: ( و 54أن 4-ن &2أو ./01أ :7 ا ا! ه" &رةٌ أو ً )* +,- . ا ) = Pا>= أآ&! ;ً 5ا:رض ( @ .,, ا ) = Qا! أآ&! ;ً 5ا:رض ( @ ./01 :B ا ا ;Aه" 4- .ن * ,ل )ً 7 C1D ) ( 2 < x ) = P (x :B ))4 Hا ,L M4,أو DK1ه JCا إ @ !* G* Hا,ل ً 7 ) G . x ) ,, @ P ( 5 ) /01 @ P ( 1 أ;4- ًOن ا اD ّ* ;Aآ, 5 !7ل: ) ( y ≤ x + 1 ) = P ( x, y .,, P ( 3, 4 ) ) /01 P ( 1, 5 ) :B ه) ً 7 &' - " #$ -ء QAم ا ،و QAم ا*) ،!Lو QAم اOHء ،آA Qه! Mدة QKT&- 54 Hأو +4> QA !*-د@ ،Uو* ))4د 5 ا* Q* +و "*&0 +4> QQAOو;C- W ."VGآ! Jدو ً ه اGة ا VV:ا: ) ا xإ أن إ ا Mأو إ Mو (
دة Y !Oت !;Dف آ&!ة و*)! !;Dف !Zة. و "TOا ا" ,- Hي أي ) !Lا } { = ∅ . : ( ) *+وت اداد " !; اGرا Vا]Gاد وا \!*- O7إ( ت اG:اد ا وا" Vف !Oاه 5 G Yا:ً;H +LA اG:اد ا. ℕ = { 0,1,2,3,……} :*&K اG:اد ا. ℤ = {……, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ……} :,,L اG:اد ا !T4أو ا*د . ℚ = { mn : n, m ∈ ℤ ∧ m ≠ 0 } : اG:اد ا ℝ :,و M -اG:اد ا 12 , 23 ,… +7 !T4واG:اد ^! ا. 2, π, e, 13, … +7 !T4 ? ( ,-& ,. دة GTOم إ;Gى ا 5 !Kا: _ 5 . A = { 3, 4, 5, 6, 7 } :B ا !Kا&!bة ;G*O aد )! ا ً 7 A = { n ∈ ℕ : 3 ≤ n ≤ 7 } :Bو!Oأ ذ A ) dه" ا !^ !Kا&!bة ;1 5ّ&O aاص )!ه ً 7 اG:اد ا n *&Kا" U,-ا!ا.( 3 ≤ n ≤ 7 5,. 7ل ّ!*O ℝ " :!1fف ال اAح 2, 7 آ ". 2, 7 = { x ∈ ℝ : 2 < x < 7 } : وّ!*Oف ال 6, +∞ آ ". 6, ∞ = { x ∈ ℝ : 6 ≤ x } :
7ل " :!1fاTي ّ!*O Eف اGا!2ة ا" !آYه pو!K@ _LOه ( rأ QOا)ط ا" : r T p 5 G*&-
} a; D = {q ∈ E , d ( p, q ) = rا! ")* d ( p, q ) Yا 5 Tا) p 5Kو q دروس :ا -ات -اا
رس أ
12 30
و i GTOآ ":
) ∀x ∈ M , P ( x
و ُ!-أ 5اTر إ( ا ) :5أ ً آن ا*) 5 x !Lا U, iّOk Mا ( Pأو ) آ U,- M !) +ا .( P 4 30
و i GTOآ ":
) ∃x ∈ M : P ( x
و!-أ 5اTر إ( ا 5 x !L) G. ) :5ا U, Mا ( Pأو ) أ; U, M !) Gا .( P
&6 7 85 و i GTOآ "P ( x ) :
∃!x ∈ M :
و!-أ !L) G. ) :و; 5 x Gا U, Mا ( Pأو ) وا; U, M !) 5 l Gا .( P <; 0 9:: 1 ن ا! W-اCي i !Qm-ا4ت " .ر ًG. MQا و^&ً ()* !ّZا !Zا! W-آ " ا7ل ا": إّ
