Omega Number

O Homem do Omega do artigo da New Scientist magazine, 10 Março de 2001. (tradução de León de http://locuspastoralis.blogspot.com [email protected])

Castela

Ele despedaçou a matemática com um único número, e isso é apenas para principiantes, diz Marcus Chown. DOIS mais dois é igual a quatro: ninguém discutiria isso. Matemáticos podem provar rigorosamente coisas desse tipo, e muitos outras coisas além. A linguagem da matemática permite-lhes prover formas limpas e ordenadas de descrever tudo que acontece no mundo ao nosso redor. Ou pelo menos era o que pensavam. Gregory Chaitin, um pesquisador matemático da T. J. Watson Research Center da IBM em Yorktown Heights, Nova Iorque, mostrou que matemáticos não podem realmente provar muito afinal. Fazer matemática, ele diz, é somente um processo de descoberta como qualquer outro ramo da ciência: é um campo experimental onde os matemáticos tropeçam em fatos, da mesma forma que os zoologistas podem se deparar com um nova espécie de primata. Matemática tem sempre sido considerada como livre de incertezas e capaz de fornecer uma fundação pura para outros campos bagunçados da ciência. Mas a matemática é tão mais bagunçado quanto, diz Chaitin: Matemáticos estão simplesmente atuando na intuição e experimentando novas ideias como quaisquer outros. Zoologistas pensam que deve haver algo novo balouçando de galho em galho nas florestas inexploradas de Madagascar, e matemáticos possuem palpites sobre quais áreas da paisagem matemática explorar. O questão não é mais profunda que isso. A razão para as declarações provocativas de Chaitin é que ele descobriu que o núcleo da matemática está cheio de buracos. Chaitin mostrou que há um número infinito de fatos matemáticos, mas para a maior parte, não há

relação entre eles sendo impossível ligá-los com teoremas. Se matemáticos encontram quaisquer conexões entre esses fatos, são por pura sorte. “Muito em matemática é verdadeiro por nenhuma razão particular”, diz Chaitin. “Matemática é verdadeira por acidente”. Isso é especificamente uma má notícia para os físicos na busca de uma descrição completa e concisa do universo. Matemática é a linguagem da física, logo a descoberta de Chaitin implica que nunca haverá uma “teoria do todo” confiável, engenhosamente resumindo todas as características básicas da realidade em um só conjunto de equações. É uma pílula amarga de engolir, mas até Steven Weinberg, um físico laureado com o prêmio Nobel e autor de Sonhos de uma Teoria Final, engoliu-a. “Não saberemos nunca se a nossa teoria matemática final é consistente”, ele admite. A praga matemática de Chaitin não é um teorema abstrato ou uma equação impenetrável: é simplemente um número. Este número que Chaitin chama de Omega, é real, assim como pi é real. Porém Omega é infinitamente longo e totalmente incalculável. Chaitin descobriu que Omega infecta o todo da matemática, pondo limites fundamentais no que podemos conhecer. E Omega é só o começo. Há números mais perturbadores ─ Chaitin denomina-os de SuperOmegas ─ que desafiarão o cálculo, mesmo que consigamos resolver o Omega. A estirpe Omega de números incalculáveis revela que a matemática está simplesmente roída por traças, ela é em sua maioria feita de frestas. Anarquia e, não ordem, está no coração do Universo. Chaitin descobriu Omega e suas surpreendentes propriedades enquanto lutava com duas das mais influentes descobertas matemáticas do século XX. Em 1931, o matemático austríaco Kurt Gödel explodiu uma fresta na matemática: seu Teorema da Incompletude mostrou que há alguns teoremas matemáticos que você não pode provar. Então, cinco anos depois, o matemático britânico Allan Turing aprimorou o trabalho de Gödel. Usando um computador hipotético que podia imitar o funcionamento de qualquer máquina, Turing mostrou que há algo que nunca pode ser

computado. Não há instruções as quais possa dar a um computador que permitirão decidir com antecedência onde um determinado programa deve terminar sua tarefa ou parar. Para saber se um programa irá finalmente parar ─ depois de um dia, uma semana, trilhão de anos ─ você tem que executá-lo e esperar. Ele chamou isso de problema de parada. Décadas depois, nos anos 60, Chaitin retomou onde Turing havia parado. Fascinado pelo trabalho de Turing, ele começou a investigar o problema de parada. Ele considerou todos os possíveis programas que o computador hipotético de Turing poderia executar, e buscou pela probabilidade de um programa, escolhido ao acaso entre outros programas, parar. O trabalho levou 20 anos, porém ele finalmente provou que “a probabilidade de parada” transforma a pergunta de Turing de quando um programa para em um número real, algo entre 0 e 1. Chaitin chamou esse número de Omega. E mostrou que do mesmo modo que não há instruções computáveis determinando de antemão quando um programa deve parar, não há também instruções para determinar os dígitos de Omega. Omega é incalculável. Alguns números, como pi, podem ser gerados por um programa relativamente pequeno que calcula seu número infinito de dígitos um a um ─ o quão longe você vá é simplesmente uma questão de tempo e recursos. Outro exemplo de um número calculável pode ser um que contém 200 repetições da sequência 0101. O número é longo, mas o programa que o gera só precisa dizer “repita 01 400 vezes”. Não há tal programa para Omega. Em binário, ele consiste de uma interminável cadeia aleatória de 0s e 1s. “Meu número Omega não tem padrão ou estrutura ou coisa semelhante”, diz Chaitin. “É uma cadeia de 0s e 1s na qual cada dígito é tão desvinculada de seu predecessor quanto um lance moeda é do outro. O mesmo processo que levou Turing a que o problema de parada é indeciso, levou Chaitin a descobrir um desconhecido. “É o incrível exemplo

