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MODELOS CONTINUOS DE PROBABILIDAD.

MODELOS CONTINUOS DE PROBABILIDAD

1. 2. 3. 4.

MODELO UNIFORME CONTINUO. MODELO EXPONENCIAL. MODELO NORMAL. APROXIMACIÓN DE LA NORMAL A LA BINOMIAL.

MODELO UNIFORME CONTINUO.

MODELO UNIFORME CONTINUO.

ESTA DISTRIBUCIÓN ES LA MÁS SENCILLA DE LAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS, SURGE AL CONSIDERAR UNA VARIABLE ALEATORIA QUE TOMA VALORES EQUIPROBABLES EN UN INTERVALO FINITO Y SU NOMBRE SE DEBE AL HECHO DE QUE LA DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE ESTA VARIABLE ALEATORIA ES UNIFORME SOBRE TODO EL INTERVALO DE DEFINICIÓN.

EL INTERVALO DE DEFINICIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME PUEDE CERRADO.

SER ABIERTO, SEMIABIERTO O

FUNCIÓN DE DENSIDAD

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

ESPERANZA:

VARIANZA:

EJERCICIOS

1. EN UNA CIERTA FÁBRICA SE FABRICAN CADA DÍA UNA MEDIA DE 40 MIL METROS DE CABLE. UNOS DÍAS MÁS, OTROS DÍAS MENOS. AUNQUE EL MÍNIMO SEGURO QUE SIEMPRE ES 30 MIL METROS. LA VARIABLE ALEATORIA QUE RECOGE EL NÚMERO DE METROS DE CABLE FABRICADOS EN UN DÍA SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN UNIFORME

CONTINUA.

a. ¿CUÁL ES EL MÁXIMO DE METROS FABRICADOS EN UN DÍA? b. ¿QUÉ PORCENTAJE

DE DÍAS SE FABRICAN MÁS DE

34 MIL METROS

DE CABLE?

2. UN RELOJ DE MANECILLAS SE DETUVO

EN UN PUNTO QUE NO SABEMOS.

PROBABILIDAD DE QUE SE HAYA DETENIDO EN LOS PRIMEROS HORA EN PUNTO.

25 MINUTOS

DETERMINE

LA

LUEGO DE SEÑALAR LA

3. UNA LLAMADA TELEFÓNICA LLEGO A UN CONMUTADOR EN UN TIEMPO, AL AZAR, DENTRO DE UN PERIODO DE UN MINUTO. EL CONMUTADOR ESTUVO OCUPADO DURANTE 15 SEGUNDOS EN ESE MINUTO. CALCULE LA PROBABILIDAD DE QUE LA LLAMADA HAYA LLEGADO MIENTRAS EL CONMUTADOR NO ESTUVO OCUPADO.

4. EN UNA PRÁCTICA DE PRECISIÓN AÉREA SE DEJA CAER UNA BOMBA A LO LARGO DE UNA LÍNEA DE UN KILOMETRO DE LONGITUD. EL BLANCO SE ENCUENTRA EN EL PUNTO MEDIO DE LA LÍNEA. EL BLANCO SE DESTRUIRÁ SI LA BOMBA CAE A UNA DISTANCIA MENOR QUE 75M DEL CENTRO. CALCULE LA PROBABILIDAD DE QUE EL BLANCO SE DESTRUYA SI LA BOMBA CAE AL AZAR A LO LARGO DE LA LÍNEA.

5. EL VOLUMEN DE PRECIPITACIONES ESTIMADO PARA EL PRÓXIMO AÑO EN LA CIUDAD DE MÉXICO VA A OSCILAR ENTRE 400 Y 500 LITROS POR METRO CUADRADO. CALCULAR LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y LA PRECIPITACIÓN MEDIA ESPERADA

6. DOS AMIGOS ROBERTO Y FERNANDO, DEBEN ENCONTRARSE EN UNA PARADA DE AUTOBUS ENTRE LAS 9:00 Y LAS 10:00HR. CADA UNO ESPERARÁ UN MÁXIMO DE 10 MINUTOS. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE NO SE ENCUENTREN, SI FERNANDO LLEGARÁ A LAS 9:30 EN PUNTO?

7. EL PRECIO DEL LITRO DE GASOLINA MAGNA EN MÉXICO DURANTE ESTIMA QUE PUEDE OSCILAR ENTRE $20 Y $30

EL PRÓXIMO AÑO SE

A)

HALLAR LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

B)

HALLAR EL PRECIO MEDIO ESPERADO DE LA GASOLINA PARA EL SIGUIENTE

AÑO.

8. SE CONOCE QUE UN AUTOBÚS

PASA CADA

10 MINUTOS.

A)

HALLAR LA PROBABILIDAD DE ESPERAR MENOS DE 2 MINUTOS.

