O Pr Din Ganga

Probleme rezolvate din Ganga P1.(pag 184 cls a IX-A-a) Fie ABC un triunghi, iar A’ ,B’,C’ mijloacele laturilor [BC],[AC] şi respectiv [AB]. 1 Arătaţi că: 1) AA' = ( AB + AC ) 2 2) AA' + BB' + CC ' = 0 3) GA + GB + GC = 0 , unde G este centrul de greutate al triunghiului.

Rezolvare 1)Fie punctul D , astfel încât AA' = AD . Atunci patrulaterul ABDC este paralelogram şi AD = AB + AC conform regulii paralelogramului Dar AD = 2AA' . 1 Deci 2 AA' = AB + AC , adică AA = AB + AC . 2 1 1 2) Ţinând seama de 1), avem AA' = ( AB + AC ) , BB ' = ( BA + BC ) şi analog 2 2 1 CC ' = (CA + CB ) . Adunând aceste relaţii, membru cu membru, obţinem: 2 1 AA + BB ' + CC ' = ( AB + AC + BA + BC + CA + CB ) = 0 , deoarece 2 AB + BA = 0, AC + CA = 0, BC + CB = 0 3) Ştim că CG = 2GC ' . Atunci GA + GB = 2GC ' = CG şi deci GA + GB − CG = 0 mai ştim că − CG = GC adică obţinem GA + GB + GC = 0 exact ce trebuia demonstrat.