Notes Logic Sets Functions

‫‪    :
 ‬‬ ‫   ‬ ‫( و ‪ 54‬أن ‪4-‬ن ‪ &2‬أو ‪ ./01‬أ ‪:7‬‬ ‫ا  ا!   ه" &رةٌ  أو ‪ً )* +,- .‬‬ ‫ا  ‪ ) = P‬ا>= أآ&! ;ً ‪ 5‬ا‪:‬رض ( @  ‪.,,‬‬ ‫ا  ‪ ) = Q‬ا! أآ&! ;ً ‪ 5‬ا‪:‬رض ( @  ‪./01‬‬ ‫   ‬ ‫‪:B‬‬ ‫ا  ا‪ ;A‬ه" ‪4- .‬ن * ‪,‬ل  )‪ً 7 C1D‬‬ ‫) ‪( 2 < x ) = P (x‬‬ ‫‪:B‬‬ ‫‪ ))4 H‬ا‪ ,L M4,‬أو ‪ DK1‬ه‪ JC‬ا  إ‪ @ !* G* H‬ا‪,‬ل ‪ً 7 ) G . x‬‬ ‫) ‪,,  @ P ( 5‬‬ ‫) ‪/01  @ P ( 1‬‬ ‫أ;‪4- ًO‬ن ا  ا‪D ّ* ;A‬آ‪, 5 !7‬ل‪:‬‬ ‫) ‪( y ≤ x + 1 ) = P ( x, y‬‬ ‫‪.,, P ( 3, 4 ) ) /01 P ( 1, 5 ) :B‬‬ ‫ه) ‪ً 7‬‬ ‫ ‪ &' - " #$ -‬ء‬ ‫ ‪QA‬م ا‪ ،‬و ‪QA‬م ا*)‪ ،!L‬و ‪QA‬م ا‪OH‬ء‪ ،‬آ‪A Q‬ه‪! M‬دة ‪ QKT&- 54 H‬أو‪ +4> QA !*-‬د@‪ ،U‬و‪* ))4‬د ‪5‬‬ ‫ا* ‪ Q* +‬و‪ "*&0 +4> QQAO‬و;‪C- W  ."VG‬آ!‪ J‬دو ً ه ا‪G‬ة ا‪ VV:‬ا‪:‬‬ ‫) ا ‪ x‬إ أن   إ ا  ‪ M‬أو    إ ‪ M‬و    (‬

‫دة  ‪ Y !O‬ت ‪!;D‬ف آ&!ة و*)! ‪!;D‬ف ‪!Z‬ة‪.‬‬ ‫و‪ "TO‬ا ا" ‪,- H‬ي أي )‪  !L‬ا } { = ∅ ‪.‬‬ ‫‪ : ( ) *+‬وت اداد‬ ‫" !; ا‪G‬را‪ V‬ا]‪G‬اد  وا‪ \!*-  O7‬إ( ت ا‪G:‬اد ا وا" ‪V‬ف ‪!O‬اه ‪ 5 G Y‬ا‪:ً;H +LA‬‬ ‫  ا‪G:‬اد ا‪. ℕ = { 0,1,2,3,……} :*&K‬‬ ‫  ا‪G:‬اد ا‪. ℤ = {……, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ……} :,,L‬‬ ‫  ا‪G:‬اد ا‪  !T4‬أو ا*د ‪. ℚ = { mn : n, m ∈ ℤ ∧ m ≠ 0 } :‬‬ ‫  ا‪G:‬اد ا‪ ℝ :,‬و‪ M -‬ا‪G:‬اد ا‪ 12 , 23 ,… +7  !T4‬وا‪G:‬اد ^! ا‪. 2, π, e, 13, … +7  !T4‬‬ ‫‪? ( ,-& ,.‬‬ ‫دة  ‪GTO‬م إ;‪G‬ى ا‪ 5 !K‬ا‪:  _ 5‬‬ ‫‪. A = { 3, 4, 5, 6, 7 } :B‬‬ ‫ا‪  !K‬ا&‪!b‬ة ;‪G*O a‬د )! ا ‪ً 7‬‬ ‫‪ A = { n ∈ ℕ : 3 ≤ n ≤ 7 } :B‬و‪!O‬أ ذ‪ A ) d‬ه" ‬ ‫ا‪ !^  !K‬ا&‪!b‬ة ;‪1 5ّ&O a‬اص )!ه ‪ً 7‬‬ ‫ا‪G:‬اد ا‪ n *&K‬ا" ‪ U,-‬ا!ا‪.( 3 ≤ n ≤ 7 5,.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ ‪7‬ل ‪ّ!*O ℝ " :!1f‬ف ال ا‪A‬ح ‪  2, 7 ‬آ "‪.  2, 7  = { x ∈ ℝ : 2 < x < 7 } :‬‬ ‫و‪ّ!*O‬ف ال ‪  6, +∞ ‬آ "‪.  6, ∞  = { x ∈ ℝ : 6 ≤ x } :‬‬

