Noi Dung Ttlv Bao Cao

1

MỞ ĐẦU Sự phát triển của số học trong thời gian gần đây, chịu sự ảnh hưởng rất lớn của sự tương tự giữa số nguyên và đa thức. Nói cách khác, khi có giả thuyết nào đó chưa chứng minh được với các số nguyên, người ta thường cố gắng chứng minh sự kiện tương tự cho đa thức. Điều đó thường dễ làm hơn nguyên nhân chủ yếu là vì đối với đa thức, ta có phép tính đạo hàm, trong khi đó đạo hàm trên mọi số nguyên đều triệt tiêu. Do đó, đa thức vừa là công cụ, vừa là đối tượng nghiên cứu của toán học. Đặc biệt trong tin học, lý thuyết đa thức ngày càng có nhiều ứng dụng quan trọng, nhất là lĩnh vực về độ phức tạp của các thuật toán sử dụng trong máy tính. Việc tìm được các kết quả ngày càng sâu sắc hơn về đa thức nhất định sẽ mang lại những đóng góp mới cho tính toán trong tin học. Với những lý do nói trên, trong luận văn này thông qua một số kết quả về đa thức, chúng tôi cố gắng minh họa vai trò quan trọng của đa thức một biến trong các nội dung nghiên cứu và giảng dạy về phương diện đại số, số học và tin học. Ngoài ra, luận văn cố gắng minh họa một trong những động lực của sự phát triển của số học hiện đại: tương tự giữa số nguyên và đa thức. Một vài kết quả gần đây về sự tương tự đó sẽ được đề cập tới. Mặt khác, luận văn cũng thực hành tính toán với đa thức trên phần mềm tính toán Maple. Nội dung chính của luận văn gồm hai chương ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục 10 tài liệu tham khảo chính: Chương 1. Các tương tự số học trên vành đa thức. Chương 2. Thực hành tính toán đa thức trên Maple. Một số kết quả chính thu được của luận văn gồm: • Chỉ ra một số tương tự giữa số nguyên và đa thức.

2

• Sử dụng đa thức, chứng minh được tính vô hạn của tập số nguyên tố. • Chứng minh được rằng, không tồn tại đa thức hệ số nguyên nhận giá trị nguyên tố với mọi giá trị nguyên dương của biến (định lý 1.2.3). • Chỉ ra điều kiện cần và đủ để một đa thức nhận giá trị nguyên khi biến nhận giá trị nguyên (định lý 1.2.4). • Chỉ ra điều kiện cần và đủ để một đa thức nhận giá trị chính phương khi biến nhận giá trị chính phương (hệ quả 1.2.5) • Diễn đạt và chứng minh được hai dạng mở rộng thực sự và một số dạng tương tự của định lý Davenport đối với đa thức (định lý 1.3.10). • Thực hành tính toán với đa thức trên Maple: kiểm tra tính bất khả quy; tìm đa thức cực tiểu của số đại số; tìm số lượng các đa thức bất khả quy có bậc n lấy hệ số trên trường hữu hạn; tìm tòi sự tương tự giữa số nguyên và đa thức trong thực hành tính toán trên Maple. • Lập bảng các câu lệnh thuờng dùng trên Maple trong tính toán với số nguyên và đa thức. Một phần nội dung chính trong chương 1 của luận văn này đã được công bố trên bài báo: Nguyễn Thành Quang, Phan Đức Tồn (2007), Sự tương tự hóa giữa số nguyên và đa thức trong nghiên cứu và giảng dạy số học, Tạp chí Giáo dục, Số 11/2007, 70-72. Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn; người đã dành cho tác giả sự hướng dẫn chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh về sự giúp đỡ tận tình đã dành cho tác giả trong quá trình học tập sau đại học.

3

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu và tập thể cán bộ giáo viên Khoa Toán, Phòng Đào tạo - Trường Đại học Sư phạm Đồng Tháp đã động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập. Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của quý thầy cô và các đồng nghiệp. Tác giả Phan Đức Tồn

CHƯƠNG 1 CÁC TƯƠNG TỰ SỐ HỌC TRÊN VÀNH ĐA THỨC Đa thức vừa là công cụ vừa là đối tượng nghiên cứu của toán học. Đặc biệt trong tin học, lý thuyết đa thức ngày càng có nhiều ứng dụng quan trọng, nhất là lĩnh vực về độ phức tạp của các thuật toán sử dụng trong máy tính. Việc tìm được các kết quả ngày sâu sắc hơn về đa thức nhất định sẽ mang lại những đóng góp mới cho các tính toán trong toán - tin học. 1.1. Đa thức 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử K là trường. Biểu thức hình thức

f ( x)  an x n  an1 x n1 ,,,  a1 x  a0 , trong đó a0 , a1 ,..., an  K , được gọi là một đa thức của ẩn biến x với hệ số trong K. Nếu a n ≠ 0 thì ta nói

f ( x) có bậc n và ký hiệu deg f ( x)  n ; còn

an được gọi là hệ số cao nhất của

f ( x) . Nếu a0  a1  ...  an  0

thì f ( x)

được gọi là đa thức 0. Ta quy ước đa thức 0 có bậc bằng - ∞. Tập hợp các đa thức của biến x với hệ số trong K được ký hiệu là K [ x] .

