Note-de-curs-ed.pdf

TEMA I. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL I SUBIECTUL I. Noţiune de ecuaţie diferenţială. Metoda izoclinelor 1. Noţiuni generale despre ecuaţii diferenţiale 2. Metoda izoclinelor –

– –

–

Obiective: Să cunoască noţiunile de ecuaţie diferenţială, ecuaţie diferenţială ordinară, ordinul ecuaţiei, soluţie a ecuaţiei diferenţiale, curbă integrală a ecuaţiei diferenţiale, domeniu de definiţie, integrală a ecuaţiei diferenţiale. Să poată determina ordinul, soluţia, curbele integrale, domeniul de definiţie, integrala, izoclinele ecuaţiei diferenţiale. Să cunoască metoda izoclinelor. Să poată găsi soluţia ecuaţiei diferenţiale prin metoda izoclinelor. 1. Noţiuni generale despre ecuaţii diferenţiale

Definiţia 1: Ecuaţia funcţională, care conţine o funcţie necunoscută, derivatele acesteia şi variabilele independente, se numeşte ecuaţie diferenţială. Dacă funcţia necunoscută din ecuaţia diferenţială este de o singură variabilă, atunci ecuaţia se numeşte ecuaţie diferenţială ordinară. Dacă notăm prin x variabila independentă, iar prin y(x) – funcţia necunoscută, atunci ecuaţia diferenţială ordinară poate fi scrisă sub forma F ( x, y( x), y' ( x),...,y ( n ) ( x))  0. (1) Definiţia 2: Ordinul cel mai mare al derivatei funcţiei necunoscute ce intervine în ecuaţia diferenţială se numeşte ordinul ecuaţiei. Definiţia 3: Funcţia y   (x) se numeşte soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1) pe intervalul I  , dacă  este definită pe acest interval împreună cu toate derivatele sale până la ordinul n şi pentru x  I  verifică ecuaţia (1). Graficul

soluţiei se numeşte curba integrală a ecuaţiei diferenţiale (1).

Vom spune că ecuaţia diferenţială se integrează în cuadraturi, dacă soluţiile ei pot fi exprimate cu ajutorul unor combinaţii de funcţii elementare şi algebrice, şi a unui număr finit de operaţii de integrare. J. Liouville a demonstrat că există multe ecuaţii diferenţiale, care nu se integrează în cuadraturi. În cele ce urmează vom studia cîteva tipuri de ecuaţii diferenţiale, ce pot fi, totuşi, întegrate în cuadraturi. Astfel de ecuaţii se întîlnesc frecvent în aplicaţii, ceea ce justifică într-o măsură oarecare studierea lor. Vor fi expuse şi unele metode ale teoriei calitative a ecuaţiilor diferenţiale, ce permit studierea soluţiilor ecuaţiei diferenţiale fără a integra efectiv ecuaţia. Vom începe studiul teoriei calitative a ecuaţiilor diferenţiale cu ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul întâi: F ( x, y, y' )  0. Definiţia 4: Ecuaţia diferenţială rezolvată în raport cu derivata (2) y'  f ( x, y) se mai numeşte ecuaţie diferenţială de formă normală. Domeniul de definiţie al funcţiei f ( x, y) se numeşte domeniu de definiţie al ecuaţiei (2). Vom nota cu C k D, R  D  R n  mulţimea funcţiilor definite şi continue pe domeniul D împreună cu derivatele lor parţiale până la ordinul k inclusiv. Definiţia 5: Funcţia U ( x, y), continuă pe domeniul D  R 2 , se numeşte integrală a ecuaţiei diferenţiale (2) pe domeniul D, dacă ea capătă valori constante de-a lungul fiecărei curbe integrale din domeniul D. Astfel, curbele integrale din domeniul D sunt situate pe liniile de nivel U ( x, y)  c ale funcţiei U. Teoremă: Funcţia U  C 1 D, R 2  este o integrală a ecuaţiei (2) pe domeniul D dacă şi numai dacă U ( x, y) U ( x, y) x, y  D.   f ( x, y)  0 x y Exemplul 1. Fie dată ecuaţia diferenţială

2

2  3 y 3 y'  f ( y), unde f ( y)   1 2  2 y

pentru

y  0,

pentru

y0

şi funcţiile: a) y( x)  ( x  1) 2 ;

0 b) y ( x)   2 x  1

pentru

x  1,

pentru

x  1.

Să se determine intervalele pe care aceste funcţii sunt soluţii ale ecuaţiei date. Rezolvare: a) Deoarece yx   0 pentru orice x  R, avem





f ( y( x))  2 yx  2  2 ( x  1) 2 2  2  x  1. La rândul său y   2( x  1). Din ecuaţia dată egalitatea 1

1

2( x  1)  2 x  1 , care este justă numai pentru x  1.

Deci, funcţia y( x)  ( x  1) 2 este soluţie doar pe semiintervalul 1,. b) Calculăm derivata funcţiei: pentru x  1, 0 y   (3) 2x  1 pentru x  1. Deoarece y( x)  0 pentru orice x  R, avem

f ( y ( x))  2 y x  2 . 1

Substituind expresia pentru y(x), obţinem pentru x  1, 0 f  y x    (4) 2x  1 pentru x  1. Comparând (3) şi (4), observăm, că y(x) este o soluţie pe R. 2. Metoda izoclinelor Fiecărei ecuaţii diferenţiale (2) i se asociază un obiect geometric: un câmp de direcţii.

3

Definiţia 6: Câmp de direcţii pe domeniul D  R 2 se numeşte orice aplicaţie ce pune în corespondenţă fiecărui punct din D o dreaptă, care trece prin acest punct. Definiţia 7: Curba  se numeşte curbă integrală a câmpului de direcţii, dacă în orice punct al ei există tangentă, care coincide cu dreapta câmpului de direcţii în acest punct. Ecuaţia (2) determină pe domeniul său de definiţie un câmp de direcţii în felul următor: punctului ( x, y) i se pune în corespondenţă dreapta, care trece prin acest punct şi are coeficientul unghiular k  f ( x, y). În cazul când câmpul de direcţii este definit de o ecuaţie diferenţială (2 curbele integrale ale acestui câmp de direcţii şi curbele integrale ale ecuaţiei diferenţiale respective coincid. Observaţia 1: Nu orice câmp de direcţii poate fi definit cu ajutorul unei ecuaţii diferenţiale (2). Această interpretare geometrică a ecuaţiei diferenţiale (2) ne permite să construim graficele soluţiilor ei aproximativ. O metodă efectivă de trasare a câmpului de direcţii şi a curbelor integrale ale acestei ecuaţii este metoda izoclinelor. Definiţia 8: Vom numi izoclină a ecuaţiei diferenţiale (2) mulţimea punctelor din plan, în care dreptele câmpului corespunzător de direcţii sînt paralele. Izoclina k a acestei ecuaţii diferenţiale este definită de relaţia f ( x, y)  k. Atribuind parametrului k diferite valori, obţinem mai multe izocline, cu ajutorul cărora construim aproximativ curbele integrale. Observaţiile: 2) Izoclina „zero” f ( x, y)  0 cuprinde mulţimea punctelor critice ale soluţiilor şi, deci, conţine punctele de extrem ale lor. 3) Mulţimea punctelor de inflexiune ale graficelor soluţiilor poate fi găsită din egalitatea y ( x)  0, care ia forma f f   f ( x, y)  0. x y Exemplul 2. Să se construiască aproximativ curbele integrale ale ecuaţiei diferenţiale y   x 2  4 x  y. Rezolvare: Izoclina k satisface relaţia x 2  4 x  y  k şi reprezintă o parabolă cu axa de simetrie x  2.

4

Parabola y  x 2  4 x reprezintă izoclina „zero” şi conţine punctele critice ale soluţiilor. Deoarece inegalitatea k  0 are loc atunci şi numai atunci, cînd x 2  4 x  y  0 , rezultă, că în interiorul parabolei y  x 2  4 x toate soluţiile monoton descresc, iar în exteriorul ei – cresc. De aici, conchidem că ramura din dreapta a izoclinei „zero” constă din puncte de minimum, iar cea din stânga – din puncte de maximum ale soluţiilor. Egalitatea f f   f ( x, y)  2 x  4  x 2  4 x  y  y  x 2  6 x  4  0 x y determină punctele de inflexiune, iar inegalităţile y  x 2  6 x  4  0 şi y  x 2  6 x  4  0 determină domeniile în care curbele integrale sunt concave şi, respectiv, convexe (Fig.1).

Fig. 1 Prin linia punctată în Fig.1 este reprezentată parabola y  x 2  6 x  4, adică mulţimea punctelor de inflexiune ale soluţiilor.

5

SUBIECTUL II. Câmpuri de direcţii şi ecuaţii diferenţiale – –

Obiective: Să cunoască noţiunile de câmp de direcţii, curbă integrală a câmpului de direcţii Să poată dtermina curba integrală a câmpului de direcţii.

După cum a fost arătat anterior orice ecuaţie diferenţială de formă normală (1) y  f x, y  determină pe domeniul său de definiţie un cîmp de direcţii. Însă nu orice cîmp de direcţii pote fi definit cu ajutorul unei ecuaţii diferenţiale de tipul (1), deoarece ultima nu determină direcţii verticale (tot aşa, după cum nu orice curbă în planul XOY poate fi considerată ca grafic al unei funcţii de variabilă x). Amintim că ecuaţia generală a dreptei în plan, ce trece prin punctul x0 , y0 , este M  x  x0   N   y  y0   0 cu vectorul normal M ; N  0;0. Astfel, a defini un cîmp de direcţii pe domeniu D  R 2 înseamnă a defini în fiecare punct x0 , y0   D o dreaptă cu ecuaţia (2) M  x 0 , y 0    x  x0   N  x 0 , y 0    y  y 0   0 Pe de altă parte, diferenţiala variabilei independentei în punctul dat coincide cu creşterea ei în acest punct, adică dx  x  x0 , dy  y  y0 . Faptul acesta permite să asociem oricărui cîmp de direcţii o egalitate de formă (3) M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0. Reciproc, fiecărei egalităţi de forma (3) cu condiţia M 2 ( x, y )  N 2 ( x, y )  0, ((x, y )  D) (4) îi punem în corespondenţă un cîmp de direcţie după regula: punctului x0 , y0  îi corespunde dreapta cu ecuaţia (2). Egalităţile de tipul (3) se numesc şi ele ecuaţii diferenţiale, mai exact ecuaţii diferenţiale de formă simetrică (graţiei simetriei variabilelor x şi y ce intervin în ecuaţii). Membrul stîng al ecuaţiei (3) poartă denumirea de formă diferenţială de ordinul întîi.

6

În calitate de necunoscute ale ecuaţiei diferenţiale (3) pe domeniul unde are loc condiţia (4) vom considera curbele integrale ale cîmpului de direcţii respectiv. Domeniul comun de definiţie ale funcţiilor M şi N este numit domeniu de definiţie a ecuaţiei diferenţiale (3). Teoremă: Curba diferenţială din domeniul  D  x, y  : M 2 x, y   N 2 x, y   0 este o curbă integrală a cîmpului de direcţii, definit de ecuaţia diferenţială (3), dacă şi numai dacă pentru orice parametrizare a ei  x  x(t ), x 2  y 2  0, t   ;   (5)  y  y ( t ),  are loc identitatea M xt , yt dx(t )  N xt , yt dyt   0 t   ;  . (6) Observaţie: Menţionăm că ecuaţia (3) nu defineşte un cîmp de direcţii pe locul geometric al punctelor, definit de ecuaţiile M x, y   N x, y   0. Însă, dacă aceste ecuaţii determină o curbă diferenţiabilă, atunci orice parametrizare (5) a ei verifică identitatea (6). Ţinînd seama de cele expuse mai sus, vom numi curbă integrală a ecuaţiei (3) orice curbă diferenţiabilă , o parametrizare (5) a căreia verifică identitatea (6). E lesne de arătat că definiţia de mai sus nu depinde de parametrizarea aleasă. Astfel, a rezolva o ecuaţie diferenţială de forma simetrică înseamnă a găsi mulţimea tuturor curbelor integrale ale ei. Definiţia 1: Vom spune că funcţia U, definită şi continuă pe domeniul D  R 2 , este o integrală a ecuaţiei diferenţiale (3) pe domeniul D, dacă ea capătă valori constante de-a lungul fiecărei curbe integrale a acestei ecuaţii din domeniul D. Între ecuaţiile diferenţiale de formă normală (1) şi ecuaţiile diferenţiale de formă simetrică (3) există următoarea relaţie. dy Deoarece y   , ecuaţia diferenţială (1) poate fi scrisă sub dx forma (3) (7) f x, y dx  dy  0. Conform definiţiei din subiectul precedent, fiecare curbă integrală  a ecuaţiei (1) reprezintă graficul unei soluţii y   x , x  I  , şi,

7

deci, are forma   x,  x  : x  I  . Considerînd parametrizarea x  t , y   t , t  I  , cochidem că  este o curbă integrală a ecuaţiei diferenţiale (7). Reciproc, orice curbă integrală a ecuaţiei (7) este graficul unei soluţii a ecuaţiei (1). Astfel, curbele integrale ale ecuaţiilor (1) şi (7) coincid. În acelaşi timp, orice ecuaţie de formă simetrică (3) cu condiţia (4) poate fi redusă la forma normală

dy M ( x, y )  dx N ( x, y )

pe acel domeniu unde N x, y   0.

8

SUBIECTUL III. Problema Cauchy. Existenţa şi unicitatea soluţiei 1. Problema Cauchy 2. Dependenţa soluţiei de parametru şi date iniţiale – – – – – – –

–

Obiective: Să cunoască forma generală a problemei Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de formă normală. Să cunoască noţiunea de soluţie a problemei Cauchy. Să cunoască Teorema Peano de existenţă a soluţiei şi Teorema Cauchy de unicitate a soluţiei. Să poată aplica Teorema Peano de existenţă a soluţiei şi Teorema Cauchy de unicitate a soluţiei. Să poată demonstra unicitatea şi existenţa soluţiei problemei Cauchy. Să poată determina soluţia problemei Cauchy. Să cunoască noţiunile de prelungire a soluţiei, soluţie neprelungibilă, curbă integrală neprelungibilă, punct de existenţă al ecuaţiei diferenţiale, punct de unicitate al ecuaţiei diferenţiale, punct singular al ecuaţiei diferenţiale, curbă integrală singulară, soluţie singulară, integrală generală a ecuaţiei diferenţiale, soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale. Să poată determina natura punctelor unei ecuaţii diferenţiale, curba integrală singulară, soluţiile singulare, integralele generale a ecuaţiei diferenţiale, soluţiile generale a ecuaţiei diferenţiale. 1. Problema Cauchy Fie mulţimea D R dreptunghiul (mulţime compactă) de forma D  t , x  t  t 0  a, x  x0  b





şi funcţia f : D  R. Definiţia 1: Problema Cauchy ataşată unei ecuaţii diferenţiale de ordin întâi constă în găsirea unei funcţii de clasă C 1 , x  x(t ), definită pe un interval I  t 0  a, t 0  a satisfăcând x(t )  f (t , x(t )), t  I , t 0  I , şi x(t 0 )  x0 . Vom nota o astfel de problemă prin

9

 x   f (t , x), (1)   x(t 0 )  x 0 . Definiţia 2: O funcţie x : I  R cu proprietăţile de mai sus se numeşte soluţie pentru problema (1). Distingem mai multe tipuri de soluţii pentru problema (1). Astfel, dacă I  t 0   , t 0   , soluţia x se numeşte soluţie globală, în caz contrar locală. Dacă I  t 0 ,   sau I  t 0 ,  , atunci x se numeşte soluţie la dreapta. Analog, dacă I   , t 0  sau I   , t 0 , atunci x se numeşte soluţie la stânga, în timp ce dacă inf I  t 0  sup I , x se numeşte soluţie bilaterală. Definiţia 3: Funcţia f  f (t, x) definită pe D, satisface condiţia Lipschitz locală în raport cu variabila x, dacă pentru orice punct t 0 , x0  D există o vecinătate V t 0 , x0   D, astfel încât oricare ar fi t, x  şi t, x  din V t0 , x0  are loc

inegalitatea f (t , x)  f (t , x )  L x  x

(2)

constanta L  0 depinzând, în general, de punctul t 0 , x 0 . În acest caz vom spune că f este local lipschitziană în raport cu variabila x. Dacă inegalitatea (2) este satisfăcută cu aceeaşi constantă pentru orice pereche de puncte t, x  şi t, x  din D, vom spune că f satisface pe D condiţia Lipschitz globală în raport cu variabila x. f Observaţia 1: Dacă există şi este local mărginită în D, condiţia x Lipschitz amintită este satisfăcută. Teoremă: (Teorema de existenţă şi unicitate a soluţiei problemei Cauchy pentru ecuaţiile diferenţiale de ordinul întâi) Fie (3) x  f t , x o ecuaţie diferenţială. Vom presupune că funcţia f t , x  este definită pe o mulţime deschisă Г din planul P de variabile t şi x . Referitor la funcţia f vom presupune că ea f împreună cu derivata sa parţială sunt funcţii continui x pe toată mulţimea deschisă Г . Teorema afirmă, că:

10

1. pentru orice punct t 0 , x0  din mulţimea Г există o soluţie x   t  a ecuaţiei (3) ce verifică condiţia

(4)  t 0   x0 2. dacă două soluţii x   t  şi x   t  a ecuaţiei (3) coincid măcar pentru o valoare t  t 0 , adică dacă  t 0    t 0 , atunci aceste două soluţii sunt identic egale pentru toate valorile variabilei t , pentru care ele sunt definite. Numerele t 0 , x0 se numesc valori iniţiale pentru soluţia x   t , iar relaţia (4) - condiţia iniţială pentru această soluţie. Soluţia x   t  satisface condiţia iniţială (4) sau se mai spune că ea are valorile iniţiale t 0 , x0 . Afirmaţia, că soluţia x   t  satisface condiţia iniţială (4) (sau că are valorile iniţiale t 0 , x0 ) presupune, că intervalul r1  t  r2 de definiţie a soluţiei x   t  conţine punctul t 0 . Teorema dată afirmă, că coordonatele oricărui punct t 0 , x0  din mulţimea Г are valori iniţiale pentru o soluţie a ecuaţiei (3) şi că două soluţii ale acestei ecuaţii coincid, dacă au aceleaşi valori iniţiale. Sensul geometric al acestei teoreme constă în faptul că prin fiecare punct t 0 , x0 a mulţimii Г trece una şi numai una singură curbă integrală a ecuaţiei (3). Demonstraţie: Ideile de bază Primul pas în demonstrarea teoremei prin metoda aproximaţiilor successive este trecerea de la ecuaţia diferenţială la ecuaţia integrală, care se formulează în felul următor: A. Fie x   t  - o soluţie a ecuaţiei (3), definită pe intervalul r1  t  r2 astfel încât se satisface identitatea (5)  t   f t ,  t  şi fie  t 0   x0 - condiţia iniţială (4) pe care o satisface soluţia. Atunci pentru funcţia  t , pe tot intervalul r1  t  r2 are loc identitatea integrală t

 t   x0   f  ,   d

(6)

t0

11

Reciproc: dacă pentru o oarecare funcţie continuă  t  pe intervalul r1  t  r2 se satisface identitatea (6), atunci funcţia  t  - diferenţiabilă, este soluţie a ecuaţiei (3) şi satisface condiţia iniţială (4). Deci, ecuaţia integrală (6) este echivalentă cu ecuaţia diferenţială (5) cu condiţia iniţială (4). Vom demonstra aceasta: Vom presupune, pentru început, că se satisface relaţia (6). Substituind în ea variabila t prin valoarea sa t 0 , obţinem  t 0   x0 . Deci din (6) rezultă (4). Partea dreaptă a identităţii (6) evident este diferenţiabilă după t , şi respectiv este diferenţiabilă după t şi partea ei stîngă. Vom presupune acum, că se satisfac relaţiile (4) şi (5). Integrînd relaţia (5) în limitele de la t 0 pînă la t , obţinem t

 t    t 0    f  ,   d . t0

Pe baza relaţiei (4), obţinem astfel relaţia (6). Vom introduce acum unele notaţii folosite în demonstraţia teoremei. B. Fie x   t  o astfel de funcţie continuă, definită pe un interval oarecare r1  t  r2 , încît graficul ei este totalmente amplasat în mulţimea deschisă Г, şi t 0 un punct oarecare din segmentul r1  t  r2 . Atunci, folosind partea dreaptă a identităţii (6), funcţiei  t  îi poate fi pusă în corespondenţă funcţia   t , definită pe tot pe segmentul r1  t  r2 , cu ajutorul egalităţii t

 * t   x0   f  ,   d

(7)

t0

(graficul funcţiei  * t  poate să nu treacă prin mulţimea Г ). Aşadar, partea dreaptă a identităţii (6) poate fi privită ca un operator, ce pune în corespondenţă funcţiei  funcţia  * . Notând acest operator prin A, vom scrie relaţia (7) sub forma:  *  A (8) Folosind operatorul A, ecuaţia (6) poate fi scrisă sub forma (9)   A

12

C. Fie  t  - o funcţie continuă, definită pe segmentul r1  t  r2 . Vom numi norma  a acestei funcţii, maximul modulului ei

  max  t  r1 t  r2

Dacă  t  şi  t  sunt două funcţii continui, definite pe segmentul r1  t  r2 , atunci norma   

diferenţei lor

 t    t  este un număr nenegativ, ce determină, cît de mult

se deosebesc aceste funcţii. Dacă numărul    este mic, atunci funcţiile 

şi



sunt asemenea. Egalitatea

    0 are loc atunci şi numai atunci cînd funcţiile  şi  identic coincid. Folosind noţiunea de normă, poate fi formulată condiţia de convergenţă uniformă a unui şir de funcţii continui. Fie (10)  0 t , 1 t ,..., i t ,... un şir de funcţii continui, definite pe segmentul r1  t  r2 . Şirul (10) converge uniform la funcţia  , definită pe acelaşi segment r1  t  r2 , dacă lim    i  0. i 

Pentru ca şirul (10) să conveargă uniform, este suficient să se satisfacă inegalităţile  i 1   i  ai , unde numerele a0 , a1 ,...,ai ,... formează o serie convergentă. Înainte de a trece la demonstraţia detaliată a teoremei, vom expune pe scurt conceptul metodei aproximaţiilor succesive, ce se foloseşte la soluţionarea ecuaţiei (9). Se construieşte şirul (11)  0 t , 1 t ,..., i t ,... funcţiilor continue definite pe un segment r1  t  r2 , care conţine punctul t 0 . Fiecare funcţie din şirul (11) se defineşte prin precedenta cu ajutorul egalităţii (12)  i 1  A i , i  0,1,2,... ,

13

Dacă graficul funcţiei  i trece prin mulţimea Г, atunci funcţia i 1 este definită prin egalitatea (12), iar pentru a determina următoarea funcţie  i  2 , trebuie ca şi graficul i 1 să treacă prin mulţimea Г. Acest lucru se obţine, dacă vom alege segmentul r1  t  r2 destul de scurt. În continuare, prin micşorarea segmentului r1  t  r2 se poate obţine ca pentru şirul (11) să se satisfacă inegalităţile (13)  i 1   i  k  i   i 1 , i  1,2,3,..., unde 0  k  1. Din egalităţile (13) rezultă inegalităţile  i 1   i  1   0  k i , i  1,2,3,... şi în aşa mod şirul (11) converge uniform (vezi C.). Iar apoi, uşor se determină că limita  a şirului (11) satisface condiţia (9). Demonstraţia teoremei: Existenţa. Valorile iniţiale t 0 şi x0 a soluţiei căutate a ecuaţiei (3) sunt coordonatele punctului t 0 , x0  din mulţimea Г. Vom alege un dreptunghi oarecare D cu centrul în punctul t 0 , x0  care se conţine în mulţimea Г (Fig. 2.). Lungimea laturii orizontale (paralele axei t) a dreptunghiului D, o vom nota prin 2q, iar lungimea laturii verticale prin 2a. Astfel, punctul t, x  va aparţine dreptunghiului D dacă şi numai dacă se vor satisface inegalităţile: t  t0  q , x  x 0  a . (14) Deoarece dreptunghiul D este o mulţime închisă din Г, atunci f t , x  funcţiile continue în el f t , x  şi sunt mărginite, şi există aşa x numere pozitive M şi K, a.î. pentru t şi x, care satisfac condiţiile (14), au loc inegalităţile f t , x  f t , x   M , (15) k. x

14

Fig. 2. Odată cu dreptunghiul D, vom analiza şi dreptunghiul “mai îngust” D r , definit de egalităţile t  t 0  r , x  x 0  a , unde r  q

(16)

Vom nota prin  r , familia tuturor funcţiilor continue, definite pe segmentul t  t 0  r , graficele cărora trec prin dreptunghiul D r . Astfel funcţia  definită pe segmentul t  t 0  r atunci şi numai atunci aparţine familiei  r , când pentru orice t ce aparţine acestui segment, are loc ingalitatea  t   x 0  a (17) Vom alege numărul r, aşa încît să se satisfacă următoarele două condiţii: a) dacă funcţia  aparţine familiei  r , atunci funcţia  *  A , (vezi (7),(8)) tot aparţine familiei  r . b) există aşa un număr k, 0  k  1, încît pentru orice două funcţii  şi  din familia  r are loc inegalitatea A  A  k   

(18)

Să analizăm condiţia a): Pentru ca funcţia  *  A să aparţină familiei  r este necesar şi suficient, ca pentru t  t 0  r să se satisfacă inegalitatea

 * t   x0  a În baza formulelor (7) şi (15) avem

15

 * (t )  x0 

t

 f ( ,  ( ))d

 Mr.

t0

De unde rezultă că pentru r

a M

(19)

ecuaţia a) se satisface. Vom analiza acum condiţia b). Avem: t

 * (t )  x0   f ( , ( ))d , t0 t

 * (t )  x0   f ( ,  ( ))d . t0

Dacă scădem din prima egalitate a doua, atunci obţinem: t

 * (t )   * (t )    f ( , ( )  f ( ,  ( )d  t0

(20)

t



  f ( , ( )  f ( ,  ( )d

t0

Vom studia acum ultima expresie de sub semnul integralei folosind formula lui Lagrange şi a doua din inegalităţile (15):  f ( , ( )  f ( ,  ( )  f ( ,  ) ( ( )   ( ))  x (21)  K  ( ( )   ( )) Unde  este un număr cuprins între  ( ) şi  ( ) şi deci care satisface inegalitatea   x0  a . Din (20) şi (21) rezultă că:

A  A   *  

*

 Kr   

Deci condiţia b) se satisface, dacă numărul k  Kr este mai mic decît 1, adică dacă: 1 r (22) k Aşadar, dacă numărul r satisface inegalităţile (16), (19) şi (22), atunci pentru familia  r se satisfac condiţiile a) şi b).

