Nilton -derivadas.docx

UNIVERSISDAD NACIONAL TORIBIO RODRIGUEZ DE MENDOZA Facultad de ingeniería civil y ambiental

TEMA

:

LA DERIVADA CURSO

:

CALCULO DIFERENCIAL DOCENTE : ROJAS CASTILLO, Juan ESCUELA

:

INGENIERÍA CIVIL ALUMNO

:

BAUTISTA DIAZ, Nilton CICLO

: II

Chachapoyas 26 mayo

INTRODUCCIÓN: El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. En este trabajo eh tratado de desarrollar ejercicios sobre derivadas, las cuales están de un forma muy explicada y ordenada, para así sea comprendido para los alumnos que necesiten comprender mas sobre el tema. La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable. Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado. Por este motivo dedicaremos especial atención a como derivar funciones compuestas, funciones implícitas, así como a efectuar diversas derivaciones sobre una misma función. El concepto de derivada segunda de una función - derivada de la derivada de una función- también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta o disminuye. Así el concepto de convexidad y concavidad -aspectos geométricos o de forma- de una función están relacionados con el valor de la derivada segunda.

OBJETIVOS:  Fortalecer la enseñanza mediante el desarrollo de los distintos ejercicios relacionados a la derivada de las distintas funciones que existen en la matemática, con el apoyo del maestro responsable de este curso y las aplicaciones eficientes de los aprendizajes en el segundo ciclo de la Facultad de Ingeniería Civil y Ambiental de la Universidad Nacional Toribio Rodríguez de Mendoza de Amazonas. OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Desarrollar nuestras habilidades y destrezas en el desarrollo de la derivada, con los conocimientos obtenidos en matemática básica, en el primer ciclo de escuela profesional de ingeniería civil.  Aumentar nuestros conocimientos básicos en el desarrollo de las derivadas.  Proporcionar a mis compañeros los conocimientos básicos y técnicas acerca del desarrollo de las distintas funciones en la derivada.

1. Derivar las siguientes funciones a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 5𝑥 + 1 𝑓 ′ (𝑥) = 2(3)𝑥1 − 1(5)𝑥 0 + 0(1) 𝑓 ′ (𝑥) = 6𝑥 − 5 b) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑓′(𝑥) = 2(𝑎)𝑥1 + 1(𝑏)𝑥 0 + 0(𝑐) 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑎𝑥 + 𝑏 𝑥3

4

1

c) 𝑓(𝑥) = 0,8 √𝑥 − 0,3 + 5𝑥 2 1 1 10 1 (0,8)𝑥 4−1 − 3 ( ) 𝑥 2 − 2 ( ) 𝑥 −3 4 3 5 3 1 2 𝑓 ′(𝑥) = 𝑥 −4 − 10𝑥 2 − 𝑥 −3 5 5 1 2 𝑓 ′(𝑥) = 4 − 10𝑥 2 − 3 5𝑥 5√𝑥 3 1 3 4 2 d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 𝑥 + 2,5𝑥 − 0,3 + 0,1 1 25 3 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 3 − 3 ( ) 𝑥 2 + 2 ( ) 𝑥1 − 1 ( ) 𝑥 0 + 0(0,1) 3 10 10 3 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 3 − 𝑥 2 + 5𝑥 − 10 3 3 e) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + √2

𝑓 ′(𝑥) =

1 1 3 𝑓′(𝑥) = 𝑥 3−1 + 0( √2) 3 1 2 𝑓′(𝑥) = 𝑥 −3 3 𝑓′(𝑥) = 1

1 3

3 √𝑥 2

4

f) 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 − 𝑥 + √3 𝑓′(𝑥) =

1 1 4 (2)𝑥 2−1 − (−1)𝑥 −1−1 + 0( √3) 2 1

𝑥

𝑛

𝑥2

g) 𝑓(𝑥) = 𝑛 + 𝑥 + 𝑚2 +

𝑚2

𝑓′(𝑥) = (1)

𝑓 ′(𝑥) = 𝑥 −2 + 𝑥 −2 1 1 𝑓 ′(𝑥) = 2 + 𝑥 √𝑥

𝑥2

𝑥0 𝑥1 + (−1)𝑛𝑥 −1−1 + 2 2 + (−2)𝑚2 𝑥 −2−1 𝑛 𝑚

𝑓′(𝑥) =

1 𝑥 − 𝑛𝑥 −2 + 2 2 −2𝑚2 𝑥 −3 𝑛 𝑚

1 𝑛 𝑥 2𝑚2 𝑓′(𝑥) = − 2 + 2 2 − 3 𝑛 𝑥 𝑚 𝑥

2. 𝑆𝑖 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2√𝑥. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓′(1). 𝑓′(4) 1

1

𝑓′(𝑥) = 1(3)𝑥 0 − 2 (2)𝑥 2−1 1

𝑓′(𝑥) = 3 − 𝑥 −2 𝑓′(𝑥) = 3 − 𝑓′(1) = 3 −

1 √𝑥 1

𝑓′(4) = 3 −

√1

5

𝑓′(1) = 2 3,Si 𝑓(𝑥) =

𝑓′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) =

1 √4

𝑓′(4) = 2

𝑥 2 −5𝑥−1 𝑥3

1

Hallar: 𝑓′(−1), 𝑓′ ( ) 𝑎

𝑥 3 (2𝑥−5)−(𝑥 2 −5𝑥−1)(3𝑥 2 ) 𝑥6 2𝑥 4 −5𝑥 3 −3𝑥 4 +15𝑥 3 +3𝑥 2 𝑥6 4 3 −𝑥 +10𝑥 +3𝑥 2 𝑥6 −𝑥 2 +10𝑥+3 𝑥4 −(−1)2 +10(−1)+3