∀m ∈ ℤ, ∃n ∈ ℤ : n > m ∃n ∈ ℤ : ∀m ∈ ℤ, n > m *&رة ا:و( -ل أ iّOأ ً آن ا*Gد اG G. m ,Lد ,أآ&! ) ً - iوه& JCرة ،,,أ ا*&رة ا O7ل أG G. iّOد ,أ 5 !Zآ اG:اد ا ,,LوهCا .DK1 > ¬ =# G G. @ ^ ))4ة إ V @ 5 ً@BKOوذGV dام ا!وا lا .إذا آ P \Oو ّ!*) 5 @ Qف ا : P ∧ Qو!-أ Pو .Qو4-ن l ,,إذا آ \Oآ Bا .,, Q ، P 5 P ∨ Qو!-أ Pأو .Qو4-ن ,,إذا آ \Oإ;Gى ا ( Q ، P 5ا.,, +@: ¬Pو!-أ . P "AOو4-ن ,,إذا آ ،/01 P \Oو4-ن /01إذا آ.,, P \O P ⇒ Qو!-أ .Q " Pو4-ن l /01إذا آ ,, P \Oو ./01 Q P ⇔ Qو!-أ .Q n4- Pو4-ن ,,إّذا آ \Oا ن Pو *&0 5 Qوا;Gة. و " U&V OاGول ا" واCي G. iTOول ا! ,وا lا):K
P ⇔Q
P ⇒Q
P ∨Q
P ∧Q
¬Q
√
√
√
√
×
¬P ×
√
×
×
√
×
√
×
×
√
×
√
√
×
×
√
√
×
√
√
×
×
√
√
×
×
Q
P √
ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺘﺸﺒﻴﻪ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﺭﻭﺍﺒﻁ ﺒﺎﻝﺩﺍﺭﺍﺕ ﺍﻝﻜﻬﺭﺒﺎﺌﻴﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ:
p ∨q ⇔ a
p ∧q ⇔ a
a ⇔ p
p ⇒a
دروس :ا -ات -اا
رس أ
D# 1 ;<
¬ ( ∃x ∈ M : P ( x ) ) ⇔ ( ∃x ∈ M : P ( x ) ) ⇔ ( ∀x ∈ M , ¬P ( x ) )
¬ ( P ∧ Q ) ⇔ ( ¬P ) ∨ ( ¬ Q )
¬ ( ∀ x ∈ M : P ( x ) ) ⇔ ( ∃x ∈ M , ¬P ( x ) )
¬ ( P ∨ Q ) ⇔ ( ¬P ) ∧ ( ¬ Q ) ¬ ( P ⇒ Q ) ⇔ ( P ∧ ¬Q ) ?@ 0 ءA' 1 ;<
.Q ∨ ( ¬P ) :" ا,) ( ( اP ⇒ Q ) @ ءH ^ ا54 . ( P ⇒ Q ) ∧ (Q ⇒ P ) :" ا,) ( ( اP ⇔ Q ) r4 ^ ا54 :( B EFG ") A 5 !L) + إذا آن آ، M " اة, QOل أ ً أO أو، M 5 2Y. A ن ا ّ ل أO . M 54 :) G iّO أي أ. A ⊂ M :Y ! dC Y !O و. M (أ ً إ
A ⊂ M ⇔ ( ∀a ∈ A, a ∈ M ) :i Y !O و،ً* B وA ()" إ- " ا*)! اiّOD Q*0- *!ّفO . M 5 52Y. 5 A, B 54
A ∩ B = {x ∈ M : x ∈ A ∧ x ∈ B } :i Y !O( وQ )أو إ( آB ( أو إA ()" إ- " ا*)! اiّOD B وA ع.*!ّف اO dCآ
A ∪ B = {x ∈ M : x ∈ A ∨ x ∈ B } : أيB ()" إ- H وA ()" إ- " ا*)! اiّOD A \ B !قA*!ّف اOو
A \ B = {x ∈ M : x ∈ A ∧ x ∉ B } : أيAc Q Y !O وA ()" إ- H " ا*)! اQّOD A *!ّف اOو Ac = M \ A = { x ∈ M : x ∉ A }
