Non Stationer Dalam Rata - Rata.docx

NON STATIONER DALAM RATA – RATA Sebuah proses non-stationer dalam rata – rata dapat menimbulkan masalah yang sangat serius untuk estimasi fungsi rata – rata yang tergantung waktu tanpa beberapa realisasi. Untungnya, terdapat model yang dapat dibangun dari suatu realisasi untuk menggambarkan fenomena yang tergantung waktu ini. Dua kelas dari model yang sangat berguna dalam pemodelan deret waktu non-stationer dalam rata – rata diperkenalkan dalam bagian ini. A.

MODEL TREND DETERMINISTIK Fungsi rata – rata dari proses non-stationer dapat diwakili oleh trend waktu yang deterministik. Dalam kasus tersebut, model regresi standar dapat digunakan untuk menggambarkan fenomena. Sebagai contoh, jika fungsi rata – rata 𝜇𝑡 mengikuti trend linier, 𝜇𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑡, maka salah satunya dapat menggunakan model trend linier deterministik: 𝑍𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑡 + 𝑎𝑡 Dengan 𝑎𝑡 menjadi rat – rata 0 (nol) deret white noise untuk fungsi rata – rata kuadratif deterministik, 𝜇𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑡 + 𝛼2 𝑡 2 , yang dapat menyebabkan: 𝑍𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑡 + 𝛼2 𝑡 2 + 𝑎𝑡 Secara umum, bila trend deterministik dapat dijelaskan oleh polynomial orde ke-k dari waktu, yang model dari prosesnya dapat dijelaskan oleh: 𝑍𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑡 + ⋯ + 𝛼𝑘 𝑡 𝑘 + 𝑎𝑡 Jika trend deterministik dapat direpresentasikan oleh kurva sinus – cosinus yang dapat menyebabkan: 𝑍𝑡 = 𝑣0 + 𝑣 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) + 𝑎𝑡 = 𝑣0 + 𝛼 cos(𝜔𝑡) + 𝛽 sin(𝜔𝑡) + 𝑎𝑡 Dimana, 𝛽 𝛼 = 𝑣 cos 𝜃 , 𝛽 = −𝑣 sin 𝜃, 𝑣 = √𝛼 2 + 𝛽 2 , 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (− ) 𝛼 Dengan 𝑣 = amplitudo, 𝜔 = frekuensi, dan 𝜃 = fase kurva. Secara umum, kita memiliki: 𝑚

𝑍𝑡 = 𝑣𝑜 + ∑(𝛼𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑗𝑡 + 𝛽𝑗 sin 𝜔𝑗𝑡) + 𝑎𝑡 𝑗=1

dimana sering disebut sebagai model periodisitas tersembunyi. B.

MODEL KECENDERUNGAN STOKASTIK DAN DIFFERENCING

Terkadang, runtun waktu adalah non-stationer, karena beberapa kekuatan equilibrium, bagian berbeda dari seri ini berperilaku sangat mirip kecuali untuk perbedaan mereka dalam tingkat rata – rata lokal. Box dan Jenkins (1976, hal. 85) merujuk pada jenis non-stationer ini sebagai homogeny non-stationer. Dalam hal model ARMA, prosesnya non-stationer jika beberapa akar polinomial AR tidak terletak di bagian lingkaran unit. Oleh sifat homogenitas natural bagaimana pun perilaku dari deret non-stationer homogen jenis ini tidak bergantung pada tingkatannya. Oleh karena itu, 𝜓(𝐵) menjadi operator autoregresi sebagai berikut: 𝜓(𝐵)(𝑍𝑡 + 𝐶) = 𝜓(𝐵)𝑍𝑡 untuk semua konstanta C. Persamaan ini menjelaskan bahwa 𝜓(𝐵) harus berbentuk: 𝜓(𝐵) = ∅(B)(1 − 𝐵)𝑑 untuk beberapa 𝑑 > 0, dimana ∅(B) merupakan operator autoregresi stationer. Dengan demikian, deret non-stationer homogen dapat direduksi menjadi deret stationer dengan mengambil perbedaan yang sesuai dari deret. Dengan kata lain, deret himpunan {𝑍𝑡 } merupakan non-stationer tapi deret ke-d berbeda. {(1 − 𝐵)𝑑 𝑍𝑡 } untuk beberapa bilangan bulat 𝑑 ≥ 1 merupakan stationer. Sebagai contoh, jika deret ke-d berbeda, mengikuti fenomena white noise sebagai berikut: (1 − 𝐵)𝑑 𝑍𝑡 = 𝑎𝑡 Untuk melihat implikasi dari jenis non-stationer homogen ini, diketahui 𝑑 = 1 pada persamaan di atas, yaitu: (1 − 𝐵)𝑑 𝑍𝑡 = 𝑎𝑡 atau 𝑍𝑡 = 𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡 Diberikan informasi 𝑍𝑡−1 , 𝑍𝑡−2 , …, tingkat deret pada waktu 𝑡 adalah 𝜇𝑡 = 𝑍𝑡−1 yang merupakan subjek untuk masalah stokastik pada waktu (𝑡 − 1). Dengan kata lain, tingkat rata – rata pada proses 𝑍𝑡 pada (1 − 𝐵)𝑑 𝑍𝑡 bentuk 𝑑 ≥ 1 perubahan melalui waktu secara stokastik dan mencirikan proses kecenderungan stokastik.

Hasil ini berbeda dari kecenderungan deterministik model yang disebutkan pada bagian sebelumnya, dimana tingkat rata – rata proses pada waktu 𝑡 adalah fungsi deterministik dari waktu.