B)

EL TIEMPO MEDIO DE ESPERA

C) LA DESVIACIÓN TÍPICA DEL TIEMPO DE ESPERA

9. EN UNA ESCUELA PRIMARIA SE REGISTRÓ EL NÚMERO DE PALABRAS POR MINUTO QUE LEÍAN LOS ESTUDIANTES, ENCONTRÁNDOSE QUE LEÍAN UN MÍNIMO DE 80 PALABRAS Y UN MÁXIMO DE 139. BAJO LA SUPOSICIÓN DE QUE LA VARIABLE ALEATORIA QUE DESCRIBE EL NÚMERO DE PALABRAS LEÍDAS ESTÁ UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA. A)

HALLE LA PROBABILIDAD DE QUE UN ESTUDIANTE, SELECCIONADO AL AZAR, LEA AL MENOS 100 PALABRAS. B)

DETERMINE EL NÚMERO AL AZAR.

DE PALABRAS QUE SE ESPERARÍA LEA UN ESTUDIANTE SELECCIONADO

10. LA CANTIDAD DIARIA DE CAFÉ, EN LITROS, QUE SIRVE UNA MAQUINA QUE SE LOCALIZA EN EL VESTÍBULO DE UN AEROPUERTO ES UNA VARIABLE ALEATORIA X QUE TIENE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA UNIFORME CON A

=7 Y B= 10. ENCUENTRE

LA PROBABILIDAD DE QUE EN UN DÍA

DADO LA CANTIDAD DE CAFÉ QUE SIRVE ESTA MAQUINA SEA:

A) A LO MAS B) MAS QUE

8 LITROS

7.4 LITROS PERO MENOS DE 9.5 LITROS

C) AL MENOS

8.5 LITROS

11. SE SABE QUE LA CANTIDAD ALEATORIA DEMANDADA DURANTE

UN CIERTO PERÍODO DE

TIEMPO POR PARTE DE UNA EMPRESA TEXTIL TIENE DISTRIBUCIÓN UNIFORME Y NO SUPERA LA TONELADA.

DETERMINAR PARA DICHO PERÍODO DE TIEMPO:

A)

PROBABILIDAD DE QUE LA CANTIDAD DEMANDADA NO SUPERE

B)

PROBABILIDAD DE QUE LA CANTIDAD DEMANDADA ESTÉ COMPRENDIDA ENTRE 800 Y 900 KG

C) LA DEMANDA ESPERADA

LOS

900 KG.

12. UNA EMPRESA TIENE UNA FUNCIÓN DE COSTOS QUE VIENE DADA POR C = 100,000+2X. EN EL MERCADO VENDE CADA UNIDAD A $500 Y LA DEMANDA X DEL CITADO ARTÍCULO TIENE UNA DISTRIBUCIÓN UNIFORME ENTRE 25,000 Y 30,000 UNIDADES. ¿CUÁL SERÁ EL BENEFICIO ESPERADO?

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL.

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

ESTA DISTRIBUCIÓN SUELE

SER MODELO DE AQUELLOS FENÓMENOS ALEATORIOS QUE MIDEN EL

TIEMPO QUE TRANSCURRE ENTRE DOS SUCESOS.

POR EJEMPLO, ENTRE

LA PUESTA EN MARCHA DE

UN CIERTO COMPONENTE Y SU FALLO O EL TIEMPO QUE TRANSCURRE ENTRE DOS LLEGADAS CONSECUTIVAS A UN CAJERO AUTOMÁTICO.

FUNCIÓN DE DENSIDAD

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

ESPERANZA:

VARIANZA:

EJERCICIOS

1. SUPONGA

QUE UN SISTEMA CONTIENE CIERTO TIPO DE COMPONENTE CUYO TIEMPO DE FALLA

EN AÑOS ESTÁ DADO POR LA VARIABLE ALEATORIA T, DISTRIBUIDA EXPONENCIALMENTE CON 1

𝜆 = . SÍ 5 DE ESTOS COMPONENTES SE INSTALAN EN DIFERENTES 5 SISTEMAS, ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL MENOS 2 CONTINÚEN FUNCIONANDO DESPUÉS DE 8 AÑOS? TIEMPO PROMEDIO DE FALLA

2. EL TIEMPO QUE TRANSCURRE

ANTES DE QUE UNA PERSONA SEA ATENDIDA EN UNA CAFETERÍA

ES UNA VARIABLE ALEATORIA QUE TIENE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL CON UNA MEDIA DE

MINUTOS.

¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA SEA ATENDIDA ANTES DE QUE TRANSCURRAN 3 MINUTOS EN AL MENOS 4 DE LOS 6 DÍAS SIGUIENTES?

4

3. EL TIEMPO DURANTE

EL CUAL LAS BATERÍAS PARA UN TELÉFONO CELULAR TRABAJAN EN

FORMA EFECTIVA HASTA QUE FALLAN SE DISTRIBUYEN SEGÚN UN MODELO EXPONENCIAL, CON UN TIEMPO PROMEDIO DE FALLA DE

500HORAS.

A)CALCULAR LA PROBABILIDAD DE UNA BATERÍA FUNCIONE POR MÁS DE B)SI UNA BATERÍA HA TRABAJANDO MÁS DE

300 HORAS ADICIONALES.

600HORAS.