‫ ‪7‬ل ‪ " :!1f‬ا‪T‬ي ‪ّ!*O E‬ف ا‪G‬ا‪!2‬ة ا" !آ‪Y‬ه ‪ p‬و‪!K@ _LO‬ه ‪ ( r‬أ‪  QO‬ا)ط ا" ‪: r T p 5 G*&-‬‬

‫} ‪ a; D = {q ∈ E , d ( p, q ) = r‬ا! ‪ ")* d ( p, q ) Y‬ا‪ 5 T‬ا)‪ p 5K‬و ‪q‬‬ ‫  دروس‪ :‬ا   ‪ -‬ات ‪ -‬اا‬

‫
‬

‫رس أ‬

‫‪12 30‬‬

‫
‬

‫و‪ i GTO‬آ "‪:‬‬

‫) ‪∀x ∈ M , P ( x‬‬

‫و ُ‪!-‬أ ‪ 5‬ا‪T‬ر إ( ا‪ ) :5‬أ ً آن ا*)‪ 5 x !L‬ا ‪ U, iّOk M‬ا  ‪ ( P‬أو ) آ‪ U,- M !) +‬ا  ‪.( P‬‬ ‫‪4 30‬‬

‫‬

‫و‪ i GTO‬آ "‪:‬‬

‫) ‪∃x ∈ M : P ( x‬‬

‫و‪!-‬أ ‪ 5‬ا‪T‬ر إ( ا‪ 5 x !L) G. ) :5‬ا ‪ U, M‬ا  ‪ ( P‬أو ) أ;‪ U, M !) G‬ا  ‪.( P‬‬

‫‪ &6 7
85‬‬ ‫و‪ i GTO‬آ "‪P ( x ) :‬‬

‫‪∃!x ∈ M :‬‬

‫و‪!-‬أ‪ !L) G. ) :‬و;‪ 5 x G‬ا ‪ U, M‬ا  ‪ ( P‬أو ) وا;‪ U, M !) 5 l G‬ا  ‪.( P‬‬ ‫<; ‪ 0  9:: 1‬‬ ‫ن ا!‪ W-‬ا‪C‬ي ‪ i !Qm-‬ا‪4‬ت " ‪ .‬ر   ‪ًG. MQ‬ا و^&ً  ‪ ()* !ّZ‬ا ‪ !Z‬ا!‪ W-‬آ " ا‪7‬ل ا"‪:‬‬ ‫إّ‬

‫‪∀m ∈ ℤ, ∃n ∈ ℤ : n > m‬‬ ‫‪∃n ∈ ℤ : ∀m ∈ ℤ, n > m‬‬ ‫*&رة ا‪:‬و( ‪-‬ل أ‪ iّO‬أ ً آن ا*‪G‬د ا‪G G. m ,L‬د ‪ ,‬أآ&! )‪ ً - i‬وه‪& JC‬رة ‪ ،,,‬أ  ا*&رة ا‪ O7‬ل‬ ‫أ‪G G. iّO‬د ‪ ,‬أ‪ 5 !Z‬آ ا‪G:‬اد ا‪ ,,L‬وه‪C‬ا ‪.DK1‬‬ ‫ >  ‪  ¬   =#‬‬ ‫ ‪G G.   @ ^ ))4‬ة إ‪ V   @ 5 ً@BKO‬وذ‪GV d‬ام ا!وا‪ l‬ا‪ .‬إذا آ‪ P \O‬و ‪ّ!*) 5 @ Q‬ف ا  ‪:‬‬ ‫‪ P ∧ Q‬و‪!-‬أ ‪ P‬و ‪ .Q‬و‪4-‬ن ‪ l ,,‬إذا آ‪ \O‬آ‪ B‬ا ‪.,, Q ، P 5‬‬ ‫‪ P ∨ Q‬و‪!-‬أ ‪ P‬أو ‪ .Q‬و‪4-‬ن ‪ ,,‬إذا آ‪ \O‬إ;‪G‬ى ا ‪ ( Q ، P 5‬ا‪.,, +@:‬‬ ‫‪ ¬P‬و‪!-‬أ ‪ . P "AO‬و‪4-‬ن ‪ ,,‬إذا آ‪ ،/01 P \O‬و‪4-‬ن ‪ /01‬إذا آ‪.,, P \O‬‬ ‫‪ P ⇒ Q‬و‪!-‬أ ‪ .Q "  P‬و‪4-‬ن ‪ l /01‬إذا آ‪ ,, P \O‬و ‪./01 Q‬‬ ‫‪ P ⇔ Q‬و‪!-‬أ ‪ .Q n4- P‬و‪4-‬ن ‪ ,,‬إّذا آ‪ \O‬ا ن ‪ P‬و ‪ *&0 5 Q‬وا;‪G‬ة‪.‬‬ ‫و‪ " U&V  O‬ا‪G‬ول ا" وا‪C‬ي ‪G. iTO‬ول ا‪! ,‬وا‪ l‬ا)‪:K‬‬

