Oficial De Trabajo De Resistencia.docx

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN “DEFORMACIONES DE VIGA” PRESENTADO POR: Oscar Daniel Jalanoca Queque

TACNA – PERÚ

2018

Índices

INTRODUCCION

En muchas ocasiones en el estudio de materiales de una área determinada se hace necesario conocer el metrado de las cargas de gravedad de fuerza sobre esa área así tal manera hallar las diferentes reacciones, momentos flectores, fuerzas cortantes y las deformaciones que son capaces de soportar diferentes materiales.

En este informe nos centramos en observar y analizar el plano de una edificación de un colegio I.E.Carlos Wiesse, es por ello que el punto principal es analizar y confirmar que esta debe estar diseñada de acuerdo a las normas y restricciones que rigen en nuestro país. El concreto de losa siendo de 𝑓´𝑐 = 210 𝑘𝑔. 𝑓⁄𝑐𝑚2 , La viga presenta incógnitas exageradas es necesario incorporar nuevos métodos, tras las distintas cargas sobre la viga generan deformación que le ocurre al soportar su dicha cagar y poder hallar su ángulo de giro y deflexión.

En este trabajo se va a usar la ayuda de la NORMA E 0.20 CARGAS, métodos cross y la ayuda de programas como SAP 2000 para la dicha verificación de los resultados mostrados.

RESUMEN

El presente trabajo tiene como objetivo el análisis y diseño estructural de un edificio multifamiliar de concreto armado de un sótano y seis pisos, ubicado en el distrito de Miraflores, sobre un terreno con suelo de perfil tipo S1 (capacidad portante 4.0 kg/cm2)

El edificio se proyecta sobre un terreno rectangular de 628 m2 , cuya área techada se distribuye de la siguiente manera: el sótano está destinado a los estacionamientos de los departamentos, el primer nivel está destinado una zona para los estacionamientos restantes de los departamentos, y otra para el ingreso de personas al lobby y al resto del edificio, los demás son pisos típicos con 6 departamentos por piso siendo un total de 30 departamentos, para lo cual se instaló dos ascensores para su circulación.

La estructuración y predimensionamiento se realizó utilizando los criterios recibidos en los cursos de concreto armado y de acuerdo a la arquitectura del edificio.

En cuanto al diseño del edificio se utilizó un sistema estructural en base a pórticos y muros de corte en ambas direcciones de análisis XX e YY con la finalidad de darle una adecuada rigidez a la estructura y controlar los desplazamientos laterales. El sistema de techado utilizado es de losas aligeradas en una dirección y losas macizas en ambas direcciones. En el sótano se cuenta con muros de concreto armado para controlar el empuje de tierra. Una vez predimensionados los elementos se procedió al metrado de cargas verticales y posteriormente al análisis sísmico del edificio siguiendo las pautas de la Norma Peruana de Diseño Sismorresistente E.030., comprobándose que todos los resultados obtenidos estuvieran en el rango establecido por la norma Finalmente, se procedió al diseño de todos los elementos estructurales, procurando que se cumplan todos los lineamientos de la Norma Peruana de Concreto Armado E.060.Los elementos diseñados fueron los siguientes: losas aligeradas y losas macizas, vigas columnas, muros de corte (placas), escaleras, cisterna y cimentación del edificio.

DEFORMACIONES DE VIGA

1. OBJETIVOS

1.1.

OBJETIVO PRINCIPAL -

Identificar varias particularidades de la viga como la carga muerta, la carga viva, el ancho tributario, la flecha máxima y ángulo de giro máximo con el método de Cross en la viga

1.2.

OBJETIVOS SECUNDARIOS -

Realizar los cálculos de reacciones de los apoyos móviles y el empotrado, mediante el método de Cross de la viga hiperestática.

-

Encontrar las distintas deformaciones por medio del método de doble integración, Realizar los cálculos para hallar los esfuerzos de deformación y esfuerzos

-

Demostrar que las reacciones son las mismas en el programa SAP 2000 como los resultados obtenidos con el método de cross.

2. JUSTIFICACIÓN

Se realiza el presente trabajo para conocer el análisis general de la viga hiperestática

para

determinar la flecha máxima y su ángulo de giro máximo, su esfuerzo por flexión, cortante máximo y asi de tal manera se pretende mediante los resultados manuales, mediantes la comparación obtenidos en el programa SAP 2000 obtener los resultados verdaderos.

3. FUNDAMENTO TEORICO

3.1.