16

În continuare vom considera că numărul r este ales astfel încât pentru el au loc inegalităţile (16), (19) şi (22). Vom construi acum şirul (23)  0 , 1 ,..., i ,..., de funcţii, definite pe segmentul t  t 0  r , cu

 0 t   x0 ,  i 1  A i , i  0,1,2,...

(24) (25) Conform condiţiei a), deoarece funcţia (24) aparţine familiei  r , atunci şi toate funcţiile şirului (23) aparţin acestei familii. În continuare, conform (17) avem: 1   0  max 1  x0  a. t t 0  r

În baza formulei (18) obţinem:  i 1   i  A i  A i 1  k  i   i 1 , de unde rezultă că

 i 1   i  ak i , i  0,1,2,... Astfel, conform punctului C., şirul (23) converge uniform pe segmentul t  t 0  r la o funcţie continuă  . Deoarece toate funcţiile şirului (23) aparţin familiei  r , atunci comform (17) şi funcţia  aparţine acestei familii. Vom arăta, că funcţia  satisface ecuaţia (9). Pentru aceasta vom observa că şirul A 0 , A1 ,..., A i ,... converge uniform la funcţia A. Într-adevăr, avem: A  A i  k    i . Trecînd în relaţia (25), la limită cu i  , obţinem:   A. Deci, existenţa soluţiei x   t  a ecuaţiei (3), ce satisface condiţia iniţială (4), este demonstrată şi în acelaşi timp s-a stabilit că soluţia x   t  este definită pe intervalul t  t 0  r , unde r este un număr arbitrar, ce satisface inegalităţile (16), (19) şi (22). Unicitatea. Fie x   t  şi x   t  două soluţii ale ecuaţiei (3), ce au valorile iniţiale comune t 0 , x0 şi r1  t  r2 intervalul ce este intersecţia intervalelor de existentă a soluţiilor  şi  , evident că r1  t 0  r2 .

17

Vom arăta, că dacă soluţiile  t  şi  t  coincid într-un punct oarecare t1 din intervalul r1  t  r2 , atunci ele coincid şi pe un interval oarecare

t  t1  r ,

unde r este un număr pozitiv mic. Fie

x1   t1    t1 , atunci mărimile t1 , x1 pot fi considerate valori iniţiale pentru ambele soluţii x   t  şi x   t . În acest sens, punctul t1 , x1  nu se deosebeşte de punctul t 0 , x0 , şi de aceea vom păstra pentru punctul t1 , x1  notaţia t 0 , x0 , ceea ce ne va permite să păstrăm şi celelalte notaţii. Trecînd de la ecuaţia diferenţială (3) la ecuaţia integrală (6), obţinem pentru ambele funcţii  t  şi  t  egalităţi integrale, care în formă operatorială se scriu (26)   A ,   A . Vom alege, ca şi mai sus, în mulţimea deschisă Г dreptunghiul D cu centrul în punctul t 0 , x0 , iar apoi şi dreptunghiul Dr astfel încât numărul r în afară de inegalităţile (16), (19), şi (22) să satisfacă şi condiţia că pentru t  t 0  r funcţiile  t  şi  t  sunt definite şi satisfac inegalităţile:  t   x 0  a,  t   x 0  a.

Acest lucru este posibil, deoarece funcţiile

 t  şi  t  sunt

contunui. Atunci aceste funcţii, examinate pe segmentul t  t 0  r , aparţin familiei  r şi deci, conform inegalităţii (18) şi relaţia (26) obţinem:     A  A  k    , ceea ce este posibil atunci şi numai atunci când     0, adică când funcţiile  t  şi  t  coincid pe segmentul t  t 0  r .

Vom demonstra acum, că funcţiile  t  şi  t  coincid întreg intervalul r1  t  r2 . Vom presupune contrariul, şi anume că există un

punct t * din intervalul r1  t  r2 pentru care  t *    t * . Evident, că t *  t 0 . Vom considera că t *  t 0 . Vom nota prin N, mulţimea tuturor punctelor t a segmentului t 0  t  t * , pentru care  t    t  şi vom demonstra, că mulţimea N este închisă. Într-adevăr: fie  1 , 2 ,...,... un şir de puncte din mulţimea N,

18

ce converge la un punct oarecare  . Atunci   i     i  şi de aceea, pe baza continuităţii funcţiilor  t  şi  t  obţinem:     lim   i   lim   i     , i 

i 

adică punctul  de asemenea aparţine mulţimii N. Vom nota prin t1 marginea superioară a mulţimii N. Deoarece N este o mulţime închisă, atunci t1 aparţine acestei mulţimi, adică

 t1    t1 , deci t1  t * . Însă, în acest caz, conform celor demonstrate deja, funcţiile  t  şi  t  trebuie să coincidă pe un interval oarecare

t  t1  r , şi punctul t1 nu poate fi marginea superioară exactă a mulţimii N. Astfel, am ajuns la contradicţie. Deci, teorema este demonstrată. Observăm, că fără restricţii suplimentare impuse funcţiei f x, y  (de exemplu condiţia lui Lipshitz) nu se poate determina unicitatea soluţiei obţinute. Condiţia lui Lipshitz: Există un număr pozitiv N, astfel încât pentru orice valoare x pentru care x  x 0  a şi orice

pereche de valori y ' şi y", ale variabilei y, pentru care y ' y 0  b şi y" y 0  b, este satisfacută inegalitatea f  x, y '  f x, y"  N y ' y" . Această inegalitate este întotdeauna satisfăcută dacă funcţia f x, y  are în fiacare punct al domeniului, derivată parţială f y' x, y , mărginită în întregul domeniu R, adică dacă f y'  N .

dy  x2  y 2 . dx Valoarea iniţială x  0, y  0 . Domeniul  1  x  1,  1  y  1 . În acest domeniu f x, y   2 , adică N>2. Vom alege cel mai mic dintre Exemplu. Ecuaţia

19

b 1 1  , adică h  . Aproximaţiile succesive vor fi N 2 2 1 convergente pentru x  . Adică 2 x x x 3 x7 x3 y0  0 , y1   x 2  y02 dx  , y2   x 2  y12 dx   , 3 63 3 0 0 numerele a  1;

 x 6 2 x10 x14  x 3 x 7 2 x11 x15 dx  y 3   x  y dx    x 2       9 189 3969  3 63 2079 59535 0 0 x



2

2 2



Deci, pentru x 

x

1 , avem y2  0.04179 şi în limitele a unei cifre, y3 2

nu ne dă o precizie mai mare. Teorema lui Peano asigură existenţa soluţiei numai pe segmentul x 0  h; x 0  h , însă adeseori soluţia există şi pe un interval mai mare.

Soluţia y   1 ( x) , definită pe intervalul I 1  x0  h; x0  h şi care

coincide cu  (x) pe segmentul x 0  h; x 0  h  , se numeşte prelungire a soluţiei  (x) . Soluţia y   (x) , x  I  , ce nu admite prelungire diferită de ea însăşi, se numeşte soluţie neprelungibilă, iar graficul ei curbă integrală neprelungibilă. Ca exemplu de soluţie neprelungibilă serveşte soluţia, care posedă asimptotă verticală. Dacă funcţia este continuă pe fâşia f ( x, y)

  x   ,  y  

şi

satisface

inegalitatea

f ( x, y)  a( x)  y  b( x) cu funcţiile a(x) şi b(x) continue, atunci orice soluţie a ecuaţiei (1) poate fi prelungită pe întreg intervalul x. Punctul ( x0 ; y0 ) se numeşte punct de existenţă al ecuaţiei (1), dacă există cel puţin o soluţie y   (x) , ce satisface condiţia iniţială (2). Punctul ( x 0 ; y 0 ) se numeşte punct de unicitate al ecuaţiei(1), dacă orice două soluţii ale problemei Coşi (1)-(2) coincid într-o vecinătate [ x 0  h; x 0  h] . În caz contrar el este numit punct singular al ecuaţiei (1).

20

Dacă mulţimea punctelor singulare conţine o curbă integrală, ultima este numită curbă integrală singulară, iar soluţia respectivă - soluţie singulară. Vom spune, că egalitatea U ( x, y, c)  0 este integrală generală a ecuaţiei diferenţiale pe domeniul D, dacă pentru orice punct de unicitate ( x 0 ; y 0 )  D există o constantă c 0 , încât egalitatea U ( x, y, c 0 )  0 determină în mod implicit într-o vecinătate destul de mică a punctului ( x 0 ; y 0 ) o soluţie a problemei Cauchy (1)-(2). Funcţia y   ( x, c) , care conţine o constantă arbitrară, se numeşte soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale (1) pe domeniul D, dacă pentru orice punct de unicitate ( x 0 ; y 0 )  D există o astfel de valoare c 0 a constantei arbitrare, încât funcţia y   ( x, c 0 ) este o soluţie a problemei Cauchy (1)-(2). Exemplu. Cu ajutorul aproximaţiilor succesive să se găsească soluţia problemei Cauchy: (3) y   x  y, y(0)  1 . Rezolvare. Definim aproximaţiile succesive conform formulei recurente x

y 0 ( x)  1, y n 1 ( x)  1   (t  y n (t ))dt, (n  0,1,2,...). 0

(4) Din (4) obţinem

y 0 ( x)  1, y1 ( x)  1  x 

x2 , 2

y 2 ( x)  1  x  x 2 

x3 , 3!

x3 x4 x2 x3 x4 y 3 ( x)  1  x  x    1  x  2  (  )  ,...., 3! 4! 2 3! 4! 2 3 n n 1 x x x x y n ( x)  1  x  2  (   ...  )  2 3! n! (n  1)! 2

Observăm că y n (x ) poate fi reprezentată sub forma n

y n ( x)  2   k 0

xk x n 1   x 1 k! (n  1)! 21

De aceea, trecând la limită când n   , căpătăm soluţia problemei Cauchy (3):

xk x n1   x 1  2  ex  x 1 (n  1)! k 0 k! 

y( x)  lim n y n ( x)  2  

(Şirul funcţional y n (x ) converge uniform pe orice segment finit

 ;   ).

§ 4. Formarea ecuaţiilor diferenţiale Formarea ecuaţiei diferenţiale a unei familii de curbe. Fie dată ecuaţia unei familii de curbe (1) ( x, y, c)  0 unde  reprezintă o funcţie continuă, ce posedă derivate parţiale în raport cu c. Atunci putem forma ecuaţia diferenţială, pentru care familia (1) reprezintă o familie de curbe integrale. Considerăm variabila y funcţie de variabila x şi derivăm ambele părţi ale ecuaţiei (1) în raport cu x:

   ( x, y ( x), c)    y  0  x y

Din sistemul

 ( x, y, c)  0       x  y  y  0  eliminăm constanta c şi obţinem ecuaţia diferenţială respectivă. Exemplu. Să se formeze ecuaţia diferenţială a familiei de curbe x 2  y 2  cx Rezolvare. Derivăm ambele părţi ale ecuaţiei date în raport cu x şi alcătuim sistemul

 x 2  y 2  cx  2 x  2 yy   c Eliminând constanta c, obţinem ecuaţia diferenţială de ordinul întâi

22

x 2  y 2  (2 x  2 yy )  x . 3. Probleme din geometrie, care conduc la ecuaţii diferenţiale. Pentru rezolvarea problemelor din geometrie procedăm în felul următor: 1. resupunem, că în sistemul cartezian de coordonate curba căutată reprezintă graficul funcţiei y  y(x) ; 2. entru a găsi mai uşor relaţiile dintre mărimile respective schiţăm desenul corespunzător condiţiilor problemei; 3. ăsim relaţia dintre valoarea variabilei independente x, valoarea funcţiei necunoscute y(x) şi a derivatei sale y (x) în punctul x. Această relaţie şi este ecuaţia diferenţială, ce determină curbele căutate. Notă. În cazul coordonatelor polare (  ;  ) , aplicăm formula: d  sin    cos  dy d  dx d  sin    cos  d

y ( x0 ; y0 )

, unde x   cos  , y   sin 

x 0

Exemplu. Să se determine curbele din plan, normalele cărora în fiecare punct trec prin

originea sistemului de coordonate . Rezolvare. Fie ( x 0 ; y 0 ) coordonatele unui punct de pe curba căutată

y  y(x) . Dacă y ' ( x 0 )  0 , atunci coeficientul unghiular al tangentei în acest 

1   . Rezultă, că ecuaţia  y' ( x0 ) 

punct este y ' ( x0 ) , iar al normalei   normalei este

23

y  y0   

1  ( x  x0 ) . y ' ( x0 )

x0 . Astfel, y ' ( x0 ) pentru orice punct ( x, y( x)) de pe curbă obţinem relaţia yy'x  0 sau x y '   . Integrala generală x 2  y 2  c a ecuaţiei diferenţiale y Deoarece normala trece prin origine, avem  y 0 

obţinută determină familia de circumferinţe concentrice cu centrul în origine. § 5. Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile 1.

Ecuaţiile diferenţiale în formă normală de tipul:

dy  f x   g  y  dx

(1)

se numesc ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile. Aplicând criteriul respectiv, se poate constata uşor, că

 g  y    f x dx  c dy

(2)

este integrarea generală a ecuaţiei (1) pe domeniul ei de definiţie, cu excepţia punctelor, unde g  y   0 În practică ecuaţiile diferenţiale de tipul (1) se rezolvă prin separarea variabilelor

dy  f x dx gy

(3)

şi integrarea ambelor părţi ale egalităţii (3). Notă. Menţionăm, că egalitatea g  y 0   0

determină soluţiile

y  x   y 0 ale ecuaţiei diferenţiale (1), pierdute în procesul separării

variabilelor. Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială

y  k 

y . x 24

Rezolvare. Vom considera ecuaţia pe intervalele x  0 sau x  0 şi o vom scrie sub forma

dy y k dx x

Dacă y  0 , împărţim ambele părţi la y şi înmulţim cu x , separând astfel variabilele: dy y dy dx k  k     k    ln y  k  ln x  c1  y  e c  x , c1  R dx x y x Luăm în consideraţie că y  0 , obţinem 1

y   e c1  x sau y  c 2  x , c 2  0 k

k

La această mulţime adăugăm soluţiile y  0 omise în procesul separării variabilelor. Observăm că mulţimea tuturor soluţiilor poate fi exprimată printr-o singură formulă:

y  c  x , c  R, ( x  0) . k

2. Ecuaţiile diferenţiale de tipul

y'  f (ax  by)

(4)

se reduc uşor la ecuaţii cu variabilele separabile prin introducerea unei funcţii noi

z ( x)  ax  by( x) Atunci z '  a  by' şi ecuaţia iniţială se reduce la ecuaţia z'  a  b  f ( z)

(5)

care admite separarea variabilelor. Găsim integrala generală a ultimei ecuaţii diferenţiale şi, folosind (5), obţinem integrala generală a ecuaţiei iniţiale. § 6. Ecuaţii diferenţiale omogene şi ecuaţii reductibile la ele

y   f x, y  este omogenă, dacă ea este invariantă la omotetii cu centru în origine: x; y   x; y  ,   0 , adică, adică dacă funcţia f este omogenă de gradul zero de omogenitate, ceea ce înseamnă, că f x, y   f x, y  pentru orice  0. 25 Vom spune, că ecuaţia diferenţială

Efectuând substituţia z  x  

y x

pentru

x  0 , obţinem o ecuaţie

diferenţială cu variabilele separabile  x, z  . Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 2

y  y y     . x  x Rezolvare. Observăm că

 y   y  f x, y         f x, y  ,  x   x  2

adică ecuaţia dată este o ecuaţie diferenţială omogenă. Notăm z 

y

x,

de unde y  z  x şi y   z x  z . În variabilele noi  x, z  ecuaţia dată obţine forma unei ecuaţii cu variabilele separabile z x  z  z 2  z  z x  z 2  2 z . integrala generală a căreia este z  2  cx 2 y , y  0 2. Orice ecuaţie diferenţială omogenă poate fi scrisă sub forma

 y y  g  .  x y y  g  poate fi redusă la o ecuaţie diferenţială  x   omogenă cu ajutorul substituţiei   x   ,   y   , adică Ecuaţia

translând originea sistemului de coordonate în punctul de intersecţie al dreptelor x    0 , y    0 . Aceiaşi procedură, aplicată la ecuaţia diferenţială de forma

 a x  b1 y  c1 y   f  1  a 2 x  b2 y  c 2

  , 

c12  c 22  0 ,

ne conduce la ecuaţia omogenă

 a x  b1 y   . y   f  1 a x  b y 2   2

(1)

Acest lucru se efectuează în felul următor:

26

a)

Dacă

a1 x  b1 y  c1  0

dreptele

şi

a 2 x  b2 y  c 2  0 se intersectează într-un singur punct  ;   , iar pentru aceasta este necesar şi suficient să nu se anuleze determinantul a b1 ,  1 a 2 b2 atunci efectuăm translaţia   x   ,   y   . În rezultat căpătăm o ecuaţie de tipul (1). b) Dacă   0 , atunci a1 x  b1 y  k a 2 x  b2 y  pentru un oarecare k şi substituţia z  a 2 x  b2 y reduce ecuaţia iniţială la o ecuaţie cu variabile separabile  x, z  Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială:

y 

2 y  2 

2

x  y  12

.

Rezolvare. Considerăm sistemul

 y  2  0,   x  y  1  0, de unde găsim coordonatele punctului de intersecţie al dreptelor respective:   3,   2 . În variabile noi ( ; ) , legate cu cele vechi prin intermediul formulelor x    3, y    2 , avem

dy d 2 2 2 2    dx d (  3    2  1) 2 (   ) 2 d 2 2 Ecuaţia obţinută  d (   ) 2 omogenă,

care,

la

rândul

său,

este o ecuaţie diferenţială cu

ajutorul

substituţiei

( )  u( )   se reduce la o ecuaţie cu variabilele separabile. Ecuaţia obţinută

27

du u (1  u 2 )    d (1  u ) 2 are următoarea integrală generală

u    c  exp( 2  arctgu) care în variabilele iniţiale ( x, y) capătă forma: y2 y  2  c  exp( 2  arctg ). x 3 Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială

y' 

2y  x 1 3x  6 y  2

Rezolvare. Observăm că

şi

z  x  2 y , de unde obţinem

3 x  6 y  3(2 y  x) . Substituim 0

dz 5z  dx 3z  2

Ecuaţia obţinută are soluţiile

z  0  3z  2  ln z  5 x  c Revenind la variabilele iniţiale, căpătăm integrala generală x  2 y  c  exp( x  3 y) . 3. Ecuaţii diferenţiale cuaziomogene. Ecuaţia diferenţială, invariantă la omotetii generalizate ( x; y )  (x; m y ) pentru un oarecare număr real m şi orice   0 , se numeşte ecuaţie diferenţială omogenă generalizată, ori, cu alte cuvinte, cuaziomogenă. Aceste ecuaţii pot fi reduse la ecuaţii cu variabilele separabile prin intermediul substituţiei y  z  x m . Menţionăm că pentru m iraţional, ori m-p/q, unde q este par, substituţia de mai sus este valabilă doar în semiplanul x  0 , iar în semiplanul x  0 rămâne să aplicăm substituţia y  z  ( x) m .

28

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială

dy 2  y2  2 dx x Rezolvare. Verificăm dacă ecuaţia dată este cuaziomogenă. Pentru aceasta căutăm un astfel de număr real m, pentru care substituţia ( x; y )  (x; m y ) nu schimbă ecuaţia. Deoarece d (x)    dx şi d (m y )  m  dy , avem

m  dy 2  2 m  y 2  2 2 dx  y Această ecuaţie nu va depinde de  , dacă şi numai dacă m1=2m=-2, de unde m=-1. efectuând substituţia y  z  x 1 , reducem ecuaţia iniţială la ecuaţia cu variabile separabile:

dz z 2  z  2  dx x soluţia generală este

z

c  2x 3 c  x3

Astfel soluţia generală a ecuaţiei iniţiale este

c  2x3 y . cx  x 4 § 7. Ecuaţii liniare şi reductibile la ele. 1. Ecuaţii diferenţiale liniare. Ecuaţia diferenţială normală de forma y'  a( x) y  b( x) se numeşte ecuaţie diferenţială liniară. Dacă termenul liber b( x)  0 ecuaţia se numeşte ecuaţie diferenţială omogenă, în caz contrar – ecuaţie liniară neomogenă. Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale neomogene are forma:

y  c   ( x)   ( x)

29

unde c   (x) este soluţia generală a ecuaţiei liniare omogene asociate, iar este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene.  (x) Ecuaţia diferenţială liniară se rezolvă în două etape (metoda „variaţiei constantei”): 1. rezolvăm ecuaţia diferenţială liniară omogenă asociată y' a( x) y , soluţia generală a căreia va fi:

y ( x)  c  exp(  a( x)dx)

(2)

2. Căutăm soluţia particulară a ecuaţiei liniare noemogene sub forma:

y  c( x)  exp(  a( x)dx)

(3)

unde c(x) este o nouă funcţie necunoscută (variem constanta). Înlocuind (3) în egalitatea (1) căpătăm o ecuaţie diferenţială cu variabilele separabile pentru funcţia c(x), care se rezolvă uşor. Exemplu Să se integreze ecuaţia diferenţială

y'   xy  x

Rezolvare. Rezolvăm ecuaţia liniară omogenă asociată

y '   xy  y  c  exp( 

x2 ) 2

„Variem constanta”, adică căutăm soluţia particulară a ecuaţiei diferenţiale neomogene sub forma

y ( x)  c( x)  exp( 

x2 ) 2

Derivând şi înlocuind în ecuaţia iniţială, obţinem

c' ( x)  exp( 

x2 x2 )  x  c( x)  exp c 2 2

Deci o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene este y  1 , iar soluţia generală a ei este

30

y  1  c  exp( 

x2 ), c  R 2

Notă. Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (1) poate fi exprimată prin formula

y  exp(  a( x)dx)  [c   b( x)  exp(   a( x)dx)dx] (4). Notă. 1) Soluţiile problemelor Coşi pentru ecuaţiile diferenţiale liniare omogene sau neomogene pot fi scrise sub forma x  y '  a ( x) y  y ( x )  y  exp(  0  a(t )dt)  y ( x0 )  y 0 x9

(5) şi

respectiv

y '  a( x) y  b( x), y ( x0 )  y 0  x

x

t

x0

x0

x0

y ( x)  exp(  a (t )dt )  [ y 0   b(t )  exp(   a( s )ds)dt ] (6) 2) Unele ecuaţii diferenţiale capătă forma ecuaţiei liniare, dacă în relaţia căutată dintre x şi y, vom considera y- variabila independentă , iar x(y) – funcţie necunoscută. Deci, de la variabilele (x,y(x)) trecem la variabilele (x(y),y). 2. Ecuaţia lui Bernoulli. Ecuaţia diferenţială de forma

y '  a ( x) y  b( x) y  , (  R,   0,   1) (7) se numeşte ecuaţia lui Bernoulli. Ea se reduce la o ecuaţie liniară prin împărţirea ambelor părţi ale  ecuaţiei la y

y ' a( x)   1  b( x) y y şi substituţia

31

z ( x) 

1 y

 1

( x)

Observăm că derivata z ' ( x)  (  1) 

y ' ( x) este aproape egală cu y  ( x)

termenul din partea stângă a ecuaţiei de mai sus, fapt ce înlesneşte efectuarea substituţiei. Exemplu. Să se rezolve ecuaţia diferenţială

y'  2 y 2  2

y x

Rezolvare. Avem o ecuaţie Bernoulli. Împărţim la y 2 ambele părţi ale ecuaţiei, dar nu înainte de a verifica, că condiţia y 2  0 ne determină o soluţie a ecuaţiei, şi anume: y  0 ,

y' 2 2 2 xy y Substituim

z'  2

z

y' 1 , şi deci, z '   2 , ne conduce la ecuaţia liniară y y

z 2 x

care are soluţia generală z  cx 2  2 x, (c  R ) . 2. Ecuaţia lui Riccati. Acest nume îl poartă ecuaţia diferenţială de forma y '  a ( x ) y 2  b( x ) y  c ( x ) pentru a( x )  0 ,c( x )  0 În caz general ecuaţia Ricati nu poate fi integrată în cuadraturi, adică nu admite o prezentare a soluţiei generale cu ajutorul unui număr finit de integrale nedefinite de la funcţii elementare. Ştiind, însă, o soluţie particulară y0 ( x ) a ecuaţiei Ricati, o putem reduce pe aceasta la o ecuaţie Bernuli prin substituţia

z( x )  y( x )  y0 ( x ).

§ 8. Ecuaţii cu diferenţiala totală. Factor integrant

32

1. Vom spune, că ecuaţia

M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0

este o ecuaţie cu diferenţială totală, dacă partea stângă a ei reprezintă diferenţiala totală a unei funcţii de două variabile U ( x, y ) , cu alte cuvinte, dacă există o astfel de funcţie diferenţiabilă U ( x, y ) , încât

dU  M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 Pe de altă parte

dU 

U U  dx   dy x y

şi de aceea

M ( x, y ) 

U U , N ( x, y )  x y

Dacă funcţiile M , N  C 1 , atunci derivatele parţiale mixte de ordinul doi ale funcţiei U ( x, y ) coincid. Astfel obţinem condiţia lui Eiler, necesară pentru ca (1) să fie o ecuaţie în diferenţiale totală:

M N  . y x

Dacă domeniul de definiţie al ecuaţiei este un domeniu monoconex (domeniu, care împreună cu orice curbă închisă fără autointersecţii conţine şi mulţimea din interiorul acestei curbe), atunci condiţia (2) este şi suficientă pentru ca ecuaţia (1) să fie o ecuaţie cu diferenţială totală. Aşadar, dacă (1) este o ecuaţie cu diferenţială totală, atunci există o astfel e funcţie U ( x, y ) , încât

 U  x  M ( x, y )  U   N ( x, y )  y A afla integrala ecuaţiei (1) înseamnă a restabili funcţia U ( x, y ) după derivatele ei parţiale (3). În caz general, într-un domeniu monoconex D funcţia U ( x, y ) poate fi exprimată prin integrala curbilinie de speţa a doua:

33

U ( x, y )   Mdx  Ndy L

unde L este o curbă arbitrară, netedă pe porţiuni, ce uneşte un oarecare punct fixat ( x 0 ; y 0 )  D cu punctul ( x; y)  D

y D

( x, y)

x ( x0 , y 0 )

Des.3 În practică adeseori procedăm în felul următor: Fixăm y în prima egalitate din sistemul (3) şi integrăm ambele părţi ale ei în raport cu x:

U ( x, y )   M ( x, y )dx  c( y ). L

Am restabilit funcţia U ( x, y ) cu „exactitatea” unei funcţii arbitrare de variabila y. Derivăm funcţia U ( x, y ) în raport cu y şi egalăm expresia obţinută cu N ( x, y ) , de unde găsim funcţia c( y) , şi deci, U ( x, y ) . În mod analogic am fi putut proceda, începând cu a doua egalitate din sistemul (3). Integrala generală a ecuaţiei (1) va avea forma U ( x, y)  c . Exemplu. Să se rezolve ecuaţia diferenţială

3x 2  7 y 2 2x 3  6 y 5 dx  dy  0 y2 y3 34

Rezolvare. Observăm, că domeniul de definiţie al ecuaţiei este reuniunea a două semiplane: y  0 şi y  0 , şi deci, e monoconex (dar nu conex). Verificăm condiţia lui Euler (2):

 3x 2  7 y 2  y2  y

  

 2x 3  6 y 5  y3 6x 2   3  x y

  .

