Nociones De Limite Y Ad

EJERCITACIÓN

CÁLCULO

DE LÍMITES

MATEMÁTICA 5

SEMANA 6/7 AL 17/7 Prof. Viviana LLoret http://aulamatic.blogspot.com mail: [email protected]

1

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Dada una función f : A → R ( R ⊆ A) y un punto a ∈ A, estudiaremos el comportamiento de la función en un entorno reducido de a . Entorno reducido de a : (a - b ; a + b ) - { a } ( ) a -b

a a+b

Sea f R → R dada por f(x) = 2 x - 3 y a = 4. Estudiaremos el comportamiento de Y=2x-3 f(x) en un entorno reducido de 4. 5

4

x<4 X 3,8 3,9 3,98 3,999

2x -3 4,6 4,8 4,98 4,998

x>4 X 4,1 4,05 4,01 4,001

2x -3 5,2 5,1 5,02 5,002

Observando las tablas se ve que los valores de la función tienden a 5 cuando x se aproxima por la izquierda , y por la derecha . Decimos entonces: lím (2x-3)=5 x →4lím (2x-3)=5 x →4+ Como: lím ( 2 x - 3 ) = lím ( 2 x - 3 ) = 5 x →4x →4+ ⇒ existe

el límite de la función para x tendiendo a 4 y es :

lím (2x-3)=5 x →4 Otro ejemplo : Sea f : R → R , dada por f(x) =

 1/ 2 x + 3  5

Calcular el límite de f(x) cuando x tiende a 2.

si x < 2

5 5 4

si x > 2, 2

Gráficamente se ve que la función tiende a 4 cuando x se aproxima por la izquierda a 2 y tiende a 5 cuando x se aproxima a 2 por derecha. lím f(x ) = 4 lím f( x ) x →2 ⇒ NO EXISTE x → 2 lím f(x) = 5 x →2+ En general Si

lim f(x) = L1 ∈ R x →alim f(x) = L2 ∈ R y L1≠ L2 entonces no existe lím f( x ) + x →a x →a

2

Propiedades de los límites: Las propiedades que se enuncian a continuación, serán de utilidad para el cálculo de límites. Sea f y g dos funciones tales que lim f(x) = L1 x →a y lim g(x) = L2 L1 y L2 ∈ R x →a Propiedad I: El límite de una suma de dos funciones es igual a la suma de sus límites. Lim [ f(x) + g(x) ] = lim f(x) + lim g(x)= L1 + L2 x →a x →a x →a Propiedad II : El límite de la diferencia entre dos funciones es igual a la diferencia de sus límites. Lim [ f(x) - g(x) ] = lim f(x) - lim g(x)= L1 - L2 x →a x →a x →a Propiedad III: El límite del producto entre dos funciones es igual al producto de sus límites. Lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) . lim g(x)= L1 . L2 x →a x →a x →a Propiedad IV : El límite del cociente entre dos funciones es igual al cociente de sus límites. Lim [ f(x) : g(x) ] = lim f(x) : lim g(x)= L1 : L2 Si L2 ≠ 0 x →a x →a x →a Recordar Límites infinitos lim 1 =∞ x→0 x

Límites para x → ∞ lim 1 =0 x →∞ x

Ejemplos: lím (2 x + 1) = + ∞ x→ ∞ lím 1 = 0 2 x→ ∞ x +1 Límites indeterminados: Muchas veces la aplicación directa de las propiedades de los límites conduce a expresiones indeterminadas.(0/0 ; ∞ / ∞ ; ∞ - ∞ ; etc) Ejemplos: lím x→1

x2-1 = x-1

lím ( 5 x 3- 2 x ) = x→ ∞

3

lím ( 5 x 2+ 3 ) = x → ∞ (2 x 3+ x ) EJERCITACION LÍMITE 1- Calcular los siguientes límites : a- lim ( x 2 + 5√ 10 x + 2 ) = x →3 b- lim ( x 3 √ x + 2 ) = x →-1 c- lim ( x 2 + 1) (x3 -3 x ) = x →2 d- lim x →1/2

3 1-2x

=

e- lim ( cos x - 3 ) = x →π f-

log 2 ( 6 + x 2 ) = x2

lím x →√2

2- Calcular los siguientes límites : 3 x 5+ 5 x = x→∞ 2 x 2 - x

a- lím b-

lím x 3- 1 = x→1 x-1

c-

lím x→∞

d-

lím x→3

e- lím x→-1

f-

lím x→3

g-

lím x→1/2

h) lím x→3

i-

lím x→-2

j- lím x→-1

k- lím x→0

x3 = x +x 2

1/x - 1/3 = x-3 x 4 -1 = x 5+ 1 x 2 - 2x - 3 = x-3 2 x 2 - 7x + 3 = 2 x 2 - 5x + 2 x 2 - 4x + 3 = x2-9 x 5 + 32 x 2 - 4x - 12

=

3x + 3 = x 2 + 2x + 1 √x + 3 - √ 3 x

=

4

l- lím x→1

2x-2 √x - 1

m - lím x→1

x √(x

2

= (La raíz abarca solo a x)

= +1) - 1

(la raíz abarca a x2 +1, solamente)

3- Calcular los siguientes límites : sen2 x = x→0 x

a-lím

b- lím x→0

c- lím x→0

d- lím x→0

sen 5x = 3x

Límite de sen x para x →0 x Lím sen x = 1 x →0 x

sen3 4x = x sen 5x = tg 3 x

4- Hallar a ∈ R que verifique : a- lím -1  =- 4 x→a  x2 b- lím

(x2 + 4 x - 3) = 2

x→a 5-

6-

7-

8-

9-

5

6

7

8

9

10