Observaciones

Observaciones generales sobre la Tarea 1 Ejercicio 1: Cosas que deben saber para resolver desigualdades:

xy≤0 significa que x≤0

y

y≥0

xy≥0 significa que

ó x≥0

y y≤0

x≤0

y

y≤0

(análogamente para xy<0

y

xy>0)

x≤0

y

y<0

xy≤0, y≠0, significa que x≤0

y

y>0

o

x≥0

ó

x≥0 y y≥0

o

x≥0

y

y>0

y y<0

xy≥0, y≠0, significa que (análogamentepara xy<0

y

xy=0 significa que x=0, que y=0 ó ambos

a<x
a<x

y

a>x>b (ó b<x
x
xy rel="nofollow">0, en ambos casos y≠0)

a≤b significa que a
(análogamente con ≤)

a>x y x>b (ó b<x y x
MULTIPLICAR O DIVIDIR POR UNA CANTIDAD NEGATIVA INVIERTE LA DESIGUALDAD. Si no saben si la cantidad por la que van a multiplicar o dividir es positiva o negativa, tienen que considerar los dos casos. Por ejemplo, para resolver la desigualdad x+2 rel="nofollow">x+1x-3 se puede multiplicar por el factor x-3, pero como no sabemos si es positivo o negativo, hay que considerar ambos casos. Por lo tanto, si x-3>0, la desigualdad queda x+2x+3>x+1 O si x-3<0, la desigualdad queda x+2x+3<x+1 Como x-3 no puede ser positivo y negativo a la vez, tenemos dos casos: x-3>0 ó x-3<0 Por lo tanto, la solución de la desigualdad es una unión de intervalos: el intervalo resultante de resolver x+2x+3>x+1 y x-3>0 unido con el intervalo resultante de resolver x+2x+3<x+1 y x-3<0

Estos casos (factor positivo o factor negativo) se consideran únicamente si se multiplica o divide por una cantidad que no se sabe si es negativa o positiva. Si no hay ninguna ambigüedad al respecto, no hay por qué dividir el problema en dos casos. No olviden que el “y” es una intersección y el “ó” es una unión. El “y” y el “ó” están dados en la mayoría de los casos por definición o por simple lógica, como en el ejemplo anterior. Es importante que conozcan estas propiedades sobre las operaciones entre conjuntos: A∪B=B∪A, A∩B=B∩A, A∪∅=A, A∩∅=∅ Y que el conjunto vacío es por definición el conjunto que no tiene elementos. Su símbolo es ∅, pero se le puede representar como . No es lo mismo que 0, ya que este último es el conjunto que tiene como único elemento al cero, luego ∅=≠0. Las tablas de signos resumen todos los casos en los que un cociente o producto es positivo o negativo. Por lo tanto, para formar una tabla es necesario que la desigualdad quede escrita en forma de un producto o de un cociente que sea mayor o menor que cero. Por ejemplo, para resolver la desigualdad x5-x≤2x+1 usando una tabla, es necesario escribirla en forma de cociente o de producto que sea mayor o menor que cero: x5-x-2x+1≤0 x(x+1)≤0

xx+1-2(5-x)5-x(x+1)≤0

x2+x-10+2x5-x(x+1)≤0

x2+3x-105-

Factorizando todas las expresiones que puedan factorizarse (valga la redundancia): x2+3x-105-x(x+1)≤0

x+5(x-2)5-x(x+1)≤0

Para encontrar los intervalos de prueba, necesitamos encontrar los valores en los que cada factor es nulo, es decir, los valores de x que hacen que cada factor sea igual a cero. Estos valores son los extremos de los intervalos de prueba.

x+5=0 si x= -5, 5-x=0 si x=5,

x-2=0 si x=2 x+1=0 si x=-1

Por lo tanto, los extremos de los intervalos de prueba (ordenados) son -5, -1, 2 y 5. Y los intervalos de prueba son -∞,-5, -5,-1, -1,2,2,5 y 5,+∞. Tomamos un valor de prueba en cada uno de estos intervalos y sustituimos en el factor. Llenando la tabla: 0 0+5=5