REGLAMENT NACIONAL DE EDIFICACIONES NORMA E.020

Las edificaciones deberán ser capaces de resistir las cargas que se les imponga como consecuencia de su uso previsto. Las cargas no deben causar esfuerzos ni deformaciones que excedan los señalados para cada material estructural en su norma de diseño específica. En ningún caso las cargas empleadas en el diseño serán menores que los valores mínimos establecidos en Norma. (Norma E.020).

3.1.1. CARGA Fuerza u otras acciones que resulten del peso de los materiales de construcción, ocupantes y sus pertenencias, efectos del medio ambiente, movimientos diferenciales y cambios dimensionales restringidos.

3.1.2. CARGA MUERTA Es el peso de los materiales, dispositivos de servicio, equipos, tabiques y otros elementos soportados por la edificación, incluyendo su peso propio, que se propone sean permanentes o con una variación en su magnitud, pequeña en el tiempo.

3.1.3.

CARGA VIVA

Es el peso de todos los ocupantes, materiales, equipos, muebles y otros elementos movibles soportados por la edificación

3.2.

LOSA ALIGERADA

Se les denomina losas aligeradas a un tipo de losas en la que parte del concreto se reemplaza por otros materiales, forman parte de la estructura de una vivienda, están hechos de concreto armado y se utilizan como entrepisos. Pueden apoyarse sobre los muros

portantes, vigas o placas. Las losas aligeradas no requieren el uso de encofrados metálicos pues el ladrillo actúa como encofrado lateral de las viguetas. Las losas aligeradas cumplen básicamente tres funciones: -

Transmitir hacia los muros o vigas el peso de los acabados, su mismo peso, el peso de los muebles, el de las personas, etc.

-

Transmitir hacia los muros las fuerzas que producen los terremotos.

-

Unir los otros elementos estructurales (columnas, vigas y muros) para que toda la estructura trabaje en conjunto, como si fuera una sola unidad.

3.2.1. LOSAS ALIGERADAS CON LADRILLOS Las losas aligeradas no requieren el uso de encofrados metálicos pues el ladrillo actúa como encofrado lateral de las viguetas. Las losas macizas son diseñadas como vigas de ancho unitario. Este tipo de estructuras no son convenientes si se trata de salvar luces grandes, pues resultan muy pesadas y antieconómicas. Tienen poca rigidez y vibran demasiado. Las losas aligeradas se calculan por vigueta, la más usadas son de 20 y 25 cm. Con un espesor de losa de 5 cm, y un ancho de vigueta de 10 cm. Por cuestiones constructivas, es aconsejable no colocar más de dos varillas de acero por vigueta.Para el diseño de losas aligeradas con ladrillos, el peso propio de la losa se puede estimar empleando

3.3.

METODO DE CROSS 3.3.1. HISTORIA

El método de distribución de momentos o Método de Cross, es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos, desarrollado por Hardy Cross. Publicado por primera vez en 1930, En los estados Unidos, usando medios teóricos

extremadamente simples, permite determinar de una manera muy clara los momentos flectores en los nudos de vigas continuas, pórticos, etc. (Mezger, 1958) Desde esa fecha hasta que las computadoras comenzaron a ser usadas en el diseño y análisis de estructuras, el método de distribución de momentos fue el más usado.

3.3.2. APLICACIÓN PASO A PASO

En una barra empotrada se aplica un momento M en el extremo que puede girar, en el extremo contrario el empotramiento se genera un momento de respuesta. Entonces cada vez que la barra rotulada apliquemos un momento en el extremo rotulado ese afectara al extremo empotrado en el que se producirá un momento de igual sentido que el momento original y con su mitad de su magnitud. 3.3.3.

Rigidez y coeficiente de Distribución

Al aplicar un momento en un nudo rígido este será equilibrado por todas las barras que concurren al nudo, en proporción de sus rigideces. Y así poder determinar un coeficiente de distribución, para la participación de cada una de las barras concurrentes al nudo.

Figura N° 1 Momento de un muro Rígido

FUENTE: Mezger, 1958

3.3.4.

METODO

Se inicia en que el extremo hay un empotramiento perfecto, eso significa que la barra posee cargas, que generaran en sus extremos pares de empotramiento perfecto, que deberán ser calculados por aplicar el método. Se soltara nudo por nudo, de uno a la vez, dejando congelados los demás nudos y permitiendo que las barras de dicho nudo, interactúen.