‫‪P ⇔Q‬‬

‫‪P ⇒Q‬‬

‫‪P ∨Q‬‬

‫‪P ∧Q‬‬

‫‪¬Q‬‬

‫√‬

‫√‬

‫√‬

‫√‬

‫×‬

‫‪¬P‬‬ ‫×‬

‫√‬

‫×‬

‫×‬

‫√‬

‫×‬

‫√‬

‫×‬

‫×‬

‫√‬

‫×‬

‫√‬

‫√‬

‫×‬

‫×‬

‫√‬

‫√‬

‫×‬

‫√‬

‫√‬

‫×‬

‫×‬

‫√‬

‫√‬

‫×‬

‫×‬

‫‪Q‬‬

‫‪P‬‬ ‫√‬

‫ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺘﺸﺒﻴﻪ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﺭﻭﺍﺒﻁ ﺒﺎﻝﺩﺍﺭﺍﺕ ﺍﻝﻜﻬﺭﺒﺎﺌﻴﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬

‫‪p ∨q ⇔ a‬‬

‫‪p ∧q ⇔ a‬‬

‫‪a ⇔ p‬‬

‫‪p ⇒a‬‬

‫  دروس‪ :‬ا   ‪ -‬ات ‪ -‬اا‬

‫‬

‫رس أ‬

D# 1 ;<

¬ ( ∃x ∈ M : P ( x ) ) ⇔ ( ∃x ∈ M : P ( x ) ) ⇔ ( ∀x ∈ M , ¬P ( x ) )

¬ ( P ∧ Q ) ⇔ ( ¬P ) ∨ ( ¬ Q )

¬ ( ∀ x ∈ M : P ( x ) ) ⇔ ( ∃x ∈ M , ¬P ( x ) )

¬ ( P ∨ Q ) ⇔ ( ¬P ) ∧ ( ¬ Q ) ¬ ( P ⇒ Q ) ⇔ ( P ∧ ¬Q ) ?@ 0 ‫ ء‬A' 1 ;<

.Q ∨ ( ¬P ) :"‫ ا‬,)‫ ( ( ا‬P ⇒ Q ) ‫@ ء‬H‫ ^ ا‬54 . ( P ⇒ Q ) ∧ (Q ⇒ P ) :"‫ ا‬,)‫ ( ( ا‬P ⇔ Q ) r4‫ ^ ا‬54 :( B EFG  ") A 5 !L) +‫ إذا آن آ‬، M " ‫اة‬, QO‫ل أ ً أ‬O ‫ أو‬، M 5 2Y. A ‫ن ا‬ ّ ‫ل أ‬O . M 54 :) G iّO‫ أي أ‬. A ⊂ M :Y ! dC Y !O‫ و‬. M (‫أ ً إ‬

A ⊂ M ⇔ ( ∀a ∈ A, a ∈ M ) :i Y !O‫ و‬،ً* B ‫ و‬A (‫)" إ‬- "‫  ا*)! ا‬iّOD Q*0- ‫*!ّف‬O . M 5 52Y. 5 A, B 54

A ∩ B = {x ∈ M : x ∈ A ∧ x ∈ B } :i Y !O‫( و‬Q‫ )أو إ( آ‬B (‫ أو إ‬A (‫)" إ‬- "‫  ا*)! ا‬iّOD B ‫ و‬A ‫ع‬.‫*!ّف ا‬O dC‫آ‬

A ∪ B = {x ∈ M : x ∈ A ∨ x ∈ B } :‫ أي‬B (‫)" إ‬- H‫ و‬A (‫)" إ‬- "‫  ا*)! ا‬iّOD A \ B ‫!ق‬A‫*!ّف ا‬O‫و‬

A \ B = {x ∈ M : x ∈ A ∧ x ∉ B } :‫ أي‬Ac Q Y !O‫ و‬A (‫)" إ‬- H "‫  ا*)! ا‬QّOD A ‫*!ّف  ا‬O‫و‬ Ac = M \ A = { x ∈ M : x ∉ A }