4

cK

1.1.5. Định nghĩa. Phần tử

được gọi là nghiệm bội k (k  1) của đa

f ( x) chia hết cho ( x  c) k nhưng không chia hết cho

thức f ( x ) nếu

( x  c)k 1 trong K [ x] 1.1.6. Định nghĩa. Đa thức f ( x )  K [ x] được gọi là bất khả quy trên K nếu nó có bậc dương và nó không phân tích được dạng

f ( x )  g ( x ) h( x ) , trong đó f ( x), g ( x)  K [ x] đều có bậc nhỏ hơn bậc của f ( x ) . 1.1.7. Định lý cơ bản. Mọi đa thức bậc dương với hệ số phức đều có nghiệm phức. Nói cách khác, mọi đa thức hệ số phức là bất khả quy trên

C khi và chỉ khi nó là đa thức bậc nhất. £ 1.1.9. Đa thức nhiều ẩn. Mỗi tổng hình thức với hữu hạn số hạng

f ( x1 ,..., xk ) 



i1 ,...,ik

ai1i2 ...ik x1i1 x2i2 ...xkik

trong đó a1 ,..., a k ∈ K , được gọi là một đa thức của các ẩn x1 ,..., xk với hệ số trong K. Các phần tử a i , a i ,..., a i được gọi là các hệ số của đa thức. Bậc 1

2

k

của đa thức f ( x1 ,..., xk ) là số tự nhiên

deg f ( x1 ,..., xk )  max{c1  L  ck / ai1 ...aik  0} Nếu tất cả các hệ số của f ( x1 ,..., xk ) đều bằng 0 thì ta quy ước đa thức này có bậc bằng - ∞. Phép cộng và phép nhân đa thức nhiều ẩn được định nghĩa như sau:



  ai1 ...aik x1i1 ...xkik    i1 ,...,ik   



=

  ai ...ai

=

  a a ...a

=

1

k

i1 i2



i1 ,...,ik j1 ,..., jk



 bi1 ...bik x1i1 x2i2 ...xkik

x ...xkik

i1 ik 1

 a a ...a b b i1 i2

 ai1 ...aik x1i1 ...xkik  i1 ,...,ik 



ik

j1

j2

  a a j1

j2



...a jk x1j1 ...xkjk

...b jk x1i1 ...xkik x1i1  j1 ...x1ik  jk



5

Gọi K [ x1 ,..., xk ] là tập hợp các đa thức của n ẩn

x1 ,..., xk với hệ số

trong K. Khi đó, K [ x1 ,..., xk ] là một vành đối với hai phép toán cộng và nhân đa thức nói trên. Đây là vành giao hoán, có đơn vị, không có ước của 0. 1.2. Sự tương tự giữa số nguyên và đa thức Trong phần này, thông qua một số ví dụ và kết quả về đa thức, chúng tôi cố gắng minh hoạ vai trò quan trọng của sự tương tự nói trên trong các nội dung nghiên cứu và giảng dạy số học. Trước hết ta thấy rõ, giữa tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức có nhiều tính chất giống nhau sau đây: 1) Các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia như nhau cho cả hai tập hợp. 2) Nếu đối với các số nguyên ta có số nguyên tố, thì với các đa thức ta có đa thức bất khả qui. Hơn nữa, mỗi số nguyên lớn hơn 1 có thể phân tích thành các thừa số nguyên tố, mỗi đa thức có bậc lớn hơn 0 có thể phân tích thành tích các đa thức bất khả qui. 3) Đối với hai số nguyên, cũng như đối với hai đa thức, ta có thể định nghĩa ước chung lớn nhất. Hơn nữa, trong cả hai trường hợp, ước chung lớn nhất này tìm được bằng thuật toán Euclid. 4) Khái niệm giá trị tuyệt đối của số nguyên là tương tự đối vơí khái niệm bậc của đa thức. 5) Các số hữu tỉ tương ứng với các hàm hữu tỉ (hàm phân thức). Ví dụ 1. Tìm uớc chung lớn nhất (UCLN) của các đa thức xm  1 và , . xn  1 là xd  1, trong đó d là UCLN của các số nguyên dương mn Trước hết, chúng ta tìm UCLN của các số nguyên m,n bằng thuật toán Euclid (giả sử m n) :

6

m nq0  r0, 0  r0  n  1 n  r0q1  r1, 0  r1  r0  1 r0  r1q2  r2, 0  r2  r1  1 M rk2  rk1qk  rk , 0  rk1  rk1  1 rk1  rkqk1,

rk1  0.

