,14 $ 401.870,46 P-UT1>0 69,96% 86,87% CUADRO 12. RESULTADOS GENERALES PARA MAGDALENA – VALORES EN MILES DE PESOS Fuente: Elaboración propia

Parámetro Estadísticos Triangular Media Desviación Mínimo Máximo Media Desviación Mínimo Máximo Media Desviación Mínimo Máximo P-UT1>0

Normal

Normal truncada $ 78.392,01 $ 67.914,31 $ 0,00 $ 411.190,73 $ 82.617,54 $ 71.575,06 $ 0,00 $ 433.354,96 $ 78.548,70 $ 73.227,87 -$ 83.210,96 $ 418.465,10 88,51%

$ 76.672,56 $ 99.230,34 $ 67.708,93 $ 75.501,42 Prima $ 0,00 $ 0,00 $ 412.068,17 $ 463.033,02 $ 80.805,41 $ 104.579,11 $ 71.358,62 $ 79.571,14 Pay Off $ 0,00 $ 0,00 $ 434.279,70 $ 487.991,68 $ 78.031,68 $ 79.002,68 $ 72.307,48 $ 75.159,26 UT1 -$ 68.630,36 -$ 72.797,31 $ 408.663,62 $ 430.249,56 88,25% 86,55% CUADRO 13. RESULTADOS GENERALES PARA META – VALORES EN MILES DE PESOS Fuente: Elaboración propia

77

Parámetro Estadísticos

Triangular

Normal

Media Desviación Mínimo Máximo Media Desviación Mínimo Máximo Media Desviación Mínimo Máximo P-UT1>0

Normal truncada $ 128.868,34 $ 64.373,18 $ 0,00 $ 597.237,55 $ 135.814,67 $ 67.843,06 $ 0,00 $ 629.430,18 $ 134.898,05 $ 70.646,05 -$ 53.055,75 $ 448.966,63 99,35%

$ 125.063,87 $ 144.709,55 $ 64.241,27 $ 66.945,66 Prima $ 0,00 $ 6.318,72 $ 578.870,90 $ 566.298,24 $ 131.805,13 $ 152.509,98 $ 67.704,03 $ 70.554,20 Pay Off $ 0,00 $ 6.659,32 $ 610.073,52 $ 596.823,17 $ 131.765,24 $ 148.221,02 $ 68.209,29 $ 72.919,50 UT1 -$ 43.402,10 -$ 32.559,19 $ 433.128,29 $ 472.222,81 99,62% 99,28% CUADRO 14. RESULTADOS GENERALES PARA SANTANDER – VALORES EN MILES DE PESOS Fuente: Elaboración propia

4.6.

Análisis de resultados

Al realizar las simulaciones con el ajuste de las diferentes distribuciones probabilísticas para los datos de los costos de productores pequeños y no pequeños se observa, según los cuadros 12, 13 y 14, que la distribución normal presenta los mejores resultados, ya que no solo los datos de las medias de los pay-off, la prima y UT1 (utilidad en el estado 1) son mayores, sino que, si se analiza detenidamente, las desviaciones estándar como un porcentaje de las medias, son menores:

Departamento

Variable

Triangular

Normal

Normal truncada

Prima

$ 82.576

$ 117.843

$ 89.901

Pay Off

$ 87.027

$ 124.195

$ 94.747

Magdalena

78

Santander

Meta

UT1

$ 40.235

$ 90.524

$ 53.639

Prima

$ 125.064

$ 144.710

$ 128.868

Pay Off

$ 131.805

$ 152.510

$ 135.815

UT1

$ 131.765

$ 148.221

$ 134.898

Prima

$ 76.673

$ 99.230

$ 78.392

Pay Off

$ 80.805

$ 104.579

$ 82.618

UT1

$ 78.032 $ 79.003 $ 78.549 CUADRO 15. MEDIAS DE LAS VARIABLES PARA LAS 3 DISTIBUCIONES – VALORES EN MILES DE PESOS

Fuente: Elaboración propia

Triangular

Normal

Normal truncada

Prima

78,7%

59,5%

73,2%

Pay Off

78,7%

59,5%

73,2%

UT1

176,9%

93,8%

140,0%

Prima

51,4%

46,3%

50,0%

Pay Off

51,4%

46,3%

50,0%

UT1

51,8%

49,2%

52,4%

Prima

88,3%

76,1%

86,6%

Pay Off

88,3%

76,1%

86,6%

Departamento Variable

Magdalena

Santander

Meta

UT1

92,7% 95,1% 93,2% CUADRO 16. DESVIACIONES ESTÁNDAR COMO UN PORCENTAJE DE LAS MEDIAS Fuente: Elaboración propia Dado lo anterior el análisis se centrará en los resultados obtenidos a partir del ajuste de los costos a la distribución normal. Dichos resultados se muestran a continuación: Parámetro Prima

Estadísticos Media Desviación Mínimo

Magdalena $ 117.843,09 $ 70.122,61 $ 0,00

Meta $ 99.230,34 $ 75.501,42 $ 0,00

Santander $ 144.709,55 $ 66.945,66 $ 6.318,72

79

Pay Off

UT1

Máximo Media Desviación Mínimo Máximo P(Pay-off)>0 Media Desviación Mínimo Máximo

$ 557.996,55 $ 124.195,14 $ 73.902,39 $ 0,00 $ 588.073,99 100% $ 90.523,83 $ 84.885,13 -$ 180.199,45 $ 401.870,46

$ 463.033,02 $ 104.579,11 $ 79.571,14 $ 0,00 $ 487.991,68 100% $ 79.002,68 $ 75.159,26 -$ 72.797,31 $ 430.249,56

$ 566.298,24 $ 152.509,98 $ 70.554,20 $ 6.659,32 $ 596.823,17 100% $ 148.221,02 $ 72.919,50 -$ 32.559,19 $ 472.222,81

P(UT1)>0 86,87% 86,55% 99,28% CUADRO 17. RESULTADOS CON AJUSTE DE COSTOS A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL – VALORES EN MILES DE PESOS

Fuente: Elaboración propia

Observando los valores de la utilidad en el estado 1 (UT1), en el cual el productor de palma de aceite no se asocia, se tiene que el departamento de Santander presenta las mejores utilidades ($148.221.020), seguido del departamento del Magdalena ($90.523.830) y por último el departamento del Meta ($79.002.680). De igual forma la probabilidad de que las utilidades del cultivo sean mayores a cero (P(UT1)) también favorece al departamento de Santander con un 99,28% lo cual da indicios de que este departamento puede ser el más competitivo de los tres analizados. Analizando los datos del promedio de los 3 departamentos se observa que el cultivo de palma resulta ser una actividad rentable y tiene una alta probabilidad de que las utilidades sean mayores a cero sin embargo se debe tener en cuenta que el modelo utilizado no incluye los costos de inversión ya que se centra únicamente en la etapa de desarrollo con la posibilidad de asociarse como una opción de expansión.

80

$ 152.510

$ 148.221

$ 124.195

$ 104.579 $ 90.524 $ 79.003

Meta

Magdalena

Payoff

Santander

UT1

FIGURA 46. GRÁFICO DE LAS MEDIAS PARA EL PAY-OFF Y LA UTILIDAD EN EL ESTADO 1 CIFRAS EN MILES DE PESOS

Tal y como se observa en el cuadro 17, el pay-off de los departamentos presenta un comportamiento similar, es decir que el departamento de Santander es el que tiene el pay-off más alto, seguido del departamento del Magdalena y por último el departamento del Meta. Observando la figura 46 se ve el valor agregado de la valoración con la opción real ya que los valores de las medias del pay-off son superiores a los valores de las utilidades en el estado 1. Adicional a lo anterior observando el cuadro 17 se tiene que la probabilidad de que las utilidades sean mayores a cero pasó a ser del 100% en todos los casos, esto le brinda al productor un verdadero “seguro” para su actividad ya que en cualquier momento puede acceder al esquema de asociación con lo cual no solo aumenta su utilidad esperada sino que además evita tener posibles pérdidas. Meta