𝑓′(−1) =

−1−10+3

𝑓′(−1) =

𝑎

1 ( )4

1

1

𝑓′ ( ) =

1

𝑎

1

𝑓′(−1) = −8

1 𝑎

−( ) +10( )+3

𝑓′ ( ) =

(−1)4

1 2 𝑎

1

𝑓′ ( ) = 𝑎

1

𝑓′ ( ) = 𝑎

𝑎 10

− 2 + +3 𝑎 𝑎

1 𝑎4 −1+10𝑎+3𝑎 𝑎2 1 𝑎4 −1+13𝑎 𝑎2 1 𝑎4

1

𝑓′ ( ) = −𝑎2 + 13𝑎3 𝑎

4.En los siguientes ejercicios derivar las funciones que se indican a) 𝑦 = (𝑥 2 − 3𝑥 + 3)(𝑥 2 + 2𝑥 − 1) 𝑦′ = (2𝑥 − 3)(𝑥 2 + 2𝑥 − 1) + (2𝑥 + 2)(𝑥 2 − 3𝑥 + 3) 𝑦 ′ = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 2 − 6𝑥 − 2𝑥 + 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 2 − 6𝑥 2 − 6𝑥 + 6𝑥 + 6 𝑦 ′ = 4𝑥 3 − 3𝑥 2 + −8𝑥 + 9 2

b) 𝑦 = (

√

′

3

3

− √3) (4𝑥 √𝑥 + 𝑥 3

3

𝑦 = (4√𝑥) (4𝑥 √𝑥 + 3

√𝑥 2 ) 3𝑥

𝑦 ′ = (4√𝑥) (16𝑥√𝑥 √𝑥 +

√𝑥 2 3𝑥

)

2 +( 𝑥 √ 3

4𝑥 √𝑥 ) 3𝑥

1

3

− √3) (4 √𝑥 + 4𝑥 2 √𝑥

+(

3

3 √𝑥 2

12𝑥 3 +4𝑥

− √3) (

3

3 √𝑥 2

+

+

6𝑥 2 3 −9√𝑥 3 √𝑥 9𝑥 2

2𝑥−9𝑥 3 3

9𝑥 2 √𝑥

)

)

c) 𝑦 = (𝑥 2 − 1)(𝑥 2 + 4)(𝑥 2 − 9) 𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥 2 − 1)+ln(𝑥 2 + 4) + 𝑙𝑛(𝑥 2 − 9) 𝑦′ 2𝑥 2𝑥 2𝑥 = 2 + 2 + 2 𝑦 𝑥 −1 𝑥 −4 𝑥 −9 𝑦′ 1 1 1 = 2𝑥 ( 2 + 2 + 2 ) 𝑦 𝑥 −1 𝑥 −4 𝑥 −9 1 1 1 𝑦′ = 2𝑥(𝑥 2 − 1)(𝑥 2 + 4)(𝑥 2 − 9) ( 2 + 2 + 2 ) 𝑥 −1 𝑥 −4 𝑥 −9

d) 𝑦 =

𝑦′ =

𝑥+1

𝑥−1 𝑥−1−(𝑥+1)

𝑦′ = 𝑦=

e)

𝑦′ = 𝑦′ = 𝑦′ = 𝑓)

𝑦=

(𝑥−1)2 −2 (𝑥−1)2 1−𝑥 3 1−𝑥 3 −3𝑥 2 (1−𝑥 3 )−3𝑥 2 (1−𝑥 3 ) (1−𝑥 3 )2 −3𝑥 2 (1+𝑥 3 +1−𝑥 3 ) (1−𝑥 3 )2 −6𝑥 2 (1−𝑥 3 )2

𝑥 2 +1 3(𝑥 2 −1)

+ (𝑥 2 − 1)(1 − 𝑥) Solución

𝒅𝒚

= 𝒅𝒙

𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒚

= =

= 𝒅𝒙

𝟏 𝟐𝒙(𝒙𝟐 −𝟏)−𝟐𝒙(𝒙𝟐 +𝟏) 𝟑

(

(𝒙𝟐 −𝟏)𝟐

𝟏 𝟐𝒙𝟑 −𝟐𝒙−𝟐𝒙𝟑 −𝟐𝒙 𝟑 𝟏

(

(

(𝒙𝟐 −𝟏)𝟐 −𝟒𝒙

𝟑 (𝒙−𝟏)𝟐 (𝒙+𝟏)𝟐

) + (𝟐𝒙(𝟏 − 𝒙) + (𝒙𝟐 − 𝟏))

) + (𝟐𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 − 𝟏)

) − (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏)

−𝟒𝒙−𝟑(𝒙−𝟏)𝟒 (𝒙+𝟏)𝟐 𝟑(𝒙−𝟏)𝟐 (𝒙+𝟏)𝟐

g) y=

𝑎𝑥+𝑏𝑥 2

𝑎𝑚+𝑏𝑚2

Solución: ′

𝑦 ′= 𝑦 ′=

′

( 𝑎𝑥+𝑏𝑥 2 ) (𝑎𝑚+𝑏𝑚2 )−(𝑎𝑚+𝑏𝑚2 ) ( 𝑎𝑥+𝑏𝑥 2 ) (𝑎𝑚+𝑏𝑚2 )2 (𝑎+2𝑏𝑥)(𝑎𝑚+𝑏𝑚2 ) (𝑎𝑚+𝑏𝑚2 )2

(𝑎+2𝑏𝑥)

= (𝑎𝑚+𝑏𝑚)

(𝑎+2𝑏𝑥)

𝑦 ′ = (𝑎𝑚+𝑏𝑚)

𝑎−𝑥

h) y = 1+𝑥 ; hallar 𝑓 ′ (1) Solución:

𝑦′ = 𝑦′ =

(𝑎−𝑥)′ (1+𝑥)−(1+𝑥)′ (𝑎−𝑥) (1+𝑥)2 (−1)(1+𝑥)−(𝑎−𝑥) (1+𝑥)2

𝑓 ′ (1) = −

=

−(1+𝑎) (1+𝑥)2

(1+𝑎) 4

i) y = (𝑥 3 − 3𝑥 + 2)(𝑥 4 + 𝑥 2 − 1) Solución: ′

𝑦 ′ = (𝑥3 − 3𝑥 + 2) (𝑥 4 + 𝑥 2 − 1) + (𝑥 3 − 3𝑥 + 2)(𝑥 4 + 𝑥 2 − 1)′ 𝑦 ′ = (3𝑥 2 -3) (𝑥 4 + 𝑥 2 − 1)+ (4𝑥 3 + 2𝑥)(𝑥 3 − 3𝑥 + 2)

𝑦 ′ =3𝑥 6 +3𝑥 4 -3𝑥 2 -3𝑥 4 -3𝑥 2 + 3 + 4𝑥 6 − 12𝑥 4 + 8𝑥 3 + 2𝑥 4 − 6𝑥 2 + 4𝑥 𝑦 ′ = 7𝑥 6 − 10𝑥 4 + 8𝑥 3 − 12𝑥 2 + 4𝑥 + 3

j) 𝑦 = (√𝑥 + 1)(

1 √𝑥

− 1)

Solución: ′

1

1

√

√

𝑦 ′ = (√𝑥 + 1) ( 1

1−√𝑥

√

√𝑥

𝑦 ′ = (2 𝑥) ( 𝑦′ =

− 1) + ( 𝑥

)−

√𝑥(1−√𝑥)−√𝑥−1 2√𝑥 3

(√𝑥+1) 2√𝑥 3

=−

𝑥+1 2√𝑥 3

′

− 1) (√𝑥 + 1) 𝑥

k) 𝑦 = (1 + √𝑥)(1 + √2𝑥)(1 + √3𝑥) ln(𝑦) = ln(1 + √𝑥) + ln(1 + √2𝑥) + ln(1 + √3𝑥) (ln(𝑦))′ = (ln(1 + √𝑥) + ln(1 + √2𝑥) + ln(1 + √3𝑥))′ 𝑦′ 𝑦

=

(1+√𝑥)′ (1+√𝑥)

+

(1+√2𝑥)′ (1+√2𝑥)

+

1

𝑦 ′ = 𝑦(2

√𝑥(1+√

(1+√3𝑥)′ (1+√3𝑥)

+ 𝑥)

(1+√2𝑥)(1+√3𝑥)

𝑦′ =

2√𝑥

1

3

√2𝑥(1+√2𝑥)

+

+ 2√3𝑥(1+√3𝑥)

(1+√𝑥)(1+√3𝑥) √2𝑥

𝑥 3 −2𝑥

l) 𝑦 = 𝑥 2 +𝑥+1 Solución: ′

′

𝑦 = 𝑦′ = 𝑦′ = 𝑦′ =

′

(𝑥 3 −2𝑥) (𝑥 2 +𝑥+1)−(𝑥2 +𝑥+1) (𝑥3 −2𝑥) (𝑥 2 +𝑥+1)2 (3𝑥 2 −2)(𝑥 2 +𝑥+1)−(2𝑥+1)(𝑥 3 −2𝑥) (𝑥 2 +𝑥+1)2 3𝑥 4 +3𝑥 3 +3𝑥 2 −2𝑥 2 −2𝑥−2−2𝑥 4 +4𝑥2 −𝑥 3 +2𝑥 (𝑥 2 +𝑥+1)2 𝑥 4 +2𝑥 3 +5𝑥 2 −2 (𝑥 2 +𝑥+1)2

m) 𝑦 ′ =

𝑥 2 −𝑥+1 𝑎2

Solución: ′

𝑦′ = 𝑦′ =

(𝑥 2 −𝑥+1) (𝑎2 ) 𝑎4 (𝑥 2 −𝑥+1) 𝑎2

+

(1+√𝑥)(1+√2𝑥) 2√3𝑥

3

n) 𝑦 = (1−𝑥 2 )(1−2𝑥 3 ) solución: ′

𝑦′ =

−3[(1−𝑥 2 )(1−2𝑥 3 )] [(1−𝑥 2 )(1−2𝑥 3 )]2

𝑦′ =

−3[(1 − 𝑥 2 )′ (1 − 2𝑥 3 ) + (1 − 𝑥 2 )(1 − 2𝑥 3 )′ ] [(1 − 𝑥 2 )(1 − 2𝑥 3 )]2

𝑦′ =

−3[(−2𝑥)(1 − 2𝑥 3 ) + (1 − 𝑥 2 )(−6𝑥 2 )] [(1 − 𝑥 2 )(1 − 2𝑥 3 )]2

𝑦′ =

6𝑥 18𝑥 2 + (1 − 2𝑥 3 )(1 − 𝑥 2 )2 (1 − 𝑥 2 )(1 − 2𝑥 3 )2

𝑦 ′ = 6𝑥[(1 − 2𝑥 3 )−1 (1 − 𝑥 2 )−2 + 3𝑥(1 − 𝑥 2 )−1 (1 − 2𝑥 3 )−2 ]

3

o) 𝑦 = 5−𝑥 +

𝑥2 5

; ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑓 ′(0); 𝑓 ′(2)

solución: ′

3 ′ 𝑥2 𝑦′ = ( ) +( ) 5−𝑥 5 𝑦′ =

−3(5 − 𝑥)′ 10𝑥 + (5 − 𝑥)2 25

𝑦′ =

3 10𝑥 + (5 − 𝑥)2 25

𝑦′ =

3 2𝑥 + 2 (5 − 𝑥) 5 3

2(0)

3

5 2(2)



𝑓 ′(0) = (5−0)2 +



𝑓 ′(2) = (5−2)2 +

5

3

=5 17

= 15

1

p) 𝑦 = (1 + 𝑥 3 ) + (5 − 𝑥 2 ) ; ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑓 ′(1) solución: 𝑦 ′ = (1 + 𝑥 3 )′ + (5 −