Theo thuật toán Euclid ta có UCLN của m,n là d  rk . Chuyển qua đa thức, ta có xm  1 (xn  1)q0(x)  (xr  1), 0  r0  n  1 0

xn  1 (xr  1)q1(x)  (xr  1), 0  r1  r0  1 0

1

xr  1 (xr  1)q2(x)  (xr  1), 0  r2  r1  1 0

1

2

M xr  1 (xr  1)qk (x)  (xk  1), 0  rk1  rk1  1 k2

k1

xr  1 (xr  1)qk1(x) k1

k

, rk1(x)  0.

Do đó, có UCLN của (xm  1) và (xn  1) là (xd  1) . Ví dụ 2. Dùng công cụ đa thức, chứng minh tập hợp các số nguyên tố là một tập hợp vô hạn. 1.2.2. Định nghĩa. Cho a là một số nguyên, ta định nghĩa căn của a , ký hiệu bởi N0(a) , là tích các ước nguyên tố phân biệt của a . Tương tự với đa thức có khái niệm: Cho f (x) là đa thức trên trường đóng đại số K, ta ký hiệu n 0 ( f ) là số các nghiệm phân biệt của f (x) . Tiêu chuẩn sau đây dùng để kiểm tra có hay không có đa thức chỉ nhận giá trị nguyên tố khi biến nhận giá trị nguyên dương. 1.2.3. Định lý. Không tồn tại đa thức f ( x)  a 0 x m  a1 x m −1 

 a m với các

hệ số a i nguyên, a 0 ≠ 0, m ≥ 1, thoả mãn f (n) là số nguyên tố với ∀n = 1,2,... .

7

1.2.4. Định lý. Nếu đa thức f (x) với hệ số thực có bậc m ≤ n , nhận giá trị nguyên tại n +1 giá trị nguyên liên tiếp của biến x, thì nó sẽ nhận giá trị nguyên tại mọi giá trị nguyên của biến x 1.2.5. Hệ quả. Nếu đa thức f (x) bậc m nhận giá trị nguyên tại 0,12 ,..., m 2 thì nó sẽ nhận giá trị nguyên tại mọi x = d 2 , d ∈ ¢ . 1.3. Định lý Davenport mở rộng Khi nghiên cứu một vấn đề nào đó đặt ra đối với các số, người ta thường nghiên cứu đồng thời tương tự của nó trên trường hàm. Phần lớn các giả thuyết số học được chứng minh trước hết trên trường hàm. Như sẽ thấy trong định lý Mason, điều quan trọng ở đây là có phép tính đạo hàm. Ta sẽ thấy rằng, sự tương tự giữa số nguyên và đa thức cùng với các tính chất của đa thức gợi ý một con đường có nhiều hy vọng đi đến chứng minh định lý Fermat. Năm 1984, R.C. Mason (xem [2]) đã chứng minh định lý về các đa thức. Giả sử K là một trường đóng đại số có đặc số 0 cho trước. 1.3.1. Định lý Mason. Giả sử a, b, c là các đa thức của biến x, không đồng thời là hằng số, nguyên tố cùng nhau với hệ số trong K sao cho a + b = c. Khi đó, nếu ký hiệu n0(abc) là số nghiệm phức phân biệt của đa thức tích abc , thì ta có: max(dega,degb,degc)  n0(abc)  1.

Một hệ quả sau đây của định lý Mason là một tương tự của định lý cuối cùng của Fermat trên đa thức khác hằng. 1.3.2. Hệ quả. Không tồn tại các đa thức a(x),b(x),c(x) khác hằng số, nguyên tố cùng nhau với hệ số trong K và thỏa mãn phương trình: an  bn  cn, n  3.