Magdalena Santander

81

UT1 Pay-off

$ 79.003

$ 90.524

$ 148.221

$ 104.579

$ 124.195

$ 152.510

$25.576

$33.671

$4.289

32%

37%

3%

Valor agregado por la Opción Real Aumento de la Utilidad

CUADRO 18. VALOR AGREGADO DE LA OPCIÓN REAL (VALORES EN MILES DE PESOS) Fuente: Elaboración propia

En el cuadro 18 se observa que el porcentaje del aumento de la utilidad desde el estado UT1 hasta el pay-off, cómo el valor generado por la opción, es más significativo en los departamentos de Meta y Magdalena en los cuales dicho porcentaje es de 32% y 37% respectivamente, es decir que en estos departamentos la opción real le genera más valor al proyecto, sin embrago es importante tener en cuenta que la opción real también aumenta, en todos los casos, la probabilidad de que las utilidades sean positivas hasta el 100%.

82

5. CONCLUSIONES

El presente documento es una demostración numérica por método cuantitativo de los beneficios de un modelo asociativo para pequeños productores de fruto de palma de aceite ubicados en tres departamentos de Colombia que han superado la etapa de desarrollo y se encuentran en la etapa de producción. Una opción de expansión o de crecimiento permite valorar la posibilidad de un proyecto de aumentar su producción en el momento en el que las condiciones de mercado sean favorables mediante una inversión adicional. En el caso de un productor pequeño de fruto de aceite de palma en Colombia, la posibilidad de pertenecer a una asociación implica hacer una pequeña inversión como cuota de asociación y pagar un porcentaje periódico de sus ingresos; como retribución obtiene menor costo en sus insumos, asesoría técnica y acceso a mejores clientes, lo cual mejora su utilidad si los precios de mercado son favorables. Estos beneficios eran únicamente alcanzados por los grandes productores debido a su mayor poder de negociación pero con la asociación, son beneficios que obtienen también los pequeños productores. Es decir que la asociación de pequeños productores para obtener beneficios derivados del poder de negociación se asemeja a la posibilidad que tendría un productor de expandir su proyecto haciendo una inversión adicional. Dada la volatilidad y el comportamiento estocástico del precio del fruto de aceite de palma en Colombia, se encuentra que en el modelo de valoración que no incluye la posibilidad de asociación para el pequeño productor, se presenta riesgo de pérdida. Es así que en los departamentos analizados se observa que las probabilidades de pérdida en el modelo sin asociación son 13,13% para magdalena, 13,45% para el Meta y 0,72% para Santander. Adicionalmente la utilidad y volatilidad en cada departamento para el modelo sin asociación corresponde a: $90

83

millones con volatilidad del 94% para Magdalena, $79 millones con volatilidad del 95% para el Meta y $148 millones con volatilidad del 49% para Santander. Según los resultados de la simulación del modelo de valoración que incluye la opción real de expansión, en la cual el pequeño productor de fruto de aceite de palma tiene la posibilidad de asociarse para beneficiarse de las economías de escala, se encontró que en los tres departamentos estudiados la opción real ofrece beneficios a los pequeños productores ya que se aumentan las utilidades y se evitan las pérdidas. En promedio, para los pequeños productores de los departamentos evaluados la opción real ofrece el siguiente valor agregado: $33,7 millones correspondientes a un aumento del 37% para Magdalena, $25,5 millones correspondientes a un aumento del 32% para el Meta y $4,3 millones correspondientes a un aumento del 3% para Santander. Con el objetivo de complementar el presente estudio en desarrollos posteriores brindando mayor exactitud al valor agregado por la opción real se sugiere incorporar otros métodos numéricos para el análisis del precio del subyacente, incluir el análisis estocástico de los costos de producción así como el estudio en otras regiones del país. También teniendo en cuenta que un cultivador de fruto de palma de aceite tiene diferentes alternativas de negocio entre las que se pueden mencionar los cultivos de caucho y la ganadería. De este modo, en caso de que las diferentes condiciones del cultivo de palma de aceite no sean favorables, el cultivador tendría la posibilidad de cambiar su actividad, realizando la debida inversión, para cultivar caucho o criar ganado.

