Numero E

N´umero e. Rolando Uranga Pi˜ na Marzo, 2009

1

Teorema de la media aritm´ etica y la media geom´ etrica. Teorema. Sean An =

a1 +...+an , Gn n

=

√ n

a1 ...an , a1 , ..., an ≥ 0.

Entonces An ≥ Gn . Demostraci´ on. La desigualdad ak ≥ kGk − (k − 1)Gk−1

(1)

es suficiente para probar que An ≥ Gn : basta asignar a k sucesivamente los valores 1, 2, ..., n y luego sumar miembro a miembro. N´otese que (1) es un caso particular de An ≥ Gn en el cual todos los elementos coinciden excepto uno; de esto nos convencemos si reescribimos (1) en la forma: ak + Gk−1 + ... + Gk−1 ≥ Gk k Pero si en la relaci´on An ≥ Gn se asume a2 = a3 = ... = an y se especifica un n´ umero no negativo x tal que xn = a1 /a2 , la misma se transforma en xn − 1 ≥ n(x − 1). Este u ´ ltimo hecho se demuestra sumando miembro a miembro las ´ltimas relaciones xk − xk−1 ≥ x − 1 para k = 1, ..., n. La veracidad de las u relaciones puede comprobarse si se las reescribe como (xk−1 − 1)(x − 1) ≥ 0.

1

2

N´ umero e. Teorema. an = (1 + n1 )n bn = (1 + n1 )n+1

⇒ i) an−1 < an ii) bn < bn−1 iii) am < bn iv) bn − an < b1 /n Demostraci´ on. n n−1 n2 n n n−1 i) an−1 < an ⇔ ( n−1 ) < ( n+1 ( n+1 )<1 n ) ⇔ ( n2 −1 ) 2

n n n+1 n n+1 ii) bn < bn−1 ⇔ ( n+1 < ( n−1 ) ⇔ ( nn−1 2 ) ( n ) < 1 n ) n+1 n+1 n n+1 m m iii) am < bn ⇔ ( m+1 ⇔ ( m+1 <1 m ) < ( n ) m ) ( n+1 )

iv)bn − an = an /n < b1 /n La u ´ ltima desigualdad de los puntos i), ii), iii) se obtiene al aplicar el teorema de la media aritm´etica y la media geom´etrica. Corolario. Si e = lim an = lim bn se tiene: an < e < bn . Corolario.

1 n+1

< log(1 + n1 ) <

1 n.

Corolario. Sea sn = 1 + 1/2 + ... + 1/n. Entonces sn − log n → γ. Demostraci´ on. 1 2

< log(1 + 1) < 1

1 3

< log(1 + 12 ) <

1 2

1 4

< log(1 + 13 ) < 13 .................................. 1 1 1 n < log(1 + n−1 ) < n−1 ⇒ sn − 1 < log n < sn − 1 n

1 n

< sn − log n < 1

2

αn = sn − log n ⇒ αn+1 − αn = (sn+1 − log(n + 1)) − (sn − log n) = ⇒ αn+1 < αn ∴ αn → γ Corolario. log 2 = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + .... Demostraci´ on. log 2 = log(2n) − log n = (s2n − γ + αn ) − (sn − γ + βn ) = s2n − 2(sn /2) + εn = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ...

3

1 n+1

− log(1 + n1 ) < 0

Lema. El n´ umero de soluciones enteras no negativas de la ecuaci´on
 n+k . x1 + ... + xn+1 = k es k Demostraci´ on. Debemos dividir en n + 1 partes la siguiente secuencia de k casillas: • • • • • • • • • • • • • • • • •• Para ello intercalamos n barras divisorias. • • • | •• | • • • | • • • | •• | • • •• | •
El n´ umero total de disposiciones es

Lema. bn =






n+k k



n+k n




=

n+k k

 .

1 (n+1)k .

Demostraci´ on. bn = (1 + n1 )n+1 = (1 −

1 −(n+1) n+1 )

= (1 +

1 n+1

=



+

1 (n+1)2

+ ...)n+1

1 ak (n+1) k

donde ak = n´ umero de soluciones enteras no negativas de la ecuaci´on x1 + ... + xn+1 = k.

4

Teorema. e =



1 k! .

Demostraci´ on. an = (1 +

1 n n)

=



bn = (1 + n1 )n+1 =








n k




1 nk

n+k k

= 



1 k! (1

1 (n+1)k

⇒ an <



1 k!

< bn

⇒ e = lim an = lim bn =



1 k!

5

− n1 )...(1 −

=



k−1 n )

<



1 k!

1 1 k−1 k! (1 + n+1 )...(1 + n+1 )

>



1 k!