Aceasta înseamnă, că există o astfel de funcţie U ( x, y ) , încât

 U 3 x 2  7 y 2   y2 3x 2  7 y 2  x  U ( x , y )    y 2  c( y )  3 5 2 x  6 y  U    y y3 x 3  7 xy 2 2x 3  6 y 5 U 2x 3   c ( y )     c ' ( y )   . y y2 y3 y3 Din ultima egalitate căpătăm c ' ( y )  6 y 2 , de unde

c( y )  2 y 3  c1 Deci, funcţia U ( x, y ) , despre care este vorba în definiţia ecuaţiei cu diferenţiala totală, are forma

x 3  7 xy 2  6y2 2 y (pentru simplitate considerăm c1  0 ). Liniile ei de nivel U ( x, y)  c conţin curbele integrale ale ecuaţiei date. U ( x, y) 

Deci, integrala generală a ecuaţiei iniţiale are forma:

x 3  7 xy 2  6 y 2  c. 2 y 2. Factor integrant Dacă ecuaţia diferenţială (1) nu este o ecuaţie cu diferenţială totală, atunci, în unele cazuri, ea poate fi adusă la o astfel de formă, înmulţind ambele părţi ale ecuaţiei cu o funcţie  ( x , y ) , numită factor integrant.

35

Aplicînd condiţia lui Eiler pentru ecuaţia nouă

( x , y )  M ( x , y )dx  ( x , y )  N ( x , y )dy  0

obţinem următoarea ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale:

N

   M N   M    x y  y x 

În cîteva cazuri particulare factorul integrant poate fi determinat mai uşor şi anume, dacă se ştie că: a) ecuaţia (1) admite factor integrant  , ce depinde numai de x. Pentru aceasta este necesar şi suficient ca să depindă numai de x expresia

M N  d (ln  ) y x  ( x )    ( x ). N dx

(5) Din ultima ecuaţie găsim  . b) ecuaţia (1) admite factor integrant  , ce depinde numai de y. În mod analogic, pentru aceasta este necesar şi suficient ca să depindă numai de

M N  d (ln  ) y x  ( x )    ( x ). y expresia M dy (6) c) ecuaţia (1) admite factor integrant de forma

  (  ) , unde

 ( x , y ) este o funcţie de două variabile date. Aceasta va avea loc atunci şi numai atunci, când M N  y x   ( )    N M  x y

(7)

d (ln  )   ( ) d Notă. Formula (8) cuprinde formulele (5) şi (6) pentru  ( x , y )  

şi, respectiv,  ( x , y ) 

x

(8)

y. 36

Exemplu. Să se rezolve ecuaţia diferenţială

(1  x 2 y)dx  x 2 ( y  x)dy  0 (9) Rezolvare. Ne putem convinge uşor că ecuaţia dată nu este o ecuaţie cu diferenţiala totală, deoarece ea nu satisface condiţia lui Eiler (2). Verificăm dacă există factor integrant, ce ar depinde numai de o singură variabilă. Pentru aceasta calculăm:

M N    x 2  2 xy  3 x 2  2 x( x  y ) y x şi observăm că, împărţind la N ( x, y ) , căpătăm o expresie ce depinde doar de x:

M N  2 y x 2 x( x  y )  2  N x ( y  x) x

Aplicînd (5) obţinem

d (ln  ) 2 1    2 dx x x

Dacă înmulţim ambele părţi ale ecuaţiei (9) cu 1/x2 obţinem ecuaţia cu diferenţiala totală

(

1  y)dx  ( y  x)dy  0 x2

Integrala generală a căreia are forma



y2 1  xy   c. x 2

rămâne să alăturăm curba integrală x  0 . Exemplu. Să se rezolve ecuaţia diferenţială





x 2  y  2 x dx  dy  0 ,

(10)

37

dacă, se ştie, că ea posedă factor integrant de forma      , unde

  x2  y . Rezolvare. Înlocuind în (7.)   x 2  y , obţinem

M N  y x 1 1   , 2   2 2x y N M x y 1 Deci, d ln     d . 2 1 1 1 De aici ln    ln  sau    2  x 2  y  2 . 2





Înmulţind ambele părţi ale ecuaţiei (10.) cu factorul integrant  , căpătăm o ecuaţie cu diferenţială totală. Rezolvând-o, găsim integrala generală a ecuaţiei (10.):

 x  2 x 2  y  c,   y  x 2 . 9. Ecuaţii nerezolvate în raport cu derivata. Soluţii singulare 1. Ecuaţiile diferenţiale nerezolvate în raport cu derivata

F ( x, y , y ' )  0

uneori pot fi reduse la cîteva ecuaţii de forma normală, şi anume, dacă funcţia F admite descompunerea

F ( x, y, y' )  [ y' f1 ( x, y)]  ... [ y' f k ( x, y)].

Rezolvînd fiecare ecuaţie în formă normală y'  f i ( x, y); (i  1,...,k ) şi reunind soluţiile lor, obţinem soluţiile ecuaţiei diferenţiale (1). Exemplu. Ecuaţia ( y )  1 posedă două familii de soluţii: y  x  c , y   x  c şi prin fiecare punct al planului trec două curbe integrale. Aceasta se datoreşte faptului că, dacă este dată valoarea iniţială y( x0 )  y0 , atunci valoarea derivatei y' ( x0 ) o putem găsi 2

38

F ( x0 , y( x0 ), y' ( x0 ))  0 , iar ultima, la rîndul său, determină una sau mai multe valori y' ( x0 ) . din egalitatea

Din această cauză problema Coşi pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi implicită se defineşte cu ajutorul sistemului

 F ( x, y , y ' )  0   y ( x0 )  y 0  y' ( x )  p 0 0  format din ecuaţia diferenţială (2) şi din ecuaţiile iniţiale (3)- (4), unde x0, y0, p0 satisfac egalitatea F ( x0, y0, p0 )  0 Teorema 1. Dacă funcţia F ( x, y, p) este continuă împreună cu derivatele

sale

parţiale pe un domeniu ( x0, ; y0, ; p0 )  D avem F ( x0, y0, p0 )  0 şi

D  R3

dF ( x0, y 0, p 0 )  0 dp

şi

pentru

(5)

atunci pe un interval oarecare există o singură soluţie a problemei Coşi (2)-(4). Notă. Teorema de existenţă şi unicitate 1 uneşte în sine două teoreme de existenţă: prima – teorema de existenţă a funcţiei implicite p  f ( x, y) cu funcţia diferenţiabilă, fapt garantat de condiţia (5); a doua – teorema Coşi de existenţă şi unicitate a soluţiei ecuaţiei diferenţiale (explicite) y'  f ( x, y) cu condiţia iniţială y ( x0 )  y 0 . În cele ce urmează vom presupune, că funcţia F din ecuaţia (1) este continuă împreună cu derivatele sale parţiale. Mulţimea punctelor ( x0, ; y0, ; p0 ) , în care nu este respectată condiţia (5) a teoremei Coşi, adică mulţimea valorilor iniţiale ( x0, ; y0, ; p0 ) , pentru care nu sunt garantate existenţa sau unicitatea soluţiei problemei Coşi (2)-(4), este definită de ecuaţiile

 F ( x, y , p )  0   dF  dp ( x, y, p )  0 

(6)

39

Examinând p din sistemul (6) obţinem o ecuaţie ( x, y)  0 ce defineşte o curbă în planul XOY, numită curbă discriminantă. Ramurile ei pot fi şi curbe integrale ale ecuaţiei (1). Prin analogie cu § 2 vom spune, că punctul ( x0, ; y0, ; p0 ) este un punct de existenţă al ecuaţiei diferenţiale implicite (1). Dacă problema Coşi (2)-(4) posedă cel puţin o soluţie. Punctul de existenţă ( x0, ; y0, ; p0 ) este numit punct de unicitate al ecuaţiei (1), dacă orice două soluţii ale problemei Coşi (2)-(4) coincid într-o vecinătate ]x0   ; x0   [ . În caz contrar acest punct este numit punct singular al ecuaţiei (1), adică în cazul, când există cel puţin două soluţii ale problemei Coşi (2)-(4), ce diferă în orice vecinătate a punctului x0 , pe care ambele sunt definite. Soluţia y   ( x), x  I  a ecuaţiei diferenţiale implicite (1) este numită soluţie singulară a ecuaţiei (1), dacă pentru orice x0  I  punctul

( x0 ;  ( x0 ); ' ( x0 )) este un punct singular al acestei ecuaţii. Din teorema (1) rezultă, că toate punctele singulare se proiectează pe curba discriminantă şi că la rolul de soluţie singulară pot pretinde doar ramurile acestei curbe. Soluţiile singulare au o mare importanţă la studierea ecuaţiilor diferenţiale implicite, determinând în cea mai mare măsură tabloul calitativ al curbelor integrale. Exemplu. Să se rezolve ecuaţia diferenţială ( y ' ) 2  y şi să se evidenţieze soluţiile singulare; să se construiască curbele integrale. Rezolvare. Considerăm sistemul (6), ce determină curba discriminantă a acestei ecuaţii:

 F ( x, y , p )  p 2  y  0   F  p ( x, y, p)  2 p  0 

Eliminând variabila p, obţinem curba discriminantă y  0 . Rezolvăm ecuaţia iniţială:

40

y'   y 

dy

x  dx  y  (  c) 2 . 2 y

Funcţia y  0 este soluţie singulară.

y

0

x

Des.4 2. O altă metodă de găsire a soluţiei singulare necesită cunoaşterea integralei generale ( x, y, c)  0 a ecuaţiei (1) şi a noţiunii de înfăşurătoare a familiei de curbe. Fie dată familia de curbe în plan

( x, y, c)  0 cu funcţia  continuă împreună cu derivatele sale parţiale pe un domeniu oarecare G  R 3 . Curba  se numeşte înfăşurătoare a familiei de curbe(8), dacă în fiecare punct al său este tangentă la una din curbele (8), diferită de ea însăşi, şi dacă, fiecare curbă din familia (8) are puncte de tangenţă cu curba  , toate aceste puncte fiind izolate. Teorema 2. Înfăşurătoarea familiei de curbe integrale ale unei ecuaţii diferenţiale este o curbă integrală singulară a acestei ecuaţii. Din geometria diferenţială se ştie, că înfăşurătoarea se conţine în mulţimea de puncte, determinate de ecuaţiile:

41

 F ( x, y , p )  0   dF  dp ( x, y, p )  0 

(9)

Deci, pentru a găsi ecuaţia înfăşurătoarei, trebuie să excludem parametrul c din (9). Curba obţinută g ( x, y)  0 conţine înfăşurătoarea (însă poate să nu coincidă cu ea). § 10. Metoda introducerii parametrului. Ecuaţia lui Lagrange. Ecuaţia lui Clairaut. 1.Ecuaţiile diferenţiale nerezolvate în raport cu derivata de tipul: y = (x,y’) (1) sau x’ = g(y,y’) (2) se rezolvă prin metoda introducerii parametrului. Această metodă constă în următoarele: Notăm y’= p , unde p este un parametru. Mai jos vom considera ecuaţia diferenţială (1) (ecuaţia (2)se studiază în mod analogic ). Introducerea parametrului p readuce ecuaţia (1) la forma y = f (x,p) (3) Calculând diferenţialele totale ale ambelor părţi ale ecuaţiei (3), obţinem

dy 

f f dx   dp. x p

(4) Pe de altă parte, p = y’ =

dy , de unde dx

dy = p· dx.

(5)

Din (4) şi (5) avem relaţia: p dx =

f f  dx   dp, x p

(6)

care este o ecuaţie diferenţială de formă simetrică cu variabilele x şi p. Dacă integrala generală a ecuaţiei (6) are forma p = α (x,c), atunci, în virtutea egalităţii (3) y = (x,α(x,c)) va fi soluţia generală a ecuaţiei (1). Dacă, însă, ecuaţia (6) admite integrala generală de forma x

42

= ψ (p,c), atunci mulţimea soluţiilor ecuaţiei (1) este determinată cu ajutorul următoarei parametrizări:

x  ø (p, c),   y  f( ( p, c), p).

(7)

Remarcă. Accentuăm, că în formula (7) p este un parametru ! Integrarea ecuaţiilor diferenţiale implicite se simplifică mult în cazurile particulare y = f(y’) şi, respectiv, x = g(y’). Exemplu. Să se rezolve ecuaţia diferenţială:

x  cosy'- y'.

Rezolvare Introducem parametrul p =

dy şi atunci x = cosp – p. dx

Trecem la diferenţiale totale în partea stângă şi cea dreaptă a ecuaţiei: dx = - sinp · dp –dp Înlocuind dx =

dy , obţinem ecuaţia iniţială în forma parametrică p  x  cos p  p   y  cos p  p  sin p  c.

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială: (y’)2 + y2 = 1. Să se găsească trei soluţii distincte, definite pe întreaga axă numerică, care satisfac condiţia y(0)= 1. Cîţi termeni în punctul x = 0 ( vezi problema 2.8 şi nota ce o urmează ) formează soluţiile ecuaţiei, ce satisfac această condiţie iniţială ? Rezolvare Aplicăm metoda parametrizării, notând dy  sin p·dx Din egalităţile şi y  cos p.

dy  -sin p·dp primim sin p· (dx · dp)  0 . De aici sin p  0 sau dy  -dx, p  -x  c. Aşa dar, funcţiile definite parametric cu ajutorul ecuaţiilor

43

sin p  0,   y  cos p

şi

x  c  p   y  cos p

reprezintă soluţia ecuaţiei iniţiale. Eliminînd parametrul p, obţinem y = 1, y = 1 şi y = cos(x – c). Dreptele y  1 servesc drept înfăşurători ale familiei de curbe.

Des.5 Ecuaţia lui Lagrange . Dacă în ecuaţia F ( x, y, y ' )  0 funcţia F este liniară faţă de x şi z, atunci această ecuaţie poate fi redusă la forma 2.

y  x   ( y' )   ( y' )

În acest caz ea poartă denumirea de ecuaţia lui Lagrange. Introducem parametrul y '  p şi calculăm diferenţiala totală a funcţiei

y  x   ( )   ( ) Deoarece dy  dx , obţinem dx   (  )dx  [ x ' (  )   ' (  )]d sau

[    (  )]dx  [ x ' (  )   ' (  )]d

(13) Fie d

 0.

Atunci

 c.

 i sunt rădăcinile ecuaţiei    ( )  0

Ecuaţia (13) admite soluţiile

  i ,

unde (14)

44

În acest caz funcţiile

y  x   ( i )   ( i )

(15) sunt soluţii ale ecuaţiei lui Lagrange (11). Fie d  0 . Împărţim ambele părţi ale ecuaţiei (13) la o ecuaţie liniară neomogenă

d

şi obţinem

dx  x ' (  )   ' (  ) d x  x( p, c) soluţia ei generală. În virtutea relaţiei (12), obţinem

[    (  )]

Fie reprezentarea parametrică a soluţiilor ecuaţiei diferenţiale (11):

 x  x ( p, c )   y  x ( p, c )   ( p )   ' ( p )

care împreună cu soluţiile (15) formează mulţimea tuturor soluţiilor acestei ecuaţii. Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială

y  2 xy'( y' ) 2 Rezolvare. Notăm

(16)

y '  p şi obţinem

y  2 xp  ( p) 2

(17)

Trecînd la diferenţialele totale în ambele părţi, avem

p

dx  2x  2 p dp

Soluţia generală a acestei ecuaţii liniare este

x

c 2  p. p2 3

(18)

Înlocuind x în egalitatea (17) obţinem

p3 2 p y  . 3 p

(19)

Ultimile două egalităţi reprezintă integrala generală în formă parametrică a ecuaţiei iniţiale. 3. Ecuaţia lui Clero reprezintă un caz particular al ecuaţiei lui Lagranj şi are forma

45

y  xy     y  .

(20.) această ecuaţie se rezolvă prin aceiaşi metodă ca şi ecuaţia lui Lagrange. Ca rezultat căpătăm soluţia ei în forma: y  x  c   c  . (21.) Curbele integrale reprezintă o familie de drepte. Înfăşurătoarea lor este o curbă integrală singulară, care admite parametrizarea ( în cazul, când  c  există, este continuă şi  c   0 ):

 x   c ,   y  c c    c 

( c - parametru.)

(22.)

Formulele (21.)-(22.) descriu toate soluţiile ecuaţiei iniţiale. Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială

y  xy  

1 .  y  2

Rezolvare soluţia generală a acestei ecuaţii Clero este y  cx 

1 . c2

Soluţia singulară se determină prin eliminarea constantei c din următoarele ecuaţii:

x, y, c   c 2 y  c 3 x  1  0, c 2 y  c 3 x  1  0,      2cy  3c 2 x  0, 2 y  3cx  0.   c Deci, 27 x 2  4 y 3  0 .

46

Noţiuni generale despre ecuaţie direferenţiale de ordin superior. Micşorarea ordinului ecuaţiei diferenţiale. 1.

Noţiuni generale.

Ecuaţia

F ( x, y, y | , y || ,..., y n )  0 Unde

(1) X este variabilă independenta, y(x) - funcţie necunoscută, iar

funcţia F este definită pe domeniul G  R n2 , se numeşte ecuaţie direferenţială de ordinul n . Ecuaţia

F ( n )  f ( x, y, y | , y || ,..., y ( n 1) ) (2) Unde funcţia f este definita pe domeniul D  R n 2 , se numeşte ecuaţie direferenţială de ordinul n de forma normală. Funcţia y   (x) se numeşte soluţie a ecuaţiei direferenţiale (1) pe intervalul I ( ) dacă  este definit pe acest interval împreuna cu toate derivatele sale pînă la ordinul n si pentru orice x  I  au loc

( x,  ( x ) ,  (| x ) ,...,  ((xn)) )  G şi ( x,  ( x ) ,...,  ((xn)) )  0 . Problema lui Cosi pentru ecuaţia diferenţială de formă normală (2) ce formulează in felul următor: sa se afle soluţia y(x) a ecuaţiei diferenţiale (2) , care satisface condiţiile iniţiale: y ( x0 )  y 0 , y | ( x0 )  y1 , . . . , y ( n1) ( x)  yn1 (3) x0 , y 0 , y1 ,..., y n 1 numite valori iniţiale ale Pentru numerele date soluţiei y(x). Punctul x0 , y 0 , y1 ,. . . y, n 1  D se numeşte punct de existentă a ecuaţiei diferenţiale (2) , dacă există cel puţin o soluţie y   ( x), x  I  , care satisface condiţiile iniţiale (3). Acest punct se numeşte punct de unicitate al ecuaţiei diferenţiale (2), daca orice doua soluţii ale problemei lui Coşi (2)-(3) coincid într-o vecinătate a punctului , în caz contrar el este numit punct singular al ecuaţiei (2).

47

Funcţia y   ( x), x  I  diferenţiale

(2),

dac

se numeşte soluţie singulară a ecuaţiei pentru

orice

x  I

punctul

( x0 , ( x0 ), | ( x0 ),..., n1 ( x0 )) este un punct singular al ecuaţiei (2). Vom

spune

că funcţia f : ( x, z1 , z 2 ,..., z n )  f ( x, z1 , z 2 ,..., z n ) satisface condiţia lui Lipsit in

raport cu variabilele z1 , z 2 ,..., z n pe domeniul G  R n2 dacă există un număr L>0 astfel în cît pentru orice două puncte ( x, z1 , z 2 ,..., z n ) ,

( x, w1 , w2 ,..., wn )  G are f ( x, z1 , z 2 ,..., z n ) | ( x, w1 , w2 ,..., wn ) | L(| z1  w1 | ... | z n  wn |) Teorema Coşi-Picare ( teorema de existentă si unicitate ) ,dacă funcţia f este definită, continuă şi satisface condiţia lui Lipsit în raport cu variabilele ( x, y, y | , y || ,..., y ( n 1) ) pe o vecinătate a punctului

x0 , y 0 , y1 ,..., y n 1  D , atunci acest punct va fi un punct de unicitate al ecuaţiei diferenţiale (2). Funcţia , y   ( x, c1 , c 2 ,..., c n ) unde c1 , c2 ,..., cn sunt constante arbitrare , se numeşte soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale (2) pe domeniul D, dacă pentru orice punct de unicitate x0 , y 0 , y1 ,..., y n 1  D exista n valori c10 , c20 ,..., cn0 ale constantelor arbitrare astfel, în cît funcţia y  ( x, c10 , c20 ,..., cn0 ) este soluţie a problemei Cosi (2)-(3). Funcţia de (n+1) variabile  ( x1 , x 2 ,..., x n ,..., x n 1 ) se numeşte integrala prima a ecuaţiei diferenţiala (1). Dacă pentru orice soluţie y= (x), x  I  există o constantă C astfel în cît

 ( x1 , ( x0 ), | ( x0 ),..., n1 ( x))  C pentru orice x  I  . Ordinul ecuaţiei (1) poate fi redus cu o unitate , dacă cunoaştem o integrală primă a ei, şi cu două unităţi, dacă cunoaştem două integrale prime funcţional independente şi ale ei . pentru aceasta scriem relaţiile:

1 ( x, y, y | ,..., y n  2 )  C1 48

Şi respectiv

 2 ( x, y, y | ,..., y n 1 )  C 2 Iar din ultimul sistem eliminăm y n 1 , căpătăm

 ( x, y, y | ,..., y n 2 , C1 , C 2 )  0 (4) Vom spune că expresia (4) determină o integrală intermediară a ecuaţiei intermediare (1). Prin analogie ştiind k, (k
 ( x, y, c1 , c 2 ,..., c n )  0 (5) Egalitatea (5) se numeşte integrală generală a ecuaţiei diferenţiala (1) pe domeniul D  R n 2 dacă pentru orice punct de unicitate există n constante c10 , c20 ,..., cn0 astfel în cît egalitatea

 ( x, y, c10 , c20 ,..., cn0 )  0 Determină în mod implicit soluţia problemei lui Coşi (2)-(3) într-o vecinătate a punctului . 2.) Cazuri particulare de micşorare a ordinului ecuaţiei diferenţiale. A) Ecuaţia nu conţine in mod explicit funcţia necunoscută şi derivatele ei pînă la ordinul k . Fie dată ecuaţia

F ( x, y ( x ) , y ( k 1) ,..., y n )  0 Substituţia z ( x)  y k).

(k )

(6) ( x) reduce ecuaţia (6) la o ecuaţie de ordinul (n-

F ( x, z , z | ,..., z ( n k ) )  0 (7) Fie z   ( x, y, c1 , c 2 ,..., c n  k ) soluţia generală a ecuaţiei (7) . atunci în virtutea substituţiei

y ( k )   ( x, y, c1 , c2 ,..., cnk ) 49

Şi dacă integrăm de k ori ambele părţi ale ultimei egalităţi, atunci obţinem soluţia generală a ecuaţiei iniţiale. B) Ecuaţia nu conţine in mod explicit variabila independentă x

F ( x, y, y | , y || ,..., y ( n ) )  0 (8) În cazul acesta considerăm în calitate de variabilă independentă y , iar în calitate de funcţie necunoscută z ( y )  y | derivăm ambele părţi ale identităţii z ( y ( x))  y | ( x ) şi găsim

y || 

d2y d dz dy dz  z  yx   *  *z 2 dx dy dx dy dx

2  dz  d d  dz yx   d  dz  dy d z     y  ( y || )  * z y x  * x *  * z      2   dx dx  dx  dy  dy  dx dy  dy 

2

|||

dky Deoarece derivata de ordinul k a funcţiei y ( x) k  se exprimă  dx  prin derivate de ordin mai mic ale funcţiei z(y) , atunci in variabilele noi (y,z) căpătăm o ecuaţie de ordinul n-1 . Remarcă . Dacă considerăm y variabilă independentă, neglijăm soluţiile y=const., de aceea vom anexa la răspuns soluţiile constante y  bi , unde sunt rădăcinile ecuaţiei algebrice

F ( y,0,0,...,0)  0 Exemplul 1.1 Să se integreze ecuaţia diferenţiala (1  y 2 ) yy||  (3 y 2  1) y || Rezolvare: | y  z dacă considerăm y variabilă independentă , atunci Notăm obţinem 2

(1  y 2 ) y

dz  (3 y 2  1) z 2 dy

Separăm variabilele

dz 3y 2 1  dy z (1  y 2 ) y 50

Prin integrare căpătăm

zy c (1  y 2 ) 2 Revenim la variabilele iniţiale si obţinem integrala intermediara

yy||  c1 (1  y 2 ) 2 De unde

1  2c1 x  c2 1 y2 În procesul împărţirii la z am neglijat soluţiile de forma y=const . Înlocuim în ecuaţia iniţiala y=b şi obţinem ( (1  b 2 ) * b * 0  (3b 2  1) * 0 Adică y=c reprezintă o familie de soluţii, pierdute în procesul separării variabilelor. Astfel, ecuaţia iniţială are soluţiile:

1  2c1 x  c2 1 y2

y=c

c). Funcţia F este o funcţie omogenă în raport cu variabilele y , y | ,..., y n , adică are loc relaţia

F ( x, y, y | ,..., y n )  m * F ( x, y, y | ,..., y n )

y| , y  0. y Deoarece y |  yx, y ||  y ( z 2  z | ), y |||  y ( z 3  3 zz |  z || ),..., în În acest caz introducem o nouă funcţie necunoscută z 

variabilele noi (x,z) ecuaţia (1) reprezintă o ecuaţie diferenţială de ordinul (n-1). Exemplul 1.2 Să se integreze ecuaţia diferenţiala yy||  2y | Rezolvare Împărţim ambele parţi ale ecuaţiei la yy| dar preventiv aflăm soluţiile ei 2

determinate de egalitatea y=0 si y |  0 din ultimele două relaţii găsim soluţiile y=const. Aducem ecuaţia iniţială la forma

51

y || y|  2 y y|





y || y| d  2  ln | y | | 2 ln | y | şi deci ecuaţia | y dx y 1 admite o integrală primă y |  c1 y 2 , de unde y  . c1 x  c 2 Observăm că

Astfel ecuaţia considerată are soluţiile

y  c şi y 

1 c1 x  c 2 2. Dependenţa liniară a funcţiilor.