Figura N° 2 Método para hallar los momentos resultantes

FUENTE: Mezger, 1958

Cada barra que roto, al asumir un momento, genera en su apoyo contrario un momento de respuesta, de igual sentido que el anterior y de la mitad del valor de este. Al ejecutar los traspasos, los nudos ya equilibrados se vuelven a desequilibrar y será necesario repetir el ciclo de equilibrio y traspasos. El valor del momento final, en los extremos de cada barra corresponde a la suma de todos los momentos que la fueron afectando en los sucesivos ciclos.

3.3.5. PROCEDIMIENTO

A continuación se inician los ciclos de equilibrio y traspasos, hasta equilibrar el nudo o al menos reducir el desequilibrio según lo recomendado. Los valores que se van obteniendo se anotan en cada barra en una columna que se genera a partir del valor de empotramiento perfecto original, y que se cierra con la sumatoria de todos los momentos de dicha columna. (Lamarque, 2000)

Figura N° 3 Plano Referencial – Lamarque FUENTE: Mezger, 1958

4. METODO DE DOBLE INTEGRACIÓN (lopez, 2007) Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión. Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

Figura N° 4 Ejemplo de viga empotrada FUENTE: Salomón Peralta López, Resistencia de Materiales II

𝑑2 𝑦 𝑀(𝑥) ( 2) = 𝑑𝑥 𝐸𝐼 En dónde: M

: ecuación de momento de cargar real en cualquier sitio de la viga.

E

: módulo de Young.

I

: momento rectangular de inercia.

(d2y/dx2)

: segunda derivada.

El producto ‘EI’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante. Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:

𝑥 𝑑𝑦 𝐸𝐼 ( ) = ∫ 𝑀(𝑥). 𝑑𝑥 + 𝐶1 𝑑𝑥 0

Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación: 𝑑𝑦 = 𝑡𝑔𝜃 = 𝜃 𝑑𝑥 De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.

Figura N° 5 Recta tangente a la curva elastica FUENTE: Salomón Peralta López, Resistencia de Materiales II

Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos: 𝑥

𝑥

𝐸𝐼[𝑦(𝑥)] = ∫ (∫ 𝑀(𝑥). 𝑑𝑥 + 𝐶1 ) 𝑑𝑥 + 𝐶2 0

0

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga. El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben

conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información. En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones: Del apoyo en ‘A’ puede establecerse: x = LA → y = 0 Y, debido al apoyo en ‘B’: x = LB → y = 0 Debido al empotramiento ‘A’: x = LA → y = 0 x = LA → θ = 0

Figura N° 6 Viga empotrada y con apoyos (lopez, 2007) FUENTE: Salomón Peralta López, Resistencia de Materiales II

En éste método no se aplican cargas auxiliares; se toma la viga con sus cargas reales y se siguen los siguientes pasos: -

Se resuelve la viga (se hallan las reacciones).

-

Se halla la ecuación de momento M haciendo un corte en un sitio de la viga en el cual se incluyan todas las cargas aplicadas.

-

Se hace una primera integración lo cual da la ecuación de las deflexiones de la viga.

Como son ecuaciones matemáticas se le puede dar valor a “x” y obtener valores del giro o la deflexión en el sitio que desee, pero se deberán dividir por el que es conocido. Para las constantes de integración que se generan se utilizan “condiciones de frontera” que no son más que sitios de la viga en los cuales se conoce con certeza el giro o la deflexión: los sitios típicos de frontera son los apoyos en los cuales se sabe que no hay deflexión y para el giro, si la viga es simétrica en geometría y cargas, el centro de la luz. Para la ecuación de momento se utilizará paréntesis angular llamado “singularidad”, cuyo significado es que si el contenido de dicho paréntesis es cero o negativo, no tiene validez.

4. PROCEDIMIENTO Y CALCULOS

Calculamos una parte de la estructura de la institución Educativa N°42002 Carlos Wiesse

Figura N° 7 Plano de planta de la losa FUENTE: (GRI, 2011)

Figura N° 8 Detalle del aligerado

FUENTE: (GRI, 2011)

4.1.

CALCULO DE METRADOS

1

4.1.1.