84

ANEXO 1. SERIE HISTÓRICA DE PRECIOS DE LA TONELADA DEL FRUTO DE PALMA DE ACEITE EN COLOMBIA

FECHA 01/01/2001 01/02/2001 01/03/2001 01/04/2001 01/05/2001 01/06/2001 01/07/2001 01/08/2001 01/09/2001 01/10/2001 01/11/2001 01/12/2001 01/01/2002 01/02/2002 01/03/2002 01/04/2002 01/05/2002 01/06/2002 01/07/2002 08/08/2002 08/09/2002 08/10/2002 08/11/2002 08/12/2002 01/01/2003 01/02/2003 01/03/2003 01/04/2003 01/05/2003 01/06/2003 01/07/2003

PRECIO FRUTO (MILES DE PESOS/TON) $ 222 $ 196 $ 188 $ 199 $ 212 $ 208 $ 217 $ 310 $ 276 $ 280 $ 284 $ 300 $ 285 $ 300 $ 305 $ 315 $ 345 $ 370 $ 370 $ 400 $ 410 $ 410 $ 440 $ 450 $ 530 $ 537 $ 500 $ 480 $ 420 $ 420 $ 435

FECHA

PRECIO FRUTO (MILES DE PESOS/TON)

01/08/2003 01/09/2003 01/10/2003 01/11/2003 01/12/2003 01/01/2004 01/02/2004 01/03/2004 01/04/2004 01/05/2004 01/06/2004 01/07/2004 01/08/2004 01/09/2004 01/10/2004 01/11/2004 01/12/2004 01/01/2005 01/02/2005 01/03/2005 01/04/2005 01/05/2005 01/06/2005 01/07/2005 01/08/2005

$ 401 $ 401 $ 454 $ 554 $ 553 $ 565 $ 547 $ 598 $ 620 $ 626 $ 606 $ 580 $ 538 $ 538 $ 522 $ 496 $ 515 $ 485 $ 460 $ 456 $ 525 $ 496 $ 459 $ 455 $ 445

01/09/2005 01/10/2005 01/11/2005 01/12/2005 01/01/2006 01/02/2006

$ 398 $ 420 $ 409 $ 410 $ 428 $ 430

FECHA 01/03/2006 01/04/2006 01/05/2006 01/06/2006 01/07/2006 01/08/2006 01/09/2006 01/10/2006 01/11/2006 01/12/2006 01/01/2007 01/02/2007 01/03/2007 01/04/2007 01/05/2007 01/06/2007 01/07/2007 01/08/2007 01/09/2007 01/10/2007 01/11/2007 01/12/2007 01/01/2008 01/02/2008 01/03/2008 01/04/2008 01/05/2008 01/06/2008 01/07/2008 01/08/2008 01/09/2008

PRECIO FRUTO (MILES DE PESOS/TON) $ 447 $ 405 $ 411 $ 451 $ 450 $ 473 $ 474 $ 430 $ 470 $ 471 $ 464 $ 460 $ 491 $ 505 $ 560 $ 578 $ 659 $ 602 $ 646 $ 635 $ 680 $ 788 $ 743 $ 832 $ 886 $ 884 $ 859 $ 863 $ 794 $ 645 $ 673