Vom spune că funcţia 1 ( x), 2 ( x),..., n ( x) sunt liniar dependente pe mulţimea I  R dacă există n constante (c1 , c 2 , c3 ,..., c n ) dintre care cel puţin una dintre ele este diferită de zero astfel în cît are loc identitatea

c1 2 ( x)  c2 2 ( x)  ...  cn n ( x)  0

xI

(1) În caz contrar, adică atunci cînd identitatea (1) are loc numai pentru c1  c 2  ...  c n  0 vom spune că funcţia 1 ( x), 2 ( x),..., n ( x) este liniar independentă pe mulţimea . Exemplu Funcţiile x, x 2 ,..., x n , sunt liniar independente pe R Rezolvare Fie că c1  c2 x  c3 x 2  ...  cn1 x n  0 x  R (2) Dacă cel puţin un coeficient este diferit de zero atunci reiese că avem un polinom cu o infinitate de soluţii, ceea ce contrazice teoremei fundamentale a algebrei. Vom spune că n funcţii-vectori

52

 11 ( x)       21 ( x)  , 1 ( x )   ,      ( x)   n1 

 12 ( x)       22 ( x)  ,  2 ( x)   , ….      ( x)   n2 

,

 1n ( x)       2 n ( x)   n ( x)   ,      ( x)   nn 

Sunt liniar dependente de mulţimea I  R dacă există n constante (c1 , c 2 , c3 ,..., cn ) (nu toate egale cu zero), astfel în cît are loc identitatea

    c1 2 ( x)  c2 2 ( x)  ...  cn n ( x)  0

xI

(3)

În caz contrar vom spune că aceste funcţii-vectori sunt liniar independente pe mulţimea . Remarcă.    În caz particular cînd  2 ( x), 2 ( x),..., n ( x) sunt funcţii vectori constante obţinem noţiunea de dependenţă liniară a vectorilor. 3. Ecuaţii diferenţiale liniare. Proprietăţi generale. 1). Noţiuni generale. Ecuaţia diferenţială de forma

a0 ( x) y n  a1 ( x) y n1  ...  an ( x) y  F ( x) (1) Unde funcţia a 0 ( x )  0 se numeşte ecuaţie diferenţiala liniară de ordinul n . Vom presupune că funcţia a 0 , a1 ,..., a n .F sunt definite şi continui pe intervalul I  R . Dacă funcţia a 0 ( x )  0, x  I atunci pe acest interval ecuaţia (1) este echivalentă, evident, cu ecuaţia de forma (2) y n  p1 ( x) y n1  ...  pn ( x) y  f ( x) Mai jos vom considera doar ecuaţii diferenţiale liniare de forma (2).

53

În virtutea teoremei de existenţă şi unicitate pentru ecuaţia (2) este adevărată teorema de mai jos: Teorema1. Dacă funcţiile p1 ( x),..., p n ( x), f ( x) sunt continue pe intervalul I  R atunci pentru orice x  I şi pentru orice n numere reale y 0 , y1 ,..., y n 1 există o singură soluţie a ecuaţiei diferenţiale liniare (2) definită pe întreg intervalul I şi care verifică condiţiile iniţiale

y( x0 )  y0 , y | ( x0 )  y1 , y n1 ( x0 )  yn1 Problema 1.3 Să se demonstreze teorema 1 Dacă in ecuaţia diferenţiala (2) funcţia f nu este identică egală cu zero, atunci ecuaţia (2) se numeşte ecuaţie diferenţiala liniară neomogena, iar în caz contrar ecuaţia diferenţiala liniară omogenă. Vom spune că ecuaţia diferenţială liniară omogenă (3) y n  p1 ( x) y n1  ...  pn ( x) y  0 Este asociată ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene (2) Au loc următoarele proprietăţi ale soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale liniare: 1. Dacă  (x) si  (x) sunt soluţii ale ecuaţiei diferenţiale liniare omogene (3), atunci funcţiile  ( x)  ( x) sunt de asemenea soluţii ale aceleiaşi ecuaţii; 3. Dacă  (x) este soluţie a ecuaţiei diferenţiale liniare omogene (3), si x  R atunci funcţia  (x) este şi ia o soluţie a aceleiaşi ecuaţie; 4. Dacă  (x) este soluţie a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene (2), iar  (x) - soluţie a ecuaţiei liniare omogene asociate (3) atunci funcţia  ( x)  ( x) este o soluţie a ecuaţiei liniare neomogene (2); 5. Dacă  (x) şi  (x) sunt două soluţii ale ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene (2), atunci funcţia  ( x)  ( x) este soluţie a ecuaţiei liniare omogene asociate (3).

54

2). Restabilirea ecuaţiei diferenţiale după sistemul fundamental de soluţii. Fie date n funcţii y1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x) , despre care se ştie că ele formează un sistem fundamental de soluţii ale unei ecuaţii diferenţiale oarecare liniare omogene. Se pune problema de a respecta această ecuaţie. Dat fiind faptul că funcţiile y1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x) formează o baza în spaţiul liniar al soluţiilor ecuaţiei, căutate pentru orice altă soluţie y(x) a aceleiaşi ecuaţii funcţionale y1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x), y ( x) vor fi liniar dependente şi, deci Vronschianul lor va fi identic egal cu zero, adică

y1 y 2  y n y y1| y 2|  y n| y | 

0

y1n y 2n  y nn y n Ultima egalitate reprezintă o ecuaţie diferenţială în raport cu y(x) care poate fi adusă la forma (3) 3. Micşorarea ordinului ecuaţiilor diferenţiale liniare omogene. Dacă se ştie o soluţie y( x)  0, x  I a ecuaţiei diferenţiale (3) , atunci ordinul acestei ecuaţii poate fi micşorat cu o unitate prin substituţia z ( x)  y( x) * y1 ( x) . Problema 1.4 Să se formuleze şi să se demonstreze afirmaţia respectivă pentru cazul cînd sunt cunoscute cîteva soluţii liniar independente ale ecuaţiei (3). În cazul ecuaţiei diferenţiale liniare omogene de ordinul doi y ||  p1 ( x) y |  p 2 ( x) y  0 (4) Cunoaşterea unei soluţii ne nule conduce la integrarea ecuaţiei diferenţiale (4). În acest caz este mai preferabil aplicarea formulei OstrogradschiiLiuvil.

W  y1 , y 2  

y1 y 2 y1| y 2|



 c exp   p1 ( x)dx



(5)

Unde y1 , y2 sunt soluţii arbitrare ale ecuaţiei diferenţiale (4).

55

Astfel dacă se ştie o soluţie y1 ( x)  0 a ecuaţiei diferenţiale (4) atunci conform formulei (5) orice soluţie a acestei ecuaţii verifică ecuaţia diferenţială de ordinul întîi pentru o oarecare constantă c1  R



y1 y |  y1| y  c1 exp   p1 ( x)dx Dacă considerăm c1  1



şi împărţim ambele părţi ale egalităţii la

2 1

y ( x ) ,ţinem relaţia



d  y 1   exp   p1 ( x)dx dx  y1  y12 De aici găsim o altă soluţie

y 2 ( x)  y1 ( x)  *



 

1 exp   p1 ( x)dx dx, y ( x) 2 1

Care împreună cu y1 formează un sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei diferenţiale (4). 4. Metoda variaţiei constantelor (metoda lui L’agranche). Fie 1 ( x), 2 ( x),..., n ( x) un sistem fundamental de soluţii a ecuaţiei diferenţiale liniare omogene (3). Pentru a scrie soluţia generală a ecuaţiei neomogene (2) este suficient să găsim o soluţie particulară a ei. Această soluţie poate fi găsită prin metoda variaţiei constantelor. Ideea acestei metode constă în urmatoarele: soluţia particulară a ecuaţiei neomogene (2) o căutăm în forma y ( x)  c1 ( x)1 ( x)  c2 ( x) 2 ( x)  ...  cn ( x) n ( x) (6) Unde c1 ( x),..., c n ( x) sunt funcţii necunoscute (’’ variem constantele’’) . pentru a găsi aceste funcţii necunoscute formăm sistemul:

c1| ( x)1 ( x)  c2| ( x) 2 ( x)  ...  cn| ( x) n ( x)  0  | | | | | | c1 ( x)1 ( x)  c2 ( x) 2 ( x)  ...  cn ( x) n ( x)  0  | n 1 | n 1 | n 1 c1 ( x)1 ( x)  c2 ( x) 2 ( x)  ...  cn ( x) n ( x)  0 Sistemul obţinut în raport cu funcţiile c1| ( x),..., cn| ( x) are o singură soluţie. Acest fapt permite să găsim soluţia particulară a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene (2) în forma (6)

56

4.Ecuatii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi. 1.) Vom studia mai jos ecuaţia diferenţială liniară omogenă

a0 y ( n)  a1 y ( n1)  ...  an1 y |  an y  0 Coeficienţii căreia sunt numere reale. Conform celor expuse în paragraful 3 ecuaţia dată posedă sistem funcţional de n soluţii. Mai jos vom studia problema algoritmică de găsire a acestor soluţii. Operatorul L( D)  a0 D n  a1 D n1  ...  an1 y |  an Se numeşte operator diferenţial cu coeficienţi constanţi. Exemplul 1.5 Considerăm ecuaţia diferenţiala y ||  y  0 . Conform celor expuse mai sus găsim rădăcinile polinomului respectiv L( ) şi anumite 1, 2  1 deci funcţiile y1  e x , y 2  e  x sunt soluţii ale ecuaţiilor diferenţiale considerate şi astfel formează un sistem fundamental de soluţii al acestei ecuaţii. Cele expuse mai sus reduc problema integrării ecuaţiei diferenţiale (1) la problema găsirii rădăcinilor polinomului L( ) , numit polinom caracteristic. Menţionăm ca ecuaţia L( )  0 se numeşte ecuaţie caracteristică. Exemplul 1.6 Considerăm ecuaţia diferenţială y ||  4 y  0 (2) rădăcinile polinomului 1, 2  2i . Sa examinăm funcţiile complexe de variabilă reală

y1  e 2ix  cos 2 x  i sin 2 x si y 2  e 2ix  cos 2 x  i sin 2 x înlocuim aceste funcţii în ecuaţia (2) ,ţinînd cont de faptul că derivata funcţiei complexe Z ( x)  U ( x)  iV ( x) se defineşte cu ajutorul formulei

Z | ( x)  U | ( x)  iV | ( x) putem să ne convingem că funcţiile y1 , y 2 transformă ecuaţia (2) într-o identitate. Exemplul 1.7 Ne impune să lărgim noţiunea de soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1) , luînd în consideraţie şi funcţiile complexe de variabilă reală, care verifică această ecuaţie.

57

2). Sistemul fundamental de soluţii al ecuaţiei diferenţiale liniare omogene cu coeficienţi complecşi. Considerăm pentru început ecuaţia diferenţială liniară neomogenă cu coeficienţi complecşi (3) a0 z ( n)  a1 z ( n1)  ...  an1 z |  an z  f ( x) unde . a1 , a 2 ,..., a n  C , f : R  C . Remarcă: Toate proprietăţile soluţiilor ecuaţiei diferenţiale liniare cu coeficienţi reali sunt adevărate şi pentru soluţiile ecuaţiei (3) , inclusiv faptul că mulţimea soluţiilor ecuaţiei liniar omogene (4) a0 z ( n)  a1 z ( n1)  ...  an1 z |  an z  0 Formează un spaţiu vectorial de dimensiunea n asupra cîmpului C. Mai jos prezentăm algoritmul construirii sistemului fundamental de soluţii al ecuaţiei (4). Problema 1.8 Să se demonstreze că funţiile complexe e 1x ...e n x de variabilă reală x unde 1 , 2 ,..., n  C , sunt liniar independente asupra cîmpului C atunci şi numai atunci , cînd i   j pentru i  j . Doi operatori diferenţiali L( D), M ( D) se numesc egali dacă ei au acelaş domeniu de definiţie şi pentru orice funcţie y : R  C din acest domeniu are loc egalitatea L( D) y  M ( D) y . Vom defini suma şi produsul a doi operatori prin formulele: L( D)  M ( D)y  L( D) y  M ( D) y ,

L( D) * M ( D)  L( D) * M ( D)Y  .

Problema 1.9 Se consideră doi operatori diferenţiali

M ( D)  a0 D p  a1 D p1  ...  a p1 D  a p

N ( D)  b0 D q  b1 D q1  ...  bq1 D  bq Să se demonstreze că produsul operatorilor M ( D) * N ( D) este un operator diferenţial , coeficienţii căruia coincid cu coeficienţii polinomului algebric K ( )  M ( ) * N ( ) . Remarcă Afirmaţia din problema de mai sus reduce operaţiile elementare cu operatori diferenţiali cu coeficienţi constanţi la operaţiile

58

respective cu polinoame algebrice , aceşti operatori se mai numesc şi operatori diferenţiali polinomiali. Consecinţa 1. După cum orice polinom complex poate fi descompus în factori liniari

M ( )  a0 (  1 )(  2 )...(   p ) Tot aşa şi polinomul operatorial M (D) poate fi descompus în factori M ( D)  a0 ( D  1 )(D  2 )...(D   p ) Teorema 1 Fie 1 , 2 ....,m rădăcini de multiplicităţile respective

k1 , k 2 ...., k m ale polinomului caracteristic L( ) pentru ecuaţia (4) atunci funcţiile

e 1x , xe1x ,..., k k1 1e 1x ,..., e m x , xem x ,..., x km 1e m x Formează un sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei diferenţiale (4). Exemplul 2.0 Se consideră ecuaţia diferenţiala y V  3 y |V  4|||  0 polinomul ei caracteristic L( )  5  34  43 rădăcinile

1  2  3  0, 4  0, 5  4 conform teoremei 1 funcţiile 1, x, x 2 , e x , e 4 x formează un sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei considerate , astfel, soluţia generala a ecuaţiei poate fi scrisă în forma y  c1  c2 x  c3 x 2  c4 e x  c5e 4 x . 3). Ecuaţii diferenţiale liniare neomogene cu coeficienţi constanţi complecşi şi partea dreapta in forma de kuazipolinom. Vom studia mai jos ecuaţia diferenţiala L( x) y  e x pm ( x) (6) unde   C , p m ( x) polinom de gradul m cu coeficienţi complecşi. Funcţia ex pm (x) se numeşte kuazipolinom cu exponentul . Pentru a găsi soluţia generală a acestei ecuaţii este suficient să găsim o soluţie particulară a ei,Are loc teorema 2. Teorema 2:

59

1) Dacă  nu este rădăcina a polinomului caracteristic L( ) adică L( )  0 atunci ecuaţia diferenţiala (6) posedă o soluţie particulară de forma parţii drepte, adică de forma e x Qm (x) unde Qm (x ) este un polinom de gradul m cu coeficienţi complecşi; 2) Dacă  este rădăcină de multiplicitatea k a polinomului caracteristic L( ) , atunci ecuaţia diferenţiala (6) posedă o soluţie particulară de forma e x x k Qm (x) unde Qm (x ) este un polinom de gradul m cu coeficienţi complecşi; Demonstrare. Efectuăm substituţia y  e x z care reduce ecuaţia (6)la forma L( D   ) z  p m ( x ) (7) Operatorul L( D   ) este un operator diferenţial polinomial in raport cu D şi deci poate fi scris în forma , M ( D)  L( D   )  b0 D n  b1 D n1  ...  bn1 D  bn Iar ecuaţia (7) respectiv: M ( D) z  p m ( x) (8) Considerăm cazul nerezonant, adică L( )  0 Deoarece M (0)  L(  )  0 rezultă că bn  0 să demonstrăm că ecuaţia (8) admite o soluţie unica polinomială de gradul m. Considerăm spaţiul Am de dimensiunea m  1 ,format din polinoame complexe de argument real de gardul n nu mai mare de cît m. Să arătăm că operatorul M ( D ) : Am  Am este un izomorfism. Se ştie că orice operator liniar în spaţiul finit dimensional cu baza dată poate fi reprezentat printr-o matrice. Fixăm în spaţiul Am baza

e0  1, e1  x,..., em  x m , evident că De0  1, De1  e0 , De2  2e1 ,..., Dem  me m1 şi deci matricea operatorului D în această bază are forma

60

 010 0     002 0       000  m   000 0   

Observăm că pentru orice număr complex   0 operatorul D   în baza menţionată este reprezentat de o matrice triunghiulara cu elemente din diagonala şi deci De D     ( )  0

Astfel operatorul D   : Am  Am pentru orice   0 este un izomorfism. Deoarece M (0)  0 reiese că rădăcinile polinomului M ( ) sunt diferite de zero. Astfel conform consecinţei 1 si celor expuse mai sus operatorul M (D) poate fi descompus în produsul a n izomorfisme şi anume

M ( D)  b0 ( D  1 ) * ...* ( D  n )

Unde i  0 de aici rezultă că si operatorul D   : Am  Am este un izomorfism. Astfel pentru orice polinom p m ( x)  Am ecuaţia diferenţiala (8) are o singură soluţie polinomială z  Qm ( x )  Am iar ecuaţia iniţială (6), are respectiv soluţia

y  e x Qm (x) Considerăm cazul rezonant. În acest caz operatorul M (D) are forma

M ( D)  (b0 D n  ...  bnk D k  b0 D nk  ...  bnk ) * D k Unde bn k  0 în ecuaţia

M ( D) z  (b0 D nk  ...  bnk ) D k z  pm ( x) Efectuăm substituţia w  D k z , care conduce la ecuaţia (9) (b0 D nk  ...  bnk )w  pm ( x) Deoarece bn k  0 avem cazul nerezonant şi deci în virtutea celor expuse mai sus ecuaţia (9) are o singură soluţie w  Qm (x) de unde

61

D k z  Qm (x) . integrăm ultima egalitate de n ori, considerînd de fiecare dată constanta de integrale egala cu zero, şi obţinem soluţia ~ ecuaţiei diferenţiale (8) de forma z  x k Qm ( x) revenind la variabila iniţiala y , primim soluţia ~ y  x k Qm ( x)e x a ecuaţiei iniţiale (6). Teorema este demonstrata. Remarcă Soluţia particulară a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogenă poate fi găsită şi prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi. Exemplul 2.1 Să se integreze ecuaţia diferenţiala

y ||  5 y |  6 y  e 2 x (2 x 2  3x  1) Rezolvare Ecuaţia caracteristică   5  6  0 are rădăcinile 1  2, 2  3 2

cărora le corespund următoarele soluţii y1  e 2 x , y 2  e 3 x . Astfel soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare omogene respective are forma ym.0.  c1e 2 x  c2 e3x . Deoarece exponentul   2 a kuazipolinomului din partea dreaptă a ecuaţiei date nu este rădăcină a polinomului caracteristic, avem cazul nerezonant şi deci ecuaţia admite o soluţie de forma părţii drepte, adică de forma yn.k .  e 2 x (ax2  bx  c) Înlocuind această expresie în ecuaţie, găsim coeficienţii a  0.1, b  0.24, c  0.048 astfel soluţia generală a ecuaţiei iniţiale are forma

ym.n.  c1e 2 x  c2 e3x  e 2 x (0.1x 2  0.24 x  0.048) 4). Evidenţierea soluţiilor reale ale ecuaţiei diferenţiale liniare omogene cu coeficienţi reali. Considerăm ecuaţia diferenţială liniară omogenă cu coeficienţi reali a0  0 (10) L( D) y  a0 y n  a1 y n1  ...  an y  0 Problema 2.2 Să se demonstreze că dacă z (x) este o soluţie complexă a ecuaţiei cu coeficienţi reali (10) atunci funcţia Re z ( x), Im z ( x) sunt doua soluţii

~

reale ale acestei ecuaţii. Se ştie că dacă     i este rădăcină de multiplicitatea k a unui polinom cu coeficienţi reali, atunci şi

62

~

    i va fi o rădăcină de aceiaşi multiplicitate. În virtutea teoremei 2 rădăcinilor   i şi   i de multiplicitatea k le corespund 2k soluţii complexe ale ecuaţiei diferenţiale (10) şi anume e ( i ) x , xe( i ) x ,..., x k 1e ( i ) x (11) şi e ( i ) x , xe ( i ) x ,..., x k 1e ( i ) x (12) Fiecare din ele generînd cîte două soluţii reale. Dintre toate soluţiile reale obţinute doar 2k funcţii sunt liniar-independente asupra cîmpului numerelor reale (de obicei cele generate de formulele (11) sau (12). Exemplul 2.3 y ||  4 y  0 Să se integreze ecuaţia diferenţială Ecuaţia caracteristică 2  4  0 are rădăcinile 1, 2  2i , cărora le corespund următoarele soluţii complexe şi, respectiv, soluţii reale

y1  Re, z1  cos 2 x y 2  I m , z 2  sin 2 x 2  2

1  2i  z1  e 2ix

Astfel soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale iniţiale are forma

y  c1 cos 2 x  c2 sin 2 x 2). Principiul superpoziţiei si evidenţierea soluţiilor reale ale ecuaţiei diferenţiale liniare neomogenă cu coeficienţi reali (metoda amplitudei complexe) Principiul superpoziţiei: dacă y1 ( x) este o soluţie a ecuaţiei diferenţiale

L(d ) y  F1 ( x) iar y 2 ( x ) - o soluţie a ecuaţiei L(d ) y  F2 ( x) , atunci y1 ( x)  y 2 ( x) este o soluţie a ecuaţiei diferenţiale L(d ) y  y1 ( x)  y 2 ( x) . Consecinţa 2. fie L(D) polinom diferenţial cu coeficienţi reali, iar F(x) funcţie completă de variabilă reală. Dacă y(x) este o soluţie completă a ecuaţiei L(d ) z  F ( x) , atunci Re z(x) va fi o soluţie reală a ecuaţiei L(d ) y  Re F , iar I m z (x ) o soluţie reală a ecuaţiei

L(d ) y  I m F

63

Exemplul 2,2 y||  5 y|  6 y  50 e x cos x Să se integreze ecuaţia diferenţială (13) Rezolvare . Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare omogene respective are forma y  c1e 6 x  c 2 e x . Deoarece

e x cos x  re[e (1i ) x ] , vom considera ecuaţia diferenţială cu neomogenitatea complexă z ||  5z |  6 z  50e (1i ) x (14) Daca z(x) va fi o soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale (14) , atunci conform consecinţei 2 funcţia Re z( x) va fi o soluţie particulară a ecuaţiei (13). Găsim o soluţie particulară a ecuaţiei (14). Observăm că exponentul cuazipolinomului din partea dreaptă nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice 2  5  6  0, 1  6,  2  1 , aşadar avem cazul nerezonant şi deci există o soluţie particulară de forma z  Ae (1i ) x , unde A este un număr complex. Prin substituţie obţinem (1  i ) 2 A  4(1  i ) A  6 A  50 deci A  (1  7i) . Astfel ,

z  (1  7i )e (1i ) x  (1  7 x)e x (cos x  i sin x)  e x (7 sin x  cos x)  ie x este o soluţie particulară a ecuaţiei (14) şi deci y  Re z  e x (7 sin x  cos x) va fi o soluţie particulară a ecuaţiei (13). Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (13) are forma y  c1e 6 x  c 2 e x  e x (7 sin x  cos x) . Remarcă . deşi neomogenitatea ecuaţiei diferenţiale liniare cu coeficienţi reali are forma specială e x Pm ( x) cos x , sau

e x Pm ( x) sin x , soluţia particulară reală a ecuaţiei poate să conţină termeni de ambele forme. 6). Metoda integrării ecuaţiilor diferenţiale prin derivare O metodă efectivă de găsire a soluţiei polinomiale a ecuaţiei liniare cu neomogenitatea în formă de polinom ( numită metoda integrării

64

ecuaţiilor diferenţiale prin derivare) este prezentată în lucrarea [şc]. Ilustrăm această metodă pe baza următoarelor două exemple (caz nerezonant şi caz rezonant). Exemplul 2.3 Să se integreze ecuaţia diferenţială y" – 3y' + 2y = x³ + 3x + 1 Rezolvare: Ecuaţia caracteristică are rădăcinile 1  1 şi 2  2 . Astfel soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare omogene asociate are forma y  c1e x  c 2 e 2 x deoarece avem cazul nerezonant , conform teoremei 2, există o singură soluţie  (x) în formă de polinom de gradul trei. Derivăm de trei ori ambele părţi ale identităţii  ||  3 |  2  x 3  3x  1 şi obţinem relaţiile

 |||  3 ||  2 |  3 x 2  3 , menţionam că  |  0 .