. ‫ أي‬5 2Y.  ‫ا ا‬ ==C  H*I

M " B ‫  ا‬

M " A ‫  ا‬

M 5 ‫ن‬2Y. A, B

B \ A ‫!ق‬A‫ا‬

A ∪ B ‫ع‬.H‫ا‬

A ∩ B 0‫ا‬

A\B

( ‫ )  آن ﻠط ب ادام اواص ا ً دون إدة إ‬DJ J+ 9
6: :‫ ا‬VV:‫&\ ااص ا‬q‫ أ‬. M 5 2Y‫ ا‬A, B,C ‫ ات‬54 A∩M = A A∩B ⊂ A A⊂A∪B A⊂A

A∪M = M A\A = ∅

A∩∅ = ∅

A∪∅ = A

A∩A= A

A∪A = A

A \ B = A ∩ Bc

A∪B = B ∪A

A∩B = B ∩A

(A ⊂ B ) ∧ (B ⊂ C ) ⇒ (A ⊂ C ) A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B ) ∩ C

A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B ) ∪ C A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) ‫رس أ‬

c

(A ∩ B ) 

= Ac ∪ B c

c

(A ∪ B )

= Ac ∩ B c

‫ اا‬- ‫ ات‬-   ‫ ا‬:‫  دروس‬

( ‫ء‬F4+ ( . M 5 2Y‫ ات ا‬+‫ آ‬M - P ( M ) Q Y !O ‫ة‬G G.  ‫*!ّف‬O . M 54 . M 5 2Y.  ‫ ه‬P ( M ) 5 !L) +‫ن آ‬ ّ ‫أي أ‬ :Q2‫ا‬Y.‫ن  أ‬4 . M = { 0,1,2 } 54 :B ً 7

P ( M ) = { ∅, { 0 } , {1 } , { 2 } , { 0,1 } , { 0, 0,22 } , {1,2 1, 2 } , { 0,1,2 }} } :Q ,- ‫!ى‬1‫ إ( أ‬2Y.  5 i MQV +‫ آ‬a; ‫ ا;اء‬lK 2Y‫ ات ا‬JC‫ ه‬+7- 54 ‫و‬

{ 0,1,2 }

{ 0,1}

{ 0, 2 }

{1, 2 }

{0}

{1}

{2}

{ } ( 76 K : L 4 :Y ! ‫ ات‬JC‫ع ه‬.H Y !O . M 5 2Y. ‫ ت‬A1, A2 , …, An 54‫  و‬M 54 n

∪ Ak

=

k =1

{a ∈ M : ∃k ∈ {1, 2, 3, …, n }:a ∈ Ak } :Y ! ‫ ات‬JC‫ ه‬0 Y !O ‫آ‬

n

∩ Ak

k =1

=

{a ∈ M

: ∀k ∈ { 1, 2, 3, …, n } :a ∈ Ak }

*‫ر‬:‫ع ات ا‬.‫ ه" ا‬m‫ ا‬K)‫ا‬

‫ر‬:‫ ات ا‬0- "‫ ه‬m‫ ا‬K)‫ا‬

.‫د‬:‫  ا‬QTO "‫ { وا‬1, 2, …, n } ‫ن " ا‬4- i@‫ادًا و‬Gّ  ‫ أو‬B ً ‫ د‬T‫ ا‬4‫ " ا‬k ‫د‬G*‫" ا‬TO 2Y. ‫ ت‬A1, A2, …, An , …… \O‫ إذا آ‬B ً 7 ،‫ ات‬5 i) !^ ‫د‬G 0-‫ع و‬.‫*! _ ا‬- ))4 M‫ أ‬+4> : O M 5 ‫رس أ‬



‫ اا‬- ‫ ات‬-   ‫ ا‬:‫  دروس‬

{a ∈ M : ∃k ∈ ℕ :a ∈ Ak }

=

∪ Ak

k ∈ℕ ℕ

=

∩ Ak

k ∈ℕ ℕ

{a ∈ M : ∀k ∈ ℕ :a ∈ Ak }

.‫ًا‬G‫! و‬AL‫ ا‬5 *&K‫ ا‬M‫ ا‬+‫ إذًا آ‬C1D k +G‫ وا‬ℕ "‫د ه‬:‫ه)  ا‬ :"‫ل ا‬7‫{ آ " ا‬1, 2, …, n } +4>‫ ا‬5 \T‫ و‬ℕ \T ‫د‬:‫ن  ا‬4- ًO;‫أ‬ :) G . M 5 2Y. Aa , Ab , Ac , …, Az ‫ ات‬54‫ و‬. I = {a, b, c, …, x , y, z } 54‫ و‬. M 54

∪ Aα

= Aa ∪ Ab ∪ ⋯ ∪ Az

∩ Aα

= Aa ∩ Ab ∩ ⋯ ∩ Az

α∈I

α∈I

. ( Aα )α∈I dC Y !O‫ و‬I ‫د‬:‫  ا‬KV‫ !@ ا‬2Y. ‫ ت‬. QO‫ أ‬Aa , Ab , …, Az ‫ ات‬5 ‫ل‬O

∪ {x } = ℝ

:!1f ‫ل‬7

x ∈ℝ

. Ax = { x } !L)*‫ة ا‬G;‫ ه"  و‬x +G‫ وا ذات ا‬ℝ "‫د ه‬:‫ه)  ا‬ .