350 HORAS, ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE TRABAJE

DISTRIBUCIÓN NORMAL

DISTRIBUCIÓN NORMAL

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL O DE GAUSS ES LA DISTRIBUCIÓN CONTINUA MÁS IMPORTANTE Y DE MAYOR APLICACIÓN. ES ADECUADA PARA DESCRIBIR EL COMPORTAMIENTO DE MUCHOS CONJUNTOS DE DATOS EN CIENCIAS, MEDICINA, INGENIERÍA, ECONOMÍA,. . .

FUNCIÓN DE DENSIDAD

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

EJERCICIOS

1. LA TEMPERATURA

DURANTE SEPTIEMBRE ESTÁ DISTRIBUIDA NORMALMENTE CON MEDIA

5ºC. CALCULE LA PROBABILIDAD DE QUE LA TEMPERATURA POR DEBAJO DE 21ºC.

Y DESVIACIÓN STANDARD SEPTIEMBRE ESTÉ

18.7ºC

DURANTE

2. LA MEDIA DE LOS PESOS DE 5000 ESTUDIANTES DE UN COLEGIO ES 70 KG Y LA DESVIACIÓN TÍPICA 3 KG. SUPONIENDO QUE LOS PESOS SE DISTRIBUYEN NORMALMENTE, “HALLAR CUÁNTOS ESTUDIANTES” PESAN MENOS DE 60 KG.

3. EN UNA CIUDAD SE ESTIMA QUE LA TEMPERATURA MÁXIMA EN EL MES DE JUNIO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL, CON MEDIA 23° Y DESVIACIÓN TÍPICA 5°. CALCULAR EL NÚMERO DE DÍAS DEL MES EN LOS QUE SE ESPERA ALCANZAR MÁXIMAS ENTRE 21° Y 27°.

4. LA MEDIA Y LOS QUE DE LOS PESOS DE 500 ESTUDIANTES DE UN COLEGIO ES 70 KG Y LA DESVIACIÓN TÍPICA 3 KG. SUPONIENDO QUE LOS PESOS SE DISTRIBUYEN NORMALMENTE, HALLAR CUÁNTOS ESTUDIANTES PESAN: i)

ENTRE 60 KG Y 75 KG.

ii)

MÁS DE 90 KG.

iii)

MENOS DE 64 KG.

iv)

64 KG EXACTAMENTE.

v)

64 KG O MENOS.

5. SE SUPONE QUE LOS RESULTADOS DE UN EXAMEN SIGUEN UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL CON MEDIA 78 Y DESVIACIÓN TÍPICA 36. SE PIDE: A).

¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA QUE SE PRESENTA UNA CALIFICACIÓN SUPERIOR A 72? B)

CALCULAR LA PROPORCIÓN DE ESTUDIANTES

EL EXAMEN OBTENGA

QUE TIENEN PUNTUACIONES QUE EXCEDEN POR

LO MENOS EN CINCO PUNTOS DE LA PUNTUACIÓN QUE MARCA LA FRONTERA ENTRE EL

NO-APTO (SON DECLARADOS NO-APTOS EL 25% DE LOS ESTUDIANTES PUNTUACIONES MÁS BAJAS). EL

C) SI SE SABE QUE LA CALIFICACIÓN DE UN ESTUDIANTE ES MAYOR QUE PRIORIDAD DE QUE SU CALIFICACIÓN SEA, DE HECHO, SUPERIOR A

84?

APTO Y

QUE OBTUVIERON LAS

72 ¿CUÁL ES LA

6. TRAS UN TEST DE CULTURA

GENERAL SE OBSERVA QUE LAS PUNTUACIONES OBTENIDAS SIGUEN

N(65, 18). SE DESEA CLASIFICAR A LOS EXAMINADOS EN TRES GRUPOS (DE BAJA CULTURA GENERAL, DE CULTURA GENERAL ACEPTABLE, DE EXCELENTE CULTURA GENERAL) DE MODO QUE HAY EN EL PRIMERO UN 20% LA POBLACIÓN, UN 65% EL SEGUNDO Y UN 15% EN EL TERCERO. ¿CUÁLES HAN DE SER LAS PUNTUACIONES QUE MARCAN EL PASO DE UN GRUPO AL OTRO? UNA DISTRIBUCIÓN UNA DISTRIBUCIÓN

7. VARIOS TEST DE INTELIGENCIA DIERON UNA PUNTUACIÓN QUE SIGUE UNA LEY NORMAL CON MEDIA 100 Y DESVIACIÓN TÍPICA 15. a) DETERMINAR EL PORCENTAJE DE POBLACIÓN QUE OBTENDRÍA UN COEFICIENTE ENTRE 95 Y 110. b) ¿QUÉ INTERVALO CENTRADO EN 100 CONTIENE AL 50% DE LA POBLACIÓN? c) EN UNA

2500 INDIVIDUOS ¿CUÁNTOS UN COEFICIENTE SUPERIOR A 125? POBLACIÓN DE

INDIVIDUOS SE ESPERAN QUE TENGAN