8

Từ định lý Mason có thể suy ra nhiều hệ thức giữa các đa thức. Chẳng hạn, một trong những hệ quả đó là định lý Davenport (1965) (xem [ 6]). 1.3.4. Định lý Davenport. Giả sử f (x), g(x) là các đa thức một biến khác hằng số và nguyên tố cùng nhau, với hệ số trong K. Khi đó, ta có 1 deg( f 3  g2 )  degf  1. 2 Khẳng định tương tự của định lý Davenport với số nguyên vẫn còn chưa được chứng minh. Đó là: 1.3.5. Giả thuyết Hall. Giả sử x,y là các số nguyên dương sao cho x3  y2 . Khi đó, với mỗi số   0 tuỳ ý, tồn tại một hằng số C( ) chỉ phụ thuộc  sao cho 1  2

x  y  C( )x . 3

2

Có thể nói thêm rằng, bất đẳng thức trong định lý Davenport là tốt  f (t )  t 2  2

nhất có thể: Đối với các đa thức 

3  g (t )  t  3t

. 1 2

Vì f 3  g 2  (t 6  6t 4  12t 2  8)  (t 6  6t 4  9t 2 )  4t 2  8 nên deg  f 3  g 2   deg f  1  2. . Năm 1982, L.V. Danilop cũng đã chứng minh rằng, số mũ

1 trong giả 2

thuyết Hall là tốt nhất có thể. Định lý Mason và sự tương tự của số nguyên và đa thức gợi ý cho giả thuyết sau đây: 1.3.6. Giả thuyết "ABC" (Oesterlé, 1986). Giả sử a,b,c là các số nguyên, nguyên tố cùng nhau và thoả mãn hệ thức a  b  c . Khi đó, với mỗi số

  0 tuỳ ý, tồn tại một hằng số C( ) chỉ phụ thuộc  sao cho max( an , bn , cn )  C( )N 1 ,

9

trong đó

N = N ( abc) =

∏ p là căn của abc. p abc

Từ giả thuyết ABC có thể suy ra 1.3.7. Định lý Fermat tiệm cận. Với n đủ lớn phương trình xn + yn = zn không có nghiệm nguyên (x, y, z), xyz≠ 0. Từ định lý Mason, chúng ta có thể tìm được nhiều tương tự và mở rộng của định lý Davenport. 1.3.8. Mệnh đề. Không tồn tại các đa thức f (x), g(x) khác hằng số và nguyên tố cùng nhau với hệ số trong K sao cho: 5 deg f 3  g4   degg  1. 3 Tương tự như trên ta có mệnh đề sau 1.3.9. Mệnh đề. Không có các đa thức f (x), g(x) khác hằng số và nguyên tố cùng nhau với hệ số trong K sao cho: deg f 18  g3   11degg  1. Tổng quát hơn ta có các mệnh đề sau: 1.3.10. Định lý Davenport mở rộng Giả sử f (x), g(x) là các đa thức khác hằng số và nguyên tố cùng , ta có : nhau với hệ số trong K. Khi đó, với mọi số nguyên dương mn

(

i) deg f

m

)

− gn ≥

(

ii) deg f

m

mn − n − m deg g + 1 . m

)

− gn ≥

mn − n − m deg f + 1 . n

Sử dụng i) của định lý Davenport mở rộng với m = 3, n = 2, có định lý Davenport:

(

)

deg f 3 − g 2 ≥

3× 2 − 3 − 2 1 deg g + 1 = deg g + 1. 2 2

10

Áp dụng i) của định lý Davenport mở rộng với m =3, n = 4, có mệnh đề 1.3.8:

(

deg f

3

)

− g4 ≥

3× 4 − 3 − 4 5 deg g + 1 = deg g + 1. 3 3

Sử dụng ii) của định lý Davenport mở rộng với m =18, n = 3, có mệnh đề 1.3.9:

(

)

deg f 18 − g 3 ≥

18 × 3 − 18 − 3 deg f + 1 = 11 deg f + 1. 3

Gần đây, bằng kỹ thuật Wronskian các tác giả Nguyễn Thành Quang và Phan Đức Tuấn (2007) đã thu được một số suy rộng của định lý Davenport cho n đa thức (xem [8,9,10 ]). Đây là một hướng nghiên cứu mở và nội dung của nó vượt quá khuôn khổ của luận văn này.