 3 |||  2 ||  6 x

,

2 3  6

,

Am obţinut un sistem liniar în raport cu  ,  | ,  || şi  ||| a cărui mărime are forma triunghiulară. Din aceste relaţii găsim

9 2

 |||  3,  2  3x  ,  |  . Astfel,

ecuaţia

y  c1e x  c2 e 2 x 

3 2 9 27 1 9 27 37 x  x  ,  x 3  x 2  x 2 2 4 2 4 4 8

considerată

are

soluţia

generală

1 3 9 2 27 37 . x  x  x 2 4 4 8

Remarcă metoda coeficienţilor nedeterminaţi, aplicată la exemplul de mai sus ar fi adus şi ea la un sistem liniar de ordinul patru coeficienţi nedeterminaţi. Ori matricea acestui sistem, spre deosebire de sistemul de mai sus, nu are formă triunghiulară, fapt ce necesită un volum mai mare de calcule. Exemplul 2.4 Să se integreze ecuaţia diferenţială z   3z |  2 z |||  x 3  3x  1 . Rezolvare . rădăcinile ecuaţiei caracteristice respective sunt 1  2  3  1, 5  2 , iar soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare omogene are forma

z  c1  c 2 x  c3 x 2  c4 e x  c5 e 2 x 65

să găsim o soluţie particulară polinomială a ecuaţiei neomogene. Substituţia z |||  W ne conduce la ecuaţia W ||  3W |  2W  x 3  3x  1, Soluţia particulară a căreia are forma

1 3 9 2 27 37 x  x  x 2 4 4 8 ||| Vezi exemplul 2,3 de aici integrînd relaţia z  W , găsim o soluţie W

particulară a ecuaţiei iniţiale

z

1 6 3 5 9 4 37 3 x  x  x  x 240 80 32 48

Şi deci soluţia generală a ei

y  c1  c2 x  c3 x 2  c4 e x  c5 e 2 x 

1 6 3 5 9 4 37 3 x  x  x  x . 240 80 32 48

Remarcă după cum sa menţionat deja, ecuaţia (6) prin intermediul substituţiei y  e  * x z se reduce la ecuaţia (7) ceea ce permite aplicarea metodei prezentate mai sus şi la ecuaţia de tipul (6). 7). Ecuaţia lui Euler. Una din ecuaţiile diferenţiale reductibile la ecuaţiile liniare cu coeficienţi constanţi este ecuaţia lui Euler

a0 x n y ( n)  a1 x n1 y ( n1)  ...  an1 xy|  an y  f ( x) (15) Teorema 3. Substituţia x  e pentru x  0 , sau x  e t , reduce ecuaţia lui Euler la o ecuaţie diferenţiala liniară cu coeficienţi constanţi cu polinomul caracteristic t

L( )  a 0  (  1)(  2)...(  n  1)  ...  a n 1 (  1)  a n 1  a n

. Consecinţa 3. Polinomul L( ) (numit polinom caracteristic al ecuaţiei lui Euler) poate fi obţinut, dacă în forma părţii stângi a ecuaţiei lui Euler (15) vom înlocui

y  1, xy |   , x 2 y u   (  1),..., x n y ( n )   (  1)(  2)...(  n  1)

66

Găsind soluţia generală ( de variabila t) a ecuaţiei diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi, menţionate mai sus, putem obţine soluţia generală a ecuaţiei lui Euler (15) cu ajutorul substituţiei t  ln | x | . Exemplul 2,5 Să se integreze ecuaţia lui Euler x 3 y |||  2 x 2 y ||  xy |  y  0 . Rezolvare. Substituţia x  e t ( pentru x  0 ) şi x  e t (pentru x  0 ) reduce ecuaţia considerată la o ecuaţie diferenţială liniară omogenă cu coeficienţi constanţi, al cărei polinom caracteristic, conform, consecinţei 3, are forma

L( )   (  1)(  2)  2 (  1)    1 Polinomul L( ) are rădăcinile 1  1,  2  3  1. Astfel, ecuaţia diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi are soluţia generală y  c1e t  (c2  c3t )et . Aplicăm substituţia t  ln | x | şi găsim soluţia generală a ecuaţiei iniţiale

y

c1  (c2  c3 ln | x |) x. x

8. Şiruri recurente Şir recurent de gradul P se numeşte şirul { x n }, definit prin formula

xn p  a1 xn p1  a2 xn p2  ...  a p xn  f (19) (numit omogen, dacă f n  0 pentru orice n natura, şi neomogen în caz contrar). Problema găsirii şirurilor recurente poate fi soluţionată prin analogie, cu integrarea ecuaţiilor diferenţiale liniare coeficienţi constanţi. 5. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale cu ajutorul seriilor 1. Noţiuni generale O metodă efectivă de integrare a ecuaţiilor diferenţiale ( în special a celor liniare) este metoda integrării ecuaţiilor diferenţiale cu ajutorul seriilor. Amintim, că funcţia y : R  R se numeşte analitică în punctul x 0 , dacă într-o vecinătate a acestui punct funcţia poate fi dezvoltată într-o serie de puteri

67

y( x)  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 ) 2  ...  an ( x  x0 ) n  ... (1) Iar în cazul particular x 0  0

y( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ... (2) Funcţia y(x) se numeşte funcţie analitică pe intervalul I, dacă ea este analitică în orice punct din acest interval. Considerăm ecuaţia diferenţială liniară neomogenă

y ( n)  P1 ( x) y ( n1)  ...  Pn ( x) y  f ( x) (3) Cu condiţiile iniţiale

y( x0 )  y0 , y | ( x0 )  y | 0 ,..., y ( n1) ( x0 )  y0

n 1

.

(4) Teorema 1. Daca funcţia p1 ( x),..., p n ( x) sunt analitice pe intervalul

| x  x0 |  ,  0 , atunci ecuaţie diferenţială (3) pentru orice condiţii iniţiale (4) posedă o singură soluţie analitică pe acest interval. Consecinţă . daca p1 ( x),..., pn ( x). f ( x) sunt funcţii analitice pe R, atunci şi soluţia problemei Coşi (3)-(4) poate fi scrisă în forma seriei (1), ce converge pe R. Coeficienţii Tailor ai soluţiei (1) pot fi calculaţi prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi. Vom ilustra această teoremă, aplicînd-o la ecuaţii diferenţiale liniare omogene de ordinul doi. Exemplul 2,6 Să se integreze ecuaţia diferenţiala

y ||  xy |  y  0 Rezolvare . vom căuta soluţia ecuaţiei date în forma (2) prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi. Pentru început calculăm derivatele ei

y |  a1  2a2 x  3a3 x 2  ...  nan x n1  ... y ||  2a2  3 * 2a3 x  ...  n(n  1)an x n2  ... Şi înlocuim expresiile obţinute în ecuaţia iniţială. Grupăm termenii de pe lîngă aceleaşi puteri ale lui x şi obţinem relaţiile

68

x0

2a 2  a 0  0

x1

3 * 2a3  a1  a1  0

x2

4 * 3a 4  2a 2  a 2  0

.

................................... (n  2)(n  1)a n  2  nan  a n  0

xn

De unde avem a n  2  

n 1 a n , (n  1.2...) . (n  1)(n  2)

Pentru a evidenţia două soluţii liniar independente putem considera a 0  0, a1  1 şi a0  1, a1  1 Astfel obţinem funcţiile y1 ( x)  x şi

1 2 1 4 3 6 5 8 2n  3 2 n x  x  x  x  ...  x  ... 2! 4! 6! 8! (2n)! Menţionăm că seria y 2 ( x ) converge pentru orice x  R soluţia generală y 2 ( x)  1 

a ecuaţiei date are forma

y  c1 y1 ( x)  c2 y 2 ( x). 2). Serii generalizate Presupunem că funcţiile p1 ( x),..., pn ( x). f ( x) sunt fracţii raţionale ireductibile, adică au forma

P( x) unde P şi Q sunt polinoame de Q( x)

variabila x. punctul x 0 se numeşte punct singular al ecuaţiei diferenţiale (3), dacă el reprezintă o rădăcină cel puţin a unuia din numitorii fracţiilor menţionate. Dacă x0 nu este punct singular al ecuaţiei diferenţiale (3), atunci soluţia problemei Coşi (3)-(4) poate fi reprezentată în formă de serie (1), care converge cel puţin pe domeniul | x 0 |  unde  este distanţa de la punctul x0 pînă la cel mai apropiat punct singular al ecuaţiei considerate. Dacă x0 este un punct singular al ecuaţiei diferenţiale (3), atunci nici într-o vecinătate a acestui punct nu există soluţii analitice de forma (1)

69

ale ecuaţiei diferenţiale (3). În acest caz pentru unele condiţii suplimentare soluţia ecuaţiei diferenţiale considerată în vecinătatea punctului singular x0 poate fi căutata în formă de serie generală. (5) y( x)  ( x  x0 )  [a 0  a 1 (x - x 0 )  a 2 (x - x 0 ) 2  ...] Unde   R şi a 0  0 . Formula (5) poate fi aplicată şi pentru

x  x0, dacă vom defini în acest caz ( ( x  x0 )  | x  x0 | e i ). Considerăm de exemplul pe domeniul x  0 ecuaţia diferenţială liniară omogenă de ordinul doi

y || 

p ( x ) | q ( x) y  2 y0 x x (6)

Unde p şi q sunt funcţii analitice , adică p( x) 



p k 0

k

x k şi



q ( x)   q k x k şi cel puţin unul dintre coeficienţii p 0 , p1 , q1 este k 0

diferit de zero . Vom căuta soluţia ecuaţiei diferenţiale (6) în forma

y( x)  x  (a0 x  a1 x  a2 x 2  ...),(a0  0) (7) Înlocuim funcţia y(x) în ecuaţia considerată şi prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi găsim relaţia pentru  :

 (  1)  p 0   q 0  0

(8) Teorema 2 . fie 1 , 2 rădăcinile ecuaţiei (8).

1) Dacă 1   2 nu este un număr întreg, atunci ecuaţia diferenţială (6) are un sistem fundamental de soluţii de forma (7); 2) Dacă 1  2  m  0 este un număr întreg atunci ecuaţia diferenţială (6) are cel puţin o soluţie y1 ( x) de forma (7);

70

3) Dacă 1  2 , atunci există doar o singură soluţie particulară

y1 ( x) a ecuaţiei diferenţiale (6) de forma (7); 4) Dacă 1, 2  a  bi, (b  0) , atunci există soluţii de forma (7) pentru ambele rădăcini 1 , 2 , în acest caz prin x a bi vom subînţelege x a bi  x a [cos(b ln x)  i sin( b ln x)] . separînd din soluţie complexă (7) pentru   a  bi partea reală şi cea imaginară, obţinem doua soluţii reale independente ale ecuaţiei (6). Exemplul 2.7 Să se integreze ecuaţia diferenţială

9 x(1  x) y ||  12 y |  4 y  0 (9) Rezolvare . scriem ecuaţia considerată sub forma

y || 

4 4 y|  y0 3x(1  x) 9 x(1  x)

Deoarece x=0 este un punct singular al ecuaţiei, vom căuta soluţiile ecuaţiei sub forma (7). Menţionăm că

4 4   (1  x  x 2  ...) 3(1  x) 3 4x 4 q( x)   ( x  x 2  x 3  ...) 9(1  x) 9 4 Şi deci p0   , q0  0. 3 4 Ecuaţia (8) în cazul acesta capătă forma  (  1)    0 , de unde 3 7 1  , 2  0 . Conform teoremei 2 ecuaţia diferenţială (9) are două 3 p ( x)  

soluţii liniar independente de forma:

y1 ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ... Şi

71

7

y2 ( x)  x 3 (b0  b1 x  b2 x 2  ...) Înlocuind în ecuaţia dată şi aplicînd metoda coeficienţilor nedeterminaţi, găsim

x 1* 4 2 1* 4 * 7 3  x  x  ... 3 3* 6 3* 6 *9 7 8 8 *11 2 8 *11 *14 3 y 2 ( x)  x 3 (1  x  x  x  ...) 10 10 * 3 10 *13 *16 Seriile obţinute sunt convergente pentru | x | 1 , soluţia generală a y1 ( x)  1 

ecuaţiei diferenţiale (9) are forma

y  c1 y1 ( x)  c2 y 2 ( x) . 3). Ecuaţia lui Besel Astfel se numeşte ecuaţia diferenţială de tipul

x 2 y ||  xy |  ( x 2   2 ) y  0 Unde   0.

(10)

Menţionăm că ecuaţia lui Besel are o aplicaţie largă la diverse probleme din fizică, tehnică. Ecuaţia lui Besel reprezintă un caz particular al ecuaţiei (6). Ecuaţia (8) pentru acest caz are forma

 (  1)     2  0 De aici găsim 1   , 2   , 1  2  2 . conform teoremei 2 avem: Dacă 2 nu este un număr întreg, atunci ecuaţia lui Besel are două soluţii liniar independente de forma (7); Dacă 2  0 este un număr întreg, atunci ecuaţia lui Besel posedă o soluţie de forma (7); Dacă   0 atunci există doar o soluţie a ecuaţiei (10) de forma seriei de puteri (2). 4). Aplicarea seriilor Fourie la determinarea soluţiilor periodice Fie dată o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul doi cu coeficienţi constanţi y ||  py |  qy  f ( x) (15)

72

Unde f(x) este o funcţie periodică cu perioada 2 şi definită cu ajutorul seriei Fourie

f ( x) 

a0    (a n cos nx  bn sin nx) 2 n 1

(16)

Soluţia periodică a ecuaţiei (15) poate fi căutată în formă de serie Fourie

y ( x) 

 A0   ( An cos nx  Bn sin nx) 2 n 1

(17)

5). Metoda parametrului mic Vom ilustra această metodă, elaborată de A.Puancare şi A.M.Liapunov, cu ajutorul următoarei probe. Considerăm ecuaţia diferenţială

y ||  a 2 y  f ( x)  F ( x, y, y | ,  ), Unde  este un parametru , iar partea dreaptă a ecuaţiei este o funcţie periodică cu perioada 2 în raport cu x , fie y 0 ( x ) - soluţia periodică a ecuaţiei y ||  a 2 y  f ( x) (19) Se pune problema de a găsi soluţia periodică a ecuaţiei (18) pentru valorile mici ale parametrului  . Vom cere ca funcţiile f şi F să fie continue în raport cu x, iar F – analitică în raport cu celelalte variabile pe domeniul perspectiv. Atunci după cum se ştie , soluţiile ecuaţiei (18) vor fi funcţii analitice în raport cu  , de aceea vom căuta soluţia periodică y( x,  ) a ecuaţiei (18) sub formă de serie de puteri în raport cu 

y( x,  )  y0 ( x)  y1 ( x)   2 y2 ( x)  ...   n yn ( x)  ...

(20)

Dezvoltăm funcţia F în seria Tailor în raport cu y, y | ,  în vecinătatea punctului ( x, y0 , y0| ,0) : F ( x, y, y | ,  )  F ( x, y 2 , y 0| 0) 

F F F | ( x , y , y , 0) ( y  y 0 )  | | ( x , y , y 0) ( y   y 0| )  y y  0

| 0

0

| 0

Înlocuim F şi funcţia y( x,  ) din (20) în ecuaţia (18), egalăm coeficienţii de pe lîngă aceleaş puteri ale lui  şi obţinem un sistem cu un număr infinit de ecuaţii

73

y 0||  a 2 y 0  f ( x) y1||  a 2 y1  F ( x, y 0 , y 0| ,0) y 2||  a 2 y 2 

F | x ( x , y , y 0

| 0 ,0)

* y1 

F F | * y1|  | | ( x , y , y ,0)  ( x , y , y y 0

| 0

0

| 0 ,0)

(21) Exemplul 2,8 Să se determine aproximativ soluţia periodică a ecuaţiei diferenţiale

y ||  2 y  sin x  y 2 Unde  este un parametru mic. Rezolvare Vom căuta soluţia periodică în forma (20). Din sistemul (21) pentru acest caz vom scrie doar două ecuaţii

y0||  2 y0  sin x  y0 ( x)  sin x şi

y1||  2 y1  sin 2 x  y1 ( x) 

1 (1  cos 2 x) 4

Astfel găsim aproximativ soluţia periodică a ecuaţiei iniţiale

1 y( x,  )  sin x  (1  cos 2 x) 4 6). Soluţii oscilatorii ale ecuaţiilor diferenţiale liniare de ordinul doi Fie dată ecuaţia diferenţială liniară de ordinul doi y ||  p ( x) y |  q ( x) y  0 (1) Coeficienţii căreia p(x) şi q(x) sunt funcţii definite şi continui pe intervalul I  R . Problema lui Coşi pentru această ecuaţie posedă o singură soluţie pe I . În particular dacă soluţia se anulează împreună cu derivata sa într-un punct oarecare   I . Pentru soluţia netriviană z(x) , atunci y | ( )  0 ceea ce înseamnă că soluţia îşi schimbă semnul la trecere prin zeroul  . Vom spune că o soluţie netrivială a ecuaţiei diferenţiale este oscilatorie pe segmentul I 1  I , dacă ea posedă cel puţin două zerouri pe acest segment în caz contrar vom numi această soluţie neoscilatorie pe I 1 Teorema lui Şturm. Fie date ecuaţiile diferenţiale

74

y ||  q ( x) y  0 , şi z ||  Q( x) z  0 , x  I , presupunem că q( x)  Q( x), x  I . Atunci între orice două zerouri consecutive x1 , x 2 ale oricărei soluţii y(x) a primei ecuaţii există cel puţin un zerou al oricărei soluţii y(x) a ecuaţiei a doua, care de altfel poate să coincidă cu x1 , sau _ cu : x2 . Consecinţa 1. dacă Q( x)  0 pe segmentul I , atunci orice soluţie a ecuaţiei (2) este neoscilatorie pe acest segment. Consecinţa 2. zerourile oricăror două soluţii liniar independente ale ecuaţiei (2) alternează, adică între orice două zerouri consecutive ale unei soluţii se află un singur zerou al celeilalte soluţii. 7). Probleme la limite 1). Noţiuni generale Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare de ordinul doi

y  a0 ( x) y ||  a1 ( x) y |  a2 ( x) y  f ( x), ( x  (a, b)) (1) Conţine două constante arbitrare c1 şi c 2 . Pentru a evidenţia o soluţie particulară punem condiţiile iniţiale y ( x0 )  y 0 şi y | ( x1 )  y1 , formulînd în acest fel problema lui Coşi. Însă în multe probleme practice pentru a evidenţia soluţii particulare se pun alte două condiţii. De exemplu ca cele din următoarea problemă: să se găsească soluţia ecuaţiei (1), care capătă valorile date la extremităţile segmentului [a,b], sau în caz general care satisface condiţiile la limite

1 y (a)  2 y | (a)  A, 1 y (b)   2 y | (b)  B (2) În cazul acesta vom spune, că este dată problema la limite (1)-(2). Dacă f ( x)  0 , atunci vom spune că este dată problema omogenă la limite. Spre deosebire de problema lui Coşi pentru ecuaţia (1), care posedă o singură soluţie, dacă a 0 ( x), a1 ( x), a 2 ( x), f ( x) sunt funcţii continue, problema la limite (1)-(2) cu două necunoscute poate să posede o singură soluţie, o infinitate de soluţii sau să nu posede nici una. Exemplul 2,9 Pentru ecuaţia diferenţială

y ||  y  0 cu condiţiile la limite

75

y | (0)  0, y | (1)  1 y (0)  0. y ( )  1 |

|

y | (0)  0, y | ( )  0

(4) (5) (6)

Problema la limite (3)-(4) posedă o singură soluţie, problema (3)-(5) nu posedă nici o soluţie, iar problema (3)-(6) posedă o infinitate de soluţii. Rezolvare Întradevăr soluţia generală a ecuaţiei (3) are forma

y  c1 cos x  c2 sin x . Prin substituţie în (4), găsim c1 

1 , c2  0 sin 1

cos x , în caz dacă înlocuim în (5), avem sin 1 1  c1 sin   0 , ceea ce nu poate fi în sfîrşit, în cazul condiţiilor (6) obţinem y  c1 cos x , unde c1 este o constantă arbitrară. şi deci y  

2), Valori proprii ale problemei la limite. Să se demonstreze că problema la limite

y ||  y  0 y(0)  y( )  0

(7) (8)

Posedă o soluţie netrivială atunci şi numai atunci, cînd   n 2 ( n  Z ). Să se găsească această soluţie. Valoarea parametrului  , pentru care problema la limite

y  y 1 y (a)  2 y | (a)  0, 1 y (b)   2 y | (b)  0

(9)

(10) Posedă cel puţin o soluţie netrivială, se numeşte valoare proprie a acestei probleme la limite, iar soluţia respectivă se numeşte funcţie proprie. Exemplul 3,0 Să se găsească valorile proprii şi funcţiile proprii ale problemei la limite

y ||  y, y (0)  y | (l )  0, (l  0) Rezolvare

76

Pentru   0 avem y  c1 x  c2 şi condiţiile la limite sunt satisfăcute numai de soluţia trivială şi, deci,   0 nu este o valoare proprie. Fie   0 , atunci soluţia generală a ecuaţiei y ||  y  0 are forma: x

 c2 e   x Dintre aceste funcţii doar soluţia trivială y  0 satisface condiţiile la limite. Dacă   0 atunci soluţia generală are forma y  c1 sin   x  c2 cos   x Dacă aplicăm condiţiile la limite, căpătăm c 2  0 şi y  c1e

c1   cos(  l )  0 . Aşadar problema la limite posedă soluţie netrivială, dacă



1     l   n , adică     n    , 2 2  l 2

2

n  0.1.2.3... . Acestor valori proprii le corespund funcţiile proprii  1  x  y n ( x)  sin   n  , n  0.1.2.3...  l   2 3), Probleme neomogene la limite. Funcţia lui Grin pentru problema la limite Considerăm ecuaţia diferenţială

y ||  p1 ( x) y |  p 2 ( x) y  f ( x) (11) Cu condiţiile la limite omogene (10). Presupunem, că această problemă la limite posedă o singură soluţie. Fie y1 ( x) - o soluţie netrivială a ecuaţiei diferenţiale omogene

y ||  p1 ( x) y |  p 2 ( x) y  0 (12) Care satisface prima condiţie la limită din (10), y 2 ( x ) - o soluţie netrivială, care satisface condiţia a doua la limită, iar W(x) vroncsianul lor. Soluţia y1 ( x) nu satisface simultan şi cea de-a doua condiţie la limită, căci, în caz contrar, am obţine o infinitate de soluţii ale problemei la limite (11)-(10) ceea ce este în contradicţie cu presupunerea, că această

77

problemă posedă o singură soluţie. Acelaşi lucru are loc şi pentru y 2 ( x ) şi de aceia avem

1 y 2 (a )  2 y 2| (a )  0, 1 y1 (b)   2 y 2| (b)  0 (13) Vom căuta soluţia ecuaţiei diferenţiale neomogene (11) cu ajutorul metodei variaţiei constantelor. Prin urmare găsim soluţia generală a ecuaţiei (11) b

x y 2 (t ) f (t ) y (t ) f (t ) y ( x)  y1 ( x)  dt  y 2 ( x)  1 dt   1 y1 ( x)   2 y 2 ( x) W (t ) W (t ) x a

(14) Folosind inegalităţile (13) şi condiţiile la limite (10), evidenţiem din formula (14) unica soluţie a problemei la limite (11)-(10), şi anume acea soluţie, care corespunde valorilor  1  0,  2  0 . Astfel putem prezenta soluţia problemei la limite (11)-(10) sub forma b

y ( x)   G ( x, t ) f (t )dt a

(15) unde

 1 W (t ) y1 (t ) y 2 ( x), a  t  x  b,  G ( x, t )    1 y (t ) y ( x), a  x  t  b 2 W (t ) 1 (16) Funcţia G(x,t) se numeşte funcţia lui Grin a problemei la limite (11)(10). Dacă se ştie această funcţie, atunci putem scrie soluţia problemei neomogene la limite pentru orice neomogenitete f(x). Funcţia G(x,t), pentru orice valoare fixată a variabilei t, posedă următoarele proprietăţi: Pentru x  t funcţia G(x,t) satisface ecuaţia diferenţială omogenă (12); Pentru x  a şi x  b funcţia G(x,t) satisface prima şi respectiv a doua condiţie la limită (10):

78

Pentru x  t funcţia G(x,t) este continuă, iar derivata ei în raport cu x suferă un salt de mărimea 1:

G(t  0, t )  G(t  0, t ); Gx| | xt 0 Gx| | xt 0  1 (17) Întradevăr, să demonstrăm ultima relaţie, celelalte fiind evidente. Avem

 1 W (t ) y1 (t ) y2 ( x), a  t  x  b,  Gx    1 y (t ) y ( x), a  x  t  b 1 2  W (t ) De unde găsim

Gx| | x t 0 Gx| | x t 0 

y1 (t ) y 2 (t )  y1| (t ) y 2 (t ) 1 W (t )

Se poate arăta că proprietăţile 1)-3) definesc în mod univoc funcţia lui Grin, adică orice funcţie G ( x, t ) cu proprietăţile 1)-3) are forma (16). Aceste proprietăţi şi sunt puse la baza definiţiei funcţiei lui Grin a problemei la limite (11)-(10). Funcţiei lui Grin a problemei la limite (11)-(10) se defineşte în mod analog, cu excepţie egalităţii a doua din (17), care este înlocuită cu egalitatea

G x| | x t  0 G x| | x t 0 

1 a0 (t )

Aşadar, pentru a găsi funcţia lui Grin a problemei la limite (11)-(10) , trebuie să găsim două soluţii y1 ( x) şi y 2 ( x ) ale ecuaţiei omogene, care satisfac prima şi respectiv a doua condiţie la limită din (10). Dacă y1 ( x) nu satisface simultan ambele condiţii (10), atunci funcţia lui Grin există şi poate fi căutată sub forma

 (t ) y1 ( x), a  x  t  b G( x, t )    (t ) y 2 ( x), a  t  x  b

Funcţiile  (t ) şi  (t ) sunt determinate de condiţiile 1)-3). Adică

79

1 . a0 (t ) Ştiind funcţia lui Grin G ( x, t ) scriem soluţia problemei la limite cu neomogenitatea f(x) cu ajutorul formulei

 (t ) y 2 (t )   (t ) y1 (t ), (t ) y 2| (t )   (t ) y 2| (t ), 

b

y ( x)   G ( x, t ) f (t )dt a

Exemplul 3,1 Să se construiască funcţia lui Grin pentru problema la limite

y ||  y  f ( x), y | (0)  0, y ( )  0 Rezolvare Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale y ||  y  0 are forma

y  c1 cos x  c2 sin x .observăm că soluţia y1 ( x)  cos x satisface condiţia y | (0)  0 ,iar soluţia y 2 ( x)  sin x - a doua condiţie y( )  0 , de aceea vom căuta funcţia lui Grin sub forma

 (t ) cos x, a  x  t   G( x, t )    (t ) sin x, a  t  x   Unde funcţiile  (t ) şi  (t ) vor fi determinate din condiţiile (18), care în cazul acesta capătă forma

 (t ) cos x   (t ) sin x  0    (t ) sin x   (t ) cos x  1

Rezolvînd acest sistem găsim  (t )   sin t , (t )   cos t , şi, deci, funcţia lui Grin

 sin t * cos x,0  x  t   G( x, t )    cos t * sin x,0  t  x  

80

III.NOŢIUNI GENERALE DESPRE SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE III.1.1.Definiţii. Vom numi sistem de ecuaţii diferenţiale de formă normală sistemul:  dx1  dt  f1 t , x1 , x 2 ,..., x n , (1)  dx n   f1 t , x1 , x 2 ,..., x n ,  dt unde t ЄR este variabila independentă,Domeniul comun de definiţie al funcţiilor f i  i  1,..., n  se numeşte domeniul de definiţie al acestui sistem,iar numărul n este ordinul sistemului. Dacă notăm cu x şi f vectorii cu coordinatele x   x1 , x 2 ,..., x n  şi respectiv f   f1 , f 2 ,..., f n  , atunci sistemul (1) poate fi scris sub forma unei ecuaţii vectoriale dx t , x   G  R n1 . (2)  f t , x  dt Vector-funcţia  : I   R n I   R  se numeşte soluţie a ecuaţiei (2) pe intervalul I  ,dacă  este definită şi derivabilă pe acest interval, t t   Gt  I   şi are loc identitatea

d t  ( t  I )  f t ,  t  dt Graficul funcţiei se numeşte curbă integrală a ecuaţiei. Dacă partea dreaptă a ecuaţiei (2) nu conţine în mod explicit variabila independentă t , atunci ecuaţia dx x  D  R n  (3)  f x  dt Se numeşte ecuaţie autonomă ,iar sistemul respectiv se numeşte sistem autonom de ecuaţii diferenţiale. III.1.2.Cîmpuri de direcţii şi sisteme de ecuaţii diferenţiale.