. أي5 2Y. ا ا ==C H*I
M " B ا
M " A ا
M 5 ن2Y. A, B
B \ A !قAا
A ∪ B ع.Hا
A ∩ B 0ا
A\B
( ) آن ﻠط ب ادام اواص ا ً دون إدة إDJ J+ 96: : اVV:&\ ااص اq أ. M 5 2Y اA, B,C ات54 A∩M = A A∩B ⊂ A A⊂A∪B A⊂A
A∪M = M A\A = ∅
A∩∅ = ∅
A∪∅ = A
A∩A= A
A∪A = A
A \ B = A ∩ Bc
A∪B = B ∪A
A∩B = B ∩A
(A ⊂ B ) ∧ (B ⊂ C ) ⇒ (A ⊂ C ) A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B ) ∩ C
A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B ) ∪ C A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) رس أ
c
(A ∩ B )
= Ac ∪ B c
c
(A ∪ B )
= Ac ∩ B c
اا- ات- ا: دروس
( ءF4+ ( . M 5 2Y ات ا+ آM - P ( M ) Q Y !O ةG G. *!ّفO . M 54 . M 5 2Y. هP ( M ) 5 !L) +ن آ ّ أي أ :Q2اY.ن أ4 . M = { 0,1,2 } 54 :B ً 7
P ( M ) = { ∅, { 0 } , {1 } , { 2 } , { 0,1 } , { 0, 0,22 } , {1,2 1, 2 } , { 0,1,2 }} } :Q ,- !ى1 إ( أ2Y. 5 i MQV + آa; ا;اءlK 2Y ات اJC ه+7- 54 و
{ 0,1,2 }
{ 0,1}
{ 0, 2 }
{1, 2 }
{0}
{1}
{2}
{ } ( 76 K : L 4 :Y ! اتJCع ه.H Y !O . M 5 2Y. تA1, A2 , …, An 54 وM 54 n
∪ Ak
=
k =1
{a ∈ M : ∃k ∈ {1, 2, 3, …, n }:a ∈ Ak } :Y ! اتJC ه0 Y !O آ
n
∩ Ak
k =1
=
{a ∈ M
: ∀k ∈ { 1, 2, 3, …, n } :a ∈ Ak }
*ر:ع ات ا. ه" اm اK)ا
ر: ات ا0- " هm اK)ا
.د: اQTO " { وا1, 2, …, n } ن " ا4- i@ادًا وGّ أوB ً دT ا4 " اk دG*" اTO 2Y. تA1, A2, …, An , …… \O إذا آB ً 7 ، ات5 i) !^ دG 0-ع و.*! _ ا- ))4 M أ+4> : O M 5 رس أ
اا- ات- ا: دروس
{a ∈ M : ∃k ∈ ℕ :a ∈ Ak }
=
∪ Ak
k ∈ℕ ℕ
=
∩ Ak
k ∈ℕ ℕ
{a ∈ M : ∀k ∈ ℕ :a ∈ Ak }
.ًاG! وAL ا5 *&K اM ا+ إذًا آC1D k +G واℕ "د ه:ه) ا :"ل ا7{ آ " ا1, 2, …, n } +4> ا5 \T وℕ \T د:ن ا4- ًO;أ :) G . M 5 2Y. Aa , Ab , Ac , …, Az ات54 و. I = {a, b, c, …, x , y, z } 54 و. M 54
∪ Aα
= Aa ∪ Ab ∪ ⋯ ∪ Az
∩ Aα
= Aa ∩ Ab ∩ ⋯ ∩ Az
α∈I
α∈I
. ( Aα )α∈I dC Y !O وI د: اKV !@ ا2Y. ت. QO أAa , Ab , …, Az ات5 لO
∪ {x } = ℝ
:!1f ل7
x ∈ℝ
. Ax = { x } !L)*ة اG; ه" وx +G وا ذات اℝ "د ه:ه) ا .