1 ′ ) 𝑥2

𝑦 ′ = 3𝑥 2 +2𝑥 −3 𝑓 ′(1) = 3(1)2 +2(1)−3 = 3 +2 = 5

5. En los ejercicios siguientes derivar las funciones que se indican. a) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐)(𝑥 − 𝑑) solución: 𝑙𝑛𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐)(𝑥 − 𝑑) 𝑙𝑛𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 − 𝑎) + 𝑙𝑛(𝑥 − 𝑏) + 𝑙𝑛 (𝑥 − 𝑐) + 𝑙𝑛 (𝑥 − 𝑑) 𝑓 ′ (𝑥) 𝑓(𝑥)

=

(𝑥−𝑎)′ (𝑥−𝑎)

+

(𝑥−𝑏)′ (𝑥−𝑏)

+

(𝑥−𝑐)′ (𝑥−𝑐)

(𝑥−𝑑)′

+ (𝑥−𝑑)

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐)(𝑥 − 𝑑) [(𝑥−𝑎) + (𝑥−𝑏) + (𝑥−𝑐) + (𝑥−𝑑)] 𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐)(𝑥 − 𝑑) [(𝑥−𝑎) + (𝑥−𝑏) + (𝑥−𝑐) + (𝑥−𝑑)] 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥[((𝑥 − 𝑐)(𝑥 − 𝑑)(2𝑥 − 𝑎 − 𝑏)) + ((𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(2𝑥 − 𝑑 − 𝑐))]

b) 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 1)4 solución:

𝑓 ′(𝑥) = 4(𝑥 2 + 1)3 (𝑥 2 + 1)′ 𝑓 ′(𝑥) = 4(𝑥 2 + 1)3 (2𝑥) 𝑓 ′(𝑥) = 8𝑥[𝑥 6 + 3𝑥 4 + 3𝑥 2 + 1] 𝑓 ′(𝑥) = 8𝑥 7 + 24𝑥 5 + 24𝑥 3 + 8𝑥

c) 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)20 solución: 𝑓′(𝑥) = 20(1 − 𝑥)19 (1 − 𝑥)′ 𝑓′(𝑥) = −20(1 − 𝑥)19 𝑓′(𝑥) = −20 [1 − 19𝑥 +

19𝑥 2

+ ⋯−

19𝑥 2

𝑓′(𝑥) = −20(1 − 𝑥) 𝑓 ′(𝑥) = −20 + 20𝑥 D) → f(x) = (1 + 2𝑥)30 𝑓 ′ (x) = 30(1 + 2𝑥)30−1 (1 + 2𝑥)′ 𝑓 ′ (x) = 60(1 + 2𝑥)29

+ 19𝑥 − 𝑥]

E) → f(x) = (1 − 𝑥 2 )10 𝑓 ′ (x) = 10(1 − 𝑥 2 )10−1 (1 − 𝑥 2 )′ 𝑓 ′ (x) = 10(1 − 𝑥 2 )9 (-2x) 𝑓 ′ (x) = -20x(1 − 𝑥 2 )9

F) f(x) = (5𝑥 3 + 𝑥 2 − 4)5 𝑓 ′ (x) = 5(5𝑥 3 + 𝑥 2 − 4)5−1 (5𝑥 3 + 𝑥 2 − 4)′ 𝑓 ′ (x) = 5 (5𝑥 3 + 𝑥 2 − 4)4 (15𝑥 2 + 2x) 𝑓 ′ (x) = 5(15𝑥 2 + 2x)(5𝑥 3 + 𝑥 2 − 4)4

G) f(x) = (𝑥 3 − 𝑥)6 𝑓 ′ (x) = 6(𝑥 3 − 𝑥)6−1 (𝑥 3 − 𝑥)′ 𝑓 ′ (x) = 6(𝑥 3 − 𝑥)5 (3𝑥 2 - 1) 𝑓 ′ (x) = 6(3𝑥 2 - 1)(𝑥 3 − 𝑥)5

4

H) f(x) = (7𝑥 2 −

𝑥

+ 6)6

7𝑥 3 −4+6𝑥

F(x) = (

𝑥

𝑓 ′ (x) = 6(

6

)

7𝑥 3 +6𝑥−4 6−1 7𝑥3 +6𝑥−4 ′ ) ( ) 𝑥 𝑥 ′

𝑓 ′ (x) = 6( 𝑓 ′ (x) = 6(

7𝑥 3 +6𝑥−4 5 (7𝑥 3 +6𝑥−4) (𝑥)−(𝑥)′ (7𝑥 3 +6𝑥−4) ) ( ) 𝑥 𝑥2

7𝑥 3 +6𝑥−4 5 (21𝑥 2 +6)(𝑥)−(7𝑥 3 +6𝑥−4) ) ( ) 𝑥 𝑥2

𝑓 ′ (x) = 6(

7𝑥 3 +6𝑥−4 5 21𝑥 3 +6𝑥−7𝑥 3 −6𝑥+4 ) ( ) 𝑥 𝑥2

𝑓 ′ (x) = 6(

7𝑥 3 +6𝑥−4 5 14𝑥 3 +4 ) ( 𝑥2 ) 𝑥 7𝑥 3 +2

𝑓 ′ (x) = 12(

𝑥2

)(

7𝑥 3 +6𝑥−4 5 ) 𝑥

′

′

𝑓 (x) = 𝑓 ′ (x) =

[(𝑥+4)2 ] (𝑥+3)− (𝑥+3)′ ((𝑥+4)2 ) (𝑥+3)2 2(𝑥+4)2−1 (𝑥+4)′ (𝑥+3)−(1)((𝑥+4)2 ) (𝑥+3)2

