Noveno - Semana Del 7 Al 11 De Abril

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

28

1.11.

Inecuaciones

Objetivo. Resolver inecuaciones lineales con una inc´ ognita. Una inecuaci´ on es una expresi´ on matem´ atica que luce exactamente igual a una ecuaci´ on con la excepcion de que el signo de igual (=) se reemplaza con uno de los cuatro s´ımbolos de desigualdad. <  > 

1.11.1.

menor que menor e igual que mayor que mayor o igual que

Resoluci´ on de Inecuaciones

Cada posible ecuaci´ on puede convertirse en una inecuaci´ on. Es mas, las inecuaciones pueden ser resueltas de la misma forma que las ecuaciones, ´ nica excepci´ con una u on; cuando una inecuaci´ on se multiplica o divide por una n´ umero negativo el s´ımbolo cambia su orientaci´ on o direcci´ on4 .

Pr´ actica # 13 Encuentre el conjunto soluci´ on de cada una de las siguientes inecuaciones. a) 5x − 9 < 3x + 5

n) 48x − 13 + 12x  72x − 3 − 24x

b) 2x + 7 < 12 − 3x

n ˜) 3x(1 − 2 + 4) − 5x + 8  3(2x + 6)

c) 10 − 4x < 7 − 6x

o) 8x + 13 + 12x  72x − 2 + 3x

d) 3 + x < 4 + 5x

p) 3x − 1 < −2x + 4

e) −3x + 8 < 4 + 3x

q) 2x + 9 > x − 5

f ) 2x − 1 < x + 5

r) x(x + 1) > x2 + 3x + 1

g) 5x − 3x + 12 < 34 − 8x + 8

s) (x + 2)(x + 3) < (x − 1)(x + 5)

h) 3x − 1 < 2(x − 1)

t) 2(x + 3) + 3(x − 1) > 2(x + 2)

i) 3x − 15 + 2x < 14 − x + 13x

u) 2x + 9  3

j) 11 − 2(x + 3) < 2(1 + x)

v) 5x − 4 > 6

k) 20 + 5(1 − x)  2x − 3(x − 2) w) 3x + 4  x + 2 l) 5x + 10 − 2x  −3x + 2 + 4x

x) 6x − 5 > 2x + 11

m) 2(3x − 5) − x  10 + 3(4x − 6) y) 3x + 2 < 6x − 4

4 Si el s´ ımbolo es < se debe cambiar por >, as´ı mismo si el s´ımbolo es  se cambia por ; y viceversa.

1.12. OPERACIONES CON RADICALES

29

Resuelva las siguientes inecuaciones especiales. a)

x 1 x 5 2 − 3x − ≤ − + 4 5 2 4 2

b)

x − 1 2 − x 2x − 1 − − ≥1 4 6 3

c)

2x − 3 2 − x 2x − 1 − − ≤0 4 6 3

1x 3x −4> +1 4 3 3x 1x f) −2> +2 4 4 g) |5 − 3x| < 3 e)

h) |7 − 2x| ≤ 2

4x 2x +3> −1 d) 3 3

1.12.

i) |2x − 7| < 5 j) |x − 4| ≤ 0

Operaciones con Radicales

Objetivo. Simplificar expresiones aritm´eticas y algebraicas aplicando las propiedades de las potencias y de los radicales.

1.12.1.

Propiedades de las potencias

Iniciaremos esta secci´ on retomando un tema de s´etimo, las propiedades de las potencias. Multiplicaci´ on de Potencias de Igual Base xa · xb = xa+b ejemplo, m7 · m5 = m5+7 = m12 Divisi´ on de Potencias de Igual Base xa ÷ xb = xa−b ejemplo, y 13 ÷ y 5 = y 13−5 = y 8 Potencia de Exponente Negativo 1 x−a = a x  m −a  n a = n m

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

30 ejemplo,

1 5−3 = 3 5  −4  4 3 2 = 3 2 Potencia de Exponente Cero x0 = 1 ejemplo, 50 = 1 12500000000 = 1 (−5)0 = 1 −50 = −1 Potencia de una Potencia b

(xa ) = xa·b ejemplo,  3 5 2 = 23·5 = 215

1.12.2.

Propiedades de los Radicales

Ra´ız de una Multiplicaci´ on √ a

b·c=

√ a

b·

Veamos algunos ejemplos, √ 3

4x

sabemos que 4x es igual a 4 · x, entonces √ 3 √ 3 por tanto,

√ 3

4x =

√ 3

4·

√ 3

x.