PESO PROPIO DE LA VIGUETA:

La norma E.20 según la tabla N°1 nos da conocer el peso propio según el ancho tributario. 𝟎. 𝟑𝟎𝟎

𝒕𝒏𝒇 𝒕𝒏𝒇 ∙ 𝟎. 𝟒𝒎 = 𝟎. 𝟏𝟐 𝒎𝟐 𝒎 Tabla N° 1

Espesor de aligerado

FUENTE: NORMAS DEL REGLAMENTO NACIONAL DE EDIFICACIONES, 2011

4.1.2. PESO PISO TERMINADO: Podemos escoger entre 100 y 150 𝑡𝑛𝑓⁄𝑚2 , 0.100

4.1.3.

tnf tnf ∙0.4m=0.04 2 m m

PESO PISO TERMINADO:

𝐂𝐚𝐫𝐠𝐚 𝐦𝐮𝐞𝐫𝐭𝐚 = 𝐏𝐞𝐬𝐨 𝐏𝐫𝐨𝐩𝐢𝐨 + 𝐏𝐞𝐬𝐨 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐢𝐬𝐨 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐝𝐨

Carga muerta=0.12

tnf tnf +0.04 m m

Carga muerta=0.16

4.1.4.

tnf m

SOBRE CARGA Y CARGA VIVA

0.250

tnf tnf ∙0.4m=0.08 2 m m

2

CARGA VIVA=0.1

tnf m

Tabla N° 2 Carga de distribución

FUENTE: NORMAS DEL REGLAMENTO NACIONAL DE EDIFICACIONES, 2011

4.1.5. CARGA MINIMAS REPARTIDAS

4.1.6.

AMPLIFICACIÓN DE CARGA W=1.4 CM+1.7CV

W=1.4 (0.16

tnf tnf ) +1.7 (0.1 ) m m

W=0.394

4.2.

tnf m

CALCULO DE REACCIONES

Al determinar la carga de la viga del área mostrada en la figura determinaremos los reacciones de la viga, para eso aplicaremos el método de cross

Figura N° 9 Viga con dos empotramientos y apoyos móviles

3

FUENTE: Elaboración propia

4.2.1. Aplicando el método de cross Vamos a separar los elementos de la viga mostrada, como es un solo viga, separaremos por las constantes

Figura N° 10 Viga con dos empotramientos y apoyos móviles FUENTE: Elaboración propia Datos para el calculo de la rigidez de la viga

k=

I L

I = ctte = 1 k = Rigidez I = ineria L = longitud Reemplazamos valores de la viga 1

k1 =

3.85

k2 =

4.5

k3 =

4.5

1

1

= 0.260

= 0.222

= 0.222

4

k4 =

1 3.85

= 0.260

Calculamos las Fuerza distribuidas

FD1 =

k1 = 0.539 k1 + k 2

FD2 =

k2 = 0.539 k1 + k 2

FD3 =

k2 = 0.539 k2 + k3

FD4 =

k3 = 0.539 k2 + k3

FD5 =

k3 = 0.539 k3 + k4

FD6 =

k1 = 0.539 k3 + k4

Aplicando el método empotramiento tnf 2 W. L2 0.394 m . (3.85 m) AB = = = 0.487 tnf. m 12 12 tnf 2 W. L2 0.394 m . (4.5 m) BC = = = 0.665 tnf. m 12 12 tnf 2 W. L2 0.394 m . (4.5 m) CD = = = 0.665 tnf. m 12 12 tnf 2 W. L2 0.394 m . (3.85 m) DE = = = 0.487 tnf. m 12 12

Reemplazamos valores en la viga mostrada

5

Al reemplazar los valores encontrados, calcularemos los momentos de cada tramo tal como se muestra en la figura.

Figura N° 11 Momentos de la viga de cada tramo FUENTE: Elaboración propia

Calculamos las reacciones por tramos

Figura N° 12 Momentos en la viga

6

FUENTE: Elaboración propia

Tramo A-B

Figura N° 13 Corte de tramo A-B FUENTE: Elaboración propia

Calculamos en momento Ra para hallar Vb’ ∑ MRa = 0

3.85 m(Vb′ ) − 0.439 tnf. m + 0.578 tnf. m − (1.5169 m. (1.925 tnf)) = 0 Vb′ = 0.848 tnf Sumatoria de fuerza en el eje Y

∑ Fy = 0

−1.569 tnf + 0,821 tnfm + Ra = 0 Ra = 0.72 tnf Tramo B-C

7

Figura N° 14 Corte de tramo B-C FUENTE: Elaboración propia

Calculamos en momento Vb’ para hallar Vc’ ∑ MVb′′ = 0

4.5 m(Vc ′ ) − 0.0576 tnf. m + 0.706 tnf. m − (2.25 m. (1.773 tnf)) = 0 Vc ′ = 0.958tnf Sumatoria de fuerza en el eje Y

∑ Fy = 0

−1.775 tnf + 0,958 tnfm + Vb′′ = 0 Vb′′ = 0. 815 tnf Para hallar la Rb sumamos las reacciones secundarias Rb = Vb′ + Vb′′ = 1.65 tnf TRAMO C-D

