SEGUNDO NIVEL 1. En una circunferencia se marcaron 108 puntos que dividen a la circunferencia en 108 arcos iguales. Comenzando en uno de estos puntos, y siguiendo el sentido de las agujas del reloj, Nico escribió un número al lado de cada punto marcado. De este modo quedaron escritos 108 números alrededor de la circunferencia (puede haber números repetidos). La suma de 20 números ubicados en puntos consecutivos de la circunferencia es siempre igual a 1000. El primer número que escribió Nico es el 1. En el lugar 19 escribió el número 19 y en el lugar 50 escribió el número 50. Determinar el número que Nico escribió en el lugar 100. 2. En una olimpíada de matemática los participantes tenían que escribir un número entero positivo en cada casilla de un tablero de 3 × 3 de modo que en cada fila y en cada columna, la multiplicación de los tres números sea igual a 120. Estaba permitido repetir números. Resultó que todos los participantes resolvieron correctamente el problema, pero todos obtuvieron una respuesta diferente. Determinar cuál es el máximo número de participantes que pudo haber en esa olimpíada. 3. Se tiene un rectángulo ABCD de lados AB = CD = 65 y BC = AD = 156. Se traza la circunferencia de centro A que pasa por C. La recta BD corta a la circunferencia en E y F. Calcular la longitud del segmento EF. SEGUNDO NIVEL 1. Sea ABCD un rectángulo de lados AB = 10 y BC = 7. Sea K el punto medio de AB y L el punto medio AD . Si la paralela a BC trazada por K corta a BL en M , calcular CM . 2. Un biólogo que estudia una colonia de aves migratorias hizo las siguientes observaciones a lo largo de un día: A mediodía se fueron 30 machos que ya no regresaron, y quedaron en la colonia 2 hembras por cada macho. A la tarde se fueron 90 hembras, que ya no regresaron, y quedaron en la colonia 3 machos por cada hembra. Determinar cuántas aves tenía la colonia antes del mediodía. 2 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 24 32 30 28 26 34 36 38 40 48 46 44 42 3. Los números enteros positivos pares se escriben en una tabla de cinco columnas, siguiendo el esquema de la figura. Determinar en qué fila, contando de arriba hacia
abajo, y en qué columna, contando de izquierda a derecha, estará escrito el 2008. ACLARACIÓN: La figura muestra las primeras 6 filas de la tabla, y el número 28, por ejemplo, está en la cuarta fila y en la tercera columna. SEGUNDO NIVEL 1. En cada casilla de un tablero de 3 ´ 4 se escribe uno de los números 1, 2, 3, 4 de modo que en cada fila los cuatro números de esa fila sean distintos, y en cada columna los tres números de esa columna sean distintos. Calcular cuántos tableros diferentes se pueden obtener. 2. Inicialmente hay un número entero positivo escrito en el pizarrón. Alex debe escribir una sucesión de enteros positivos usando en cada paso una de las siguientes operaciones, a su elección: Si el último número escrito es n , Alex puede escribir el número 3 n + 13. Si el último número escrito es n , y n es un cuadrado perfecto, Alex puede escribir el número . a) Si el número inicial es 81, decidir si Alex puede elegir las sucesivas operaciones para obtener en algún momento el número 55. b) Si el número inicial es 55, decidir si Alex puede elegir las sucesivas operaciones para obtener en algún momento el número 81. ACLARACIÓN: Se llama cuadrado perfecto al cuadrado de un número entero. 3. Sea ABC un triángulo rectángulo en A . Sea D en BC tal que AD es perpendicular a BC . La bisectriz del ángulo corta al lado AB en M y la bisectriz del ángulo corta a BC en N . Si AC = 10 y BC = 30, calcular el perímetro del cuadrilátero AMND . SEGUNDO NIVEL 1. Se tienen dos recipientes, cada uno de ellos con 100 litros de capacidad. Inicialmente contienen entre los dos 100 litros de jugo. Se agrega jugo al primer recipiente hasta completar su capacidad. Luego se vierte jugo del primer recipiente al segundo hasta completar la capacidad del segundo. Finalmente, se vierten 12 litros del segundo recipiente en el primero. Así resulta que en el segundo recipiente hay 10 litros más de jugo que en el primero. Determinar cuánto jugo tenía inicialmente cada recipiente. 