𝑓 ′ (x) =

2(𝑥+4)(1)(𝑥+3)− (𝑥+4)2

𝑓 ′ (x) = 𝑓 ′ (x) = 𝑓 ′ (x) =

i) 𝑓(𝑥) =

(𝑥+3)2 2𝑥 2 +14𝑥+24−𝑥 2 −8𝑥−16 (𝑥+3)2 𝑥 2 +6𝑥+8 (𝑥+3)2 (𝑥+4)(𝑥+2) (𝑥+3)2

(𝑥+4)2 𝑥+3

solución: ln 𝑓(𝑥) = ln

(𝑥 + 4)2 = ln(𝑥 + 4)2 − ln(𝑥 + 3) 𝑥+3

𝑓 ′ (𝑥) 2(𝑥 + 4)′ (𝑥 + 3)′ 2 1 = − = − (𝑥 + 4) (𝑥 + 3) (𝑥 + 4) (𝑥 + 3) 𝑓(𝑥) (𝑥 + 4)2 2 1 𝑓 ′ (𝑥) = ( )( − ) 𝑥 + 3 (𝑥 + 4) (𝑥 + 3) 𝑓

′ (𝑥)

2(𝑥 + 4) (𝑥 + 4)2 = − (𝑥 + 3)2 𝑥+3

j) 𝑓(𝑥) =

1+√𝑥 1+√2𝑥

solución: ′

′

𝑓

′ (𝑥)

=

(1 + √𝑥) (1 + √2𝑥) − (1 + √2𝑥) (1 + √𝑥) (1 + √2𝑥)2

√2𝑥 − 2√𝑥 √2𝑥 − 2√𝑥 2𝑥√2 𝑓 ′ (𝑥) = = 2 (1 + √2𝑥) 2𝑥√2(1 + √2𝑥)2 1 𝑓 ′ (𝑥) =

√2𝑥 − 2√𝑥 2𝑥√2(1 + √2𝑥)2

𝑥 𝑚 ) 1−𝑥

k) 𝑓(𝑥) = ( solución:

𝑥 𝑚 𝑥 ln 𝑓(𝑥) = ln( ) = 𝑚 ln( ) = 𝑚(ln(𝑥) − ln(1 − 𝑥) 1−𝑥 1−𝑥 𝑓 ′ (𝑥) 1 1 1 = 𝑚( + ) = 𝑚( ) 𝑓(𝑥) 𝑥 1−𝑥 𝑥(1 − 𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) =

𝑚(𝑥)𝑚−1 (1 − 𝑥)𝑚+1

l) 𝑓(𝑥) =

1 √1−𝑥 4 −𝑥 𝑛

Solución: 1

𝑓 ′ (𝑥) = (1 − 𝑥 4 − 𝑥 𝑛 )−2 𝑓 ′ (𝑥) = −

1 2√(1 − 𝑥 4 − 𝑥 𝑛 )3

3

1

m) 𝑓(𝑥) = √1+𝑥3 Solución: 1 1 1 𝑓 ′ (𝑥) = ( )3 = (1 + 𝑥 3 )−3 3 1+𝑥

1 𝑓 ′ (𝑥) = − 3 √(1 + 𝑥 3 )4 n) 𝑓(𝑥) =

1+𝑥 √1−𝑥

Solución: ′

𝑓

′ (𝑥)

=

(1 + 𝑥)′ (√1 − 𝑥) − (√1 − 𝑥) (1 + 𝑥) √1 − 𝑥

𝑓 ′ (𝑥) =

1 − 3𝑥 2(√1 − 𝑥)3

2

6. en los ejercicios siguientes derivar las funciones que se indican. a). y = sinx + cosx 𝑑

𝑑

𝑑

𝑑

= 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 - 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑦

𝑥

b). y = 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑

𝑑

= 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑑 (1−𝑐𝑜𝑠𝑥).(𝑥) 𝑑𝑥 (1−𝑐𝑜𝑠𝑥 )2

(𝑥).(1−𝑐𝑜𝑠𝑥)−

=

c) y = xsenx + cosx Solución y′ = x′senx + xsenx′ + cosx y′ = senx + xcosx − senx y′ = xcosx x

d) y = − senx+cosx Solución 𝑦′ = −( y′ = −( y′ = ( y′ = ( y′ = y′ =

x′ (senx+cosx)−x(senx+cosx)′

)

(senx+cosx)2

senx+cosx−xcosx−xsenx

)

(senx+cosx)2

− senx−cosx+xcosx+xsenx (senx+cosx)2

x(senx+cosx)−(senx+cosx) (senx+cosx)2

(senx+cosx)(x−1) (senx+cosx)2 x−1 senx+cosx

e). y′ = sen(senx) Solución y′ = cos(senx)senx′ y′ = cos(senx) cosx

)

)

(1−𝑐𝑜𝑠𝑥)−(𝑥)(1−𝑠𝑖𝑛𝑥) (1−𝑐𝑜𝑠𝑥 )2

1− √x

f) y′ = cosx 2 (1+

√x

)

Solución 1− √x

y′ = 2cosx(1+

1− √x

)( x 1+

√

√

)′

−1

1− √x

y’ = 2cosx (1+

√x

) ( 2√x 1 ) x 2√x

1− √x

y′ = −2cosx (1+

√x

)

g). y′ = sen(√1 + x 2 ) Solución y′ = cos(√1 + x 2 )(√1 + x 2 )′ 2x

y′ = cos(√1 + x 2 ) (

2(√1+ x2

)

x

y′ = cos(√1 + x 2 ) (√1+ 2 ) x

y′ =

xcos(√1+ x2 ) √1+ x2

h). y = xsecx 2 − tgx Solución y′ = x′secx 2 + x[secx 2 ]′ − tgx′ y′ = secx 2 + 2xsecx − secx 2 y′ = 2xsecx I) 𝑦 =

sin 𝑥 𝑥

𝑥

+ sin 𝑥

Solución: 𝑦 = sin 𝑥 . 𝑥 −1 + 𝑥. (sin 𝑥)−1 𝑦 𝐼 = (sin 𝑥. 𝑥 −1 ) + (𝑥. (sin 𝑥)−1 ) 𝐼

