Oleh : Dr. Ir. Dyah Rini Ratnaningsih, MT
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
2. Persamaan diferensial Parsial (PDP)-Partial Differential Equarions(PDE) PDP adalah persamaan diferensial yg mempunyai lebih dari satu perubah bebas. Turunan fungsi terhadap setiap perubah bebas dilakukan secara parsial
Solusi eksak :
Solusi Numerik :
Dx = 0,5
dan Dx = 0,25
x = 0 sampai x = 4 Untuk i = 0 y1 = y0 + f(x0,y0)Dx x=0 Maka : f(x) = -0,5 (0)+4(0)-10(0)+8,5(0)+1 = 1, sehingga y(0,5) = y(0) +f(0,1)0,5 Kemiringan garis di titik (x0;y0) adalah : dy/dx =f(0,1)= -2(0)3+12(0)2-20(0)+8,5 = 8,5
Kesalahan Metode Euler Persamaan diferensial biasa menimbulkan dua tipe kesalahan, yaitu : Kesalahan pemotongan, disebabkan oleh teknik penyelesaian yg digunakan untuk memperkirakan nilai y. Kesalahan pembulatan, disebabkan oleh keterbatasan jumlah angka (digit) yg digunakan dalam hitungan. Kesalahan pemotongan Kesalahan pemotongan lokal, terjadi karena pemakaian suatu metode pada satu langkah Kesalahan pemotongan menyebar akibat dari perkiraan yang dihasilkan pada langkah-langkah berikutnya Gabungan kesalahan diatas kesalahan pemotongan Global
Misal persamaan diferensial : y’ = f (x,y) (7.7) dengan y’ = dy/dx Penyelesaian persamaan diatas dapat menggunakan deret Taylor sebagai berikut : (7.8) Persamaan (7.7) disubstitusikan kedalam persamaan (7.8) (7.9) Kesalahan yg terjadi dari metode Euler karena tidak memperhitungkan suku-suku terakhir dari persamaan (7.9) yaitu (7.10)
dimana Et adalah kesalahan pemotongan lokal eksak. Untuk Dx <<< maka kesalahan @ persamaan (7.10) Akan berkurang dengan bertambahnya order.
Contoh 2. Hitung kesalahan yang terjadi dari penggunaan metode Euler dalam contoh 1 pada langkah pertama.
Metode Runge-Kutta Ketelitian lebih besar dari metode Euler dan tidak memerlukan
turunan dari fungsi. Bentuk umum metode Runge- Kutta :
Bambang Triatmojo 186
Nilai a2 dapat dipilih sembarang, maka akan terdapat banyak metode Runge-Kutta order 2 1. Metode Heun Apabila a2 dianggap ½, maka persamaan (7.28a) dan (7.28b) dapat diselesaikan dan diperoleh :
Parameter tsb. apabila disubstitusikan kedalam persamaan (7.22a) akan menghasilkan : (7.29a) dengan : (7.29b) (7.29c) dimana k1 adalah kemiringan fungsi pada awal interval dan k2 adalah kemiringan fungsi pada akhir interval.
2. Metode Poligon (a2 = 1) Apabila a2 dianggap 1/2 , maka persamaan (7.28a) dan (7.28b) dapat diselesaikan dan diperoleh : a1 = 0 p1 = q11 = ½ Parameter tsb. apabila disubstitusikan kedalam persamaan (7.22a) akan menghasilkan : yi+1 = yi + k2 Dx (7.30a) dengan , k1 = f (xi, yi) k2 = f (xi + ½ Dx, yi + ½ k1 Dx)
(7.30b) (7.30c)
Metode Raltson memilih a2 = 2/3 diperoleh : a1 = 1/3 p1 = q11 = ¾
TERIMA KASIH
32