2. Se tienen 20 tarjetas, cada una con un número entero distinto desde el 1 hasta el 20. Hay que formar 9 grupos de tarjetas de modo que en cada grupo la multiplicación de los números de las tarjetas sea un cuadrado perfecto. Cada tarjeta se usa como mucho una vez y puede haber tarjetas que no se usan. Los grupos pueden tener una o más tarjetas cada uno, y si un grupo tiene una sola tarjeta el número de esa tarjeta tiene que ser un cuadrado perfecto. 3. Sea ABCD un cuadrado de papel de lados AB = BC = CD = DA =10. El cuadrado se dobla a lo largo de una línea recta, haciendo coincidir el vértice A con el punto medio del lado BC . Esta línea recta corta al lado AB en E y al lado CD en F . Calcular la medida de EF . SEGUNDO NIVEL
1. En una circunferencia se marcaron 108 puntos que dividen a la circunferencia en 108 arcos iguales. Comenzando en uno de estos puntos, y siguiendo el sentido de las agujas del reloj, Nico escribió un número al lado de cada punto marcado. De este modo quedaron escritos 108 números alrededor de la circunferencia (puede haber números repetidos). La suma de 20 números ubicados en puntos consecutivos de la circunferencia es siempre igual a 1000. El primer número que escribió Nico es el 1. En el lugar 19 escribió el número 19 y en el lugar 50 escribió el número 50. Determinar el número que Nico escribió en el lugar 100. 2. En una olimpíada de matemática los participantes tenían que escribir un número entero positivo en cada casilla de un tablero de 3 × 3 de modo que en cada fila y en cada columna, la multiplicación de los tres números sea igual a 120. Estaba permitido repetir números. Resultó que todos los participantes resolvieron correctamente el problema, pero todos obtuvieron una respuesta diferente. Determinar cuál es el máximo número de participantes que pudo haber en esa olimpíada. 3. Se tiene un rectángulo ABCD de lados AB = CD = 65 y BC = AD = 156. Se traza la circunferencia de centro A que pasa por C. La recta BD corta a la circunferencia en E y F. Calcular la longitud del segmento EF. SEGUNDO NIVEL 1. Hallar los seis números que se deben escribir en cada una de las seis casillas vacías para obtener un cuadrado mágico: las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales tienen la misma suma.
2. Ana, Beto, Ceci, Dany y Eva tienen entre los cinco 80 monedas de un peso. La cantidad de monedas que tienen en conjunto Beto y Dany es igual a la quinta parte de las que tienen, en conjunto, Ana y Ceci. La cantidad de monedas que tienen en conjunto Ceci y Dany es igual a 6 veces las que tienen, en conjunto, Ana y Beto. Determinar cuántas monedas tiene cada uno si se sabe que Beto tiene 2 monedas más que Ana. 3. Sean P y Q puntos del plano tales que radio 25 corta al segmento PQ en A.
. La circunferencia de centro Q y
La recta perpendicular a PQ trazada por A corta a la circunferencia de centro P y radio 41 en los puntos B y C. Calcular la medida del segmento BC. SEGUNDO NIVEL 1. En un colegio, el 81% de los alumnos estudia inglés y el 80% de los alumnos estudia computación. La proporción de los alumnos que estudian inglés entre los que estudian computación es igual al doble de la proporción de los alumnos que estudian inglés entre los que no estudian computación. Hallar el porcentaje de alumnos de la escuela que no estudia ni inglés ni computación. 2. La profesora escribe en el pizarrón una fila de dígitos 8 y le pide a un alumno que intercale algunos signos + para que la suma que quede indicada tenga resultado 1000. Dar todas las posibilidades para la cantidad de dígitos 8 que debe escribir la profesora para que la tarea del alumno tenga solución. 3. En el triángulo ABC, sea P un punto interior. La recta AP corta al lado BC en D, la recta BP corta al lado AC en E y la recta CP corta al lado AB en F. Se sabe que área (APF) =168; área(BPD)=80; área (CPD) = 60 y área (CPE) = 70. Calcular el área del triángulo APE y el área del triángulo BPF.