Numeros Complejos

MATEMATICAS III

ING. SISTEMAS COMPUTACIONALES 3“B”

Números Complejos. Debido a que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, una simple ecuación como x2 = -4 no tiene solución en el conjunto de los números reales. Para poder tratar con este tipo de situaciones tenemos que extender el conjunto de los números reales a un conjunto mayor, el conjunto de los números complejos. Para poder obtener una solución de la ecuación x2 + 1 = 0, utilizamos el número i, tal que i2=1. Este número i no es un número real y se llama la unidad imaginaria, pero i2 si es un número real. La unidad imaginaria se utiliza en la siguiente definición de los números complejos. Definición. Un número complejo z es una combinación lineal de la forma en donde a y b son números reales. Al número a se le llama la parte real de z, a = Re (z), y al número b la parte imaginaria de z, b = Im(z). A la expresión a + bi de un número complejo z se le conoce como la forma estándar de z. Ejemplos: z

Re(z)

Im(z)

7+5i

7

5

-4 –3 i = -4 + (-3) i

-4

-3

-9 i = 0 + (-9) i

0

-9

4=4+0i

4

0

Decimos que dos números complejos z = a + b i, w = c + d i, son iguales z = w, si y solo si a = c y b = d. Podemos visualizar a los números complejos asociándolos con puntos del plano. Hacemos esto que el número a + b i se corresponda con el punto (a, b). Operaciones con números complejos. Suma. La suma z + w de los números complejos z = a + b i, w = c + d i, es el número complejo z + w = (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i Ejemplo. (4 + 3 i) + (5 + 9 i) = (4 + 5) + (3 + 9) i = 9 + 12 i

IVAN MAGDALENO COCOM HERNANDEZ

19-AGOST-2009

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El conjunto de los números complejos es cerrado con respecto a la suma, además esta operación tiene las siguientes propiedades: Conmutativa: z + w = (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i = (c + a) + (d + b) i = (c + d i) + (a + b i) = w + z Asociativa: (z + w) + u = ((a + b i) + (c + d i)) + (e + f i) = ( (a + c) + e) + ((b + d) + f) i = ( a + (c + e)) + (b +( d + f)) i = (a + b i) + ((c + d i) + (e + f i)) = z + (w + u). El elemento identidad respecto a la suma es el número complejo 0 = 0 + 0 i. Todo número complejo z = a + b i tiene un inverso aditivo –z = -a - b i, porque (a + b i) + (a - b i) = 0. Resta. La resta z – w de los números complejos z = a + b i, w = c + d i, es la suma de z y del inverso aditivo de w, z - w = z + (-w) = (a + b i) + (-c - d i) = (a - c) + (b - d) i Ejemplos: (9 - 5i) - (4 + 7i) = (9 - 4) + (-5 + 7)i = 5 + 2i. (3 - 5i) - (6 + 7i) = (3 - 6) + (-5 - 7)i = -3 - 12i. Raíz Cuadrada, Producto y Cociente. Como i2 = -1, tenemos que la unidad imaginaria i es raíz cuadrada de –1, y como (-i)2 = (-1*i)2 = (-1)2 * i2 = 1 * (-1) = -1, tenemos que también –i es raíz cuadrada de –1. Por consiguiente, en el conjunto de los números complejos, -1 tiene dos raíces cuadradas i y –i. Extendemos la definición de raíz cuadrada para todo número real negativo como sigue: Dado un número real b>0, la raíz cuadrada es un número complejo tal que su cuadrado sea –b: Además, como tenemos que . Ejemplos: Nota. Algunas relaciones que se cumplen en el conjunto de los números reales en las que intervienen raíces cuadradas no se cumplen cuando el símbolo de raíz cuadrada no representa un número real, por ejemplo la propiedad no se cumple si a ,b < 0.

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Producto. La fórmula para multiplicar dos números complejos es No es necesario memorizar esta fórmula, ya que podemos obtener el mismo resultado si consideramos esta multiplicación como un producto de binomios y remplazamos i2 por –1. Ejemplo: (2 + 3i)(4 + 7i)

= 2*4 + 2*7i + 4*3i + 3*7*i2 = 8 + 14i + 12i + 21*(-1) = (8 - 21) + (14 + 12)i = -13 + 26i.

División. Definición: El conjugado (o complejo conjugado) del número complejo z = a + b i es el número z* = a – b i. Los conjugados son importantes debido al hecho de que un número complejo al multiplicarlo por su conjugado da un número real; i.e., su parte imaginaria es cero. (a + b i)(a – b i) = (a2 + b2) + 0i = a2 + b2. Ejemplos: z

z*

z z*

2 + 3i

2 - 3i

4 + 9 = 13

3 - 5i

3 + 5i

9 + 25 = 34

4i

-4i

16

Supóngase que queremos efectuar la división (3 + 2i) ÷ (2 + 5i). Primero, rescribimos ésta como una expresión fraccional Aunque no hemos definido la división de números complejos, ésta deberá satisfacer las propiedades de la división ordinaria. Por lo tanto, un número al dividirlo por sí mismo deberá dar 1. Así, cuando multiplicamos por , estamos multiplicando por 1 y este número no cambia. Obsérvese que el cociente del lado derecho consiste del conjugado del denominador sobre sí mismo. Esta elección se hace para que cuando se multipliquen los dos denominadores, el resultado sea un número real. He aquí el proceso, con el resultado expresado en la forma estándar.

IVAN MAGDALENO COCOM HERNANDEZ

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