Noveno Semana Del 3 Al 7 De Marzo

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

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1.7. P 

Caracter´ısticas de I

Objetivo. Identificar caracter´ısticas del conjunto de los n´ umeros irracionales. El conjunto de los n´ umeros irracionales tiene las siguientes caracter´ısticas: I N FINITO, O RDENADO y D ENSO . ´ ltimo eleSe dice que I es I NFINITO ya que no existe ni primer elemento ni u mento para este conjunto. Por otro lado, el conjunto I es O RDENADO pues para cualquier n´ umero irracional que analicemos, es posible determinar un segundo n´ umero irracional menor a la izquierda del primero, y un tercer n´ umero irracional mayor a la derecha del primero. ´ ltimo, I es D ENSO ya que para cualquier par de n´ umeros irracionales conPor u secutivos, siempre es posible determinar otro n´ umero irracional entre los dos primeros. Otra caracter´ıstica de los n´ umeros irracionales, con respecto al conjunto de los racionales, es que los elementos del un conjunto y el otro son MUTUAMENTE umero que sea racional e EXCLUYENTES , es decir es imposible encontrar un n´ irracional al mismo tiempo. Lo anterior, simb´ olicamente se escribe Q∩I=Ø

1.8. P 

Caracter´ısticas de R

Objetivo. Identificar caracter´ısticas del conjunto de los n´ umeros reales. Hasta el momento hemos centrado nuestro an´ alisis en los conjuntos N, Z, Q y I. No obstante, es importante afirmar que estos son solo subconjuntos – conjuntos m´ as peque˜ nos – de otro mayor. Este conjunto es conocido como C ONJUNTO DE ´ MEROS R EALES. LOS N U Las principales caracter´ısticas de R se consideran a continuaci´ on. El conjunto de los n´ umeros reales est´ a formado por la uni´ on de los conjuntos racional e irracional. En otras palabras los cuatro conjuntos que hemos considerado hasta ahora se juntan para formar un nuevo conjunto, el conjunto R. Simb´ olicamente, lo anterior se escribe as´ı: Q∪I=R

1.9. VALOR ABSOLUTO EN R

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Por otro lado, el conjunto R se caracteriza por ser I NFINITO, C OMPLETO, C ONTI NUO y O RDENADO . ´ ltimo eleSe dice que R es I NFINITO ya que no existe ni primer elemento ni u mento para este conjunto. Por otro lado, el conjunto R es O RDENADO pues para cualquier n´ umero real que analicemos, es posible determinar un segundo n´ umero real menor a la izquierda del primero, y un tercer n´ umero real mayor a la derecha del primero. umeros – racionales e Adem´ as, R es C OMPLETO ya que incluye a todos los n´ ´ ltimo, R es C ONTINUO, ya que al repreirracionales – en un solo conjunto. Por u sentarlo en la recta num´erica no existen posiciones en esta sin ocupar, todos los lugares son ocupados por un n´ umero real.

1.9.

Valor Absoluto en R

Normalmente, desde s´etimo a˜ no sabemos o manejamos el concepto de que el valor absoluto de cualquier n´ umero es el n´ umero siempre positivo. No obstante, para noveno a˜ no es necesario ampliar dicha definici´ on, como se muestra a continuaci´ on,

|x| =

⎧ ⎨ −x

si

x<0

⎩

si

x≥0

x

lo anterior significa que si el n´ umero para el que estamos calculando el valor absoluto es positivo el resultado es el mismo n´ umero, sin mas. Por otro lado, el n´ umero para el que estamos calculando el valor absoluto es negativo, entonces debemos ubicar un signo negativo (−) delante de ´el. Veamos varios ejemplos. Calcule |5|. De acuerdo a la definici´ on, como el n´ umero 5 es positivo entonces el valor absoluto es simplemente 5, en otras palabras |5| = 5 Por otro lado, calculemos ahora | − 3|. Con la definici´ on, como el n´ umero −3 es negativo entonces el valor absoluto se calcula escribiendo un (−) delante de este n´ umero, simb´ olicamente | − 3| = − − 3 = 3

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

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Pr´ actica # 11 Encuentre el valor num´erico de cada una de las siguientes expresiones.Sean a ∧ b ∈ R. 1. |2 − 2. |3 − 3. |9 −

√ √ √ √

5|

10. |5 −

7|

11. |6 −

15|

4. |1 − 2| √ 5. | 5 − 4| √ 6. |7 − 19| √ 7. | 2 − π| √ 8. |5e − 6| 9. |2 − e|

12. |2 −

√ √ √

3| 12| 125|

13. |a − b|, si a < 0 y b > 0.* 14. |5 − a|, si a < 0.* √ 15. |b − 7|, si b > 0.* 16. |4 + (ab)|, si a > 0 y b < 0.* 17. |5a − 2b|, si a < 0 y b < 0.*