Noveno

Matem´ atica de Noveno Mauricio Ram´ırez Herrera

2

Cap´ıtulo 1

N´ umeros Reales “Dios cre´ o los n´ umeros naturales; todo los dem´ as es obra del hombre”, Kronecker.

1.1.

Conocimientos previos

Es necesario volver brevemente a dos temas de s´etimo a˜ no: N´ umeros Enteros y Racionales. As´ı mismo debemos revisar los N´ umeros Naturales que fueron estudiados, principalmente, en primaria.

1.1.1.

N´ umeros Naturales

Los n´ umeros naturales son aquellos que no tienen decimales y adem´ as son positivos. Es importante aclarar que el conjunto de los n´ umeros naturales (el cu´ al se denota por el s´ımbolo N) no incluye el cero (pues debemos recordar que el cero es neutro, no es ni positivo ni negativo), algunos libros incluyen el cero como n´ umero natural, nosotros no lo haremos. Es as´ı, que vamos a aceptar N = {1, 2, 3, 4, . . .} Caracter´ısticas a Memorizar Son n´ umeros positivos. Son n´ umeros sin decimales. No incluyen el cero. 3

M

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

4

1.1.2.

N´ umeros Enteros

Los n´ umeros enteros son aquellos que no tienen decimales, son positivos y negativos y adem´ as incluyen el cero. El conjunto de los n´ umeros enteros se denota por el s´ımbolo Z. Es as´ı, como vamos a entender el conjunto de la siguiente forma Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .} Caracter´ısticas a Memorizar Son n´ umeros positivos y negativos. Son n´ umeros sin decimales. Si incluyen el cero.

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1.1.3.

N´ umeros Racionales

Los n´ umeros racionales son aquellos que pueden ser expresados de la forma a b donde a y b son n´ umeros enteros y b 6= 0; donde a es el NUMERADOR y b es el DENOMINADOR . El conjunto de los n´ umeros racionales se denota por el s´ımbolo Q. Entre cualquiera dos n´ umeros racionales, siempre es posible encontrar otro n´ umero racional. Por tanto, contrario a lo que uno pudiese esperar, el conjunto de los n´ umeros racionales es continuo, pero al mismo tiempo contable. Podemos entonces decir que Q = {. . . , −4,

−7 −5 −3 −1 −1 1 3 5 7 , −3, , −2, , −1, , , 0, , 1, , 2, , 3, , 4, . . .} 2 2 2 2 3 2 2 2 2

Aqu´ı es importante aclarar algo que quiz´ a algunos ya han concluido: as´ı como el conjunto de los n´ umeros enteros incluia al conjunto de los naturales, el conjunto de los n´ umeros racionales incluye a ambos conjuntos previos. Esto quiere decir que en el conjunto Q estan incluidos adem´ as de las fracciones, positivas y negativas, los n´ umeros sin decimales positivos y negativos. Veamos un ejemplo que nos ayudara a aclarar esto. ¿C´ omo clasificar´ıa usted 5 el n´ umero ? 2

1.1. CONOCIMIENTOS PREVIOS

5

Usando nuestra calculadora dividimos 5 entre 2 y la calculadora nos da el siguiente resultado 5 = 2, 5 2 Recordando un poco de la teoria de primaria 2, 5 es un n´ umero con expansi´ on decimal finita. Por tanto est´ a claro que los n´ umeros con expansi´ on decimal finita son n´ umeros racionales. No obstante veamos otros casos antes de llegar a una conclusi´ on. 24 ? ¿C´ omo clasificar´ıa usted el n´ umero 8 Usando una vez m´ as la calculadora dividimos 24 entre 8 y la calculadora nos da el resultado 24 =3 8 Aunque el resultado es el n´ umero 3, que anteriormente lo clasificamos como un n´ umero natural o entero, ahora lo clasificamos como racional. Por tanto los n´ umeros positivos sin decimal tambi´en son racionales. 32 , al usar la calculadora obteneVeamos otro ejemplo. Analicemos el n´ umero 6 mos como resultado 32 = 5, 33333333 . . . 6 En la escuela aprendimos que un n´ umero como 5, 333333 . . . se llama n´ umero con expansi´ on decimal infinita peri´ odica. Por lo tanto, los n´ umeros con expansi´ on decimal periodica se clasifican tambi´en como n´ umeros racionales. Podemos ahora resumir las conclusiones a las que llegamos a traves del an´ alisis anterior. Caracter´ısticas a Memorizar Son n´ umeros enteros. Son fracciones positivas y negativas. Son n´ umeros con expansi´ on decimal infinita peri´ odica. Son n´ umeros con expansi´ on decimal finita.