11

CHƯƠNG 2 THỰC HÀNH TÍNH TOÁN ĐA THỨC TRÊN MAPLE Ngày nay máy tính đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống. Riêng đối với ngành toán đã có những sản phẩm mang tính phổ dụng như Mathematica, Matlat, Maple, … và nhiều chương trình chuyên dụng cho từng bộ môn toán học. Những phần mềm trên giúp ích rất nhiều cho việc giảng dạy toán, học toán cũng như việc ứng dụng toán trong các ngành kỹ thuật, kinh tế và vì thế tại các nước phát triển chúng đã trở thành cẩm nang của nhiều sinh viên và các nhà khoa học. Khả năng của các phần mềm toán học là rất lớn và có thể khai thác chúng ở nhiều các góc độ khác nhau. Do đó, việc nghiên cứu và giảng dạy cho sinh viên cách sử dụng công cụ phần mềm toán thông dụng như Maple là cần thiết và đem lại hiệu quả thực sự. Với khả năng tính toán hình thức rất mạnh, Maple cho phép chúng ta làm việc trên các khái niệm trừu tượng của toán học. Đây cũng là một phương hướng nghiên cứu mới kết hợp giữa đại số, số học với tin học đang được nhiều nhà toán học quan tâm, nhằm sử dụng rộng rãi máy tính trong các nghiên cứu của toán học. Trong chương này, chúng tôi thực hiện một số tính toán hình thức với đa thức bởi phần mềm Maple trên phiên bản 9.50 (xem [10]). 2.1. Kiểm tra tính bất khả quy 2.1.1. Sử dụng Maple để tính dư và thương của phép chia đa thức Để tính dư và thương của phép chia đa thức ta dùng lệnh rem hoặc quo. Ví dụ. Sử dụng Maple để tính dư và thương của phép chia đa thức: f ( x ) = x 5 + 2 x 4 + x 3 + x − 1, g( x ) = x 3 − x + 3 . [> rem(x^5 + 2*x^4 + x^3 + x -1, x^3 - x +3, x, 'q'); − 7 − 3x − x2 [> q; x2 + 2x + 2

12

Như vậy, khi chia f cho g ta được thương là x 2 + 2 x + 2 và dư − 7 − 3 x − x 2 2.1.2. Sử dụng Maple để tính ước chung lớn nhất của các đa thức trong vành đa thức Q[x]. Để tính ước chung lớn nhất của các đa thức ta dùng lệnh gcdex. Ví dụ . Tính UCLN của hai đa thức: f ( x ) = x 5 + 2 x 4 + x 3 + x − 1, g( x ) = x 3 − x + 3 Ta dùng các câu lệnh sau: [> gcdex(x^5 + 2*x^4 + x^3 + x -1, x^3 - x +3, x); 1 Lệnh trên cũng cho ta tính được đa thức s, t sao cho sf + tg = d . Ví dụ: [> gcdex(x^5 + 2*x^4 + x^3 + x -1, x^3 - x +3, x,’s’,’t’); 1 [> s, t; − 64 24 1 2 149 18 2 22 3 1 4 + x− x , + x − x + x . 511 511 511 511 511 511 511 Để tính ước chung lớn nhất của các đa thức trong vành đa thức ¢ p  X  trên trường ¢ p ta dùng lệnh Gcdex. Ví dụ. Sử dụng Maple tìm UCLN trên trường Z11 : d  ( f , g ), f , g  ¢ 11  x , f  x 5  2 x 4  x 3  3 x 2  5 x  2, g  2 x 3  7 x 2  5 x  2 . Tìm s, t  ¢ 11 : sf  tg  d . [> f:=x^5+2*x^4+x^3+3*x^2-5*x+2; g:=2*x^3+7*x^2+5*x-2; Gcdex(f,g,x,'s','t') mod 11; f := x 5 + 2 x 4 + x 3 + 3 x 2 - 5 x + 2 g := 2 x 3 + 7 x 2 + 5 x - 2

13 1

[> s;t; 2

8x + 4x+ 7 4

3

2

7x +4x +x +1

2.1.3. Kiểm tra tính bất khả quy của đa thức trên trường đặc số 0: Để kiểm tra đa thức P là bất khả quy trên trường mở rộng nhỏ nhất của ¤ sinh bởi các hệ số của đa thức P, ta dùng câu lệnh sau, nếu đa thức là bất khả quy thì câu trả lời là true. [> irreduc(P); [> irreduc(x^2+x+1) ; true Để kiểm tra đa thức P là bất khả quy trên trường mở rộng K của ¤ , ta dùng câu lệnh sau: [> irreduc(P, K); Ví dụ. Kiểm tra tính bất khả quy của đa thức x2 + 1 trên trường mở rộng K của ¤ sinh bởi nghiệm của đa thức x4 + 1  ¤ [ x] . Đầu tiên, ta thiết lập trường K bằng lệnh: [> alias(alpha=RootOf(x^4 +1)); α Kiểm tra tính khả quy của đa thức x2 + 1 trên trường mở rộng K bằng lệnh: [> irreduc(x^2+1,alpha) ; false Phân tích đa thức x2 + 1 trên trường mở rộng K thành tích các đa thức bất khả quy bằng lệnh: [> factor (x^2+1,alpha) ; ( x + α 2 )( x − α 2 ) 2.1.4. Kiểm tra tính bất khả quy và phân tích đa thức trên trường ¢ p