∪ { +x, −x } = ℝ∗ :!1ل أ7
x ∈ ℝ∗+
EFN :a, ( Ai )i ∈I 1 !^ 2Y. ت5 . أيM 2Y- "TO
∪ Ai
=M
∀i, j ∈ I , ( i ≠ j ) ⇒ ( Ai ∩ Aj = ∅ )
و
i ∈I
M D: 06 ء6G QTO وn ∈ N وm ∈ M a; ( m, n ) +4> ا5 زواج: ا+ آM - ةG G. *!ّفO .5 M , N 54 M ×N =
{ ( m, n ) : m ∈ M
∧n ∈ N}
:i Y !O وM , N 5 "-ر4 Gاء اGا
Mq ،ر دي, ( N !) +7O و،"ر أ, ( M !) +7O :" ة آG G ا اJC ه+7- KTO : ) إذًاG . N = { 1, 1,2, 2, 3, 4 } وM = {a, b, c } :ل7 .يT اا " اK) ( m, n ) !L) + آ+7O
(a,1 ), (a,2 ), (a, 3 ), (a, 4 ), M × N = (b,1 ), (b,,22 ), (b, 3 ), (b, 4 ), , 2 ), ( c, 3 ), ( c, 4 ) (c,1 ), (c,2
رس أ
اا- ات- ا: دروس
( 76$ D: 06 ء6G :+4> ا5 @اس: ا+ آM - ةG G. *!ّفO . تM1, M 2, …, M n 54
x n ∈ M n و...... وx 2 ∈ M 2 وx 1 ∈ M 1 a; ( x1, …, x n ) : M1, M 2, …, M n " ت-ر4 Gاء اG اQTOو M1 × ⋯ × Mn =
{( x1, x 2, …, xn ) : ∀k ∈ {1,2, …, n }, x k
∈ Mk }
:) G . M 3 = { △,□,○ } ، M 2 = {a, b } ، M 1 = { 1, 2 } 54 :ل7 ( 1, a,△ ), ( 1, a,□ ), ( 1, a,○ ), ( 1, b,△ ), ( 1, b,□ ), ( 1, b,○ ), M 1 × M 2 × M 3 = ( 2, a,△ ), ( 2, a,□ ), ( 2, a,○ ), ( 2, b,△ ), ( 2, b,□ ), ( 2, b,○ ) × ⋯ ×M : M ا5 "TO" n اءG. " هM n ن ّ أي أM n = M
*!ّفO M \Oإذا آ n
Mn =
{( x1, x 2, …, xn ) : ∀k ∈ {1,2, …, n }, xk
∈M}
O DJ6#P H* ر1 اG* يT " اℝ 2 !) +7- 54 . ℝ 2 = ℝ × ℝ =
{( x, y ) : x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ } *!ّف اO
:+4> آ " اℝ ا5 TO +7 ر, + آ،5 G * 5 ر,
( x, y )
y
x
3
:B ً 7 . ℝ 2 5 2Y ات اv* *!ضT) زواج: اM - _ !* اJCن ه ّ إ. A = 1,2 × 2, 3 7ن ا)ط ا ّ أي أ. y ∈ 2, 3 وx ∈ 1, 2 a; ( x , y )
A
1 ≤ x ≤ 2 : أي2 و1 5 ":ر ا, ( اQKT Q إذًا. 2 < y < 4 U, ر ا* دي, ( اQKT و +4> " ا+mط ا! اO + ه" آA ا .5*K ا5* )ء ا7V
2
B 1
رس أ
2
ا)طM - " واB = 3, 4 × ℝ ا:!1f H ً 7 C1D) !طb H "O7 اQqاG; وا3 < x < 4 U, ول: اQqاG;ا" ا 1 Q ! " ا* د ا, !>ً اVG) ه+7- QO إ. y ∈ ℝ i . x = 4 وx = 3 5Tون اG" و2QOH QA-وار
4
اا- ات- ا: دروس
O DJ6#P H* 5 K) Q) !L) + آ+7O وℝ 3 = ℝ × ℝ × ℝ =
{( x, y, z ) : x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ } *!ّف اO