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´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

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1.2. E

N´ umeros Irracionales

Objetivo.Analizar situaciones que hacen evidente la existencia de n´ umeros irracionales. La matem´ atica, como se ha dicho en muchas ocasiones, es EL LENGUAJE DE ¿Cu´ al ciencia? Muchas: Ingenier´ıa, Astronom´ıa, Rob´ otica, Gen´etica, Medicina, Biolog´ıa. . . adem´ as muchas profesiones utilizan la matem´ atica como “lenguaje”, como medio para lograr un objetivo o explicar resultados o teor´ıas propias de cada una de ellas, as´ı al estudiar matem´ atica no se hace con la meta de ser profesor. LA CIENCIA .

Si se tiene la meta de una carrera profesional como dise˜ nador urbano, analista de servicios p´ ublicos, animador gr´ afico, estimador, epidemi´ ologo, criptoanalista, estad´ıstico, escritor t´ecnico, analista de investigaci´ on de mercados, comerciante de mercanc´ıas, controlador de trafico a´ereo, analista climatol´ ogico, analista forense, encuestador, valorador, gerente de producci´ on, banquero, suscriptor de seguros, actuario, programador de sistemas, investigador cient´ıfico, analista cuantitativo, corredor de bolsa, ec´ ologo. . . Si, hay que enfrentarlo la matem´ atica est´ a en todas partes, n´ umeros enteros, decimales, fracciones y de otros tipos. Cada disciplina tiene necesidades distintas, por eso la matem´ atica tiene soluciones distintas, a veces los n´ umeros que usamos no sirven o cubren las necesidades de la disciplina estudiada, por tanto es necesario “aprender” o “conocer” un nuevo conjunto de n´ umeros. Con este objetivo en mira, este a˜ no estudiaremos los n´ umeros irracionales. E

Objetivo. Reconocer n´ umeros irracionales en notaci´ on decimal, en notaci´ on radical y otras notaciones particulares. Pasaremos ahora a considerar la definici´ on de n´ umero irracional. Un n´ umero ´N irracional es aquel que no puede ser expresado en la forma de FRACCI O p q para cualquier par de ENTEROS p y q es un n´ umero irracional. El conjunto de los n´ umeros irracionales se denota con el s´ımbolo I. √ El n´ umero irracional m´ as famoso es 2; a veces llamado C ONSTANTE DE ´ GORAS. La leyenda cuenta que el fil´ P IT A osofo pitag´ √ orico Hippasus uso m´etodos geom´etricos para demostrar la irracionalidad de 2 mientras estaba en alta mar y, luego de notificar a sus camaradas de su gran descubrimiento, fue arrojado inmediatamente al mar por Pitag´ oricos fan´ aticos. Otros ejemplos de n´ umero

1.3. RADICALES irracional incluye

√

7 3, π, e, etc.

Existen dos tipos umeros irracionales: n´ umeros algebraicos, como las √ de√n´ √ ra´ıces no exactas ( 2, 3, 5. . . ), y los n´ umeros trascendentales, como π y e. ´N Por otro lado, cuando los n´ umeros irracionales se representan en EXPANSI O dicha expansi´ on es infinita, o sea no termina ni se repite, aunque si puede tener un patr´ on como DECIMAL

0,10100100010000100000 . . . ´ ltimo, la gran mayor´ıa de n´ Por u umeros reales son irracionales, as´ı que si escogi´eramos un n´ umero cualquiera de la recta num´erica la probabilidad de que sea irracional es sumamente alta. Podemos entonces concluir lo siguiente con respecto a las caracter´ısticas que permiten identificar un n´ umero irracional. Caracter´ısticas a Memorizar Son n´ umeros trascendentales (π y e). Son radicales cuyas raices son no exactas. Son n´ umeros con expansi´ on decimal infinita no peri´ odica (no se repiten los decimales de forma que se pueda reconocer un comportamiento predecible).

1.3.

