Oleh: Dr. Ir. Dyah Rini Ratnaningsih, Mt

Oleh : Dr. Ir. Dyah Rini Ratnaningsih, MT

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

2. Persamaan diferensial Parsial (PDP)-Partial Differential Equarions(PDE) PDP adalah persamaan diferensial yg mempunyai lebih dari satu perubah bebas. Turunan fungsi terhadap setiap perubah bebas dilakukan secara parsial

Solusi eksak :

Solusi Numerik :

Dx = 0,5

dan Dx = 0,25

x = 0 sampai x = 4 Untuk i = 0 y1 = y0 + f(x0,y0)Dx x=0 Maka : f(x) = -0,5 (0)+4(0)-10(0)+8,5(0)+1 = 1, sehingga y(0,5) = y(0) +f(0,1)0,5 Kemiringan garis di titik (x0;y0) adalah : dy/dx =f(0,1)= -2(0)3+12(0)2-20(0)+8,5 = 8,5

Kesalahan Metode Euler Persamaan diferensial biasa menimbulkan dua tipe kesalahan, yaitu :  Kesalahan pemotongan, disebabkan oleh teknik penyelesaian yg digunakan untuk memperkirakan nilai y.  Kesalahan pembulatan, disebabkan oleh keterbatasan jumlah angka (digit) yg digunakan dalam hitungan. Kesalahan pemotongan  Kesalahan pemotongan lokal, terjadi karena pemakaian suatu metode pada satu langkah  Kesalahan pemotongan menyebar akibat dari perkiraan yang dihasilkan pada langkah-langkah berikutnya  Gabungan kesalahan diatas kesalahan pemotongan Global

Misal persamaan diferensial : y’ = f (x,y) (7.7) dengan y’ = dy/dx Penyelesaian persamaan diatas dapat menggunakan deret Taylor sebagai berikut : (7.8) Persamaan (7.7) disubstitusikan kedalam persamaan (7.8) (7.9) Kesalahan yg terjadi dari metode Euler karena tidak memperhitungkan suku-suku terakhir dari persamaan (7.9) yaitu (7.10)

dimana Et adalah kesalahan pemotongan lokal eksak. Untuk Dx <<< maka kesalahan @ persamaan (7.10) Akan berkurang dengan bertambahnya order.

Contoh 2. Hitung kesalahan yang terjadi dari penggunaan metode Euler dalam contoh 1 pada langkah pertama.

Metode Runge-Kutta  Ketelitian lebih besar dari metode Euler dan tidak memerlukan

turunan dari fungsi.  Bentuk umum metode Runge- Kutta :

 Bambang Triatmojo 186

Nilai a2 dapat dipilih sembarang, maka akan terdapat banyak metode Runge-Kutta order 2 1. Metode Heun Apabila a2 dianggap ½, maka persamaan (7.28a) dan (7.28b) dapat diselesaikan dan diperoleh :

Parameter tsb. apabila disubstitusikan kedalam persamaan (7.22a) akan menghasilkan : (7.29a) dengan : (7.29b) (7.29c) dimana k1 adalah kemiringan fungsi pada awal interval dan k2 adalah kemiringan fungsi pada akhir interval.

2. Metode Poligon (a2 = 1) Apabila a2 dianggap 1/2 , maka persamaan (7.28a) dan (7.28b) dapat diselesaikan dan diperoleh : a1 = 0 p1 = q11 = ½ Parameter tsb. apabila disubstitusikan kedalam persamaan (7.22a) akan menghasilkan : yi+1 = yi + k2 Dx (7.30a) dengan , k1 = f (xi, yi) k2 = f (xi + ½ Dx, yi + ½ k1 Dx)

(7.30b) (7.30c)

Metode Raltson memilih a2 = 2/3 diperoleh : a1 = 1/3 p1 = q11 = ¾

TERIMA KASIH

32