:+4> ( آ ه " اx , y, z ) K) ا+7O .OZ OY وOX ()7 ()7 ةG * ور, qBq مGTO dC!اغ وAا
( x , y, z )
z
y x ا)طM - _ !* اJCن ه ّ إ. A = 1, 2 × 2, 3 × 1, 2 :B ً 7 . ℝ 3 5 2Y ات اv* *!ضT) XOY ":ي اT ( اQKT Q 7ن ا)ط ا ّ أي أ. z ∈ 1, 2 وy ∈ 2, 3 وx ∈ 1, 2 a; ( x , y, z ) 5,KTون اG W*4 " هA إذًا ا. و5 " !اوح:ي اT ا5 ا)طJCع هA- وار+m" ا! ا . XOZ يT 5 ااز
z
y
A
1 1
3
2
2
1
x
ر, اQO أي أ. z ∈ ℝ a; ( 0, 0, z ) :+4> ا5 ا)طQO إ. B = { 0 } × { 0 } × ℝ اC1DO !1f ل7آ "!ى ه1^ أL ، B =
{( x, y, z ) ∈ ℝ 3 : x = y = 0 } : وG* y وx
Q-qاG; ا)ط ا" ا+ أي آOZ
. z ( !طb G. H iّO أx;H . y = 0 وx = 0 5 ا*د. ;ل
رس أ
اا- ات- ا: دروس
{( x , y, z ) ∈ ℝ 3 : y 2 + z 2 ≤ 1 }
K)ن ا4- >!ط أنO ) x "qاG;H!ط ( اb H iّO أي أ.C =
C ن ا ّ أي أ.YOZ يT ٍ ا ٍزT " @ واا1 J!K@ _LO ( وx , 0, 0 ) JYي !آC ا!ص ا5
:!1f ل7
( x, y, z )
.+4> آ ه ّ " اOX ره, !ه وK@ لK ا2QOH OاKV ا+ّ7-
z y
x
R - Q=# - : *ً أو- iTO ً )ً ر2 !ّ) آG@ اCQ ن4O . N 5 f ( x ) !ًاL) x ∈ M !L) +4 l!) .5 M , N 54 . f : M → N :" ! ا524ا اCQ Y !O وN اJّ!T وM اiK) ً&Kً 7 :" آf : M → N و)*!ّف ا. N = {a, b, c } وM = { 1,2, 3, 4 } C1D) B f ( 1 ) = a, f ( 2 ) = b, f ( 3 ) = a, f ( 4 ) = c
:ولG. امGV ا اC ه5 !&* ا54
x
1 2 3 4
f (x ) a b a c :تKK امGV ا54 dCآ
f
a
b
c
M
N R0$ 7- - ( 7" - -# 7"
ن4 ن ّ أ54 ا5 iّO أx;H . a !L)* ه ا1 !L)* رة اUTل ا7" اA . x !L)* رة اf ( x ) !L)*" اTO . f ( 1 ) = a = f ( 3 ) :a; UTل ا7 آ " اQTAO رةL اUK) ا5 5 !L)* : اQO ( أQ-*!ّف رO UK) ا5 2Y. A ⊂ M \Oإذا آ f ( A ) = { f ( x ) : x ∈ A} ⊂ N . f ( { 1, 2, 3 } ) = {a, b } B ً 7 ) G UTل ا7" ا :" آB T4*رة اL*!ّف اO ،!T ا5 2Y. B ⊂ N نz ا54 f −1 ( B ) = { x ∈ M : f ( x ) ∈ B } رس أ
اا- ات- ا: دروس
.f
−1
. B " *@ واQ- ا*)! ا" ر+ي آ,- ،UK) ا5 2Y. "وه ( {a } ) = {1, 3 } dC وآf −1 ( {a, c } ) = {1, 3, 4 } :Bً 7 ) G UTل ا7" اA
M$ : 9.: :" آC Jّ!T وA iK) G G. - _ !*- ))4 g : B → C وf : A → B إذا آن g f :A→C
g f ( x ) = g ( f ( x )) . g وf 5* اW!آ- ا اC" هTO
g
f
α
β
a
b
γ
c
A
C
B
:" اg f ه اf , g 5* اW!آ- JB أ+4> " اB ً 7
3
4
g f (x ) α β α
γ
x
1 2