Radicales

√ El√s´ımbolo n x usado para indicar una ra´ız es llamado RADICAL1 . La expresi´ on n x se leer´ a “x radical n”, o “la n-esima ra´ız de x”. En el s´ımbolo radical, la linea horizontal se llamaV INCULO, la cantidad debajo del V INCULO se llama ´ subradical, y la cantidad n escrita a la izquierda √ √ se llama I NDICE. El caso especial 2 x se escribe simplemente x y recibe el nombre de R A´IZ C UA √ √ ´ DRADA de x. Por su parte 3 x se conoce como R A´IZ C U BICA , 4 x se conoce como √ R A´IZ C UARTA y 5 x se le da el nombre de R A´IZ Q UINTA. Un detalle importante concerniente a los radicales es el siguiente: 1. Si el ´ındice es par, entonces el subradical debe ser siempre positivo. Sea n ∈ N, tal que n es par, si 1 Usado

√ n

x entonces x > 0.

por primera vez en 1525, por Christoff Rudolff en su obra Die Coss.

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´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

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2. Si el ´ındice es impar, entonces el subradical no tiene ninguna restricci´ on, puede ser positivo o negativo. √ Sea n ∈ N, tal que n es impar, si n x entonces x ∈ R. Caracter´ısticas a√Memorizar Para el radical n x = c tenemos: √ El s´ımbolo se conoce como s´ımbolo radical. El n´ umero n es el ´ıdice. El n´ umero x es el subradical. El resultado c se conoce como ra´ız.

M

1.4.

¿C´ omo identifico n´ umeros irracionales?

Bueno, primero es necesario saber de memoria las caracteristicas que identifican a los elementos de cada uno de los conjuntos, y que se han identificado M . A´ hasta el momento en el documento con el s´ımbolo un as´ı no est´ a de m´ as ver algunos ejemplos que puede esclarecer m´ as la tarea de identificar estos n´ umeros. √ Veamos el n´ umero 169. ¿C´ omo s´e si es irracional? Muy f´ acil uso la calculadora. √

169 = 13

Ahora preg´ untese: ¿Qu´e caracter´ısticas, de las estudiadas para cada conjunto, cumple el n´ umero 13? Bueno el 13 es un n´ umero que no tiene decimales y es positivo. Por esta raz´ on llegamos a la conclusi´ on de que 13 es un n´ umero natural. Pero tambi´en ´ nicas caracter´ısticas que no cumple son es entero y adem´ as es racional. Con las u las de los irracionales. Entonces, √

169 es un n´ umero N, Z y Q, pero no es I

Ahora, que podemos decir del n´ umero ladora nos damos cuenta que √

√

136. Usando una vez m´ as la calcu-

136 = 11,66190379 . . .

De nuevo, ¿Qu´e caracter´ısticas, de las estudiadas para cada conjunto, cumple el n´ umero 11.66190379. . . ?

´ ´ 1.4. ¿COMO IDENTIFICO NUMEROS IRRACIONALES?

9

Primero, el n´ umero tiene decimales asi que ya no califica como n´ umero natural ni entero. ¿Ser´ a racional? Bueno es un n´ umero con expansi´ on decimal infinita no peri´ odica ¿Por qu´e decimos eso? Si vemos el n´ umero termina con “. . . ” lo que indica que es infinito. Ademas, los decimales no tienen un patr´ on de repetici´ on, no es posible identificar un ´ ltimo orden especifico que permita establecer que n´ umero aparecer´ a, luego del u d´ıgito (9) no sabemos cual n´ umero continua, por tanto 11.66190379. . . es un n´ umero irracional. ´ ltimo ejemplo. Analice los siguientes n´ Veamos un u umeros: (1) 2, 3646566676 . . ., (2) 1, 36363636363636 . . . y (3) −0, 2353535353535 . . . ¿C´ omo se pueden clasificar? Primero el n´ umero 2, 3646566676 . . . es un n´ umero con expansi´ on decimal infinita no peri´ odica. Debemos tener cuidado de no caer en la trampa de pensar que como hay un patr´ on, o orden, que parece indicar que va aumentando de 10 ´ ltimo par de digitos en 10 existe un periodo. ¿Se puede asegurar que luego del u sigue el 86? No hay nada que lo garantice. Entonces, 2, 3646566676 . . . es un n´ umero irracional, o sea pertenece al conjunto I Ahora veamos el n´ umero 1, 36363636363636 . . .2 . El par de d´ıgitos 36 se repite durante toda la expansi´ on decimal, un n´ umero mayor de tres veces, por tanto ´ ltimo par de d´ıgitos seguir´ podemos asegurar que luego del u a un 36. Recordando un poco, este n´ umero se puede clasificar como un n´ umero con expansi´ on decimal infinita peri´ odica, pues hay un patr´ on, un orden, que se repite indefinidamente. Entonces, concluimos que 1, 36363636363636 . . . es un n´ umero racional, o sea pertenece al conjunto Q Para terminar, analicemos el n´ umero −0, 2353535353535 . . .3 . El par de d´ıgitos 36 se repite durante toda la expansi´ on decimal, un n´ umero mayor de tres veces, ´ ltimo par de d´ıgitos seguir´ por tanto podemos asegurar que luego del u a un 35. Pero,¿afecta el hecho que la expansi´ on decimal inicia con un 2 que no se repite infinitamente? No, lo que importa es que existe un patr´ on, u orden, que se puede identificar y con el poder pronosticar el siguiente par de d´ıgitos. Una vez m´ as, este n´ umero se puede clasificar como un n´ umero con expansi´ on decimal infinita peri´ odica. Entonces, concluimos que −0, 2353535353535 . . . es un n´ umero racional, o sea pertenece al conjunto Q 2 Tambi´ en 3 Tambi´ en