concluir também número de algo

que é desconhecido em matemática”, diz Chaitin. Um número desconhecível não seria um problema se nunca virasse a cabeça. Todavia desde que Chaitin descobriu Omega, começou a cogitar se ele não teria implicações no mundo real. Então ele decidiu procurar por lugares na matemática onde Omega poderia aparecer. Até agora, ele olhou adequadamente em um lugar: teoria dos números. Teoria dos números é o fundamento da matemática pura. Ela mostra como lidar com conceitos como contagem, adição e multiplicação. A busca de Chaitin por Omega em teoria do números começou com as Equações de Diofantine ─ que envolvem apenas conceitos simples de adição, multiplicação e exponenciação(elevar um número à potência de outro) de números inteiros. Chaitin formulou uma equação diofantina de 200 páginas com 17000 variáveis. Dada uma equação como essa, matemáticos normalmente procuram por suas soluções. Pode haver qualquer número de respostas: talvez 10, 20, ou talvez um número infinito delas. Contudo Chaitin não procurou por soluções específicas, ele somente observou se havia um número finito ou infinito delas. Ele fez isso porque sabia que era a chave para desencavar Omega. Os matemáticos James Jones da Universidade de Calgary e Yuri Matijasevic do Instituto de Matemática Steklov em S. Petersburgo mostrou como traduzir as operações do computador de Turing em uma equação de Diofantine. Eles descobriram que há uma relação entre as soluções das equações e o problema de parada para o programa da máquina. Especificamente, se um programa nunca para, a equação de Diofantine específica não terá solução. De fato, a equação proporciona uma ponte entre o problema de parada de Turing ─ e portanto a probabilidade de parada de Chaitin ─ com simples operações matemáticas, como adição e multiplicação de números inteiros. Chaitin arranjou sua equação de maneira que houvesse uma variável particular, um parâmetro

que chamou de N, que fornece a chave para encontrar Omega. Quando ele substituiu números por N, a análise da equação forneceria dígitos de Omega em binário. Quando ele colocava 1 no lugar de N, ele perguntava se havia um número finito ou infinito de soluções inteiras para a equação. A resposta dá o primeiro dígito de Omega: um número finito de soluções farão desse número 0, um número infinito farão dele 1. Substituindo 2 por N e fazendo a mesma pergunta a respeito da solução da equação darão o segundo dígito de Omega. Chaitin poderia, em teoria, continuar para sempre. “Minha equação é construída de maneira que perguntando se tem finita ou infinitamente muitas soluções ao variar o parâmetro é o mesmo que descrever os bits de Omega“, diz. No entanto, Chaitin já sabia que cada dígito de Omega é randômico e independente. Isso só poderia significar uma coisa. Porque descobrir se uma equação de Diofantine tem um número finito ou infinito de soluções gera esses dígitos, cada resposta à equação deve ser desconhecível e independente de cada outra. Em outras palavras, a aleatoriedade dos dígitos de Omega impoem limites do que pode ser conhecido em teoria dos números ─ o mais elementar dos campos da matemática. “Se a aleatoriedade está em algo básico como teoria dos números, onde mais está?” pergunta Chaitin. Ele acha que sabe a resposta. “Meu palpite é de que está em toda parte”, diz. “A aleatoriedade é o veradeiro fundamento da matemática”. O fato de que a aleatoriedade está em toda parte tem profundas consequências, diz John Casti, um matemático do Instituto Santa Fe no Novo México e da Universidade Tecnológica de Viena. Isso significa que alguns pedaços da matemática podem seguir um do outro, mas para a maioria das situações matemáticas elas não existirão. E são não pode fazer conexões, você não pode resolver ou provar coisas. Tudo o que o matemático pode fazer é almejar encontrar os poucos pedaços de matemática que se amarram. “O trabalho de Chaitin mostra que problemas solucionáveis são como ilhas num vasto oceano de proposições indecisíveis”, diz Casti.