81

Vom numi cîmp de direcţii pe domeniul D  R n ,aplicaţia ce pune în corespondenţă fiecărui punct din D o dreaptă care trece prin acest punct. Curba diferenţială este numită curbă integrală a cîmpului de direcţii,dacă tangenta în orice punct al ei coincide cu dreapta cîmpului de direcţii în acest punct. Amintim, că o dreapta, ce trece prin punctul   xn  xn x1  x1  ...  . a1 an Prin urmare, a defini un cîmp de direcţii pe un domeniu D  R n   înseamnă a defini în fiecare punct x   x1 ,..., xn  D o dreaptă cu ajutorul relaţiilor   xn  xn x1  x1 (4)  ...  a1 x   a n x   Pe de altă parte, diferenţiala variabilei independente în acest punct dat coincide cu creşterea ei în acest punct şi,deci,   dx1  x1  x1 ,..., dxn  xn  xn . Faptul acesta ne permite să asociem fiecărui cîm de direcţii un sistem de forma dxn dx1 (5)  ...  . a1 x  an x  Invers,fiecărui sistem de forma (5),caracterizat de condiţia 2 2 a1 x   ...  an x   0, îi punem în coincidenţă un cîmp de direcţii comform următoarei   reguli:punctul x   x1 ,..., xn îi corespunde dreapta (4),ce trece







  



 

prin acest punct cu vectorul director a1 x  ,..., an x  . Sistemele de forma (5), care satisface condiţia (6), se numescsisteme de ecuaţii diferenţiale de forma simetrică. Ecuaţia (2) determină pe domeniul său de definiţie un cîmp de direcţii în felul următor: punctului 82

t , x   G  R  R n , i pune în corespondenţă dreapta, ce trece prin acest punct cu vectorul director 1, f t , x   R n 1 .Prin acest cîmp de direţii sistemul (5) ia forma dxn dx1 dt . (7)   ...  1 f1 t , x  f n t , x  Teorema 1.Graficul oricărei soluţii a ecuaţiei (2) este o curbă integrală a cîmpului de direcţii (7), definit de această ecuaţie şi invers:orice curbă integrală a acestui cîmp de direcţii reprezintă graficul unei soluţii a ecuaţiei. (2). III.1.3.Cîmpuri vectoriale şi ecuaţii diferenţiale. Vom numi cîmp vectorial de direcţii pe domeniul D  R n ,aplicaţia ce pune în corespondenţă fiecărui punct din D un vector cu originea în acest punct. Orice ecuaţie diferenţială autonomă (3) defineşte pe domeniul său de definiţie D  R n un cîmp vectorial în felul următor: punctului x  D i se pune în corespondenţă vectorul f x  cu originea in acest punct. Mulţimea D se numeşte spaţiu fazic,iar mulţimea R  D  R n1 respectiv spaţiu fazic extins al ecuaţiei (3).Imaginea oricărei soluţii a ecuaţiei se numeşte curbă fazică (traiectorie fazică) a cîmpului vectorial,definit de această ecuaţie. Considerăm sistemul bidimensional autonom de ecuaţii  dx  dt  g x, y , (8)  dy   f  x, y   dt şi respectiv ecuaţia dy f x, y   , (9) dx g x, y  cu f , g  C 1 D  D  R 2  . Teorema 2. Pe domeniul unde g  0, curbele fazice ale sistemului (8) coincid cu curbele integrale ale ecuaţiei (9). 83

Observaţie.Orice ecuaţie diferenţiala de ordinul n de formă normală y n   f x, y, y 1 , y n 1  poate fi redusă cu ajutorul substituţiilor  y1  x   y x   y x  y' x   2  .........   y n x  y n 1  x  la un sistem de ecuaţii diferenţiale dy1   y2  dx  dy2   y3 dx  ................  dyn 1   yn  dx  dy  n  f  x, y1 , y 2 ,..., y n .  dx III.1.4.Problema Cauchy.  dx   f t , x , Sistemul  dt (11)  xt    x , Format din ecuaţia diferenţială (2) şi condiţia iniţială xt    x t  , x   G  R  R n , se numeşte problemă Cauchy.Soluţii ale problemei Cauchy (11) sunt numite soluţiile ecuaţiei diferenţiale (2), care verifică condiţia iniţială respectivă.Din punct de vedere geometric soluţionarea problemei Cauchy (11) înseamnă găsirea curbelor integrale a acuaţiei (2), care trec prinpunctul t  , x   G . Vom spune că funcţia u  f t , x   f : G  R n , G  R n 1  satisface condiţia lui Lipschitz în raport cu variabila x  R n pe domeniul G, dacă existăun număr L>0 astfel încît pentru orice două puncte t , x1  şi t , x2  din g are loc inegalitatea 84

f t , x1   f t , x2   L x1  x2

Vom nota cu z una din normele vectorilor z  z1 ,..., z n  în spaţiul R n , de exemplu , z  z1  ...  z n . 2

2

Observaţie. Pentru ca funcţia-vector u  f t , x 

t , x   G  să

verifice condiţia lui Lipschitz în raport cu variabila x  R n pe domeniul G este suficient ca orice componentă f i a ei să posede

f i  j  1,..., n, mărginite pe G .(Demonstraţii) xi Vom spune că t  , x  G este un punct de existenţă al ecuaţiei diferenţiale (2), dacă existăcel puţin o soluţie a problemei Cauchy (11), El se numeşte punct de unicitate al ecuaţiei diferenţiale (2) , dacă orice două soluţii ale problemei Cauchy (11) coincid intr-o vecinătate a punctului t  ,in caz contrar el este numit punct singular al ecuaţiei (2). Teorema lui Cauchy.(teorema de existenţă şi unicitate).Dacă funcţia f : G  R n G  R  R n  este definită, continuă şi verifică condiţia lui Lipschitz în raport cu variabila x  R n Pe o vecinătate a punctului t  , x   G , atunci acest punct este unpunct de unicitate al ecuaţiei diferenţiale (2). Observaţie.Notăm soluţia problemei Cauchy (11) cu y   t , t  , x . Dacă funcţia f  C r G  , atunci şi funcţia x   t , r , x  va fi derivabilă de r ori într-o vecinătate a punctului t , t , t  . Curba integrală a ecuaţiei (2),formată doar din puncte singulare ale ecuaţiei ,se numeşte curbă integrală singulară ,iar soluţia respectivă soluţie singulară. Funcţia x   t , c  cu c  R n se numeşte soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale (2) pe domeniul G  R n1 , dacă pentru orice punct de unicitate t  , x   G este un vector c   R n astfel încît funcţia x   t , c  este soluţie a problemei Cauchy (11). derivate parţiale

85

Vom spune că soluţia  a ecuaţiei (2) , definită pe intervalul I  , se numeşte prelungire a soluţiei  , a aceleiaşi ecuaţii cu intervalul de definiţie I  , dacă I   I  , şi ambele funcţii pe intervalul I  .Soluţia ce nu admite prelungiri, se numeşte soluţie neprelungibilă. III.1.5.Ecuaţii diferenţiale şi sisteme dinamice. Teorema 4.Dacă x   t  t  I   este o soluţie a ecuaţiei

autonome (3) cu condiţia iniţială xt    x , atunci pentru oricare r  R funcţia y   t  r  t  I   r  ete ţi ea soluţie a aceeaşi ecuaţii cu condiţia iniţială y t  r   x . Corolar. Mulţimea punctelor integrale ale ecuaţiei autonome (3) este invariantă la translări paralele de-a lungul axei Ot. Din considerentele de mai sus condiţia iniţiala pentru ecuaţia autonomă se ia în momentul t  0 .Vom nota cu  o, x  ,soluţia ecuaţiei autonome (3) care verfică condiţia iniţială  0, x   x . Familia de aplicaţii g t : R n  R n , definită prin g t x    t , x  , este o familie monoparametrică de difeomorfisme, munită flux bazic,care posedă următoarele proprietăţi: 1. g  este transformare identică. t , s  R  2. g t  g s  g t  s

3. g : R  R n  R n , g t , x  g t x , este o aplicaţie diferenţiabilă. În matematica contemporană a căpătat o largă aplicaţie teoria sistemelor dinamice,definite în mod axiomatic ca grupuri monoparametrice de homemorfizme ale unui spaţiu fazic,care posedă proprietătile 1-3 cu o singură schimbare şi anume:aplicaţia g se consideră doar continuă. Se poate arăta că orice ecuaţie diferenţială (3) generează local un sistem dinamic. Exemplul 1.1 Să se afle fluxul fazic al sistemului 86

  x  x,   y  1, Rezolvare.Soluţia generală a sistemului are forma x  c1e t , y  t  c 2 .Astfel soluţia sistemului, care verifică condiţiile iniţiale x0  x , y0  y , este x  x e t , y  t  y  .Prin urmare,fluxul fazic al sistemului dat se





determină cu ajutorul formulei g t x, y   xet , y  t . Să verificăm proprietăţile 1-3. Familia g t este o familie de dimorfizme(demonstraţii). Aplicaţia g : R  R 2  R 2 , g t , x, y   xet , y  t  este de clasă C  .Evident, g  este transformarea identică. Afară de aceasta,

gt  g s x, y   gt g s x, y   gt xes , y  s  xes et , y  s  t    xe s t , y  s  t   g t  s x, y .

Prin urmare are loc şi proprietatea 2. III.2.DERIVATA FUNCŢIEI ÎN RAPORT CU CÎMPUL VECTORIAL.INTEGRALE PRIME. III.2.1.Derivata funcţiei în raport cu cîmpul vectorial. Fie dată funcţia U : D  R , D  R n  şi vectorul v  v1 ,......, v n   R cu originea în punctul x  D .Derivata funcţiei U în raport cu vectorul v se numeşte derivata funcţiei   U x  tv  în punctul t  0 (în caz dacă acesta există).Ea se n U x0  d notează cu LvU x   U x  tv  t 0   vi . dt i 1  xi  Observaţie.Ultima sumă nu este altceva decît produsul scalar   U  x , v , unde U   U ,......., U  este gradientul x n   x1 funcţiei U. 87

Fie dat cîmpul vectorial V pe domeniul D  R n .Derivata funcţiei U în raport cu cîmpul vectorial V se numeşte funcţia LvU : D  R ,valoarea căreia în punctul x  D este egală cu derivata funcţiei U în raport cu vectorul V(x) , adică LvU x  LV x U x .Funcţia LvU se mai numeşte derivata Lie a funcţiei U (în raport cu cîmpul vectorial V). III.2.2.Integrale prime ale ecuaţiilor diferenţiale. Fie dată ecuaţia diferenţială autonomă dx x  D  R n , (1)  f x  dt Funcţia continuă U : D1  R D1  D  ,care ia valoare constantă de-a lungul oricărei curbe fazice a ecuaţiei (1) ,se numeşte integrală primă a acestei ecuaţii pe domeniul D1 .Prin urmare, dacă U este o integrală primă a ecuaţiei (1) , atunci curbele fazice ale acestei ecuaţii se află pe suprafeţele de nivel ale funcţiei U.În cele ce urmează vom exclude cazul banal U x   const.x  D1 . Observaţie. Dacă U : D1  R este o integrală primă a ecuaţiei (1) şi  : R  R este o funcţie continuă, atunci funcţia   U  : D1  R este de asemenea o integrală primă acestei ecuaţii. Exemplul 2.1. Să se arate că funcţia U  xy 2 sete o funcţie  dx  dt  2 x integrală primă a sistemului aotonom.  dy   y  dt Rezolvare.Orice soluţie a sistemului dat are forma: x  c1e 2t , y  c 2 e  t . Prin urmare ,

U xt , yt   c1e 2t  c2 e 2t  c1c2  const.t  R. Prin derivata funcţiei U : D  R în virtutea ecuaţiei autonome (1) vom întelege derivata Lie a acestei funcţii în raport cu cîmpul vectorial respectiv. 2

2

88

Teorema 1. Funcţia U : D  R D  R n  de clasă c 1 este o integrală primă a ecuaţiei (1) atunci şi numai atunci, cînd derivata derivata ei în virtutea ecuaţiei (1) este identic egală cu zero pe D. Exemplul 2.2. Să se demonstreze ,că traiectoriile fazice ale sistemului Lokta-Volterra  dx  dt  ax  kxy, x  0, y  0 (3)  dy   by  mxy  dt cu constante pozitive a,b,,k,m sunt curbe închise. Rezolvare. În virtutea teoremei (2) (§1) pe domeniul x, y   R 2 : x  0, y  0, a  ky  0 , traiectoriile fazice ale sistemului (3) coincid cu curbele integrale ale ecuaţiei dx y mx  n   , dy xa  ky Această ecuaţie cu variabile separabile are integrala generală a  ky mx  b  dy   dx  c y x Prin urmare ky  a ln y  mx  b ln x  c Funcţiile P  mx  b ln x şi Q  ky  a ln y au cîte un punct de extremum (minimum) pe domeniul x  0 şi respectiv y  o . De aici rezultă , că graficul funcţiei P  Q are forma unui „paraboloid”,(fig.3),iar liniile de nivel ale ei sînt curbe închise.

Fig.3 89

Aceste linii de nivel sînt exact traiectoriile fazice ale sistemului (3). Observaţie.Nu orice ecuaţie diferenţială autonomă posedă integrale prime pe tot domeniul de definiţie. Exemplul 2.3.Sistemul autonom   x  2x (4)   y  y nu posedă integrale prime pe R 2 diferite de o constantă.Întradevăr , dacă există o integrală primă U : R 2  R a sistemului dat, atunci U ia valoare constantă de-a lungul fiecărei curbe fazice x  ci e 2t , y  c2 e t . Din continuitatea funcţiei U rezultă că





U x0 , y0   U x0 e 2t , y0 e t  U 0,0 pentru t   şi orice punct

x0 , y0   R 2 .Prin urmare, U x0 , y 0   U 0,0 .Astfel funcţia U

este constantă pe R 2 .În acelaşi timp funcţiile U 1  xe 2t şi U 2  ye  t iau valori constante de-a lungul curbelor integrale ale sistemului considerat. Exemplu.2.4 Să se arate că sistemul (4) posedă integrale prime pe domeniul  x, y   R 2 : x  0  . Vom numi integrală primă a ecuaţiei diferenţiale dx t , x   G  R n1  (5)  f t , x  dt orice integrală primă a sistemului autonom  dx  dt  f t , x ,  dt   1.  dx Observaţie. Orice ecuaţie diferenţială autonomă (1) , privită ca un cay particular al ecuaţiei de formă generală (5), posedă cel puţin o integrală primă pe spaţiu fazic extins. Aceste funcţii se mai numesc integrale prime ale ecuaţiei autonome (1) ce depind de timp. 90

III.2.2. Integrale prime ale cîmpului de direcţii. Orice ecuaţie diferenţială autonomă defineşte un cîmp vectorial, care, la rîndul său ,defineşte uncîmp de direcţii pe spaţiu fazic. Observaţie. Dacă funcţia U : D  R D  R n  este o integrală primă a unui cîmp de direcţii, atunci suprafeţele ei de nivel sunt formate din curbele integrale ale acestui cîmp de direcţii. Se consideră cîmpul de direcţii, determinat de sistemul dx dx1 x  D  R n  (6)  ...  n a1 x an x cu condiţia 2 2 (7) a1 x   ...  an x   0 x  D  Teorema 2. Funcţia derivabilă U : D  R este o integrală primă acîmpului de direcţii (6) pe domeniul D1  D , atunci ţi numai atunci,cînd se anulează produsul scalar n x  D1  U x, ax   U  i x  0 i 1 xi Unde a  x   a1  x ,....., a n  x . Demonstraţie. Fixăm un punct arbitrar x  D . Vectorul U  x 0  este perpendicular pe suprafaţa de nivel U x   U x0  , ce trece prin punctul x0 , adică este perpendicular pe planul tangent la această suprafaţă în punctul dat. Pe de altă parte, curba integrală a cîmpului de direcţii (6) ce trece prin punctul x0 , aparţine suprafeţei de nivel considerate şi, prin urmare vectorul tangent la ea aparţine planului tangent la această suprafaţă în punctul dat. Astfel, vectorii U  x 0  şi a  x 0  sunt perpendiculari şi, deci , U x0 , ax0   0 . Din cele expuse urmează , că noţiunea de integrală primă pentru cîmpuri de direcţii generalizează noţiunea analogică pentru ecuaţii diferenţiale şi anume , integralele prime ale ecuaţiei diferenţiale autonome coincid cu integralele prime ale cîmpului de direcţii, definit de această ecuaţie pe spaţiu fazic. 91

Observaţie. Dacă cîmpul de direcţii întrun sistem de coordonate pe domeniul D are forma a1 x ,..., a x1 x ,0, a x 1 x ,..., a n x , adică este perpendicular pe axa de coordonate Oxi , atunci, evident n funcţia U  xi este o integrală primă a acestui cîmp de direcţii şi fracţia respectivă

dxi 0

din sistemul (5) poate fi omisă, reducînd astfel ordinul sistemului. Vom căuta curbele integrale ale cîmpului de direcţii (6) ca intersecţie a hipersuprafeţelor de nivel a n-1 integrale prime U 1 ,....,U n 1 .Pentru aceasta este suficient ca în orice punct din D vectorii normali la hipersuprafeţele de nivel ale acestor integrale prime, să fie liniar independenţi. În calitate de vectori normali la hipersuprafeţele menţionate putem lua vectorii  U  U U n1   U  . Astfel, U 1   1 ,..., 1 ,..., U n1   n1 ,...,   x  x  x  x n 1 n    1 condiţia suficientă expusă mai sus este echivalentă cu condiţia ca matricea, linia căreia sunt formate din coordonatele acestor vectori, să fie de rang maximal în orice punct. Ultima condiţie asigură independenţa funcţională a integralelor prime U 1 ,......,U n 1 pe domeniul D, ceea ce înseamnă că nici una din ele nu poate fi exprimată ca o funcţie de celelalte. Vom spune că orice sistem de n-1 integrale prime funcţionale independente pe domeniul D  R n formează un sistem fundamental de integrale prime ale cîmpului de direcţii (6) pe domeniul D. Observaţie. Orice ecuaţie diferenţială (1) admite nu mai mult decît n-1 integrale prime funcţional independente pe domeniul D  Rn. Teorema 3. Orice cîmp de direcţii (6), caracterizat de condiţia (7) în vecinătatea oricărui punct din domeniul D posedă un sistem fundamental de integrale prime. Exemplu.2.5. Să se integreza sistemul 92

dx dy dz   xz yz xy Rezolvare. Din egalitetea dx dy  xz yz x găsim o integrală primă U 1  .Formulăm relaţia y ydx  xdy dz  . de unde găsim o integrală primă U 2  2 xy  z 2 . xyz  xyz xy Aceste integrale prime sunt funcţional independente. Prin urmare, curbele integrale ale sistemului dat se determină cu ajutorul x relaţiilor  c1 ,2 xy  z 2  c 2 . y III.3.SISTEME LINIARE DE ECUAŢII DIFERENŢIALE III.3.1.Noţiuni generale Vom numi sistem de ecuaţii diferenţiale sistemul de forma  dx1  dt  a11 t x1  a 22 t x 2  ...  a1n t x n  f1 t   (1) ..............   dxn  a t x  a t x  ...  a t x  f t  n1 1 n2 2 nn n n  dt  unde aij , f i : I  RI  R sunt funcţii continue i, j  1,........n  . Să considerăm matricea n At   ai , j t i , j 1 , vectorii x   x1 ,......, x n , f t    f 1 t ,......, f n t . În aceste notări, sistemul (1) obţine forma ecuaţiei dx (2)  At x  f t  dt Dacă inecuaţia (2) vector-funcţia f nu este identic egală cu zero, atunci vom spune căecuaţia (2) este liniară neomogenă., în caz contrar liniară omogenă. Ecuaţia liniară omogenă

93

dx (3)  At x dt se numeşte ecuaţie liniară omogenă asociată ecuaţiei liniare neomogene (2). Teorema lui Cauchy. Pentru orice t 0  I şi x0  R n problema Cauchy  dx   At x  f t ,  dt   xt 0   x0 , posedă o singură soluţie, definită pe ăntreg intervalul I. Corolar. Dacă soluţia ecuaţiei liniare omogene (3) se anulează într-un punct , atunci ea este identic egală cu zero. III.3.2.Ecuaţii liniare omogene Soluţiile ecuaţiei liniare omogene (3) posedă următoarele proprietăti: 1. dacă 1 şi  2 sunt soluţii ale ecuaţieiliniare omogene, atunci 1   2  sunt de asemenea soluţii ale aceleiaşi ecuaţii; 2. dacă  este o soluţie a ecuaţiei liniare omogene şi   R atunci  este o soluţie a aceleiaşi ecuaţii. După cum se ştie, fiecare spaţiu liniar finit dimensional posedă cel puţin o bază, adică un sistem maximal de elemente liniar independente în acest spaţiu.Astfel, ajungem la necesitatea studierii noţiunii de dependenţă liniară a vector-funcţiilor. Vector-funcţiile 1 ,....., m : I  R n se numesc liniar-dependente pe I, dacă există m constante reale c1 ,...., c m ,cel puţin una fiind diferită de zero,astfel încît are loc identitatea c1 , 1 t   ...  c m m t   0 t  I , In caz contrar ele se numesc liniar independente pe I. Determinantul lui Wronski (wronskianul) a sistemului de n vector-funcţii 94

 11 t   1n t       1   ....... ,......, n   ....... , t  I  se numeşte W, definit prin   t    t   n1   nn   11 t  ... 1n t     W t    ... ... ...  .  t  ...  t  nn  n1  Din punct de vedere geometric,valoarea wronskianului în punctul t 0 reprezintă volumul generalizat al paralelipipedului, construit pe vectorii 1 t 0 ,...., n t 0  . Teorema 3.Soluţiile 1 ,....., n ale ecuaţiei liniare omogene (3) sunt liniar independente pe I atunci şi numai atunci, cînd wronskianul lor se anulează cel puţin într-un punct. Exemplu.3.1. Fie date m vector-funcţii 1 ,...., m : I  R n , m  n  de clasă c 1 . Demonstraţi, că acest sistem de funcţii poate fi completat pînă la un sistem fundamental de soluţii al unei ecuaţii liniare omogene (3) atunci şi numai atunci, cînd pentru orice t  I rangul matricei de dimensiune n m ,coloanele căreia sînt formate din vector-funcţiile 1 ,.........,  m , este maximal (egal cu m) pe I. Din cele mai sus urmează, că dacă 1 ,...., n : I  R n formează un sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei liniare omogene (3), atunci pentru orice soluţie x al acestei ecuaţii există în mod univoc n constante c1 ,..., c n  R astfel încît x  c11 t   ....  c n n t  t  I  (4) (descompunerea funcţiei x în baza 1 ,...,  n ). Egalitea (4) cu constantele arbitrare c1 ,..., c n reprezintă soluţia generală a ecuaţiei (3). Ea are forma

95

 c111 t   ... cn1n t    11 t  ... 1n t   c1       x ... ... ...    ... ... ...  ... .  c  t   ... c  t   t  ...  t  c  n nn nn  1 n1   n1  n 

x  U t  c

sau

(5)

 11 t  ... 1n t    c1      U t    ... ... ...  , c   ... .   t  ...  t  c  nn  n1   n Observăm că coloanele matricei U t  reprezintă vectorii sistemului fundamental de soluţii. Această matrice se numeşte matrice fundamentală a ecuaţiei liniare omogene (3). Ea posedă proprietăţile: 1. det U t   W t   0t  I  , prin urmare, există matricea inversă U 1 t  , pentru orice t  I ; 2. egalitatea (5) reprezintă soluţia generală a ecuaţiei (3); 

3. matricea U t  verifică ecuaţia matriceală U t   At  U t  t  I (6) 4. dacă U t ,V t  sunt două matrici fundamentale, atunci există o matrice constantă nedegenerată H astfel încît are loc egalitatea U t   V t  H t  I  (7) 5. egalitatea (7) cu matricea constantă arbitrară H reprezintă soluţia generală a ecuaţiei matriceale (6). Exemplu 3.2. Să se demonstreze, că dacă matricea U t  este o soluţie a ecuaţiei matriceale (6) şi pentru un t 0  I matricea U t 0  este nedegenerată, atunci U t  este o matrice fundamentală a ecuaţiei liniare omogene (3). Cu ajutorul matricei fundamentale U t  putem exprima soluţia problemei Cauchy

96

 dx   At x (8)  dt  xt 0   x0 Din forma soluţiei generale (5) a ecuaţiei liniare omogene, obţinem xt 0   U t 0 C  x0 . Prin urmare, avem C  U 1 t 0 x0 şi soluţia problemei Cauchy (8) este x  U t U 1 t 0 x0 .