𝑦 𝐼 = [(sin 𝑥)𝐼 . 𝑥 −1 + sin 𝑥. (𝑥 −1 )𝐼 ] + [(𝑥)𝐼 . (sin 𝑥)−1 + 𝑥. {(sin 𝑥)−1} ] 𝑦 𝐼 = [cos 𝑥. 𝑥 −1 + (sin 𝑥. −𝑥 −2 )] + [ (sin 𝑥)−1 + 𝑥. −1(sin 𝑥)−2 . (sin 𝑥)𝐼 𝑦𝐼 = [

cos 𝑥

𝑦𝐼 = [

𝑥

−

sin 𝑥 𝑥2

1

] + [sin 𝑥 + (𝑥. −1(sin 𝑥)−2 . (cos 𝑥)]

cos 𝑥 sin 𝑥 1 𝑥. cos 𝑥 − ]+[ − ] 2 𝑥 𝑥 sin 𝑥 (sin 𝑥)2

j) 𝑦 = sec 𝑥 2 + csc 𝑥 2 Solución: 𝑦 𝐼 = 2 csc 𝑥. (sec 𝑥)𝐼 + 2 csc 𝑥 . (csc 𝑥)𝐼 𝑦 𝐼 = 2 sec 𝑥. (sec 𝑥. tan 𝑥) + 2 csc 𝑥. (− csc 𝑥. cot 𝑥) 𝑦 𝐼 = 2[(sec 𝑥)2 . tan 𝑥 − (csc 𝑥)2 . cot 𝑥]

𝑥 sin 𝑥

k) 𝑦 = 1+tan 𝑥 Solución: 𝑦𝐼 =

(𝑥 sin 𝑥)𝐼 (1 + tan 𝑥) − (1 + tan 𝑥)𝐼 (𝑥. sin 𝑥) (1 + tan 𝑥)2

𝑦𝐼 =

(sin 𝑥 + cos 𝑥. 𝑥). (1 + tan 𝑥) − (− sec 𝑥 2 )(𝑥 sin 𝑥) (1 + tan 𝑥)2

𝑦𝐼 =

(sin 𝑥. cos 𝑥. 𝑥). (1 + tan 𝑥) + (sec 𝑥 2 ). (𝑥 sin 𝑥) (1 + tan 𝑥)2

l) 𝑦 = 3 sin(3𝑥 + 5) Solución: 𝑦 𝐼 = 3 sin( 3𝑥 + 5)𝐼 𝑦 𝐼 = 3 cos(3𝑥 + 5). (3𝑥 + 5)𝐼 𝑦 𝐼 = 3 cos(3𝑥 + 5). 3 𝑦 𝐼 = 9 cos(3𝑥 + 5)

1

m) 𝑦 = √1 + tan(𝑥 + 𝑥) Solución: 1

𝐼

𝐼

𝑦 = √1 + tan(𝑥 + 𝑥) 𝑦𝐼 =

1 𝑥

(1+ tan(𝑥+ ))

𝐼

1 𝑥

2√1+ tan(𝑥+ )

𝐼

𝑦 =

1 2 𝑥

0+(sec(𝑥+ ) .(𝑥.𝑥 −1 )𝐼 1 𝑥

2√1+ tan(𝑥+ )

1 2 𝑥

sec(𝑥+ ) .(1− 𝑥 −2 )

𝐼

𝑦 =

1 𝑥

2√1+ tan(𝑥+ ) 1 2

𝐼

𝑦 =

1

sec(𝑥+ ) .(1− 2 ) 𝑥 𝑥 1 𝑥

2√1+ tan(𝑥+ )

3

n) 𝑦 = cot √1 + 𝑥 2 Solución: 2

3

𝐼

3

𝑦 𝐼 = (sec √1 + 𝑥 2 ) ( √1 + 𝑥 2 ) 2

3

𝑦 𝐼 = (sec √1 + 𝑥 2 ) . (

2𝑥 3

3 √(1+𝑥 2 )2

)

7. En los siguientes ejercicios derivar las funciones que se indican.

a). y = (arcSenX)2 solución 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

2

1

= (√1−x2 ) 1

= 1−𝑥 2

𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑋

b). y =

𝑋

Solución 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

(arcCosX)´ X− arcCosX.(X)´ x2 −1

dy

= dx 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

√1−𝑥2

𝑋− arcCosX 𝑥2

−( 𝑋+arcCosX.√1−𝑥2 𝑥 2 √1−𝑥2

arcSenX

C). Y =

√1−𝑥2

Solución 𝑑𝑦 𝑑𝑥

(arcSenX)´ (√1−𝑥 2 )− arcSenX((√1−𝑥 2 )

=

1−𝑥 2 1

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

√1−x2

=

(1−𝑥2 )´ 2√1−𝑥2

√1−𝑥 2 − arcSenX 1−𝑥 2

1−arcSenX

=

(−2𝑋)(X)´ 2√1−𝑥2

1−𝑥 2 1+

=

arcSenX.X √1−𝑥2

1−𝑥 2

√1−𝑥 2 + arcSenX.X

=

(1−𝑥 2 )(√1−𝑥 2 )

d). y = √1 − (𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑋)2 solución 𝑑𝑦

= 𝑑𝑥

(1− (arcCosX)2 )´

2√1− (𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑋)2

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

2arcCosX.(arcCosX)´

=

2√1− (arcCosX)2 arcCosX.