8

FIGURA N° 15 corte de tramo C-D FUENTE: Elaboración propia

Calculamos en momento Vc’’ para hallar Vd’ ∑ MVc′′ = 0

4.5 m(Vd′ ) + 0.0576 tnf. m − 0.706 tnf. m − (2.25 m. (1.773 tnf)) = 0 Vd′ = 0.958tnf Sumatoria de fuerza en el eje Y

∑ Fy = 0

−1.775 tnf + 0,958 tnfm + Vc′′ = 0 Vc ′′ = 0. 815 tnf Para hallar la Rc sumamos las reacciones secundarias Rc = Vc ′ + Vc ′′ = 1.83 tnf

TRAMO D-E

9

Figura N° 16 corte de tramo D-E FUENTE: Elaboración propia

Calculamos en momento Vd’’ para hallar Re

∑ MVd′′ = 0

3.85 m(Re) − 0.0576 tnf. m + 0.439tnf. m − (1.5169 m. (1.925 tnf)) = 0 Re = 0.72 tnf Sumatoria de fuerza en el eje Y

∑ Fy = 0

−1.5169 tnf + 0,72 tnfm + Re = 0 Vc ′′ = 0. 828 tnf Para hallar la Rd sumamos las reacciones secundarias

Rd = Vd′ + Vd′′ = 1.65 tnf Datos de la viga reacciones y momentos hallados

10

Figura N° 17 Viga con reacciones y momentos FUENTE: Elaboración propia

4.3.

Diagrama de Fuerza Cortante Y Momento Flector

Calculamos las fuerzas cortante, momento flector para determinar el esfuerzo cortante e esfuerzo máximo absluto.

Figura N° 18 diagrama fuerza cortante y momento flector FUENTE: Elaboración propia

4.4.

Calculo de esfuerzos por cortantes

11

Figura N° 19 detalle del aligerado FUENTE: Elaboración propia

Fuerza cortante resultante interna máxima. 𝑉𝑚𝑎𝑥 = 0.91 𝑇𝑛𝐹 Hallamos el eje neutro de la vigueta. 𝑦̅ =

0.075(0.1 × 0.15) + 0.175(0.05 × 0.4) = 0.132 𝑚 (0.1 × 0.15) + (0.05 × 0.4)

Hallamos la inercia, aplicando la sección rectangular. 𝐼𝑥 =

0.1 × 0.153 0.4 × 0.053 + (0.1 × 0.15)(0.057)2 + + (0.4 × 0.05)(0.043)2 12 12

𝐼𝑥 = 4.943 × 10−3 𝑚4

Zona 1:

Figura N° 20 área zona 1

12

FUENTE: Elaboración propia

Área de la figuras 𝐴 = 0.05 × 0.4 + 0.1 × 0.018 = 0.0218𝑚2

Hallamos el eje neutro de las figuras 𝑦̅ =

0.009(0,1 × 0.018) + 0.043(0.05 × 0.4) = 0.0395𝑚 0.05 × 0.4 + 0.1 × 0.018

Hallamos Área de la sección transversal del elemento 𝑄 = 𝐴 × 𝑦̅ = 0.0218 × 0.0395 = 0.0008611𝑚3

Hallamos la fuerza cortante de zona 1 𝜎=

𝑉 × 𝑄 0.91 × 0.0008611 = = 1.5992 𝑡𝑛𝑓 𝐼×𝑡 0.0049 × 0.1

Zona 2:

Figura N° 21 área zona 2 FUENTE: Elaboración propia

Área de la figuras 13

𝐴 = 0.05 × 0.4 = 0.02𝑚2

Hallamos el eje neutro de las figuras 𝑦̅ = 0.043

Hallamos Área de la sección transversal del elemento 𝑄 = 𝐴 × 𝑦̅ = 0.02 × 0.043 = 0.00086𝑚3

Hallamos la fuerza cortante de zona 2 𝜎0.1 =

𝑉 × 𝑄 0.91 × 0.00086 = = 1.5971 𝑡𝑛𝑓 𝐼×𝑡 0.0049 × 0.1

𝜎0.8 =

𝑉 × 𝑄 0.91 × 0.00086 = = 0.1996 𝑡𝑛𝑓 𝐼×𝑡 0.0049 × 0.8

Figura N° 22 grafico del diagrama esfuerzos por cortantes FUENTE: Elaboración propia

4.5.