14

[> Irreduc(x^5+x^3+4*x+1) mod 3; true [> Irreduc(x^5+x^3+4*x+1) mod 5; false [> Factor (x^5+x^3+4*x+1) mod 5; (x4 + 4x3 + 2x2 +3x+1)(x + 1) 2.1.5. Kiểm tra tính bất khả quy và phân tích đa thức trên trường mở rộng của ¢ p Ví dụ. Kiểm tra tính bất khả quy của các đa thức trên trường mở rộng K của ¢ 5 sinh bởi nghiệm α của đa thức x4 + x - 1 ∈ ¢ 5 [ x] . [> alias(alpha=RootOf(x^4 +x-1) mod 5) ; α [> Irreduc(x^3+3*x^2+x+1, alpha) mod 5 ; true [> Irreduc(x^5+3*x^4+3*x^3+2*x^2+2*x+2, alpha) mod 5 ; false [> Factor(x^5+3*x^4+3*x^3+2*x^2+2*x+2, alpha) mod 5 ; ( x + 4α 3 + α 2 + α + 3)( x + α 3 + 4α 2 + 4α + 2)( x 3 + 3x 2 + x + 1) 2.1.6. Tìm số đa thức bất khả quy có bậc n trên trường hữu hạn. Tìm số các đa thức bất khả quy P bậc n trên trường Galois Fp với p là số nguyên tố bằng lệnh sau: [>minpolys(n, P) ; Khi làm việc trên trường có đặc số p (nguyên tố), ta có 2 trường hợp cần xem xét. Muốn biết đa thức (có hệ số trên Z p ) có là bất khả quy trên Z p [ x] hay không ta dùng các lệnh Irrecduc(poly) mod p. Ví dụ: [> Irreduc(x^5+x^3+4*x+1) mod 3; true

15

[> Irreduc(x^5+x^3+4*x+1) mod 5; false

Khi đã biết nó là khả quy ta có thể phân tích nhân tử bằng lệnh: [> Factor(x^5+x^3+4*x+1) mod 5; (x 4 + 4 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 1) (x + 1)

Muốn biết đa thức (với hệ số trên Z p ) có là bất khả quy đối với một mở rộng đại số nào đó (của Z p ) hay không ta cần phải chỉ định phần tử mở rộng (thực ra là một đa thức sinh ra số đó) trong câu lệnh: [>alias(alpha= RootOf(x^4+x-1) mod 5); α [>Irreduc(x^3+3*x^2+x+1,alpha) mod 5; true [>Irreduc(x^5+3*x^4+3*x^3+2*x^2+2*x+2,alpha) mod 5; false [>Factor(x^5+3*x^4+3*x^3+2*x^2+2*x+2,alpha) mod 5; ( x + 4α 3 + α 2 + α + 3)( x + α 3 + 4α 2 + 4α + 2)( x 3 + 3x 2 + x + 1) Nếu như trong đa thức cần xem xét có hệ số nào đó mang thông tin về trường mở rộng thì trong câu lệnh có thể bỏ qua phần chỉ định trường. Ví dụ: [>f:alpha*x^3+(2+alpha)*x*1; f := ax 3 + (2 + α ) x + 1 [>Irreduc(f) mod 5; false [>Factor(f) mod 5;

α ( x + 3)( x 2 + 2 x + 2α 3 + 2) 2.2. Tìm đa thức cực tiểu của số đại số 2.2.1. Tìm đa thức bất khả quy của một số đại số

16

Lưu ý rằng lệnh này chỉ có thể thực hiện khi sử dụng gói công cụ về đa thức (polytools). [> with(polytools): minpoly(sqrt(1+sqrt(2))+1,3); 79 - 71 _X - 112 _X 2 + 50 _X 3

Số lượng các đa thức bất khả quy bậc n lấy hệ số trên trường hữu hạn • Tìm số lượng các đa thức bất khả quy bậc n trên trường Fp , với p là số nguyên tố bằng lệnh: [>mipolys(n,p); [> with (numtheory): [> mipolys (4,5); 150

• Tìm số lượng đa thức bất khả quy bậc n trên trường Fp bằng lệnh: m

[>mipolys(n,p,m); Ví dụ. [> mipolys (4,5,2); 97500

Ví dụ. Tìm số các đa thức bất khả quy đơn hệ bậc 3 trên trường Z5 [> with (numtheory): [> mipolys (3,5); 40 Tìm số đa thức bất khả qui đơn hệ bậc từ 2 đến 30 trên trường ¢ p bằng Maple. Ta gõ câu lệnh sau [> for i from 2 to 30 do print(i, " ", mipolys(i,p)); od; 2.2.2. Tìm đa thức tối tiểu của một số đại số. Tìm bậc của mở rộng. Dùng Maple để tìm đa thức cực tiểu của số đại số u  4 7  7 trên ¤ [> minpoly((7)^(1/4)+(7)^(1/2),4); 42 - 28 _X - 14 _X 2 + _X 4