−1

√1−𝑥2 √1− (arcCosX)2

=

−arcCosX

=

(√1−𝑥2 )(√1− (arcCosX)2 ) 4

1 e). y = 2 √𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛(√𝑋 2 + 2𝑋)

solución 𝑑𝑦 𝑑𝑥

1 1 [arcSen(√X2 +2X)]´

=

𝑑𝑦

244 √arcSen(√X2 +2X)

1

=8 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

´ (√1−𝑥2 ) 1−(X2 +2X)

=

4

√arcSen(√X2 +2X)

1 8

(X2 +2X)´ 2√X2 +2X 4

1−(X2 +2X)( √arcSen(√X2 +2X))

´

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑋−1

=

4

16.[1−(X2 +2X)( √arcSen(√X2 +2X))]√X2 +2X

F). y = X . arcSenX + √𝑋 − 1 Solución 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= [(X)´ arcSenX + X.(arcSenX)´ ] +(√𝑋 − 1)´ 1

1

= arcSenX + X. √1−𝑥 2 + 2√𝑋−1 =

(√1−𝑥 2 )(2√𝑋−1)+2𝑋√𝑋−1+ √1−𝑥 2 (√1−𝑥 2 )(2√𝑋−1)

g) 𝑦 = (arccos 𝑥 − arcsin 𝑥)𝑛 𝑦 ′ = 𝑛(arccos 𝑥 − arcsin 𝑥)𝑛−1 ∙ (arccos 𝑥 − arcsin 𝑥)′ 𝑦 ′ = 𝑛(arccos 𝑥 − arcsin 𝑥)𝑛−1 ∙ ((arccos 𝑥)′ − (arcsin 𝑥)′ ) 𝑦 ′ = 𝑛(arccos 𝑥 − arcsin 𝑥)𝑛−1 ∙ (− ′

𝑦 =

1 √1 − 𝑥 2

′ 𝑥 ) − (arctan 𝑥)′ 1 + 𝑥2

(𝑥)′ (1 + 𝑥 2 ) − (𝑥)(1 + 𝑥 2 )′ 1 𝑦 = − (1 + 𝑥 2 )2 1 + 𝑥2 ′

1 + 𝑥 2 − (𝑥)(2𝑥) 1 − (1 + 𝑥 2 )2 1 + 𝑥2

𝑦′ = −

2𝑥 2 (1 + 𝑥 2 )2

√1 − 𝑥 2

√1 − 𝑥 2

𝑥

𝑦′ =

1

)

−2𝑛(arccos 𝑥 − arcsin 𝑥)𝑛−1

h) 𝑦 = 1+𝑥 2 − arctan 𝑥 𝑦′ = (

−

i) 𝑦 = arctan(𝑥 − √1 + 𝑥 2 ) 1

𝑦′ =

1+(𝑥−√1+𝑥 2 )

𝑦′ = 𝑦′ = 𝑦′ =

2

∙ (𝑥 − √1 + 𝑥 2 )

1 1+(𝑥−√1+𝑥 2 )

2

∙ (1 −

1 2√1+𝑥 2

′

∙ 2𝑥)

√1+𝑥 2 −𝑥 2

(1+(𝑥−√1+𝑥 2 ) )(√1+𝑥2 ) √1+𝑥 2 −𝑥 2(1−𝑥√1+𝑥2 +𝑥 2 )(√1+𝑥 2 )

sin 𝑎∙sin 𝑥

j) 𝑦 = arcsin (1−cos 𝑎∙sin 𝑥) 𝑦′ =

1

sin 𝑎∙sin 𝑥

√1−( sin 𝑎∙sin 𝑥 )

′

∙ (1−cos 𝑎∙sin 𝑥) 2

1−cos 𝑎∙sin 𝑥

𝑦′ =

1 √1−( sin 𝑎∙sin 𝑥 )

2

∙(

(sin 𝑎∙sin 𝑥)′ (1−cos 𝑎∙sin 𝑥)−(sin 𝑎∙sin 𝑥)(1−cos 𝑎∙sin 𝑥)′ (1−cos 𝑎∙sin 𝑥)2

)

1−cos 𝑎∙sin 𝑥

𝑦′ =

1 √1 − ( sin 𝑎 ∙ sin 𝑥 ) 1 − cos 𝑎 ∙ sin 𝑥

𝑦′ =

(sin 𝑎 ∙ cos 𝑥)(1 − cos 𝑎 ∙ sin 𝑥) − (sin 𝑎 ∙ sin 𝑥)(1 − cos 𝑎 ∙ cos 𝑥) ( ) 2 (1 − cos 𝑎 ∙ sin 𝑥)2

1 2 √1 − ( sin 𝑎 ∙ sin 𝑥 ) 1 − cos 𝑎 ∙ sin 𝑥

∙

(sin 𝑎 ∙ cos 𝑥)(1 − cos 𝑎 ∙ sin 𝑥) − (sin 𝑎 ∙ sin 𝑥)(1 − cos 𝑎 ∙ cos 𝑥) ( ) (1 − cos 𝑎 ∙ sin 𝑥)2 𝑦′ =

𝑦′ =

1 2 √1 − ( sin 𝑎 ∙ sin 𝑥 ) 1 − cos 𝑎 ∙ sin 𝑥

∙

sin 𝑎 ∙ (cos 𝑥 − sin 𝑥) (1 − cos 𝑎 ∙ sin 𝑥)2

𝑠𝑖𝑛 𝑎 ∙ (𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥) (1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥)√1 − 2𝑐𝑜𝑠 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥

8. En los siguientes ejercicios derivar las funciones que se indican. a) 𝑦 = 𝑙𝑛2 𝑥 𝑦 ′ = 2 ln 𝑥 ∙ (ln 𝑥)′ = 2 ln 𝑥 ∙

1 2 ln 𝑥 = 𝑥 𝑥

b) 𝑦 = 𝑥 sin 𝑥 ln 𝑥 𝑦 ′ = 𝑥 ′ sin 𝑥 ln 𝑥 + 𝑥(sin 𝑥)′ ln 𝑥 + 𝑥 sin 𝑥 (ln 𝑥)′ 𝑦 ′ = sin 𝑥 ln 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 ln 𝑥 + 𝑥 sin 𝑥 ∙