V U : - Q = - U =& - SR& T5 ( B : "ل ا7 آ " اQ-! ه ا ذاT واUK)ن ا4 أن54 f : M → M وM = {1,2, 3, 4 }
x
1 2 3 4
f (x ) 2 3 3 1 . f ( x ) = x :U; إذاf q KO iO أx ∈ M !L) 5 لO . f : M → M ا54 و. M 54 . f q KO 3 !L)* اUTل ا7" اA . M UK ا اiTO ،iTAO !L)*! اL) +4 l! يC اIdM : M → M " اTO . M 54 ∀x ∈ M , IdM ( x ) = x
.\q f ن ّ ل أO C2G)* ،Q-رة ذاL اM !) +4 l! f : M → N وآن5 N وM \Oإذا آ
∃b ∈ N : ∀x ∈ M , f ( x ) = b
f رس أ
اا- ات- ا: دروس
DR0$ - H : - X - B W . ∀x , y ∈ A, ( f ( x ) = f ( y ) ) ⇒ ( x = y ) : ا>!طU; إذا5 & iO أf : A → B - 5 لO . ∀x , y ∈ A, ( x ≠ y ) ⇒ ( f ( x ) ≠ f ( y ) ) :A إ( رA ا*)! ا+V! iّOأي أ . ∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f ( a ) = b : ا>!طU; ^ ! إذاiO أf : A → B - 5 لO ّ أي أ . f ( A ) = B ^ !ًا إذا آنf ن4 :!ى1^ أL .UK) ا5 !L)* ! ه رةT! " اL) +ن آ :^ اL اn4 اC وه.ً* ً) & إذا آن ^ !ًا و+- iO أf : A → B - 5 لO
∀b ∈ B, ∃ ! a ∈ A : f ( a ) = b :ًاG G. ً*- *!ّفO )O أي أ، f (a ) = b a, UK) ا5 a G;! وL)* !T ا5 b !L) + آl)) ر4 , اJCو" ه :) G و. f "T4* ا اiTO f −1 : B → A f f −1 = IdB
f −1 f = IdA −1
. ( f −1 )
= f "T4* اi*- و.ً أ+- f −1 ن ّ اا أ5
T- OG أa; A ا5 "TO" B ن ّ )) ال أ4 .5 B وA ن ّ ل أO B ً - f : A → B إذا آن :+4>! اmO ا.A ءVD )!ه
x
1 2 3
f
f (x ) a b c
a b
y
a b c
f −1 ( y ) 1 2 3
A
c
f −1
B
( ) آن ﻠط ب ادام اواص ا ً دون إدة إDJ J+ 96: :" \&q أ. N !T ا5 52Y. 5 B وA 54 و. N وM 5 ا5 ً*- f : M → N 54
•
f −1 ( A ∪ B ) = f −1 ( A ) ∪ f −1 ( B ) f −1 ( A ∩ B ) = f −1 ( A ) ∩ f −1 ( B ) f −1 ( A ) ⊂ f −1 ( B ) ن ّ k A ⊂ B إذا آن
."ع.H وا0;اء واH ( اx,- T4*رة اLن "ا ّ ) إU&V Oو :" \&q أ. M UK) ا5 52Y. 5 B وA 54 و. N وM 5 ا5 ً*- f : M → N 54 •
f (A ∪ B ) = f ( A) ∪ f ( B ) f (A ∩ B ) ⊂ f (A) ∩ f (B ) T@ اB* " ا, ً \ دوT واةTن ا ّ أ5& ًT *آH ً 7 lا f ( A) ⊂ f ( B ) ن ّ k A ⊂ B إذا آن . g : N → K وf : M → N 54 .5 & f ن ّ &\ أqD ً) & g f Wإذا آن ا!آ .! ^ g ن ّ &\ أqD ^ !ًاg f Wإذا آن ا!آ . g : N → M وf : M → N 54 . g −1 = f وf −1 = g ) G و+- g و+- f ن ّ k f g = IdN وg f = IdM إذا آن رس أ
اا- ات- ا: دروس
•
•