Calculoamos Esfuerzo Maximo Absoluto

14

Figura N° 23 detalle del aligerado FUENTE: Elaboración propia

Hallamos la fuerza por flexion 𝜎=

𝑀. 𝑦 𝐼

Tenemos como datos anteriores hallados. 𝑀 = 0.71 𝑇𝑛𝑓/𝑚 𝐼 = 0.00494𝑚4 Reemplazamos los valores 𝝈 −:

𝐶 = 0.132 𝜎=

0.71 × 0.132 = −9.7678 0.00494

𝑦 = 0.3 𝜎=

0.71 × 0.3 = −5.7458 0.00494

𝝈 +:

𝑦 = 0.3 𝜎=

0.71 × 0.3 = 18.961 0.00494 15

𝑦 = 0.07 𝜎=

0.71 × 0.07 = 10.0551 0.00494

Figura N° 24 grafico del diagrama esfuerzos por cortantes

FUENTE: Elaboración propia

4.6.

Calculo de flecha y Angulo con método de doble integración

Luego de hallar las reacciones procedemos a encontrar las ecuaciones de flecha y ángulo de giro, para esto evaluamos la viga por tramos utilizando el método de doble integración y haciendo cortes en cada caso que se experimente un cambio de fuerza.

APLICAMOS CORTE 1- 1 (𝟎 < 𝐗 ≪ 𝟑. 𝟖𝟓) Primero hallamos las ecuaciones en el TRAMO A − B.

16

Figura N° 25 Viga corte 1-1 FUENTE: Elaboración propia

Aplicamos momentos ∑ M1 = 0

M(x) − 0.44 − 0.72x +

0.394 2 x =0 2

M(x) = 0.44 + 0.72x − 0.197x 2

Para encontrar la ecuación del ángulo de giro, se realiza una integración del momento en el tramo evaluado.

E. I.

d2 y = M(x) dx 2

E. I. θ = ∫(0.44 + 0.72x − 0.197x 2 ) dx

E. I. θ = 0.44x + 0.36x 2 −

0.197 3 x + C1 3

Luego para encontrar la ecuación de la flecha se realiza una segunda integral al ángulo de giro o una integral doble del momento.

17

E. I.

dy = ∫ M(x) dx

E. I. Y = 0.22x 2 + 0.12x 3 −

0.197 4 x + C1 x + C2 12

Primero hallamos las ecuaciones en el TRAMO 1, reemplazando

x = 0 , y=0

0 = 0.22(0)2 + 0.12(0)3 −

0.197 (0)4 + C1 (0) + C2 12

𝐂𝟐 = 𝟎

x = 3.85 , y=0

0 = 0.44(3.85) + 0.36(3.85)2 −

0.197 (3.85)3 + C1 3

𝐂𝟏 = −𝟑. 𝟐𝟖𝟑

Hacemos el mismo procedimiento en cada tramo para hallar las constantes de cada ecuación.

APLICAMOS CORTE 2-2 𝟎 < 𝐗 ≪ 𝟖. 𝟑𝟓 Primero hallamos las ecuaciones en el TRAMO B − C

18

Figura N° 26 Viga corte 2-2 FUENTE: Elaboración propia

Aplicamos momentos

∑M = 0

M(x) − 0.44 − 0.72x − 1.65(x − 3.85) +

0.394 2 x =0 2

M(x) = 0.44 + 0.72x + 1.65(x − 3.85) − 0.197x 2

Para encontrar la ecuación del ángulo de giro, se realiza una integración del momento en el tramo evaluado.

E. I.

d2 y = M(x) dx 2

E. I. θ = ∫(0.44 + 0.72x + 1.65(x − 3.85) − 0.197x 2 ) dx

E. I. θ = 0.44x + 0.36x 2 +

1.65 0.197 3 (x − 3.85)2 − x + C3 2 3

19

Luego para encontrar la ecuación de la flecha se realiza una segunda integral al ángulo de giro o una integral doble del momento. E. I.

dy = ∫ M(x) dx

E. I. Y = 0.22x 2 + 0.12x 3 +

1.65 0.197 4 (x − 3.85)3 − x + C3 x + C4 6 12

TRAMO C-D APLICAMOS CORTE 3-3 𝟎 < 𝐗 ≪ 𝟏𝟐. 𝟖𝟓 Primero hallamos las ecuaciones en el TRAMO C − D

Figura N° 27 Viga corte 3-3 FUENTE: Elaboración propia

Aplicamos momentos

∑M = 0

M(x) − 0.44 − 0.72x − 1.65(x − 3.85) − 1.83(x − 8.35) +

0.394 2 x =0 2

M(x) = 0.44 + 0.72x + 1.65(x − 3.85) + 1.83(x − 8.35) − 0.197x 2

20

Para encontrar la ecuación del ángulo de giro, se realiza una integración del momento en el tramo evaluado. E. I.