∪ { +x, −x } = ℝ∗ :!1‫ل أ‬7

x ∈ ℝ∗+

 EFN :a, ( Ai )i ∈I 1 !^ 2Y. ‫ ت‬5 . ‫ أي‬M  2Y- "TO

∪ Ai

=M

∀i, j ∈ I , ( i ≠ j ) ⇒ ( Ai ∩ Aj = ∅ )

‫و‬

i ∈I

M D:
06 ‫ء‬6G QTO‫ و‬n ∈ N ‫ و‬m ∈ M a; ( m, n ) +4>‫ ا‬5 ‫زواج‬:‫ ا‬+‫ آ‬M - ‫ة‬G G.  ‫*!ّف‬O .5 M , N 54 M ×N =

{ ( m, n ) : m ∈ M

∧n ∈ N}

:i Y !O‫ و‬M , N 5 "-‫ر‬4 G‫اء ا‬G‫ا‬

Mq ،‫ر  دي‬, ( N !) +7O‫ و‬،"‫ر أ‬, ( M !) +7O :" ‫ة آ‬G G‫ ا ا‬JC‫ ه‬+7- KTO :‫ ) إذًا‬G . N = { 1, 1,2, 2, 3, 4 } ‫ و‬M = {a, b, c } :‫ل‬7 .‫ي‬T‫ اا " ا‬K) ( m, n ) !L) +‫ آ‬+7O

(a,1 ), (a,2 ), (a, 3 ), (a, 4 ),     M × N = (b,1 ), (b,,22 ), (b, 3 ), (b, 4 ),    , 2 ), ( c, 3 ), ( c, 4 )  (c,1 ), (c,2 

‫رس أ‬



‫ اا‬- ‫ ات‬-   ‫ ا‬:‫  دروس‬

( 76$ D:
06 ‫ء‬6G :+4>‫ ا‬5 ‫@اس‬:‫ ا‬+‫ آ‬M - ‫ة‬G G.  ‫*!ّف‬O .‫ ت‬M1, M 2, …, M n 54

x n ∈ M n ‫ و‬...... ‫ و‬x 2 ∈ M 2 ‫ و‬x 1 ∈ M 1 a; ( x1, …, x n ) : M1, M 2, …, M n ‫" ت‬-‫ر‬4 G‫اء ا‬G‫ ا‬QTO‫و‬ M1 × ⋯ × Mn =

{( x1, x 2, …, xn ) : ∀k ∈ {1,2, …, n }, x k

∈ Mk }

:) G . M 3 = { △,□,○ } ، M 2 = {a, b } ، M 1 = { 1, 2 } 54 :‫ل‬7 ( 1, a,△ ), ( 1, a,□ ), ( 1, a,○ ),    ( 1, b,△ ), ( 1, b,□ ), ( 1, b,○ ),   M 1 × M 2 × M 3 =  ( 2, a,△ ), ( 2, a,□ ), ( 2, a,○ ),    ( 2, b,△ ), ( 2, b,□ ), ( 2, b,○ )  × ⋯ ×M : M ‫ ا‬5 "TO" n ‫اء‬G. "‫ ه‬M n ‫ن‬ ّ ‫ أي أ‬M n = M





 ‫*!ّف‬O  M \O‫إذا آ‬
 n

Mn =

{( x1, x 2, …, xn ) : ∀k ∈ {1,2, …, n }, xk

∈M}

O DJ6#P H* ‫ر‬1‫ ا‬G* ‫ي‬T‫ " ا‬ℝ 2 !) +7- 54 . ℝ 2 = ℝ × ℝ =

{( x, y ) : x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ } ‫*!ّف ا‬O

:+4>‫ آ " ا‬ℝ ‫ ا‬5 TO +7 ‫ر‬, +‫ آ‬،5 G * 5 ‫ر‬,

( x, y )

y

x

3

:B ً 7 . ℝ 2 5 2Y‫ ات ا‬v* ‫*!ض‬T) ‫زواج‬:‫ ا‬M - _ !* ‫ ا‬JC‫ن ه‬ ّ ‫ إ‬. A =  1,2  ×  2, 3  7‫ن ا)ط ا‬ ّ ‫ أي أ‬. y ∈  2, 3  ‫ و‬x ∈  1, 2  a; ( x , y )