Operatorul  tt0  U t   U 1 t 0  : R n  R n se numeşte operatorul lui Cauchy (sau matriceant, sau operatorul de evoluţie). Pentru orice t 0 , t  I el pune în corespondenţă fiecărui vector x0  R n valoarea în punctul t a soluţiei problemei Cauchy (8) (fig.4)

Fig.4 Exerciţiul 3.3 Să se afle operatorul lui Cauchy al sistemului de ecuaţii diferenţiale   xx (9)   y  x  y. Rezolvare. Integrăm consecutiv fiecare ecuaţie şi găsim soluţia generală a sistemului dat.  x  c1e t  1 t  y  c1e  c2 e t .  2  97

Soluţia sistemului (9), care verifică condiţiile iniţiale xt 0   x0 , y t 0   y 0 este

 x  e t t 0 x 0 ,  1  y  e t t 0  e t 0 t x 0  e t 0 t y 0 .  2  Ultemele relaţii determină operatorul lui Cauchy  tt0 ,  tt0 x0 , y0   x, y , a cărui matrice este





 e t t 0 0   1 t t 0 . t 0 t e t 0 t   e e 2  Teorema 4. Wronskianul W al oricărui sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei liniare omogene (3) verifică ecuaţia dW  TrAt  W . dt Exemplu 3.4 Demonstraţi formula lui Liouville pentru wronskianul W(t) al unui sistem de n soluţii ale ecuaţiei liniare omogene (3). t  W t   W t 0   exp  TrAt dt . (11) t  0  Din formula lui Leuville (11) urmează că pentru operatorul Cauchy  tt0 , avem





t  det  tt0  exp  TrAt dt . t  0  După cum se ştie, determinantul operatorului liniar din R n în R n (determinantul matricei operatorului) exprimă coeficientul de dilatare al volumului oricărui paralelipiped în rezultatul acţiunii acestui operator. Astfel, dacă Tr At   0 t  I  , atunci operatorul lui Cauchy al ecuaţiei (3) păstrează volumul. III.3.3. Sisteme liniare omogene. Soluţiile ecuaţiei liniare omogene (2) posedă următoarele proprietăţi:

98

1. dacă 1 şi  2 sunt soluţiile ecuaţiei liniare omogene (2), atunci 1   2  este o soluţie a ecuaţiei liniare omogene asociate (3); 2. dacă  şi  sunt soluţii ale ecuaţiei liniare omogene (2) şi respectiv ecuaţiei liniare asociate (3), atunci     este o soluţie a ecuaţiei liniare omogene (2). 3. Teorema fundamentală pentru ecuaţia liniară omogenă. Mulţimea x n a soluţiilor ecuaţiei liniare omogene (2) este egală cu suma mulţimii x0 a soluţiilor ecuaţiei liniare omogene (3) şi a unei soluţii particulare  a ecuaţiei liniare omogene (2) x n  x0   Problema 3.5 Demonstraţi teorema fundamentală. O metodă de integrare a ecuaţiei liniare neomogene este metoda lui Lagrange (metoda “variaţieiconstantelor”). Ea constă în următoarele: 1. Fie cunoscută soluţia generală a ecuaţiei liniare omogene (3) de forma x  U t C , unde U(t) este o matrice fundamentală a ecuaţiei (3), C  R n este un vector constant arbitrar. 2. Căutăm soluţia particulară a ecuaţiei liniare neomogene (2) de forma xt   U t  C t  , (13) unde C(t) este un vector-funcţie necunoscută („variem constantele ”). Prin înlocuire în ecuaţia (2) obţinem 



U t C t   U t C t   At U t C t   f t  . În virtutea formulei (6) avem 

U t C t   f t  sau

(14)



C t   U 1 t  f t  De aici găsim

(15)

99

t

C t    U 1   f  d  c. t0

pentru c=0 obţinem ecuaţia particulară t

xt   U t  U 1   f  d  . t0

comform (12) soluţia generală a ecuaţiei liniare neomogene (2) are forma t

x  U t C  U t  U 1   f  d  . t0

sau t

x  U t C   t f  d  , t0

unde  este operatorul lui Cauchy al ecuaţiei liniare omogene (3). Observaţie. Din cele expuse mai sus urmează, că substituţia (13) reduce ecuaţia liniară neomogenă (2) în coordonate (t,x) la o ecuaţie liniară neomogenă elementară (15) în coordonatele (t,0). Exemplul 3.6. Să se integreze sistemul de ecuaţii diferenţiale dx   y,  dt . (16)  dy 2   x2t  dt Rezolvare. Să integrăm sistemul liniar omogen asociat  dx  dt  y, (17)  dy   x,  dt t

100

d 2x  x cu soluţia generală dt 2 dx x  c1e t  c 2 e  t . Din (17) rezultă, că y   c1e t  c2 e t . dt Astfel soluţia generală a sistemului (17) este  x   e t e t  c1   .     t t   y   e  e  c 2  Să căutăm soluţia particulară a sistemului liniar neomogen (16) de forma  x   e t e  t  c1 t    .     t t   y   e  e  c 2 t  În acest caz ecuaţia (14) va căpăta forma   e t e t  c1 t    0   t   e  e t      2  t 2 .    c2 t     1 1 De aici găsim c1  e t 2  t 2 şi c2  e t t 2  2 . 2 2 1   1  Deci c1 t   e t  t 2  t   c1 şi c 2 t   e t  t 2  t . 2  2  Astfel, obţinem soluţia particulară a sistemului (16)  x  t 2        y   2t  şi soluţia lui generală  x  c1e t  c 2 e  t  t 2 .  t t y  c e  c e  2 t 1 2  III.4.SISTEME LINIARE DE ECUAŢII DIFERENŢIALE CU COEFICIENŢI CONSTANŢI. III.4.1.Sisteme liniare omogene. Considerăm sistemul liniar omogen de ecuaţii diferenţiale

din care urmează









101

n dxi   aij x j , aij  R, i  1,.......n. dt j 1

 

Fie A  aij

n

i , j 1

, matricea coeficienţilor sistemului dat. Atunci

acest sistem poate fi scris sub forma unei ecuaţii vectoriale dx (1)  Ax . dt Vom studia mai jos ecuaţia diferenţială omogenă (1). În virtutea celor expuse în paragraful 3, ecuaţia (1) posedă sisteme fundamentale de soluţii. După cum se ştie, vectorul nenul h se numeşte vector propriu al matricei A,dacă există un număr  astfel încît Ah  h . Numărul  se numeşte valoare proprie a valoarei A. Valorile proprii ale matricei A se găsesc din ecuaţia caracteristică det  A  E   0 cu E, matricea unitate. La rîndul său,vectorul propriu h, corespunzător valorii proprii  se găseşte din ecuaţia  A  E   0 cu 0 vectorul nul. Teorema 1. Fie   R, h  R n . Vector-funcţia x  e t h verifică ecuaţia liniară omogenă (1) atunci şi numai atunci, cînd  este o valoare proprie a matricei A, iar h este un vector propriu al ei, corespunzător valorii  . Exemplu 4.1 Să se integreze sistemul   x  4x  y .    y  2 x  y Rezolvare. Să gasim valorile proprii ale matricei  4 1  . Ecuaţia caracteristică A     2 1 4 1 A  E   2  5  6  0 , are rădăcinile 1  2 şi  2 1  2  3 . Găsim vectorul propriu, corespunzător valorii proprii 1  2 , din relaţia 102

2 1     0   2    0        .   2  1    0   2    0

 A  1 E h1  0  

1 Vom lua h1    . În mod analog se află vectorul propriu   1 1 h2    ,corespunzător valorii proprii 3  3 . În virtutea   1  1  1 teoremei 1 vector-funcţiile 1  e 2t   şi  2  e 3t   sunt   1   2 soluţii ale sistemului considerat. Ele formează un sistem fundamental de soluţii. Prin urmare, soluţia generală este   x  c1e 2t  c 2 e 3t  x1  2 x1  x2 sau   2t 3t  y  2c1e  c 2 e  x 2  x1  2 x2 Teorema 2. Dacă h1 ,....hm sunt vectorii proprii ai matricei A, corespunzători valorilor proprii distincte 1 ,... m  i   j  , atunci aceşti vectori sunt liniar independenţi (asupra cîmpului R şi asupra cîmpului numerelor complexe C). Teorema 3. Dacă h1 ,....hm sunt vectorii proprii ai matricei A, corespunzător valorilor proprii distincte 1 ,... m  i   j  , atunci vector-funcţiile 1  e1t h1 ,...., m  e mt hm sunt liniar independente pe R (asupra cîmpului R şi asupra cîmpului C). Teorema 4. Dacă toate valorile proprii 1 ,....,  n ale matricei A sunt reale şi distincte 1   j iar h1 ,....hn sunt vectorii proprii respectivi, atunci soluţia generală a ecuaţiei (1) este x  c1e 1t h1  ....  cn e nt hn . (2) Cele expuse mai sus reduc problema integrării ecuaţiei (1) la problema găsirii rădăcinilor polinomului caracteristic det A  E . Însă nu orice matrice cu elemente complexe posedă cel puţin un vector propriu complex. 103

Observaţie. În teoremele 2 şi 3 valorile şi vectorii proprii pot fi consideraţi şi complecşi. În acest caz în condiţiile teoremei 3 vector-funcţiile RE1 , IM1 ,..., RE m , IM m sunt şi ele liniar independente pe R (asupra cîmpului R). După cum se ştie, derivata funcţiei complexe z : R  C , z  u t   ivt  u  Re z, v  Im z ,se defineşte cu 





ajutorul formulei z  u  i v . Teorema 5. Dacă vector-funcţia complexă u  ut   ivt  verifică ecuaţia (1), atunci funcţiile u  Re z, v  Im z sunt soluţiia ale ecuaţiei (1). Exemplu 4.2. Să se integreze ecuaţia (1) cu matricea  1  5  . A    2 1 Rezolvare. Rădăcinile ecuaţiei caracteristice A  E  2  9 sunt

1, 2  3i . Valorile proprii   3i îi corespunde vectorul propriu  1   5   . În virtutea   . Funcţia complexă e 1t h1  e 3it  1  3i  1  3i  teoremei 5 şi observaţiei, ce o procedează, generează 2 soluţii reale liniar independente 5 cos 3t 5 sin 3t       .  şi   3 sin 3t  cos 3t   sin 3t  3 cos 3t  Menţionăm că pentru valoarea proprie 2  3i obţinem aceleaşi 2 soluţii reale (cu exactitate de un factor constant). Prin urmare, sistemul considerat are soluţia generală x  5c1 cos 3t  5c 2 sin 3t    y  3c1  c 2 sin 3t  c1  3c 2  cos 3t Considerăm cazul, cînd matricea A are valori proprii multiple.

104

Teorema 6. Pentru orice matrice complexă A există o matrice nedegenerată S, astfel încît are loc relaţia S A S 1  J cu matricea Jordan de forma  J 1 0 ... 0     0 J 2 ... 0  J  (3) ... ... ... ...     0 ... ... J  m  Unde J i i  1,..., m  sunt blocuri Jordan de înălţime k i pe

diagonala principală a cărora se află cîte o valoare proprie  i a matricei A, adică  i 1 0 ... 0     0 i 1 ... 0   . Ji   ...   ... i 1  0 0 ... 0 i    Matricea J se numeşte forma normală Jordan a matricei A. Unei valori proprii  a matricei A îi corespunde cîteva blocuri Jordan, suma înălţimilor cărora este egală cu multiplicitatea valorii  ca rădăcină a polinomului caracteristic A  E . În particular, dacă toate valorile proprii ale matricei A sunt reale şi distincte, atunci matricea Jordan respectivă este diagonală, avînd doar blocuri Jordan de înălţimea 1. Vom considera cîteva cazuri:a) matricea A este un bloc Jordan;b) matricea A este o matrice Jordan;c) matricea A este o matrice de formă generală. a) Considerăm o ecuaţie de forma dy (4)  Jy dt Cu y  R n şi blocul Jordan

105

1 0 ... 0      0  1 ... 0   ... (5) J    ...  1 0 0 ... 0     Menţionăm că versorii e1  1,0,...,0, e2  0,1,0,...,0 ,..., en  0,...,0,1 verifică următoarele relaţii Je1  e1 , Je2  e2  e1 ,..., Jen  en  en 1 . (6) În acest caz vom spune că vectorii e1 , e2 ,..., en formează o serie de lungime n, în care e1 este vector propriu al matricei J, iar ceilalţi se numesc vectori asociaţi vectorului propriu e1 . Ecuaţia (4) se reduce la sistemul de ecuaţii    y1  y1  y 2  y  y  y 2 3  2 (7)  ...    y n 1  y n 1  y n   y n  y n  Fără mari greutăţi, se poate de verificat, că vector-funcţiile  t n 1 t   t 2 t   e t   te t    e  e     t   n  1!  2!     0  e     te t         0 0 t  ,  3   e ,....,  n   ... 1   ,  2   .  0   ...     0          ... ...  t     ...  te     0   0  t  0        e     sunt soluţii liniar independente ale sistemului (7). Într-adevăr, integrăm sistemul (7) consecutiv de jos în sus: din ultima ecuaţie 106

putem lua yn  e t , din penultima yn1  te t ,etc.(astfel obţinem  n ), sau putem lua y n  0 şi sistemul (7) se reduce la un sistem de aceeaşi formă, însă de n-1 ecuaţii şi repetăm raţionamentele de mai sus (astfel obţinem  n 1 ,........, 2 .1 ). Copiem aceste soluţii sub forma 2  t  t t  t t  t 1  e e1 ,  2  e  e1  e2 ,  3  e  e1  e2  e3 , 1!  1!   2! 

 t n 1  t n2 t e1  e2  ...  en 1  en  n  2! 1!  n  1!  Prin urmare, soluţia generală a ecuaţiei (4)are forma y  c11  c 2 2  ...  c n n . b) fie că matricea A este o matrice Jordan de tipul (3). Dinteorema (6) urmează că în acest caz numărul blocurilor Jordan ale matricei A=J este egal cu numărul maximal de vectori proprii liniari independenţi ai ei. Afară de aceasta, fiecărui bloc Jordan îi corespunde o serie de vectori e1i  ,..., enii  cu vectorul

 n  e t 

propriu e1i  şi ceilalţi vectori asociaţi lui(lungimea seriei este egală cu înălţimea n i ) a blocului Jordan respectiv. Teorema 7. Vector-funcţiile de forma (8) scrise pentru toate blocurile Jordan ale matricei A, formează un sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei (1). Teorema 8. Dacă matricea A are o valoare proprie  de multiplicitatea k, atunci ecuaţia (1) posedă k soluţii liniar independente de forma

t  1!

 

 t2  t h1  h2  h3 , 1!  2! 

1  et h1 ,  2  et  h1  h2 , 3  et 

 t k 1  t k 2 t  n  et  h1  h2  ...  hk 1  hk  k  2! 1!  k  1! 

(10)

107

formate în baza seriilor de vectori, care corespund acestei valori proprii (k este lungimea seriei respective). Remarca mnenotehnică. Regula pentru memorarea formulelor (10) constă în următoarele: fiacare soluţie reprezintă un produs dintre e t şi un vector-funcţie, care pentru prima soluţie coincide cu vectorul propriu respectiv, iar pentru celelalte poate fi obţinută din cea precedentă în rezultatul integrării în raport cu t şi în calitate de constantă de integrare se ia următorul vector asociat. Observaţie. Dacă numărul maximal de vectori proprii liniar independenţi, corespunzători unei valori proprii, este egal cu multiplicitatea k a acestei valori, atunci ei îi corespund k serii de vectori de lungime 1, formate doar din vectorii proprii liniar independenţi. În caz, dacă numărul de vectori proprii este mai mare decît multiplicitatea valorii proprii respective, şi mai ales în cazul cînd acest număr este mai mare decît 1, problema găsirii seriilor de vectori, lungimii lor, vectorilor proprii, care generează aceste serii, este o problemă mai dificilă. În tot cazul noi putem găsi seriile de vectori din formulele (9), pe care le copiem sub forma  A  E h1  0,  A  E h2  h1 ,....,  A  E hn  hn1 . (11) Exemplul 4.3. Să se integreze sistemul   x y .   y  2 y  x Rezolvare. Ecuaţia caracteristică A  E  2  2  1  0 are rădăcina   1 de multiplicitatea 2. Rangul matricei  A  E  este egal cu 1, deci matricea A are un vector propriu. Astfel valorii   1 îi corespunde o serie dintr-un vector h1 şi altul asociat h2 .   1 În calitate de vector asociat luăm h2    . Atunci în virtutea 0 1 formulelor (11) h1   A  E , h2    . Vectorii h1 şi h2 1 108

formează serie căutată. Comform teoremei 8 sistemul considerat are soluţia generală  c t  c1  c 2   x     c1e 2t h1  c 2 e 2t th1  h2   e 2t  2  y  c 2 t  c1  În unele cazuri, putem folosi următoarele considerente la integrarea ecuaţiei (1). Notăm cu g i  vectorul, componentele căruia sunt complementele algebrice ale elementelor din prima i a matricei A  E ,  se consideră parametru.   x  4 x  2 y  5 z  Exemplul 4.4. Să se integreze sistemul  y  6 x  y  6 z .   z  8 x  3 y  9 z  Rezolvare. Ecuaţia caracteristică A  E  0 are rădăcinile   2 ,  2  3  1 . Găsim vectorul g1   ,componentele căruia sunt complementele algebrice ale elementelor din prima linie a matricei 2 5   4     A  E   6  1    6 .  8 3 9      2  8 x  9   2  8      ' g1   6  6  , g1   6  .   8  10   8     

109

  3   Vectorul g1 2   6  este vectorul propriu al matricei A,   6  

 2   corespunzător valorii proprii   2 . Vectorii g1 1   0  şi  2     3   1 ' g1 1   3  formează o serie, corespunzătoare valorii proprii 2   4     1. În virtutea teoremei 8 sistemul considerat are soluţia generală   2   6  x   3  2            2t t t  y   c1e  6   c 2 e  0   c3 e  t  0    0  .   2   6 z   6  2            sau  x  c1e 2t  c3 t  c 2  3c3 e t  y  2c1e 2t  3c3 e t .   z  2c e 2t  c t  c  4c e t 1 3 2 3  Observaţie. În virtutea teoremei 8 soluţia generală a ecuaţiei (1) poate fi scrisă sub forma x  e 1t Pt   e 2t Qt   ...  e mt Rt , unde P,Q,...,R sunt vectorpolinoame de un grad mai mic cel puţin cu o unitate decît multiplicitatea valorii proprii respective  (aceste vectorpolinoame sunt cu un grad mai mic cu o unitate decît înălţimea blocului Jordan de dimensiune maximală, corespunzător valorii proprii respective). Astfel, termenii soluţiei generale, care corespund valorii proprii multiple  i , pot fi găsiţi cu ajutorul metodei coeficienţilor nedeterminaţi. III.4.2.Exponenta matricei. 110

Fie A o matrice pătrată constantă. Exponenta acestei matrice este o matrice, care se definaşte prin A A2 An â exp A  E    ...   ... cu E-matricea unitate. 1! 2! n! Teorema 9. Soluţia ecuaţiei (1), care verifică condiţia iniţială xt 0   x 0 este x  expt  t 0 Ax0 . Observaţie. Matricea exp(tA) este o soluţie a ecuaţiei dx matriceale  AX , care verifică condiţia iniţială X 0  E . De dt aici rezultă că exp(tA) este o matrice fundamentală a ecuaţiei (1) , coloanele căreia în punctul t  0 sunt versorii respectivi. Aceste raţionamente pot fi puse la baza găsirii exponentei matricei.  4 1  . Exemplul 4.5. Să se afle exponenta matricei A     2 1 Rezolvare. Din exemplul 4.2 urmează că soluţia generală a ecuaţiei respective (1) cu matricei dată A este  x  c1e 2t  c 2 e 3t .  2t 3t  y  2c1e  c 2 e Găsim soluţiile particulare, care verifică condiţiile iniţiale x0  1, y0  0, şi x0  0, y0  1 (versorii spaţiului R 2 ). Aceste soluţii sunt  x    e 2t  2e 3t   x    e 2 t  e 3t  .      2t şi respectiv     2t 3t  3t  y y 2 e  e 2 e  2 e         Din cele expuse mai sus rezultă, că matricea fundamentală, formată din aceste soluţii, coincide cu matricea exp(tA), adică   e 2t  2e 3t  e 2t  e 3t  , exptA   2t 3t 2e 2t  e 3t   2e  2e deci,  2e 3  e 2 e3  e 2  . exp A   2 3 2 3  2e  2e 2e  e  111

Cololar. Fluxul fazic al ecuaţiei (1) pe un interval de timp de durată t dilată volumele în spaţiu fazic de expt  TrA ori şi, în particular,păstrează volumele dacă Tr A=0. III.4.3. Sisteme liniare neomogene. După cum se ştie, metoda generală de integrare a ecuaţiei liniare neomogene dx (12)  Ax  f t  dt constă în integrarea ecuaţiei liniare omogene asociate (1) şi determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei liniare neomogene (12). Teorema 10. 1) Dacă  nu este o valoare proprie am matricei A, atunci ecuaţia (13) posedă o soluţie particulară de forma neomogenităţii, adică de forma e t  Qr t , unde Qr t  este un vector-polinom de un grad r  s  k . Observaţie. În cazul rezonant gradul polinomului Q este egal cu s  m , unde m este înălţimea blocului Jordan de dimensiune maximală,corespunzător valorii proprii  . Polinomul Q poate fi găsit cu ajutorul metoddei coeficienţilor nederminanţi. Exemplul 4.6. Să se integreze sistemul     1 1  x   t  1  x       e 2t   (14)   y    1 3  y  1      1 1  are valorile proprii Rezolvare. Matricea A     1 3 1  2  2 . Soluţia liniară a sistemului liniar omogen asociat este  1   1   x 1    c1e 2t    c 2 e 2t  t       .  y 1   1  0   În virtutea teoremei (10) vom căuta soluţia generală a sistemului (14) sub forma 3 2  x 2t 2 t  at  bt  ct  d  .    e  Q3 t   e  3 2   y  ft  gt  ht  l 

112

Înlocuim această vector-funcţie în sistemul (14) şi găsim coeficienţii a,b,c,d,f,g,h,l. Obţine soluţia particulară a sistemului (14)  1 3 1 2    t  t  1  x 2 .    e 2t  6 1 3    y  t   6   Soluţia generală a sistemului dat este 1 3 1 2    c 2 t  c1  c 2  t  t  1 x 6 2 .    e 2t  1 3    y c 2 t  c1  t   6   Teorema 11. Fie date o matrice a cu elementele reale şi o vectorfuncţie complexă F de variabilă reală. Dacă funcţia complexă z verifică ecuaţia dz  Az  F t  , atunci u  Re z şi v  Im z sunt două soluţii ale dt du ecuaţiilor  Au  Re F t  dt şi respectiv du  Av  Im F t  . dt III.4.4.Sisteme recurente. Fie dat un sistem autonom pe R n , toate soluţiile căruia sunt prelungibile pe R. Dupa cum se ţtie, un astfel de sistem defineşte un flux fazic g t : R n  R n ,adică un grup monoparametric continuu pe R n . Acest flux descrie evoluţia spaţiului fazic în tmp. Dacă considerămstarea spaţiului R n în momente discrete de timp 0,1,2,....,i..., atunci obţinem un grup discret g i : R n  R n i  Z  , numit cascadă (un analog discret al sistemului dinamic). În cazul ecuaţiei liniare omogene (1) cascada respectivă este determinată de difeomorfizmele g i   i0  10  . i

113

(Demonstraţii!) Notăm 10   . Atunci evoluţia vectorului iniţial x0  R n sub acţiunae cascadei este determinată de relaţia x k 1  x k , ( k  Z ), (15) unde xk   k x0 . Pe de altă parte, pentrun sistemele de formă (15), numite sisteme recurente omogene, poate fi formulată problema determinării şirurilor recurente  x k  k  Z  , care verifică acest sistem. III.5.CLASIFICAREA LUI POINCARÉ A PUNCTELOR SINGULARE. III.5.1.Puncte singulare. Vom considera sisteme de ecuaţii diferenţiale pe plan   x  f  x, y  (1)   y  g  x, y  Punctul x  x0 , y  y 0 se numeşte punct singular al sistemului (1) , dacă cîmpul vectorial al acestui sistem se anulează în acest punct, adică f  x0 , y 0   g  x0 , y 0   0 . Deoarece fiecare punct singular reprezintă o traiectorie fazică a sistemului, aceste puncte se mai numesc de echilibru al sistemului. Vom spune că punctul singular x  x0 , y  y 0 este izolat, dacă există o vecinătate a acestui punct, care nu conţine alte puncte singulare ale acestui sistem. În continuare, vom studia punctele singulare izolate ale ecuaţiei omogene cu coeficienţii constanţi   x   A x  , A   a b  . (2)  y c d   y       Exemplu 5.1. Demonstraţi dacă punctul (0,0) este un punct izolat al ecuaţiei (2), atunci şi numai atunci, cînd det A  0 . Presupunem că matricea A este nedegenerată,ceea ce echivalează cu faptul, că valorile proprii ale ei sunt diferite de zero. Vom arăta 114

că unele calificative ale valorilor proprii ale matricei A determină portretul fazic al ecuaţiei (2) în vecinatatea punctului singular. În cele ce urmează vom considera cîteva cazuri: 1) Fie 1 , 2 valorile proprii reale ale matricei A şi 1   2  0 fie . Vom nota cu h1 , h2 vectorii





proprii ai matricei A, corespunzători valorii 1 , 2 . După cum se ştie, orice soluţie a ecuaţiei (2) poate fi scrisă sub forma  x    c1e t t h1  c2 e 2t h2  y cu constantele c1 , c 2  R . În sistemul de coordonate 1 ,  2  cu axele dirijate pe vectorii directori h1 , h2 orice curbă fazică admite parametrizarea c c 1  1 e 1t , ,  2  2 e 2t , . h2 h1 Dacă c1 , c2  0 , atunci ecuaţia curbei fazice este de forma 2

 2  k1  , unde k este o constantă, dat fiind faptul că 1

2  0, 1

curbele fazice în cazul c1 , c2  0 reprezintă ‚hiperbole’ cu axele O1 şi O 2 se numesc separatoare ale ecuaţiei respective. Mişcarea punctului pe separatoare,care corespunde valorilor proprii negative,este orientată în modul respectiv după regula: direcţiile ăn punctele apropiate sunt şi ele apropiate. Exemplul 5.2. Să se schiţeze portretul fazic al sistemului   x  8y  x .   y  x  y Rezolvare. Matricea sistemului considerat are valorile proprii 1  3, 2  3 . Deci punctul singular izolat (0,0) este de tip şa. Separatoarele sistemului au în calitate de vectiri directori 115

  4 vectorii proprii h1    , (pentru 1  3 ) şi  1   2 h2    ,(pentru 2  3 ). Mişcarea pe o separatoare 1  3 1 este orientată spre origine, iar pe alta- de la origine (fig.5)

Fig.5 Fie 1 , 2 valori proprii reale distincte de acelaşi semn 1  2  0 ale matricei A. Exemplul 5.3. Să se schiţeze portretul fazic al sistemului   x x y .   y  4 y  2 x Rezolvare. Valorile proprii ale matricei acestui sistem sunt 1  2, 2  3 . Prin urmare, punctul singular este de tip nod instabil. Separatoarele au în calitate de valori directori vaetorii proprii

116

1 1 h1    ,(pentru 1  2 ) şi h2    , (pentru 2  3 ). Deoarece  2 1 1  2 curbele fazice sunt tangente la prima separatoare în punctul de echilibru.(fig.5)

Fig.6 Exemplul 5.4. Să se schiţeze portretul fazic al sistemului   x  3x  y   y  x  y Rezolvare. Matricea sistemului are valorile proprii 1 1  2  2 şi un vector propriu h1    . Astfel, punctul 1 singular este de tip nod degenerat instabil. Spre deosebire de exemplele de mai sus construirea separatoarei este insuficientă pentru stabilire a aranjării celorlalte traiectorii fazice. Rămîne să determinăm caracterul de tangenţă al lor la separatoare. Pentru aceasta considerăm un punct arbitrar în afara separatoarei, fie punctul (1,0) şi construim vectorul-viteză al sistemului în acest punct v=(3,1). Traiectoria , ce trece prin acest punct , este tangentă la vectorul-viteză şi, graţie 2  2  0 , mişcarea pe ea va fi orientată de la origine pentru t   .