17

Dùng lệnh Maple để tìm đa thức cực tiểu của số đại số u  3 3  3 9 trên ¤ [> minpoly((3)^(1/3)+(9)^(1/3),3); -12 - 9 _X + _X

3

Dùng lệnh Maple để tìm đa thức cực tiểu của số đại số u  3 5  3 25 trên ¤ [> minpoly((5)^(1/3)+(25)^(1/3),3); -30 - 15 _X + _X

3

2.3. Sự tương tự giữa số nguyên và đa thức trên Maple 2.3.1. Nhận xét. Sự tương tự giữa số nguyên và đa thức được phản ánh rất đậm nét trên Maple. Các lệnh thực hiện tính toán trên các số nguyên và đa thức có cú pháp gần như giống nhau hoàn toàn, và như vậy ta chỉ cần nhớ một lệnh là dùng được cho hai việc. Về mặt hình thức, chỉ cần thêm chữ I (integer) vào đầu các câu lệnh dùng cho đa thức là ta có một lệnh dùng cho số nguyên. Tìm ước số chung lớn nhất của hai đa thức là gcd(. , .) thì ta có lệnh tìm ước chung lớn nhất của 2 số nguyên là igcd(. , .). Ví dụ [>gcd(x^3-1,x^4-1); x 1 [>igcd(123456789, 987654321); 9 [>factor(x^5+3*x^4+3*x^3+7*x^2+2*x+2 ( x3  3 x 2  x  1)( x 2  2) [>ifactor(123456789); 32.3803.3607 [>quo(x^5+1, x^3+1, x); rem(x^5+1, x^3+1, x);

x2 1  x2

[>iquo(12345678, 1234);

18

irem(12345678, 1234); 1004 742 2.3.2. Danh mục các lệnh thường dùng của Maple trên số nguyên và đa thức Tên lệnh AFactor coeff collect compoly content degree Divide divide Eval Factor Gcd gcd gcdex

has icontent ifactor igcd ilcm

Chức năng Phân tích triệt để một đa thức (P) ra thừa số trên bao đóng đại số của trường các hệ số Trích hệ số của đơn thức xn trong đa thức p

Cú pháp AFactor (P) coeff(p,x,n) coeff(p,x^n) collect(a,x)

Xếp các số hạng của đa thức vào các nhóm theo luỹ thừa của biến x Xác định đa thức hợp tức là tìm các cặp đa compoly(r) thức p, q (nếu có) để r = p(q(.)) Lấy ước số chung lớn nhất của các hệ số conten (a,x) theo biến x Bậc của đa thức degree(a,x) Kiểm tra tính chia hết của đa thức a cho đa Divide(a,b,'q') thức b và nếu xảy ra thì cho kết quả thương q Kiểm tra tính chia hết của đa thức a cho đa divide(a,b,'q') thức b và kết quả thương q Tính giá trị của đa thức tại một điểm Eval (a,x=n) Phân tích đa thức nhiều biến ra thừa số Factor(a,K) trên trường mở rộng đại số K Tìm UCLN của hai đa thức a, b và cho biết Gcd(a,b,s,t) thương của chúng đối với uớc chung này Tìm UCLN của hai đa thức a,b gcd(a,b) Sử dụng thuật toán Euclid suy rộng để tìm gcdex(a,b,x,s,t) UCLN d của hai đa thức a, b và các đa thức s, t sao cho sa + bt = d Kiểm tra xem trong biểu thức f có thành has(f,x) phần x hay không. Tìm UCLN của các hệ số của đa thức f icontent (f(x)) Phân tích số nguyên n ra thừa số nguyên tố ifactor(n) Tìm UCLN của các số nguyên igcd(a,b,..,y,z) Tìm BCNN của các số nguyên ilcm(a,b,..,y,z)