d2 y = M(x) dx 2 θ = ∫(0.44 + 0.72x + 1.65(x − 3.85) + 1.83(x − 8.35) − 0.197x 2 ) dx

E. I. θ = 0.44x + 0.36x 2 +

1.65 1.83 0.197 3 (x − 3.85)2 + (x − 8.35)2 − x + C5 2 2 3

Luego para encontrar la ecuación de la flecha se realiza una segunda integral al ángulo de giro o una integral doble del momento. E. I.

E. I. Y = 0.22x 2 + 0.12x 3 +

dy = ∫ M(x) dx

1.65 1.83 0.197 4 (x − 3.85)3 + (x − 8.35)3 − x + C5 x + C6 6 6 12

TRAMO D-E

APLICAMOS CORTE 4-4 𝟎 < 𝐗 ≪ 𝟏𝟔. 𝟕 Primero hallamos las ecuaciones en el TRAMO D − E

Figura N° 28 Viga corte 4-4 FUENTE: Elaboración propia

Aplicamos momentos

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∑M = 0

M(x) − 0.44 − 0.72x − 1.65(x − 3.85) − 1.83(x − 8.35) − 1.65(x − 12.85) +

0.394 2 x =0 2

M(x) = 0.44 + 0.72x + 1.65(x − 3.85) + 1.83(x − 8.35) + 1.65(x − 12.85) − 0.197x2

Para encontrar la ecuación del ángulo de giro, se realiza una integración del momento en el tramo evaluado.

d2 y E. I. 2 = M(x) dx θ = ∫(0.44 + 0.72x + 1.65(x − 3.85) + 1.83(x − 8.35) + 1.65(x − 12.85) − 0.197x 2 ) dx

E. I. θ = 0.44x + 0.36x 2 +

1.65 1.83 1.65 0.197 3 (x − 3.85)2 + (x − 8.35)2 + (x − 12.85)2 − x + C7 2 2 2 3

Luego para encontrar la ecuación de la flecha se realiza una segunda integral al ángulo de giro o una integral doble del momento.

E. I.

E. I. Y = 0.22x 2 + 0.12x 3 +

dy = ∫ M(x) dx

1.65 1.83 1.65 0.197 4 (x − 3.85)3 + (x − 8.35)3 + (x − 12.85)3 − x 6 6 6 12

+ C7 x + C8

Para encontrar el valor de las constantes tanto del ángulo de giro como el de las flechas se realiza lo siguiente.

θx=3.85 (TRAMO A − B) = θx=3.85 (TRAMO B − C)

22

Se igualan las ecuaciones de ambos tramos ("A − B" y "B − C") que conectan en un solo punto (x = 3.85). Al realizar la igualdad para lograr encontrar el valor de las constantes aun no conocidas nos fijamos que una gran parte de la ecuación en ambos miembros se simplifican ya sea por igualdad en ambos casos o porque simplemente al reemplazar el valor de (x = 3.85) en la ecuación esta se hace "0".

0.44x + 0.36x 2 −

0.197 3 1.65 0.197 3 x + C1 = 0.44x + 0.36x 2 + (x − 3.85)2 − x + C3 3 2 3 C1 =

1.65 (x − 3.85)2 + C3 2

−3.283 =

1.65 (3.85 − 3.85)2 + C3 2 C1 = C3 𝐂𝟑 = −𝟑. 𝟐𝟖𝟑

Una vez obtenido el valor de la constante (C3 ), procedemos a realizar la misma operación con las ecuaciones de las flechas en los tramos ("A − B" y "B − C").

Yx=3.85 (TRAMO A − B) = Yx=3.85 (TRAMO B − C)

0.22x 2 + 0.12x 3 −

0.197 4 1.65 0.197 4 x + C1 x + C2 = 0.22x 2 + 0.12x 3 + (x − 3.85)3 − x + C3 x + C4 12 6 12 C1 x + C2 = C2 =

1.65 (x − 3.85)3 + C3 x + C4 6

1.65 (3.85 − 3.85)3 + C4 6 C2 = C 4 𝐂𝟒 = 𝟎

23

Realizamos el mismo procedimiento para cada ecuación en cada tramo consecutivo tomando "𝑥" el valor en el cual ambas ecuaciones coinciden.