se podr´ıa escribir 1, 36 se podr´ıa escribir −0, 235

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

10

1.5.

Pr´ acticas

Pr´ actica # 1 Para cada uno de los siguientes n´ umeros establezca el conjunto o conjuntos al que pertenece. 1.

√

10

2. 2π 3.

−e 5

3 4. 4 5. 3, 543

6. −5 √ 7. 11 3 8. 4 √ 9. 36 10. 23 √ 3 11. 6

√ 4 12. − 16 13. 0 √ 14. 1 15.

3π 2π

16.

1+e π

Clasifique los siguientes n´ umeros como racionales o irracionales, si est´ an bien definidos. 1.

√

3

19 17 √ 3. 7 2.

4. 45 5. e

6. 2, 026 √ 5 7. 12 r 3 27 8. 12 √ 4 9. −16 r 1 10. 9

11.

√ 5

−32

12. −101, 567 13. −4

2 5

14. 16, 028424 . . .

Tarea # 1 Clasifique las siguientes expresiones como racionales o irracionales. 1. 2. 3.

√ √ √

2 13

24 √ 4. − 37 √ 3 5. 12

√ 3

−7 23 + 5 7

−5

10.

8·0

8. 0 · 5

11. π − 5, 86 √ 12. 3 + 3

9. −10e

13. 4, 27 − 18, 2354691 . . .

6. 7.

√ 5

´ 1.5. PRACTICAS

11

Pr´ actica # 2 Analice y conteste la siguiente pregunta. Al restar o sumar dos n´ umeros irracionales, ¿se obtiene como resultado un n´ umero irracional?

Escriba Falso, si la proposici´ on es falsa, o Verdadero si es verdadera. 1. Toda fracci´ on es un n´ umero racional 2. Toda ra´ız es un n´ umero irracional 3. Todos los n´ umeros irracionales son ra´ıces 4. Toda expansi´ on decimal finita puede tambien ser representada por una expansi´ on decimal infinita peri´ odica 5. Algunas fracciones mixtas representan n´ umeros irracionales 6. Algunos n´ umeros irracionales pueden denotarse por medio de una fracci´ on 7. La suma de un n´ umero racional y otro irracional da como resultado un racional 8. El producto de un racional y un irracional siempre es irracional Para las siguientes expresiones determine si son racionales o irracionales. p −1 5. 4 (−8)5 9. −7, 4 1. 7 √ 6. 17 10. 169 2. −4 √ −e 3 7. 2 8 11. 2, 711 3. 5 12. −1, 4 4. −π + 2 8. 0

´ CAP´ITULO 1. NUMEROS REALES

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Tarea # 2 Clasifique las siguientes expresiones como racionales o irracionales. 1.

√

2+3 √ 36 2. 6 √ 3. 16 − π √ −38 4. 3

5. 1 + 6. 9 +

√ √

7. −8π 8.

−3e 2

100 2

9. π − π π 10. π √ 5 11. 32 √ 11 12. √ 4

Determine en cada caso si los n´ umeros tiene expansi´ on decimal infinita peri´ odica o no peri´ odica. Luego, determine si es un n´ umero racional o irracional. 1. −1, 10100100010000 . . . 2. 3, 14151617181920 . . . 3. −4, 020101010101 . . . 4. 17, 12345678910 . . . 5. −4, 25262728293 . . .