Veamos un segundo ejemplo,

4·x √ 4· 3x

√ a

c

1.12. OPERACIONES CON RADICALES √

31

5m2 n3

sabemos que 5m2 n3 es igual a 5 · m2 · n3 , entonces √ 5 · m2 · n3 √ √ √ 5 · m2 · n3 √ √ √ √ por tanto, 5m2 n3 = 5 · m2 · n3 . ´ ltimo, las propiedades se pueden aplicar en ambas direcciones, esto Por u es de dos radicales hacer uno, veamos el siguiente ejemplo: √ √ 5 7· 5m como ambos radicales tienen el mismo ´ındice, entonces √ √ 5 7· 5m √ 5 7·m √ 5 7m √ √ √ 5 5 por tanto, 7 · 5 m = 7m. Ra´ız de una Divisi´ on  a

√ a b b = √ a c c

Veamos algunos ejemplos, 

m 3 √ 5 m √ 5 3 5



√ 5 m m = √ . 5 3 3 Veamos un segundo ejemplo,

por tanto,

5



12k z

sabemos que 12k es igual a 12 · k, entonces  12 · k z √ 12 · k √ z

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

32

aplicamos la primera de la propiedades estudiadas, √

12 · k √ z √ √ 12 · k √ z  por tanto,

√

12k = z

√ 12 · k √ . z

Como ya se indic´ o, las propiedades se pueden aplicar en ambas direcciones, esto es de dos radicales hacer uno, veamos el siguiente ejemplo: √ 4 7 √ 4 2 como ambos radicales tienen el mismo ´ındice, entonces  4

7 2

 √ 4 7 4 7 por tanto, √ . = 4 2 2 Ra´ız de una Ra´ız a

√ b

m=

√

a·b

m

Veamos algunos ejemplos, 4

√ 5

√

4·5

√ 20 por tanto,

4

√ 5

x2 =

√

20

x2

x2

x2

x2 .

Para esta propiedad hay casos muy interesantes, como el ejemplo siguiente:  3

todos sabemos que

5

y3



y 3 = 2 y 3 , entonces tenemos que

1.12. OPERACIONES CON RADICALES  3

5

 3

por tanto,

 3 5

y3 =

5

33

y3

2

y3

3·5·2 y3

30 y3

y3 .

30

´ ltimo ejemplo, Un u

3 5 7 g5 lo interesante de este ejemplo es que el cinco esta “atrapado” entre los dos v´ınculos, es decir, la propiedad especifica que no debe existir nada entre los dos v´ınculos para poder ser aplicada, as´ı que de forma pr´ actica debemos quitar el 5, esto se hace movi´endolo al subradical del radical interno.

3 5 7 g5 como lo vamos a introducir a un radical de ´ındice 7, entonces

3

7

57 g 5

al escribirlo en el subradical le colocamos un exponente igual al ´ındice, o sea, exponente 7. Ahora s´ı es posible aplicar la propiedad,

3

7



57 g 5

57 g 5

21 57 g 5

21 78125g 5 3·7

Potencia de un Radical √ a

bc = bc/a

Veamos algunos ejemplos, √ 3 5

52

2/3

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

34 otro ejemplo,

√ 7

m15

m15/7 ´ ltimo ejemplo antes de la pr´ un u actica, √ a10 √ 2 a10 a10/2 a5 siempre que se pueda simplificar, debemos hacerlo.

Pr´ actica # 14 Aplique las propiedades de los radicales en cada caso.  √ 1 3·4 √ 4 25 · 4  √ 3 9 8 · 27 √ 25 3 5 · 64  √ 4 3 −1 16 · 81 √ 27 5  32 · 4 √ 3 64 4 · 16 8 √  25 · 36 27 3 √ 144 · 25 125 √  a2 · b2 81 √ 3 8 · 27 · 125 16 √ √ 3 3 3 3 a ·b 54 √ √ 3 a6 · b3 · c6 · d3 73

√ 7

214

5/2

3

73/5 24/9 √ 3 3

5

√ 4

5 √ 4 √

8

6

28 7 √ 3 2 4 √ 5 10

Introducci´ on de factores al subradical Aunque ya se utiliz´ o este m´etodo, no se ha presentado formalmente. Cuando se desea introducir un factor al subradical de un radical, debemos elevarlo al exponente que sea igual al ´ındice del radical donde se introducir´ a. Veamos algunos ejemplos que puede esclarecer este procedimiento, √ 5 3 deseamos introducir 5 al subradical, entonces lo elevamos al exponente 2 y lo escribimos en el subradical,

1.12. OPERACIONES CON RADICALES √

35

52 · 3

siempre debemos simplificar la expresi´ on resultante, √ √

52 · 3

25 · 3 √ 75

Veamos un segundo ejemplo, 3a2

5

y2

deseamos introducir 3a2 al subradical, entonces elevaremos ambos elementos al exponente 5 y lo escribimos en el subradical, 5 35 · (a2 ) · y 2 simplificamos la expresi´ on resultante,

5

35 · (a2 ) · y 2

243 · a10 · y 2

243a10 y 2

Pr´ actica # 15 Introduzca los elementos del subradical. √ a) 3 4 √ b) 2 3 5 √ c) m 4 9 √ d) 2m 5 3

√ e) 2 · 3 7 a √ f ) 22 · 33 5 4 √ g) 22 · 34 3 m √ h) a2 · b5 5 8