Observadores De Estado

OBSEVADORES DE ESTADO • En la práctica no todas las variables de estado están disponibles para su realimentación. Entonces se requiere estimar las variables de estado: observación. • Observador u observador de estado: dispositivo o programa de computadora que estima u observa las variables de estado. 1

OBSEVADORES DE ESTADO • Observador de estado de orden completo: Capta todas las variables de estado del sistema. • Observador de estado de orden reducido: estima menos de n variables de estado, donde n es la dimensión del vector de estado. Observador de orden mínimo es un caso particular 2

OBSEVADORES DE ESTADO • Los observadores de estado pueden diseñarse si y solo si se satisface la condición de observabilidad.

~ x≡

Vector de estado observado

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OBSEVADORES DE ESTADO Considere el sistema definido mediante: x = Ax + Bu y = Cx

El estado x se aproximará mediante: ~ x = A~ x + Bu + K e ( y − C~ x) Matriz de ponderación

Salida medida

Término de corrección Salida estimada

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OBSEVADORES DE ESTADO • Diagrama en bloques de un sistema y un observador de estado de orden completo cuando la entrada “u”y la salida “y” son escalares. B

x

∫

+ +

y

C

A

u

~ x

B

+

+ +

+

∫

C

~ y

−

+

A Ke 5

OBSEVADORES DE ESTADO Observador de estado de orden completo Para obtener la ecuación de error del observador: x − ~ x = Ax − A~ x − K e (Cx − C~ x) x − ~ x = ( A − K C )( x − ~ x) e

A y B usadas en el modelo son iguales a las del sistema real.

Si se define el vector de error e como: e= x−~ x e = ( A − K eC )e

El comportamiento dinámico del vector de error se determina mediante los valores característicos de la matriz ( A − K eC ) 6

OBSEVADORES DE ESTADO Observador de estado de orden completo • Si el sistema es completamente observable, se demuestra que es posible seleccionar una matriz Ke tal que A-Ke.C tenga valores característicos arbitrariamente deseados. • Ke es la matriz de ganancias del observador.

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OBSEVADORES DE ESTADO Observador de estado de orden completo • El problema de diseñar un observador de orden completo se convierte en determinar Ke tal que la dinámica de error sea asintóticamente estable con una velocidad de respuesta suficiente (determinada mediante los valores característicos de la matriz A-KeC. • El problema se convierte en el mismo que en el caso de ubicación de polos. 8

OBSEVADORES DE ESTADO Observador de estado de orden completo • Ejemplo. Considere el sistema:

x = Ax + Bu y = Cx

• Donde

0 20,6 0  A= , B =  , C = [ 0 1]  0  1 1

• Diseñe un observador de estado de orden completo suponiendo que la configuración del sistema es idéntica a la que se observa en el diagrama en bloques 1. Suponga que los valores característicos deseados de la matriz del observador son: µ1 = −1,8 + j 2,4 µ 2 = −1,8 − j 2,4

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OBSEVADORES DE ESTADO Observador de estado de orden completo • Ejemplo. Cont. • Examinando la matriz de observabilidad:

[C

*

]

0 1   AC = ⇒  1 0  *

*

Es completamente observable

Es posible la determinación de la matriz de ganancias del observador deseada. La ecuación característica para el observador se convierte en:

sI − A + k eC = 0

donde

 ke1  Ke =   k e 2 

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OBSEVADORES DE ESTADO Observador de estado de orden completo sI − A + keC = 0 s 2 + ke 2 s − 20,6 + ke1 = 0

La ecuación característica deseada es: s 2 + 3,6 s + 9 = 0

De donde: ke1 = 29,6 ke 2 = 3,6 11

OBSEVADORES DE ESTADO Observador de estado de orden completo

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