19

igcdex

Dùng thuật toán Euclid tìm hai số s, t thoả igcdex(a,b,'s','t') mãn điều kiện sa + tb = gcd(a,b). iquo Tìm thương nguyên của hai số nguyên và iquo(m,n) cho biết dư r quo Tìm thương trong phép chia hai đa thức a quo(a,b,'r') cho b irem Tìm dư trong phép chia hai số nguyên a, b irem(a,b) rem Tìm dư trong phép chia hai đa thức f, g rem(f,g) Irreduc Kiểm tra tính bất khả quy của đa thức nhiều Irreduc(a) biến irreduc Kiểm tra tính bất khả quy của đa thức irreduc(a) Lcm Tìm BCNN của các đa thức Lcm(a,b,..) lcm Tìm BCNN của các đa thức hệ số hữu tỉ lcm(a,b,..) maxnorm Tính chuẩn của đa thức f tức là tính hệ số maxnorm(f) có giá trị tuyệt đối lớn nhất trong các hệ số của đa thức f minpoly Tìm đa thức bậc nhỏ nhất không vượt quá minpoly(r,n) n nhận xấp xỉ r của một số đại số làm nghiệm nextprime Tìm số nguyên tố ngay sau số x đã cho nextprime(x) normal Đưa biểu thức (f) về dạng chuẩn tắc normal(f) power Tính luỹ thừa bậc n của đa thức f power(f)

20

Kết luận Với một số kết quả về đa thức, luận văn cố gắng minh hoạ vai trò quan trọng của đa thức một biến trong các nội dung nghiên cứu và giảng dạy về phương diện đại số, số học và tin học. Ngoài ra, luận văn cố gắng minh họa một trong những động lực của sự phát triển của số học hiện đại: tương tự giữa số nguyên và đa thức. Một vài kết quả gần đây về sự tương tự đó sẽ được đề cập tới. Mặt khác, luận văn cũng thực hành tính toán với đa thức trên phần mềm tính toán Maple. Một số kết quả chính thu được của luận văn gồm: • Chỉ ra một số tương tự giữa số nguyên và đa thức. • Sử dụng công cụ đa thức, chứng minh được tính vô hạn của tập số nguyên tố. • Chứng minh được rằng, không tồn tại đa thức hệ số nguyên nhận giá trị nguyên tố vơi mọi giá trị nguyên dương của biến. • Chỉ ra điều kiện cần và đủ để một đa thức nhận giá trị nguyên khi biến nhận giá trị nguyên. • Chỉ ra điều kiện cần và đủ để một đa thức nhận giá trị chính phương khi biến nhận giá trị chính phương. • Diễn đạt và chứng minh được hai dạng mở rộng thực sự và một số tương tự của định lý Davenport đối với đa thức. • Thực hành tính toán với đa thức trên Maple: kiểm tra tính bất khả quy; tìm đa thức cực tiểu của số đại số; tìm số các đa thức bất khả quy có bậc n lấy hệ số trên trường hữu hạn; tìm tòi sự tương tự giũa số nguyên và đa thức trên Maple. • Lập bảng các câu lệnh thuờng dùng trên Maple trong tính toán với số nguyên và đa thức (tên lệnh, chức năng, cú pháp).

21

Một phần nội dung chính trong chương 1 của luận văn này đã được công bố trong một bài báo trên Tạp chí Giáo dục, vào năm 2007 (xem [4]). Nếu như các số nguyên tương ứng với đa thức một biến thì các đa thức nhiều biến tương ứng với đối tượng nào? Câu hỏi đó thuộc một hướng nghiên cứu đang mới và là một vấn đề mở tiếp theo của luận văn.

22

Tài liệu tham khảo

[1] [2] [3] [4]

[5]

Tiếng Việt Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. Nguyễn Thành Quang (2003), Số học hiện đại, Đại học Vinh. Nguyễn Thành Quang (2005), Lý thuyết trường và Lý thuyết Galois, Đại học Vinh. Nguyễn Thành Quang, Phan Đức Tồn (2007), Sự tương tự hóa giữa số nguyên và đa thức trong nghiên cứu và giảng dạy số học, Tạp chí Giáo dục, Số 11/2007, 70-72. Tiếng Anh H.Davenport (1965), On f 3 (t ) − g 2 (t ) , Norske Vid. Selsk. Forh.

(Trondheim), 38, 86-87. [6] R.C.Mason (1984),Equations over functions field, Lecture Notes in Math., Springer, 1068, 149-157. [7] Nguyen Thanh Quang and Phan Duc Tuan (2007), A Note on Browkin-Brzezinski's Cojecture, International Journal of Contemporary Mathematical Sciences (Published by Hikari Ltd), Vol. 2 , No. 27, 1335 -1340. [8] Nguyen Thanh Quang and Phan Duc Tuan (2007), An estension of Davenport theorem, Scientia Magna, Vol. 3 , No. 3, 9 - 13. [9] V. Prasolop (2004), Polynomial, Springer - Verlag Berlin Hiedenberg. [10] Waterloo Maple Inc. (2004), Maple 9.50.