Tome o problema de números perfeitos ímpares. Um número perfeito tem divisores cuja soma iguala-se ao número. Por exemplo, 6 é perfeito, pois seus divisores são 1, 2 e 3 e somam 6. Há muitos números perfeitos pares, não obstante ninguém encontrou um número ímpar que é perfeito. E além disso, ninguém provou que um número ímpar não pode ser perfeito. Hipóteses improváveis como esssa e a de Riemann que tornou-se uma case incerta de vários outros teoremas(New Scientist, 11 Novembro 2000 p.32) são exemplos de coisas que deveriam ser aceitas como não prováveis porém verdadeiras, sugere Chaitin. Em outras palavras, há algumas coisas que cientistas vão sempre ter que confiar. Não é de surpreender que os matemáticos tiveram dificuldade de lidar com Omega. Mas há pior por vir. “Nós podemos ir além de Omega”, diz Chaitin. Em seu livro, Explorando a Aleatoriedade(New Scientist, 10 Janeiro, p 46), Chaitin agora soltou os “Super-Omegas”. Como Omega, os Super-Omegas também devem sua gênese a Turing. Ele imaginou um computador-Deus, muito mais poderoso que qualquer computador, que poderia conhecer o inconhecível: onde um computador real pararia ao rodar um programa, ou continuar indefinidamente. Ele chamou essa máquina fantástica de “oráculo”. E logo que Chaitin descobriu Omega ─ a probabilidade de certo certo programa de computador poder finalmente parar ─ ele percebeu que podia também imaginar um oráculo que conheceria Omega. Essa máquina teria sua própria incógnita probabilidade de parada, Omega'. No entanto, se um oráculo conhece Omega, é fácil imaginar um oráculo de segunda ordem que conhece Omega'. Essa máquina, por sua vez, tem sua própria probabilidade de parada, Omega'', que é somente conhecida por um oráculo de terceira ordem e assim por diante. De acordo com Chaitin, há uma infinita sequência de crescentes Omegas aleatórios. “Há até um oráculo vê-tudo de infinita ordem que conhece todos os Omegas”, diz. Ele guardou, para si próprio, esses números por décadas, achando-os muito bizarros para serem relevantes para o mundo. Assim como Turing

olhou seu computador-Deus como um devaneio, Chaitin achou que esses Super-Omegas fossem números fantásticos emergindo de máquinas fantásticas. Porém, Veronica Becher da Universidade de Buenos Aires mostrou que Chaitin estava errado: os Super-Omegas são reais e importantes. Chaitin está genuinamente surpreso por esta descoberta. “Incrivelmente eles tem um verdadeiro significado para computadores reais”, ele diz. Becher tem colaborado com Chaitin por quase um ano e está ajudando a trazer os SuperOmegas para o mundo real. Como uma cientista da computação, ele se pergunta se não há ligação entre Omega, os Omegas de alta-ordem e computadores reais. Computadores reais não apenas realizam cálculos finitos fazendo uma ou poucas coisas e parar. Eles podem desempenhar cálculos infinitos, produzindo uma série infinita de resultados. “Muitos aplicativos de computadores são produzidos para gerar um número infinito de saída”, diz Becher. Exemplos incluem Web browsers como Netscape e sistemas operacionais como Windows 2000. Esse exemplo deu a Becher um caminho para explorar: a probabilidade de, através de infinitos cálculos, uma máquina pode vir a produzir apenas um número finito de saídas. Para fazê-lo, Becher e seu estudante Sergio Daicz usou uma técnica desenvolvida por Chaitin. Eles tomaram um computador real e transformaram-no em uma aproximação de um oráculo. O “falso oráculo” decide quando um programa para se ─ e somente se ─ ele para dentro de um tempo T. Um computador real pode manipular essa versão mais atenuada do problema de parada. “Então você deixa T tender ao infinito”, diz Chaitin. Isso permite às deficiências do falso diminuírem enquanto executa mais e mais. Usando variações dessa técnica, Becher e Daicz descobriram que a probabilidade de um cálculo infinitoproduzir saídas finitas é o mesmo que Omega', a probabilidade de parada do oráculo. Indo além, eles mostraram que Omega'' é equivalente à probabilidade de, durante um cálculo infinito, um computador falhará em produzir uma saída ─ por exemplo, obter

nenhum resultado de um cálculo e ir para o seguinte ─ e que ele fará isso um número limitado de vezes. Isso pode parecer coisas estranhas para vos aborrecer, mas Chaitin acredita que isso é um passo importante. “O trabalho de Becher faz toda hierarquia de números Omega parecer mais crível”, diz ele. Coisas que Turing ─ e Chatin ─ imaginou ser pura fantasia são realmente verdade. Agora que os Super-Omegas estão sendo revelados no mundo real, Chaitin está certo de que eles irão estourar por toda matemática, assim como Omega. Os Super-Omegas são ainda mais aleatórios que Omega: se os matemáticos conseguirem saltar sobre os obstáculos de Omega, eles encontraram uma barreira ainda maior quando confrontados com os resultados de Becher. E tem efeitos devastadores em outros lugares. Becher e Chaitin admitem que a completa implicação de suas novas descobertas tem ainda que ser esclarecidas, mas a matemática é central em muitos aspectos da ciência. Certamente qualquer teoria do todo, enquanto tenta unir todos os fatos sobre o Universo, terá que pular muitos obstáculos para provar seu valor. A descoberta de Omega expôs as frestas na matemática, fazendo a pesquisa na área parecer uma loteria, e demoliu esperanças em uma teoria do todo. Quem sabe do que os SuperOmegas são capazes? “Isso”, diz Chaitin, “é só o começo”.