A

1 ≤ x ≤ 2 : ‫ أي‬2 ‫ و‬1 5  ":‫ر ا‬,‫ ( ا‬QKT Q ‫ إذًا‬. 2 < y < 4 U, ‫ر ا* دي‬,‫ ( ا‬QKT ‫و‬ +4>‫ " ا‬+m‫ط ا! ا‬O +‫ ه"  آ‬A ‫ا‬ .5*K‫ ا‬5* ‫)ء ا‬7V

2

B 1

‫رس أ‬

2

‫ ا)ط‬M - "‫ وا‬B =  3, 4  × ℝ ‫ ا‬:!1f H ً 7 C1D) ‫!ط‬b H "O7‫ ا‬Qq‫ا‬G;‫ وا‬3 < x < 4 U, ‫ول‬:‫ ا‬Qq‫ا‬G;‫ا" ا‬ 1 Q ! "‫ ا* د  ا‬, !>‫ً ا‬VG)‫ ه‬+7- QO‫ إ‬. y ∈ ℝ i . x = 4 ‫ و‬x = 3 5T‫ون ا‬G‫" و‬2QOH QA-‫وار‬

4



‫ اا‬- ‫ ات‬-   ‫ ا‬:‫  دروس‬



O DJ6#P H* 5 K) Q) !L) +‫ آ‬+7O‫ و‬ℝ 3 = ℝ × ℝ × ℝ =

{( x, y, z ) : x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ } ‫*!ّف ا‬O

:+4>‫ ( آ ه   " ا‬x , y, z ) K)‫ ا‬+7O .OZ OY ‫ و‬OX ()7 ()7 ‫ة‬G * ‫ور‬, qBq ‫م‬GTO dC‫!اغ و‬A‫ا‬

( x , y, z )

z

y x ‫ ا)ط‬M - _ !* ‫ ا‬JC‫ن ه‬ ّ ‫ إ‬. A =  1, 2  ×  2, 3  ×  1, 2  :B ً 7 . ℝ 3 5 2Y‫ ات ا‬v* ‫*!ض‬T)  XOY ":‫ي ا‬T‫ ( ا‬QKT Q 7‫ن ا)ط ا‬ ّ ‫ أي أ‬. z ∈  1, 2  ‫ و‬y ∈  2, 3  ‫ و‬x ∈  1, 2  a; ( x , y, z ) 5,KT‫ون ا‬G W*4 "‫ ه‬A ‫ إذًا ا‬.‫
و‬5 ‫" !اوح‬:‫ي ا‬T‫ ا‬5 ‫ ا)ط‬JC‫ع ه‬A-‫ وار‬+m‫" ا! ا‬ . XOZ ‫ي‬T 5 ‫ااز‬

z

y

A

1 1

3

2

2

1

x

‫ر‬,‫ ا‬QO‫ أي أ‬. z ∈ ℝ a; ( 0, 0, z ) :+4>‫ ا‬5 ‫  ا)ط‬QO‫ إ‬. B = { 0 } × { 0 } × ℝ ‫ ا‬C1DO !1f ‫ل‬7‫آ‬  "‫!ى ه‬1‫^ أ‬L ، B =

{( x, y, z ) ∈ ℝ 3 : x = y = 0 } : ‫و‬G* y ‫ و‬x

Q-q‫ا‬G;‫ ا)ط ا" ا‬+‫ أي آ‬OZ

. z ( ‫!ط‬b G. H iّO‫ أ‬x;H . y = 0 ‫ و‬x = 0 5‫ ا*د‬. ‫;ل‬

‫رس أ‬



‫ اا‬- ‫ ات‬-   ‫ ا‬:‫  دروس‬

{( x , y, z ) ∈ ℝ 3 : y 2 + z 2 ≤ 1 }

K)‫ن ا‬4- ‫>!ط أن‬O ) x "q‫ا‬G;H‫!ط ( ا‬b H iّO‫ أي أ‬.C =

C ‫ن ا‬ ّ ‫ أي أ‬.YOZ ‫ي‬T ‫ ٍ ا ٍز‬T " @‫ واا‬1 J!K@ _LO‫ ( و‬x , 0, 0 ) JY‫ي !آ‬C‫ ا!ص ا‬5

:!1f ‫ل‬7

( x, y, z )