3 3+5=8

5,+∞ 6 6+5=11

Positivo (+) -2-2=-4

Positivo (+) 0-2=-2

Positivo (+) 3-2=1

Positivo (+) 6-2=4

Negativo (-) de Positivo (+) 5-(-6)=11

Negativo (-) Negativo (-) 5-(-2)=7

Negativo (-) Negativo (-) 5-0=5

Positivo (+) Positivo (+) 5-3=2

Positivo (+) Positivo( +) 5-6=-1

Positivo (+) -6+1=-5

Positivo (+) -2+1=-1

Positivo (+) 0+1=1

Positivo (+) 3+1=4

Negativo (-) 6+1=7

Negativo (-) Signo de (5- Negativo x)(x+1) (-) Signo de x+5(x- Negativo 2)5-x(x+1) (+)

Negativo (-) Negativo (-) Positivo (+)

Positivo (+) Positivo (+) Negativo (-)

Positivo (+) Positivo (+) Positivo (+)

Positivo (+) Negativo (-) Negativo (-)

Valor de prueba x+5 Signo de x+5 x-2 Signo de x-2 Signo (x+5)(x-2) 5-x Signo de 5-x X+1

-∞,-5 -6 -6+5=-1

-5,-1 -2 -2+5=3

Negativo (-) -6-2=-8

Signo de x+1

-1,2

2,5

Como tenemos un menor o igual que cero, hay que incluir los valores para los cuales el numerador es cero, es decir, -5 y 2. Por lo tanto, la solución de la desigualdad x+5(x-2)5x(x+1)≤0, es decir, la solución de la desigualdad x5-x≤2x+1 es el intervalo -∞,-5∪-1,2∪(5,+∞). Esta desigualdad también puede resolverse usando las propiedades de productos y cocientes enlistadas al principio de este documento. La solución debe ser la misma. Habría que resolver los casos: x+5x-2≤0 y 5-xx+1>0

ó

x+5x-2≥0 y 5-xx+1<0

Que a su vez se subdividen en otros casos: x+5x-2≤0 y 5-xx+1>0 se subdivide en (x+5≤0 y x-2≥0 ó x+5≥0 y x-2≤0) y (5-x<0 y x+1<0 ó 5-x>0 y x+1>0 ) x+5x-2≥0 y 5-xx+1<0 se suddivide en (x+5≤0 y x-2≤0 ó x+5≥0 y x-2≥0) y (5-x<0 y x+1>0 ó 5-x>0 y x+1<0 ) La solución es el intervalo resultante de la intersección obtenida de x+5x-2≤0 y 5xx+1>0 unión el intervalo resultante de la intersección obtenida de x+5x-2≥0 y 5-xx+1<0

Para resolver una desigualdad con valor absoluto, primero hay que quitar las barras de valor absoluto aplicando una de las tres propiedades siguientes, según sea el caso: i) ii) iii)

xa es equivalente a las desigualdades x>a ó x<-a (unión, la solución es una unión de intervalos) x=a es equivalente a las ecuaciones x=a ó x=-a (la solución son dos puntos sobre la recta)

Las dos primeras son válidas también para ≤ y ≥ respectivamente. En las tres, es requisito indispensable que a>0. Para el caso ii) es incorrecto escribir –a>x>a, ya que por la propiedad de transitividad de la desigualdad esto implicaría que -a>a, lo cual siendo a>0, es falso. Ejemplos: x-4<2 es equivalente a -2<x-4<2 x-4>2 es equivalente a x-4>2 ó x-4<-2 x-4=2 es equivalente a x-4=2 ó x-4=-2 Aplicando las propiedades se obtienen desigualdades equivalentes que hay que ir desglosando usando a su vez las propiedades que vayan aplicando. Hay que llevar paso a paso las desigualdades que vayan resultando a desigualdades equivalentes y fijarse que tanto las operaciones lógicas como el orden en que se van realizando sean los correctos.

Ejercicio 2: En el inciso a), para evaluar C directamente en los extremos del intervalo dado, como algunos lo hicieron, es necesario que C cumpla propiedades como continuidad en el intervalo y que sea siempre creciente o siempre decreciente en el intervalo. Por ejemplo:

Función siempre decreciente en el intervalo

a,b a,b

Función siempre creciente en el intervalo

Esto es porque en alguno casos evaluar la función en los extremos del intervalo y decir que su imagen bajo festará en el intervalo f(a),f(b) (en otras palabras, dado un x tal que a≤x≤b, calcular f(a) y f(b) y decir que f(a)≤f(x)≤f(b)), no es cierto en general. La siguiente figura lo ilustra:

Como puede observarse, se tomó x de tal manera que a≤x≤b, pero f(x) no está entre f(a) y f(b). Entonces, para evaluar directamente en los extremos del intervalo a≤F≤b que les dan en el problema, tienen que comprobar que C sea siempre creciente o siempre decreciente (y quizá contínua) en el intervalo. La manera correcta de resolver el problema era despejar Fde la ecuación que les dan, sustituir en a≤F≤b y despejar C. Análogamente para el inciso b), aunque me parece que en este no era necesario despejar, sino sustituir directamente.