85

FECHA 01/10/2008 01/11/2008 01/12/2008 01/01/2009 01/02/2009 01/03/2009 01/04/2009 01/05/2009 01/06/2009 01/07/2009 01/08/2009 01/09/2009 01/10/2009 01/11/2009 01/12/2009 01/01/2010 01/02/2010 01/03/2010 01/04/2010 01/05/2010 01/06/2010

PRECIO FRUTO (MILES DE PESOS/TON) $ 680 $ 578 $ 445 $ 421 $ 442 $ 519 $ 513 $ 639 $ 675 $ 574 $ 463 $ 494 $ 492 $ 515 $ 487 $ 573 $ 585 $ 605 $ 659 $ 711 $ 747

Fuente: (Fedepalma, 2016)

-

FECHA 01/07/2010 01/08/2010 01/09/2010 01/10/2010 01/11/2010 01/12/2010 01/01/2011 01/02/2011 01/03/2011 01/04/2011 01/05/2011 01/06/2011 01/07/2011 01/08/2011 01/09/2011 01/10/2011 01/11/2011 01/12/2011 01/01/2012 01/02/2012 01/03/2012

PRECIO FRUTO (MILES DE PESOS/TON) $ 710 $ 720 $ 726 $ 761 $ 872 $ 1.045 $ 1.196 $ 1.340 $ 1.438 $ 1.195 $ 1.158 $ 1.201 $ 1.039 $ 775 $ 775 $ 735 $ 744 $ 737 $ 813 $ 621 $ 618

FECHA 01/04/2012 01/05/2012 01/06/2012 01/07/2012 01/08/2012 01/09/2012 01/10/2012 01/11/2012 01/12/2012 01/01/2013 01/02/2013 01/03/2013 01/04/2013 01/05/2013 01/06/2013 01/07/2013 01/08/2013 01/09/2013 01/10/2013 01/11/2013 01/12/2013

PRECIO FRUTO (MILES DE PESOS/TON) $ 600 $ 602 $ 550 $ 519 $ 471 $ 641 $ 611 $ 567 $ 572 $ 437 $ 461 $ 472 $ 437 $ 463 $ 444 $ 552 $ 538 $ 576 $ 575 $ 581 $ 715

86

ANEXO 2.

RENDIMIENTOS LOGARÍTMICOS DEL PRECIO DEL FRUTO DE LA PALMA DE ACEITE EN COLOMBIA

FECHA 01/01/2001 01/02/2001 01/03/2001 01/04/2001 01/05/2001 01/06/2001 01/07/2001 01/08/2001 01/09/2001 01/10/2001 01/11/2001 01/12/2001 01/01/2002 01/02/2002 01/03/2002 01/04/2002 01/05/2002 01/06/2002 01/07/2002 08/08/2002 08/09/2002 08/10/2002 08/11/2002 08/12/2002 01/01/2003 01/02/2003 01/03/2003 01/04/2003 01/05/2003 01/06/2003 01/07/2003

Rendimientos logarítmicos

-0,124562723 -0,041672696 0,056862862 0,06328145 -0,019048195 0,042359274 0,356674944 -0,116171432 0,014388737 0,014184635 0,054808236 -0,051293294 0,051293294 0,016529302 0,032260862 0,090971778 0,069958589 0 0,077961541 0,024692613 0 0,070617567 0,022472856 0,163629424 0,013121088 -0,071389996 -0,040821995 -0,133531393 0 0,03509132

FECHA

Rendimientos logarítmicos

FECHA

Rendimientos logarítmicos

01/08/2003 01/09/2003 01/10/2003 01/11/2003 01/12/2003 01/01/2004 01/02/2004 01/03/2004 01/04/2004 01/05/2004 01/06/2004 01/07/2004 01/08/2004 01/09/2004 01/10/2004 01/11/2004 01/12/2004 01/01/2005 01/02/2005 01/03/2005 01/04/2005 01/05/2005 01/06/2005 01/07/2005 01/08/2005 01/09/2005 01/10/2005 01/11/2005 01/12/2005 01/01/2006 01/02/2006