117

Fig.8 Exemplul 5.5. Să se schiţeze portretul fazic al sistemului   x  2y   y  2 y  5 x Rezolvare. Valorile proprii ale matricei sistemului sunt complexe 1, 2  1  3i . Deci, punctul singular este de tip focar instabil

Re   1  0 . Rămîne să determinăm cum sunt înfăşurate

spiralele pe punctul singular. Ca şi în cazul punctului singular de tip nod degenerat considerăm un punct arbitrar , cu excepţia originii, fie punctul –(1;0), în care construim vectorul-viteză al sistemului v=(0;-5). Traiectoriaspirală, ce trece prin acest punct, este tangentă la vectorul-viteză, iar micşorarea pe ea este orientată de la origine pentru t   . Cele expuse mai sus permit construirea traiectorilor fazice ale sistemului dat (fig 9).

118

Fig.9 Exemplul 5.6. Să se schiţeze portretul fazic al sistemului   x  x  5y (4)   y   x  y

Matricea sistemului de valori proprii 1, 2  2i . Deci, punctul singular este de tip centru şi traiectoriile lui sunt elipse. Pentru a găsi axele elipselor alcătuim ecuaţia de forma x x  5 y   y x  y   0

  x 2  4 xy  y 2  0 Am obţinut ecuaţia a două drepte, coeficienţii unghiulari k1 , k 2 ai cărora se determină cu ajutorul substituţiei y  kx . Astfel avem  x 2  4kx2  k 2 x 2  0  k 2  4k  1  0 Prin urmare, k1  2  5, k 2  2  5 sunt coeficienţii unghiulari ai axelor elipselor. Pentru a găsi axa mare şi cea mică considerăm pentru y  kx expresia  x   x     A    x 2  1  4k  k 2  , (5)   y   y   ,  

119

 5   2 



care ia valori negative pentru k   2  5,2  5 ţi valori





negative pentru k   ;2  5; . Dat fiind faptul că, că expresia (5) reprezintă derivata funcţiei z  x 2  y 2 în virtutea sistemului (4), restrîngerea acestei funcţii pe orice elipsă fazică are puncte de maximum pe axa y   2  5 x şi are puncte de minim pe axa y   2  5 x (de ce?). Sensul mişcării pe elipse se determină cu ajutorul vectoruluiviteză într-un punct arbitrar, cu excepţia originii, fie în punctul (1,0). Cele expuse permit schiţarea traiectoriilor fazice ale sistemului (4).









Fig.10. Observaţie. Prin analogie cu studiul efectuat la rezolvarea exemplului 5.13 pot fi găsite direcţiile de deformare a spiralelor ecuaţiei (2) cu punctul singular de tip focar. Deoarece curbele integrale ale ecuaţiei diferenţiale dy cx  dy  (6) dx ax  by sunt formate din curbele fazice   x  ax  by   y  cx  dy 120

metodele expuse mai sus pot fi utilizate la problema construirii curbelor integrale ale ecuaţiei (6). III.5.2. Cicluri limită. Curba fazică închisă a sistemului (1) se numeşte ciclu-limită, dacă există o vecinătate a ei, care este complet acoperită cu curbele fazice, care se aproprie nelimitat cu curba închisă pentru t   şi t   . Ciclul-limită s4 numeşte stabil dacă traiectoriile fazice se apropie de el numai pentru t   , instabil pentru t   , semistabil atunci, cînd unele traiectorii se apropie pentru t   , iar celelalte respectiv pentru t   . III.6. STABILITATEA DUPĂ LIAPUNOV A SOLUŢIILOR SISTEMELOR DE ACUAŢII DIFERENŢIALE. III.6.1. Stabilitatea şi stabilitatea asimptotică după Liapunov. De exemplu clasic de stabilitate reprezintă pendulul matematic. Acest pendul posedă două poziţii de echilibru: poziţia verticală de sus şi cea verticală de jos. Intuitiv este clar că poziţia verticală de jos este stabilă la (la mici devieri ale pendulului de la poziţia de echilibru el oscilează cu amplitude mici în jurul acestei poziţii de echilibru). Pe de altă parte, la cea mai mică deviere de la poziţia verticală de sus , pendulul se îndepărtează considerabil de la poziţia iniţială, ceea ce înseamnă că această poziţie este instabilă. În cele ce urmează, vom studia unele elemente ale teoriei matematice a stabilităţii, bazele căreia au fost puse pe ilustru matematician rus A.M.Liapunov. Se consideră ecuaţia diferenţială autonomă dx (1)  f x  dt cu funcţia f : D  R n , D  R n  de clasă c 1 . Fie x   t   a, o soluţie a ecuaţiei (1), ceea ce implică f a   0 şi x  a este punct de echilibru al ecuaţiei (1). Vom nota cu x  , x0  soluţia ecuaţiei (1), care verifică condiţia iniţială x0, x 0   x 0 . Presupunem, că toate soluţiile x  , x0  cu

121

valoarea iniţială x0 dintr-o vecinătate suficient mică a punctului de echilibru x  a sunt prelungirile pe semiaxa 0;  . Vom spune că poziţia de echilibru x  a (soluţia x   t   a, ) a ecuaţiei (1) este stabilă după Liapunov, dacă pentru orice   0 există un număr     0 astfel încît pentru orice soluţie x  , x0  a ecuaţiei date cu proprietatea ca x0, x0   a   are loc inegalitatea xt , x0  a   0 pentru orice t  0 . Exemplul 6.1. Soluţia nulă a sistemului liniar   x1   x2     x2  x1 este stabilă după Liapunov. Într-adevăr, soluţia acestui sistem cu condiţia iniţială x1 0, x2 0  x0  x1 , x2 are forma





 x t , x0    cos t sin t  x       . xt , x0    1   x t , x  sin t cos t 2 0   x    Fie   0 arbitrar. Vom arăta că numărul      verifică condiţia din definiţia stabilităţii lui Liapunov a soluţiei nule.  1  2

x   x   2 1

Fie x0  xt , x0  

x

 1

 2 2

cos t  x2 sin t

  . Estimăm soluţia xt , x 0  ,

   x 2

 1

sin t  x 2 cos t



2



x   x   2 1

 2 2

 x0     .

Prin urmare, soluţia nulă este stabilă după Liapunov, dar nu şi asimtotic stabilă. Exemplu 6.2. Soluţia generală a sistemului liniar   x1  2 x1  x 2   x 2  x1  2 x 2 este asimtotic stabilă. Pentru a demonstra aceasta scriem soluţia sistemului, care satisface condiţia iniţială xt 0   x0  x1 , x2 ,  x t , x0     cos t   e 2t  xt , x0    1   sin t  x 2 t , x0 





 sin t  x1    . cos t  x 2 

122

Prin analogie cu exemplul 6.2 arătăm că această soluţie este stabilă. Mai mult de atît, xt , x0   e 2t x0  0 pentru t   . Astfel soluţia nulă este asimtotic stabilă. Stabilitatea asimtotică a soluţiei nule din exemplul 6.4 este o urmare a faptului, că pentru valorile proprii ale matricei sistemului considerat   2i avem  2  Re   0 . Această implicaţie este valabilă pentru toate ecuaţiile liniare omogene dx  Ax (3) dt cu matricea A. Teorema 1. Soluţia nulă a ecuaţiri liniare omogene (3) este stabilă după Liapunov atunci ţi numai atunci, cînd Re   0 pentru orice valoare proprie  a matricei A şi forma normală a matricei A nu posedă blocuri Jordon de înălţime mai mare decît 1, corespunzătoare valorilor proprii  cu Re   0 . Teorema 2. Soluţia nulă a ecuaţiei liniare omogene (3) este asimtotic stabilă atunci şi numai atunci cînd, cînd Re   0 pentru orice valoare proprie  a matricei A. Condiţia Re   0 pentru valorile proprii  a matricei A implică stabilitatea asimtotică nu numai a soluţiei nule a ecuaţiei liniare (3), dar şi a celei cvasiliniare, adică a ecuaţiei de forma dx (4)  Ax  bx  dt definite în vecinătatea punctului x  0 , cu f 0  0 şi b0   x  (pentru x  0 ). Orice ecuaţie neliniare (1), definită în vecinătatea punctului x  0 cu f  C 2 D  şi f 0  0 , poate fi redusă la forma (4) în felul următor: devoltăm în serie Taylor vector-funcţia f în vecinătatea originii de coordinate, şi anume f x  Ax  p f x, unde  f  Af     x  y  f x  .

este matricea Jacobi a matricei a aplicaţiei x 0

123

În acest caz, trecerea de la ecuaţia (1) la ecuaţia liniară omogenă dx  A f x (5) dt se numeşte liniarizare, iar ecuaţia (5) se numeşte aproximaţie liniară (ecuaţie liniarizată la ecuaţia de primă aproximaţie) a ecuaţiei liniare (1) în vecinătatea punctului x  0 . Teorema lui Liapunov despre stabilitatea după prima aproximaţie. Fie dată ecuaţia (1), definită în vecinătatea D a punctului de echilibru x  0 , cu f  C 2 D  . Deci părţile reale ale tuturor valorilor proprii ale matricei ecuaţiei de primă aproximaţie (5) a ecuaţiei neliniare (1) sunt negative, atunci poziţia de echilibru x  0 este asimtotic stabilă. Dacă însă cel puţin o valoare proprie are partea reală pozitivă, atunci poziţia de echilibru x  0 este stabilă după Liapunov. Afirmaţia inversă nu are loc. Observaţie. Ecuaţia de primă aproximaţie a ecuaţiei (1) în vecinătatea punctului de echilibru x  a  0 are forma d  f  .  A f  unde   x  a , iar A f    dt  x  x a Exemplul 6.3. Să se cerceteze la stabilitatea asimtotică soluţia nulă a sistemului    x1  x2 .   x 2   sin x  x 2 Rezolvare. În virtutea celor expuse mai sus considerăm matricea 1  0 f  0 1   . Af        x  x 0   cos x1  1 x 0   1  1 1 3 1 i . Deoarece Re     0 care are valori proprii 1, 2    2 2 2 urmează că soluţia nulă x  0 este asimtotic stabilă.

124

Menţionăm că soluţiile de staabilitate după Liapunov şi stabilitate asimtotică pot fi definite nu numai pentru soluţiile triviale, ci şi pentru orice soluţie arbitrară  a ecuaţiei (1). Pentru aceasta este suficient să efectuăm substituţia z  xt    t  şi în coordonatele noi   i corespunde soluţia nulă z  0 . III.6.2. Funcţii Liapunov. O metodă efectivă de cercetare la stabilitate a punctelor de echilibru o constituie metoda funcţiilor Liapunov. Vom spune că funcţia V este o funcţie pozitiv definită pe o vecinătate D a punctului x  a , dacă V a   0 şi V x   0 pe D. Dacă V a   0 şi V a   0 ( x  a ) pe vecinătatea D, atunci vom spune că V este o funcţie negativ definită pe D. Funcţia diferenţială V se numeşte funcţie Liapunov pentru ecuaţia (1) cu f a   0 , dacă ea este pozitiv definită pe o vecinătate a punctului de echilibru x  a şi derivata ei în virtutea ecuaţiei (1) pe această vecinatate satisface inegalitatea n dV V x  L f V x    f i x   0 . dt i 1 xi Teorema 4. dacă ecuaţia (1) admite o funcţie Liapunov pe o vecinătate a punctului de echilibru x  a , atunci acest punct de echilibru este stabil după Liapunov. Teorema 5. dacă ecuaţia (1) admite o funcţie Liapunov pe o vecinătate a punctului x  a , derivata căreia în virtutea ecuaţiei este negativ definită pe această vecinătate, atunci punctul de echilibru x  a este asimtotic stabil. Exemplul 6.4. să se cerceteze la stabilitate poziţia de echilibru a sistemului   x  x5  y   y  x  y 7 Rezolvare. Observăm, că matricea sistemului liniar respectiv are valorile 125

1, 2  2i ,fapt, ce nu garantează stabilitatea soluţiei nule a sistemului neliniar. Să arătăm că funcţia pozitivă V  x 2  y 2 este o funcţie Liapunov a sistemului dat. Într-adevăr, derivata ei în virtutea sistemului dat L f V x   2 x  x 5  y  2 y x  y 7  2 x 6  y 8 este o funcţie negativ definită. În virtutea teoremei 5 punctul de echilibru x  0, y  0 este asimtotic stabil. Notă. Problema determinării existenţei şi construirii funcţiilor Liapunov este una din problemele fundamentale ale teoriei calificative ale ecuaţiei diferenţiale. III.7. Sisteme conservative Se consideră un punct material de masa 1, situat pe axa numerică. Presupunem, că asupra punctului acţionează o forţă F(x), unde x este coordonata punctului de bază. În virtutea legii a doua a lui Newton ( ma  F ) avem ecuaţia diferenţială a mişcării















(1) x  F x  . Această ecuaţie, cît şi sistemul echivalent ei   x y (2)   y  F  x  sunt numite sisteme dinamice conservative (cu un singur grad de libertate). x

Dacă notăm   F s ds  U x  , atunci sistemul (2) poate fi scris x0

sub forma    xy  U . y    x  Exemplul 7.1. considerăm ecuaţia diferenţială a căderii libere a corpului de masă m comform legii lui Galilei 

m x  g , 126

cu acceleraţia căderii libere g . După cum se ştie, 2

mv 2 m x T  se numeşte energie cinetică , U  mgx energie 2 2 potenţială, iar E  T  U se numeşte energie totală a corpului. Această terminologie a fost răspîndită asupra ecuaţiilor (1) şi a sistemelor (2) de formă generală. x y2 Funcţia T  se numeşte energie cinetică , U    F s ds 2 x0

energie potenţială, iar E  T  y   U x  se numeşte energie totală a sistemului (2). Exerciţiul 7.2. Demonstraţi, că funcţia z  E x, y  este o integrală primă a sistemului (2) (legea conservării energiei). Deoarece energia totală E este o integrală primă a sistemului (2), traiectoriile fazice ale acestui sistem se află pe liniile de nivel ale funcţiei E. Graficul funcţiei E este determinat în mod univoc de intersecţia lui cu planul y  0 , adică de profilul energiei potenţiale U şi poate fi obţinut printr-o translare a parabolei y2 E de-a lungul acestui profil (fig.11) 2

127

Fig.11 III.8. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întîi III.8.1. Noţiuni generale Spre deosebire de paragrafele precedente vom studia în continuare ecuaţii în raport cu o funcţie de mai multe variabile   x1 ,..., x n  de forma  u u    0 (1) F  x1 ,...., x n , ,...., x1 x n   care se numesc ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întîi. Exemplul 8.1. (ecuaţia suprafeţei de rotaţie). Orice suprafaţă de rotaţie poate fi reprezentată printr-o ecuaţie de forma z  f x 2  y 2  . z z Prin urmare,  2 y  f ' x 2  y 2  ,  2 x  f ' x 2  y 2 şi y x de unde avem z z y x  0. y y Exemplul 8.2. (ecuaţia unei călătoare). Fia dată funcţia y  f x  (profilul iniţial al undei) şi c  R . Funcţia u  f x  ct  reprezintă profilul în momentul de timp t al undei, care se deplasează cu viteza c de-a lungul axei OX. Această funcţie verifică ecuaţia u u c  0. t x Din exemplele 8.1 şi 8.2 urmează că ecuaţiile obţinute posedă atîtea soluţii, cîte funcţii diferenţiale de o singură variabilă există.





128

Funcţia derivabilă u : D  R D  R n  se numeşte soluţie a ecuaţiei (1), dacă ea transformă această ecuaaţie într-o identitate pe D. Graficul soluţiei se numeşte suprafaţă integrală a ecuaţiei. În cele ce urmează vom studia unele cazuri perticulare ale ecuaţiei (1), care se reduc la sisteme de ecuaţii diferenţiale ordinare. Dacă funcţia necunoscută şi derivatele ei parţiale intervin liniar în ecuaţie, atunci ecuaţia se numeşte liniară. Dacă însă condiţia de liniaritate se referă numai la derivatele parţiale ale funcţiei necunoscute, dar nu şi la ea însăşi, atunci ecuaţia se numeşte cvasiliniară. III.8.2. ecuaţii liniare omogene cu derivate parţiale Considerăm ecuaţia liniară omogenă de forma u u f1 x   ....  f n x  0 (2) x1 x n Transcriem această ecuaţie sub forma u, f   0, f   f1 ,....., f n  . Observăm, că ecuaţia în această formă reprezintă tocmai criteriul ca funcţia u să fie o integrală primă a sistemului de ecuaţii ordinare   x1  f1 x  (3)   x n  f n x  Aşadar, a integra ecuaţia (2) în seamnă a integra toate integralele prime ale sistemului (3), numit sistem caracteristic al acestei ecuaţii, iar traiectoriile fazice ale lui se numesc caracteristice ale ecuaţiei considerate. Exemplul 8.3. Să se integreze ecuaţia u u u z  xz y  0. x y z Rezolvare. Transcriem sistemul caracteristic sub formă simetrică dx dy dz   . z xz y 129

Acest sistem are integralele prime funcţional independente V1  x 2  2 y, V2  6 xy  3 z 2 . Soluţiile ecuaţiei sunt de forma u  z x 2  2 y,6 xy  2 x 3  3z 2  , unde  : R 2  R este o funcţie diferenţială arbitrară. III.8.3. Ecuaţii cvasiliniare cu derivate parţiale. Ecuaţii cvasiliniare cu derivate parţiale de ordinul întîi au forma u u f 1  x, u   .....  f n  x, u   b x, u  (4) x1 x n În particular, de forma aceasta sunt ecuţiile liniare neomogene cu derivate parţiale. Vom căuta soluţia acesteiu funcţii ca o funcţie implicită din relaţia W  x1 , x 2 ,...., x n , u  x1 , x 2 ,...., x n   0 cu funcţia diferenţială W de n  1 variabile, ce satisface condiţia W  0. u Avem u W W  / . x1 xi u Înlocuind în ecuaţia (4), obţinem o ecuaţie liniară omogenă în raport cu funcţia W W W W f 1  x, u   ....  f n  x, u   b  x, u   0 (5) x1 x n u Caracteristicile ecuaţiei liniare omogene (5) se mai numesc şi caracteristice ale ecuaţiei cvasiliniare (4). Exemplul 8.4. Să se integreze ecuaţia z z y y z  . x y x Rezolvare. Ecuaţia (5) în acest caz ia forma W W y W y z   0. x y x z avînd sistemul caracteristic 130

dx dy xdz .   y z y Funcţiile V1  ln x  z şi V2  2 xz  1  y 2 formează un sistem fundamental de integrale prime. Soluţia ecuaţiei iniţiale se obţine în formă de funcţie implicită din relaţia F ln x  z;2 xz  1  y 2  0 , unde F este o funcţie diferenţială arbitrară. III.8.4. Problema Cauchy. E lesne de arătat, că ecuaţia obţinută din exemplul 8.1 are soluţia generală z  f x 2  y 2  , care reprezintă mulţimea tuturor suprafeţelor de rotaţie în jurul axei OZ. Pentru a evidenţia o soluţie particulară, adică o suprafaţă de rotaţie, este suficient să fixăm o curbă de intersecţie a suprafeţei căutate cu un plan vertical, ce conţine axa OZ, de exemplu, cu planul y  0 . Astfel, condiţia iniţială în acest caz poate fi scrisă sub forma z x,0   x  cu o funcţie dată  . De aici rezultă că f x 2     x 





 

şi f t    t , t  0 . Astfel, ecuaţia suprafeţei căutate este





z   x2  y2 . Sistemul u u   ...  f n x, u   b x , u   f1 x, u  x1 xn   u  format din ecuaţia (4) şi condiţia iniţială, u    se numeşte

problema Cauchy (   R n este o hipersuprafaţă de dimensiune n  1 , iar  :   R este o funcţie dată). Într-o formă mai generală problema Cauchy este un sistem compus din ecuaţia (4) şi o suprafaţă   R n1 de dimensiune n  1 , prin care trece suprafaţa integrală căutată a ecuaţiei (4). Dupăcum s-a arătat mai sus, ecuaţia cvasiliniară poate fi redusă la o ecuaţie liniară omogenă cu derivate parţiale, pentru care vom formula teorema lui Cauchy. 131

Punctul x0 de pe suprafaţa iniţială   R n (din   n  1 ) se numeşte punct necaracteristic al ecuaţiei (2), dacă caracteristica ecuaţiei (2), ce trece prin acest punct nu este tangentă la hipersuprafaţa  în acest punct. Teorema lui Cauchy. Fie x0 un punct necaracteristic al ecuţiei (2) de pe hipersuprafaţa iniţială   R n şi funcţia  :   R este diferenţială. Atunci există o astfel de vecinătate a punctului x0 , încît problema Cauchy, formată din ecuaţia (2) şi condiţia iniţială u    , posedă o singură soluţie pe această vecinătate. Exemplul 8.5. Să se rezolve problema Cauchy u u u  x y  2z 0  x y z  u   sin  y  z ,   x, y, z   R 3 : x  1 





Rezolvare. Sistemul caracteristic respectiv dx dy dz   x  y  2z are integrale prime funcţional independente V1  xy, V2  x 2 z . Deci soluţia generală a ecuaţiei cu derivate parţiale are forma u  F xy, x 2 z  . Aplicăm condiţia iniţială şi obţinem u 1, y, z   F  y, z   sin  y  z  , de unde obţinem soluţia căutată u  sin xy  x 2 z  . Exemplul 8.6. Să se rezolve problema Cauchy  z 2 z  x x  y  x y  z    x, y   R 2 : x  2 .  3  z x, y     y  4  Rezolvare.Sistemul caracteristic respectiv





dx dy dz   2 x z yx are integrale prime funcţional independente

132

z y  x2 . , V 2  x, y , z   x x Deci, soluţia generală a ecuaţiei considerate poate fi scrisă sub forma implicită  z y  x2    0. F  , x  x Dat fiind faptul, că numai o integrală primă conţine variabile z, din ultima relaţie avem  y  x2   . z  x  f  x   Din condiţia iniţială obţinem  y 4 3 2 f     y  4 ,  2  de unde reyultă că f t   4t 3 . Astfel, obţinem soluţia căutată V1 x, y, z  

y  x  z4

2 3

. x2 Considerăm problema Cauchy, formată din ecuaţia cvasiliniară z z f 1  x , y , z   f 2  x, y , z   b  x, y , z  (6) x y şi curba    x, y, z   R 3 : x   t , y   t , z   t  (7) Soluţia problemei Cauchy (6)-(7) va fi suprafaţa integrală S a ecuaţiei (6), care trece prin curba dată  (7). Vom presupune, că funcţiile f1 , f 2 , b sunt de clasă c 1 într-un domeniu D  R 3 , în care se consideră ecuaţia, şi f 12  f 22 . Fie V1 ,V2 : D  R in sistem fundamental de integrale prime ale ecuaţiei (6). Suprafaţa integrală căutată S este “ţesută „ din caracteristicile ecuaţiei cvasiliniare (6), care trec prin punctele de pe curba E. Fiecare caracteristică este curbă de intersecţie a două suprafeţe de nivel 133

V1 x, y, z   c1 ,V2 x, y, z   c2 .

Considerăm aplicaţia  : D  R 2 ,  x, y, z   V1 x, y, z ,V2 x, y, z  . În fond, aplicaţia  este o proiecţie a domeniului D de-a lungul caracteristicilor ecuaţiei (6) pe o suprafaţă P, transversală (care nu este tangentă) caracteristicilor. Pe suprafaţa P vom considera un sistem de coordonate c1 , c 2 . Dacă curba E nu este o caracteristică a sistemului (6), atunci imaginile curbei E şi a suprafeţei S la aplicaţia  coincid:  E    S  . Ecuaţia curbei     (imaginea curbei  ) poate fi scrisă în formă parametrică, ţinînd cont de parametrizarea (7) a curbei  , şi anume  : C1  V1  t ,  t , t , c2  V2  t ,  t , t  . (9) Prin excluderea parametrului t reducem ecuaţia curbei  la forma  : F C1 , C 2   0 , Astfel, suprafaţa căutată S   1     x, y, z   R 3 :   x, y, z     are ecuaţia F V1 x, y, z ,V2 x, y, z   0 . Dacă curba  este o caracteristică a ecuaţiei (6), atunci imaginea    este un punct şi nu coincide cu imaginea  S  , ceea ce nu permite soluţionarea problemei Cauchy. 134

Exemplul 8.7. Să se găsească suprafaţa integrală a ecuaţiei z z x z  0 ce trece prin curba  : y  x 2 , z  x 3 . x y Rezolvare. Ecuaţia considerată este cvasiliniară şi are sistemul caracteristic dx dy dz   . x z 0 Acest sistem are integrale prime funcţional independente y V1  z,V2  ln x  . z Introducem pe curba  parametrizarea x  t, y  t 2 , z  t 3 . Înlocuim aceste expresii în relaţiile y z  c1 , ln x   c2 (10) x şi obţinem 1 t 3  c1 , ln t   c2 . t Eliminînd t, avem 1  1 ln c1  c1 3  c 2 . 3 Înlocuim expresiile pentru c1 , c 2 în ultima egalitate şi obţinem egalitatea (în formă implicită) a suprafeţei căutate 1  1 y ln z  z 3  ln x  . 3 z

135