Ejercicio 3: Lo mínimo que esperaba de este ejercicio era que hicieran el dibujo y explicaran cómo o por qué se usa el Teorema de Pitágoras. Se proyectan a los ejes cada una de las componentes de los puntos, obteniéndose una figura como esta:

En la figura se observa que d, que es la distancia entre P y Q, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son a=x2-x2 y b=y2-y1. Por lo tanto, por el Teorema de Pitágoras d2=a2+b2, es decir, d2=(x2-x1)2+(y2-y1)2. Despejando d, obtenemos la fórmula para calcular la distancia entre P y Q: d=(x2-x1)2+(y2-y1)2

En este ejercicio, puse medios por estas razones: La justificación de cómo o por qué se usa el Teorema de Pitágoras me pareció insuficiente. En algunos casos no la daban, sólo ponían la fórmula y ya. La fórmula presentada representa un caso más simple, en el que se calcula la distancia de un punto al origen: d=x12+y12 Y el problema era deducir la fórmula para dos puntos en general.

Ejercicio 4: En el plano, los intervalos representan franjas o regiones. Luego, la gráfica en el plano de una intersección o unión de intervalos va a ser una unión o intersección de franjas o regiones.

Intersección de dos intervalos. a) Recuerden que la recta x=a es una paralela al eje y que corta al eje x en el punto a. Análogamente, la recta y=b es una paralela al eje x que corta al eje y en el punto b. b) ¿En qué casos xy<0? En dos: x<0 y y>0 ó x>0 y y<0. ¿En qué cuadrantes ocurre que la componente en x es negativa y la componente en y es positiva? ¿En qué cuadrantes ocurre que la componente en x es positiva y la componente en y es negativa? Ahora, obsérvese que es una desigualdad estricta, por lo tanto no se incluye el caso xy=0, donde xy=0 si x=0 ó y=0 ó ambos. Nótese que x=0 es la ecuación para el eje y y que y=0 es la ecuación para el eje x. Por lo tanto, la solución de xy<0 no incluye a los ejes y estos deben ir punteados. c) Resolviendo ambas desigualdades, se obtienen dos intervalos, uno en el eje x y otro en el eje y. La gráfica es la intersección de tales intervalos. Por ejemplo:

Intersección de -2<x<1 y y>2

Intersección de x>1 y y≤0

Ejercicio 5: A casi todos les faltó verificar las simetrías. En el caso del inciso c), la gráfica de la ecuación es la mitad superior de una parábola simétrica respecto al eje x.

Las intersecciones con los ejes las encuentran de la siguiente manera: Intersección con el eje y: haciendo x=0. Intersección con el eje x: haciendo y=0. Para los tres incisos de este ejercicio, con las intersecciones con los ejes y las simetrías, obtienen información suficiente para hacer un esbozo de la gráfica.

Ejercicio 6: Sean y1=m1x1+b1 y y2=m2x2+b2 dos rectas. Si las rectas son paralelas, la relación entre sus pendientes es m1=m2. Si las rectas son perpendiculares, la relación entre sus pendientes es m1m2=-1. Por ejemplo, si y=3x+2, la recta paralela a ella tendrá pendiente m=3 y la recta perpendicular a ella tendrá pendiente m=-13 La fórmula para obtener la ecuación de la recta dados dos puntos es: y-y1=m(x-x1)

o

y=mx-x1+y1, donde m=y2-y1x2-x1.

La fórmula para obtener la ecuación de la recta dados un punto y la pendiente es: y-y1=m(x-x1) Los signos “menos” son de la fórmula y deben tener cuidado con eso cuando sustituyan un punto con componentes negativas. Por ejemplo, si m=-2 y el punto es (-3,-4), la ecuación queda: y-(-4)=-2x-(-3) o y+4=-2x+3