.+4>‫ آ ه  ّ " ا‬OX ‫ره‬, ‫!ه  و‬K@ ‫ل‬K‫ ا‬2QOH O‫ا‬KV‫ ا‬+ّ7-

z y

x

R - Q=# -  : ‫*ً أو‬- iTO ً  ‫)ً ر‬2‫ !ّ) آ‬G@ ‫ا‬CQ ‫ن‬4O . N 5 f ( x ) ‫!ًا‬L) x ∈ M !L) +4 l!) .5 M , N 54 . f : M → N :"  !‫ ا‬524‫ا ا‬CQ Y !O‫ و‬N ‫ ا‬Jّ!T ‫ و‬M ‫ ا‬iK) ً&Kً 7 :" ‫ آ‬f : M → N ‫ و)*!ّف ا‬. N = {a, b, c } ‫ و‬M = { 1,2, 3, 4 } C1D) B f ( 1 ) = a, f ( 2 ) = b, f ( 3 ) = a, f ( 4 ) = c

:‫ول‬G. ‫ام‬GV ‫ا ا‬C‫ ه‬5 !&*‫ ا‬54

x

1 2 3 4

f (x ) a b a c :‫ت‬KK ‫ام‬GV‫ ا‬54 dC‫آ‬


f



a



b



c

M

N  R0$ 7
- - ( 7
" - -# 7
"

‫ن‬4 ‫ن‬ ّ ‫ أ‬54‫ ا‬5 iّO‫ أ‬x;H . a !L)*‫ ه ا‬1 !L)*‫ رة ا‬UT‫ل ا‬7‫" ا‬A . x !L)*‫ رة ا‬f ( x ) !L)*‫" ا‬TO . f ( 1 ) = a = f ( 3 ) :a; UT‫ل ا‬7‫ آ " ا‬QTAO ‫رة‬L‫ ا‬UK)‫ ا‬5 5 !L)* :‫ ا‬QO‫ ( أ‬Q-‫*!ّف ر‬O UK)‫ ا‬5 2Y.  A ⊂ M \O‫إذا آ‬ f ( A ) = { f ( x ) : x ∈ A} ⊂ N . f ( { 1, 2, 3 } ) = {a, b } B ً 7 ) G UT‫ل ا‬7‫" ا‬ :" ‫ آ‬B  T4*‫رة ا‬L‫*!ّف ا‬O ،!T‫ ا‬5 2Y.  B ⊂ N ‫ن‬z‫ ا‬54 f −1 ( B ) = { x ∈ M : f ( x ) ∈ B } ‫رس أ‬



‫ اا‬- ‫ ات‬-   ‫ ا‬:‫  دروس‬

.f

−1

. B " *@‫ وا‬Q-‫ ا*)! ا" ر‬+‫ي آ‬,- ،UK)‫ ا‬5 2Y.  "‫وه‬ ( {a } ) = {1, 3 } dC‫ وآ‬f −1 ( {a, c } ) = {1, 3, 4 } :Bً 7 ) G UT‫ل ا‬7‫" ا‬A

M$ : 9.: :" ‫ آ‬C Jّ!T ‫ و‬A iK) G G. - _ !*- ))4 g : B → C ‫ و‬f : A → B ‫إذا آن‬ g  f :A→C

g  f ( x ) = g ( f ( x )) . g ‫ و‬f 5*‫ ا‬W‫!آ‬- ‫ا ا‬C‫" ه‬TO




g

f

α

β

a



b

γ 

c

A

C

B

:"‫ ا‬g  f ‫ ه ا‬f , g 5*‫ ا‬W‫!آ‬- JB‫ أ‬+4>‫ " ا‬B ً 7

3

4

g  f (x ) α β α

γ

x

1 2

V U  : - Q =    -  U =& - SR& T5 ( B  : "‫ل ا‬7‫ آ " ا‬Q-‫! ه ا ذا‬T‫ وا‬UK)‫ن ا‬4 ‫ أن‬54 f : M → M ‫ و‬M = {1,2, 3, 4 }

x

1 2 3 4

f (x ) 2 3 3 1 . f ( x ) = x :U; ‫ إذا‬f  q KO iO‫ أ‬x ∈ M !L) 5 ‫ل‬O . f : M → M ‫ ا‬54‫ و‬. M 54 . f  q KO 3 !L)*‫ ا‬UT‫ل ا‬7‫" ا‬A . M  UK‫ ا ا‬iTO ،iTAO !L)*‫! ا‬L) +4 l! ‫ي‬C‫ ا‬IdM : M → M ‫" ا‬TO . M 54 ∀x ∈ M , IdM ( x ) = x

.\q f ‫ن‬ ّ ‫ل أ‬O C2G)* ،Q-‫رة ذا‬L‫ ا‬M !) +4 l! f : M → N ‫ وآن‬5 N ‫ و‬M \O‫إذا آ‬