-0,081384604 0 0,124135771 0,199067489 -0,001806685 0,02146773 -0,032376929 0,089141952 0,036128724 0,009630893 -0,032470385 -0,043851883 -0,075169543 0 -0,030190972 -0,051091661 0,037590974 -0,06001801 -0,052922401 -0,00873368 0,140905453 -0,056822336 -0,077525717 -0,009676294 -0,021299634 -0,111622277 0,053802706 -0,026539555 0,002442004 0,042966036 0,004662013

01/03/2006 01/04/2006 01/05/2006 01/06/2006 01/07/2006 01/08/2006 01/09/2006 01/10/2006 01/11/2006 01/12/2006 01/01/2007 01/02/2007 01/03/2007 01/04/2007 01/05/2007 01/06/2007 01/07/2007 01/08/2007 01/09/2007 01/10/2007 01/11/2007 01/12/2007 01/01/2008 01/02/2008 01/03/2008 01/04/2008 01/05/2008 01/06/2008 01/07/2008 01/08/2008 01/09/2008

0,038773386 -0,098671528 0,014706147 0,092874125 -0,002219757 0,049847806 0,002111933 -0,097422113 0,088947486 0,002125399 -0,014973542 -0,008658063 0,065217638 0,028114301 0,103378354 0,031637085 0,131149666 -0,090466089 0,070542058 -0,017174505 0,068467799 0,147405292 -0,058802045 0,113136396 0,06288451 -0,002259888 -0,028688141 0,004645769 -0,08333123 -0,207833144 0,042495013

87

FECHA

Rendimientos logarítmicos

FECHA

Rendimientos logarítmicos

FECHA

Rendimientos logarítmicos

01/10/2008 01/11/2008 01/12/2008 01/01/2009 01/02/2009 01/03/2009 01/04/2009 01/05/2009 01/06/2009 01/07/2009 01/08/2009 01/09/2009 01/10/2009 01/11/2009 01/12/2009 01/01/2010 01/02/2010 01/03/2010 01/04/2010 01/05/2010 01/06/2010

0,010347469 -0,162518929 -0,261499587 -0,055441448 0,048677048 0,160594001 -0,011628038 0,219628609 0,054808236 -0,162083295 -0,214902342 0,064808463 -0,004056801 0,045688184 -0,055902778 0,162621594 0,020726131 0,033616611 0,085495076 0,075948895 0,049392755

01/07/2010 01/08/2010 01/09/2010 01/10/2010 01/11/2010 01/12/2010 01/01/2011 01/02/2011 01/03/2011 01/04/2011 01/05/2011 01/06/2011 01/07/2011 01/08/2011 01/09/2011 01/10/2011 01/11/2011 01/12/2011 01/01/2012 01/02/2012 01/03/2012

-0,050800215 0,013986242 0,008298803 0,047083343 0,136156066 0,18098274 0,13496577 0,113686958 0,070583645 -0,185107074 -0,031451806 0,036460164 -0,144895831 -0,293150962 0 -0,05299253 0,012170536 -0,009453143 0,098143217 -0,269400028 -0,004842624

01/04/2012 01/05/2012 01/06/2012 01/07/2012 01/08/2012 01/09/2012 01/10/2012 01/11/2012 01/12/2012 01/01/2013 01/02/2013 01/03/2013 01/04/2013 01/05/2013 01/06/2013 01/07/2013 01/08/2013 01/09/2013 01/10/2013 01/11/2013 01/12/2013

-0,029558802 0,00332779 -0,090339167 -0,058014395 -0,097045789 0,308171363 -0,047932498 -0,074737655 0,008779688 -0,269205796 0,053464848 0,023580943 -0,07704579 0,057793859 -0,041902492 0,217723484 -0,025689486 0,068249101 -0,00173762 0,010380716 0,207531786

Fuente: Elaboración Propia

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