𝜃𝑥=8.35 (𝑇𝑅𝐴𝑀𝑂 𝐵 − 𝐶) = 𝜃𝑥=8.35 (𝑇𝑅𝐴𝑀𝑂 𝐶 − 𝐷)

Igualando ambas ecuaciones se simplifica en:

𝐶3 = 𝐶3 =

1.83 (𝑥 − 8.35)2 + 𝐶5 2

1.83 (8.35 − 8.35)2 + 𝐶5 2 𝐶3 = 𝐶5 𝑪𝟓 = −𝟑. 𝟐𝟖𝟑

𝑌𝑥=8.35 (𝑇𝑅𝐴𝑀𝑂 𝐵 − 𝐶) = 𝑌𝑥=8.35 (𝑇𝑅𝐴𝑀𝑂 𝐶 − 𝐷)

Al igualar las ecuaciones obtenemos: 𝐶3 𝑥 + 𝐶4 = 𝐶3 𝑥 + 𝐶4 =

1.83 (𝑥 − 8.35)3 + 𝐶5 𝑥 + 𝐶6 6

1.83 (8.35 − 8.35)3 + 𝐶5 𝑥 + 𝐶6 6 𝐶4 = 𝐶6 𝑪𝟔 = 𝟎

𝜃𝑥=8.35 (𝑇𝑅𝐴𝑀𝑂 𝐶 − 𝐷) = 𝜃𝑥=8.35 (𝑇𝑅𝐴𝑀𝑂 𝐷 − 𝐸)

𝐶6 = 𝐶5 =

1.65 (𝑥 − 12.85)2 + 𝐶7 2

1.65 (12.85 − 12.85)2 + 𝐶7 2

24

𝐶5 = 𝐶7 𝑪𝟕 = −𝟑. 𝟐𝟖𝟑

𝑌𝑥=12.85 (𝑇𝑅𝐴𝑀𝑂 𝐶 − 𝐷) = 𝑌𝑥=12.85 (𝑇𝑅𝐴𝑀𝑂 𝐷 − 𝐸)

𝐶5 𝑥 + 𝐶6 = 𝐶6 =

1.65 (𝑥 − 12.85)3 + 𝐶7 𝑥 + 𝐶8 6

1.65 (12.85 − 12.85)3 + 𝐶8 6 𝐶6 = 𝐶8 𝑪𝟖 = 𝟎

REEMPLAZANDO DATOS CORTE 1-1 𝐸. 𝐼. 𝜃 = 0.44𝑥 + 0.36𝑥 2 −

0.197 3 𝑥 − 𝟑. 𝟐𝟖𝟑 3

𝐸. 𝐼. 𝑌 = 0.22𝑥 2 + 0.12𝑥 3 −

0.197 4 x − 𝟑. 𝟐𝟖𝟑x + 0 12

CORTE 2-2 E. I. θ = 0.44x + 0.36x 2 +

1.65 0.197 3 (x − 3.85)2 − x − 𝟑. 𝟐𝟖𝟑 2 3

E. I. Y = 0.22x 2 + 0.12x 3 +

1.65 0.197 4 (x − 3.85)3 − x − 𝟑. 𝟐𝟖𝟑x + 0 6 12

25

CORTE 3-3 E. I. θ = 0.44x + 0.36x 2 +

1.65 1.83 0.197 3 (x − 3.85)2 + (x − 8.35)2 − x − 𝟑. 𝟐𝟖𝟑 2 2 3

E. I. Y = 0.22x 2 + 0.12x 3 +

1.65 1.83 0.197 4 (x − 3.85)3 + (x − 8.35)3 − x − 𝟑. 𝟐𝟖𝟑x + 0 6 6 12

CORTE 4-4 E. I. θ = 0.44x + 0.36x 2 +

1.65 1.83 1.65 0.197 3 (x − 3.85)2 + (x − 8.35)2 + (x − 12.85)2 − x 2 2 2 3

− 𝟑. 𝟐𝟖𝟑 E. I. Y = 0.22x 2 + 0.12x 3 +

1.65 1.83 1.65 0.197 4 (x − 3.85)3 + (x − 8.35)3 + (x − 12.85)3 − x 6 6 6 12

− 𝟑. 𝟐𝟖𝟑x + 0

5.

PRESENTACION DE RESULTADOS CONCLUSION RECOMENDACIONES BIBLIOGRAFIA ANEXO

26

27

Mezger, G. (1958). Calculo de estructuras por el metodo de cross (Tercera ed.). Barcelona: Gustavo Gili, S. A. Norma E.020. (s.f.).

28