∃b ∈ N : ∀x ∈ M , f ( x ) = b

f ‫رس أ‬



‫ اا‬- ‫ ات‬-   ‫ ا‬:‫  دروس‬

DR0$   - H : -  X - B W . ∀x , y ∈ A, ( f ( x ) = f ( y ) ) ⇒ ( x = y ) :‫ ا>!ط‬U; ‫ إذا‬5 & iO‫ أ‬f : A → B - 5 ‫ل‬O . ∀x , y ∈ A, ( x ≠ y ) ⇒ ( f ( x ) ≠ f ( y ) ) :A ‫ إ( ر‬A‫ ا*)! ا‬+V! iّO‫أي أ‬ . ∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f ( a ) = b :‫ ا>!ط‬U; ‫ ^ ! إذا‬iO‫ أ‬f : A → B - 5 ‫ل‬O ّ ‫أي أ‬ . f ( A ) = B ‫ ^ !ًا إذا آن‬f ‫ن‬4 :‫!ى‬1‫^ أ‬L .UK)‫ ا‬5  !L)* ‫! ه رة‬T‫! " ا‬L) +‫ن آ‬ :‫^ ا‬L‫ ا‬n4 ‫ا‬C‫ وه‬.ً* ً) & ‫ إذا آن ^ !ًا و‬+- iO‫ أ‬f : A → B - 5 ‫ل‬O

∀b ∈ B, ∃ ! a ∈ A : f ( a ) = b :‫ًا‬G G. ً*- ‫*!ّف‬O )O‫ أي أ‬، f (a ) = b a, UK)‫ ا‬5 a G;‫! و‬L)* !T‫ ا‬5 b !L) +‫ آ‬l‫)) ر‬4 ,‫ ا‬JC‫و" ه‬ :) G‫ و‬. f  "T4*‫ ا ا‬iTO f −1 : B → A f  f −1 = IdB

f −1  f = IdA −1

. ( f −1 )

= f "T4*‫ ا‬i*-‫ و‬.ً ‫ أ‬+- f −1 ‫ن‬ ّ ‫ اا  أ‬5

T- OG‫ أ‬a; A ‫ ا‬5 "TO" B ‫ن‬ ّ ‫)) ال أ‬4 .5 B ‫ و‬A ‫ن‬ ّ ‫ل أ‬O B ً - f : A → B ‫إذا آن‬ :+4>‫! ا‬mO‫ ا‬.A ‫ء‬VD ‫)!ه‬

x

1 2 3

f




f (x ) a b c



a b

y

a b c



f −1 ( y ) 1 2 3

A

c

f −1

B

( ‫ ) آن ﻠط ب ادام اواص ا ً دون إدة إ‬DJ J+ 9
6: :"  \&q‫ أ‬. N !T‫ ا‬5 52Y. 5 B ‫ و‬A 54‫ و‬. N ‫ و‬M 5‫ ا‬5 ً*- f : M → N 54

•

f −1 ( A ∪ B ) = f −1 ( A ) ∪ f −1 ( B ) f −1 ( A ∩ B ) = f −1 ( A ) ∩ f −1 ( B ) f −1 ( A ) ⊂ f −1 ( B ) ‫ن‬ ّ k A ⊂ B ‫إذا آن‬

."‫ع‬.H‫ وا‬0‫;اء وا‬H‫ ( ا‬x,- T4*‫رة ا‬L‫ن "ا‬ ّ ‫ ) إ‬U&V  O‫و‬ :"  \&q‫ أ‬. M UK)‫ ا‬5 52Y. 5 B ‫ و‬A 54‫ و‬. N ‫ و‬M 5‫ ا‬5 ً*- f : M → N 54 •

f (A ∪ B ) = f ( A) ∪ f ( B ) f (A ∩ B ) ⊂ f (A) ∩ f (B ) T‫@ ا‬B*‫ " ا‬, ً ‫\ دو‬T ‫واة‬T‫ن ا‬ ّ ‫ أ‬5& ًT‫ *آ‬H ً 7 l‫ا‬ f ( A) ⊂ f ( B ) ‫ن‬ ّ k A ⊂ B ‫إذا آن‬ . g : N → K ‫ و‬f : M → N 54 .5 & f ‫ن‬ ّ ‫&\ أ‬qD ً) & g  f W‫إذا آن ا!آ‬ .! ^ g ‫ن‬ ّ ‫&\ أ‬qD ‫ ^ !ًا‬g  f W‫إذا آن ا!آ‬ . g : N → M ‫ و‬f : M → N 54 . g −1 = f ‫ و‬f −1 = g ) G‫ و‬+- g ‫ و‬+- f ‫ن‬ ّ k f  g = IdN ‫ و‬g  f = IdM ‫إذا آن‬ ‫رس أ‬




‫ اا‬- ‫ ات‬-   ‫ ا‬:‫  دروس‬

•

•