Noveno 10 Al 14 De Febrero

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

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Pr´ actica # 11 Encuentre el valor num´erico de cada una de las siguientes expresiones. Sean a ∧ b ∈ R. 1. |2 − 2. |3 − 3. |9 −

√ √ √ √

5|

10. |5 −

7|

11. |6 −

15|

4. |1 − 2| √ 5. | 5 − 4| √ 6. |7 − 19| √ 7. | 2 − π| √ 8. |5e − 6| 9. |2 − e|

1.10.

12. |2 −

√ √ √

3| 12| 125|

13. |a − b|, si a < 0 y b > 0.* 14. |5 − a|, si a < 0.* √ 15. |b − 7|, si b > 0.* 16. |4 + (ab)|, si a > 0 y b < 0.* 17. |5a − 2b|, si a < 0 y b < 0.*

Intervalos Reales

Objetivo. Representar intervalos de R en sus distintas notaciones. Definimos los intervalos como el subconjunto, la secci´ on o parte mas peque˜ na de un conjunto mayor. Por ejemplo, cuando se habla de tiempo, se dice que un intervalo es el segmento o periodo definido, con un inicio y un final. Por otro lado, estos puntos – donde se inicia y termina el intervalo – se conocen como extremos. El extremo que inicia el intervalo com´ unmente recibe el nombre de EXTREMO INFERIOR y el que finaliza el intervalo se conoce como EXTREMO SUPERIOR .

1.10.1.

Notaciones de los intervalos.

Estudiaremos tres notaciones para los intervalos reales. Las notaciones son: POR ´ N y GRA ´ FICA. C ORCHETES, POR C OMPRENSI O Notaci´ on por Corchetes. Debemos recordar que los s´ımbolos “[” y “]” se conocen como corchetes.

1.10. INTERVALOS REALES

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La notaci´ on entonces podr´ıa presentarse de la siguiente forma: [−3, 2] ]0, 12] [5, 15[ ] − ∞, −9[ Notaci´ on por Comprensi´ on. Esta notaci´ on presenta una complejidad mayor a las otras dos. No obstante, existe una parte constante (nunca cambia) y la otra parte cambia de acuerdo a los extremos del intervalo. La notaci´ on se presenta de la siguiente forma: {x/x ∈ R, −3 ≤ x ≤ 2} {x/x ∈ R, 0 < x ≤ 12} {x/x ∈ R, 5 ≤ x < 15} {x/x ∈ R, x < −9} Notaci´ on Gr´ afica. Esta notaci´ on es la mas sencilla de las tres. Dibujamos la recta num´erica, se representa el cero para tener un punto de referencia y luego los extremos del intervalo. La notaci´ on se presenta de la siguiente forma:






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1.10. INTERVALOS REALES

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1.10.2.

Tipos de intervalos.

Intervalos abiertos Un I NTERVALO que no incluye sus extremos, denotado ]a, b[. En ocasiones se utiliza tambi´en la notaci´ on (a, b). Veamos un ejemplo:

] − 4, 8[

en notaci´ on de corchetes,

{x/x ∈ R, −4 < x < 8}

en notaci´ on por comprensi´ on,

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en notaci´ on gr´ afica. Intervalos cerrados Un I NTERVALO que incluye sus extremos. Si los extremos del intervalo son los n´ umeros finitos a y b, entonces el I NTERVALO se denota [a, b]. Veamos un ejemplo: [−1, 7] en notaci´ on de corchetes, {x/x ∈ R, −1 ≤ x ≤ 7} en notaci´ on por comprensi´ on,



en notaci´ on gr´ afica.




1.10. INTERVALOS REALES

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Intervalos semiabiertos Un I NTERVALO en el cual un extremo se incluye y el otro no. Un intervalo se´ ]a, b]. La notaci´ ´ (a, b] se usa en algunas miabierto se denota [a, b[ o on [a, b) o ocasiones. Veamos un ejemplo: [2, 6[ en notaci´ on de corchetes, {x/x ∈ R, 2 ≤ x < 6} en notaci´ on por comprensi´ on,






en notaci´ on gr´ afica. Ahora un segundo de ejemplo: ] − 4, 11] en notaci´ on de corchetes, {x/x ∈ R, −4 < x ≤ 11} en notaci´ on por comprensi´ on,

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en notaci´ on gr´ afica. Intervalos al infinito ´ −∞. Como el infinito es Un I NTERVALO en el cual uno de sus extremos es ∞ o la representaci´ on de un concepto y no un n´ umero en s´ı, el extremo ∞ y −∞ no se incluir´ a, es decir se establece abierto. Veamos un ejemplo: [−1, ∞[ en notaci´ on de corchetes, {x/x ∈ R, −1 ≤ x} en notaci´ on por comprensi´ on,




en notaci´ on gr´ afica.

1.10. INTERVALOS REALES

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Ahora un segundo de ejemplo: ] − ∞, 5[ en notaci´ on de corchetes, {x/x ∈ R, x < 5} en notaci´ on por comprensi´ on,




en notaci´ on gr´ afica.

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Pr´ actica # 12 1. Escriba los siguientes conjuntos en las tres formas de representaci´ on y notaci´ on para intervalos. a) El conjunto de todos los n´ umeros reales mayores o iguales que menos uno y menores o iguales que cinco. b) El conjunto de todos los n´ umeros reales mayores que uno y menores o iguales que seis. c) El conjunto de todos los n´ umeros reales mayores que menos siete y menores que tres. d) El conjunto de todos los n´ umeros reales mayores que menos cinco. e) El conjunto de todos los n´ umeros reales menores o iguales que uno. f ) El conjunto de todos los n´ umeros reales menores que menos cuatro. 2. Represente en notaci´ on gr´ afica y notaci´ on por comprensi´ on los siguientes intervalos reales. a) [5, 6[ b) ] − 8, −6[ c) ]1, 4] d) [1, 2] e) ] − ∞, 4[ f ) ] − ∞, 5] g) [3, ∞[ h) ]5, ∞[ i) {x/x ∈ R, −2 < x < 8} j) {x/x ∈ R, −6 < x ≤ −2} k) {x/x ∈ R, 5 < x} l) {x/x ∈ R, −7 ≤ x} m) {x/x ∈ R, 4 ≤ x ≤ 7} n) {x/x ∈ R, x ≤ 2}





n ˜)

o)



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q)

p)


r)




s)