1 𝑥

𝑦 ′ = sin 𝑥 ln 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 ln 𝑥 + sin 𝑥

c) 𝑦 =

1−ln 𝑥 1+ ln 𝑥

solución 𝑑𝑦 (1 − ln 𝑥)′ (1 + ln 𝑥) − (1 − ln 𝑥)(1 + ln 𝑥)′ = 𝑑𝑥 (1 + ln 𝑥)2 −1 1 ( 𝑥 )(1 + ln 𝑥) − (1 − ln 𝑥)(𝑥 ) 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 (1 + ln 𝑥)2 1 − ln 𝑥) 1 + ln 𝑥 −1 − ln 𝑥 − 1 + ln 𝑥 −( 𝑥 ) − ( 𝑑𝑦 𝑥 𝑥 = = 𝑑𝑥 (1 + ln 𝑥)2 (1 + ln 𝑥)2 𝑑𝑦 −2 = 𝑑𝑥 𝑥(1 + ln 𝑥)2

d) 𝑦 = √ln 𝑥

solución 1 (ln 𝑥)′ 𝑑𝑦 1 √ln 𝑥 𝑥 = = = = 𝑑𝑥 2𝑥 ln 𝑥 2√ln 𝑥 2√ln 𝑥 2𝑥(√ln 𝑥)

e) 𝑦 = 𝑥 𝑛 ln 𝑥

solución 𝑑𝑦 1 = ( 𝑥 𝑛 )′ ln 𝑥 + 𝑥 𝑛 (ln 𝑥)′ = 𝑛𝑥 𝑛−1 ln 𝑥 + 𝑥 𝑛 . 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 = 𝑛𝑥 𝑛−1 ln 𝑥 + 𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑛−1 (𝑛 ln 𝑥 + 1) 𝑑𝑥

f) 𝑦 =

ln 𝑥 1+ 𝑥 2

solución 1 (1 + 𝑥 2 ) − (ln 𝑥)(2𝑥) 𝑑𝑦 (ln 𝑥)′(1 + 𝑥 2 ) − (ln 𝑥)(1 + 𝑥 2 )′ 𝑥 = = 𝑑𝑥 (1 + 𝑥 2 )2 (1 + 𝑥 2 )2 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥

1 + 𝑥 2 − 2𝑥 2 ln 𝑥 𝑥 (1 + 𝑥 2 )2

𝑑𝑦 1 + 𝑥 2 − 2𝑥 2 ln 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑥(1 + 𝑥 2 )2

g) 𝑦 = √1 + (ln 𝑥)2

solución

⌊1 + (ln 𝑥)2 ⌋′ 𝑑𝑦 2 ln 𝑥(ln 𝑥)′ = = 𝑑𝑥 2√1 + (ln 𝑥)2 2√1 + (ln 𝑥)2 1 2 ln 𝑥(𝑥 ) 𝑑𝑦 2 ln 𝑥 = = 𝑑𝑥 2√1 + (ln 𝑥)2 2𝑥√1 + (ln 𝑥)2 𝑑𝑦 ln 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑥√1 + (ln 𝑥)2

h) 𝑦 = ln(𝑠𝑒𝑛𝑥)

solución 𝑑𝑦 (𝑠𝑒𝑛𝑥)′ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = = = 𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 i) 𝑦 = ln(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛√1 + 𝑥 2 ) 𝑦′ = 𝑦′ = 𝑦′ =

𝑦′ = 𝑦′ =

′

1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛√1+𝑥 2 1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛√1+𝑥 2

∙ (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛√1 + 𝑥 2 ) ∙

2

1+(√1+𝑥 2 )

1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛√1 +

′

1

𝑥2

1

∙ (√1 + 𝑥 2 ) 1

∙

1 + (√1 +

2

∙

2

∙

𝑥2)

1

∙

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛√1 + 𝑥 2 1 + (√1 + 𝑥 2 )

1 2√1 + 𝑥 2 1 2√1 + 𝑥 2

∙ (1 + 𝑥 2 )′

∙ 2𝑥

𝑥 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛√1 + 𝑥 2 )(2 + 𝑥 2 )(√1 + 𝑥 2 )

9. En los ejercicios siguientes derivar las funciones que se indican 𝑒𝑥

a) 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑦 , = (𝑒 𝑥 ), 𝑠𝑒𝑛𝑥 + (𝑠𝑒𝑛𝑥), 𝑒 𝑥 𝑦 , = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑒 𝑥 𝑦 , = 𝑒 𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) b) 𝑦 = 102𝑥−3 𝑦 , = 𝑙𝑛10. 102𝑥−3 . (2𝑥 − 3), 𝑦 , = 𝑙𝑛10. 102𝑥−3 . 2 c) 𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛

3𝑥 3

𝑦 , = 𝑙𝑛𝑎. 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 , 3

𝑦 , = 𝑙𝑛𝑎. 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . 3𝑠𝑒𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

3

d) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛 √𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 3𝑥 ) 𝑦, = 𝑦, =

1 3

𝑠𝑒𝑛 √𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 1 𝑠𝑒𝑛

3

,

3

(𝑠𝑒𝑛 √𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 3𝑥 ) 3𝑥

√𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 3𝑥

3

3

,

𝑐𝑜𝑠 √𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 3𝑥 (√𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 3𝑥 )

𝑦, =

1

3

3

𝑠𝑒𝑛 √𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 3𝑥

𝑐𝑜𝑠 √𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 3𝑥

1 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 3𝑥 ), 3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 3𝑥

3

𝑦, =

𝑐𝑜𝑠 √𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 3𝑥

1 1 (𝑒 3𝑥 ), 3𝑥 6𝑥 3𝑥 3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 1 + 𝑒 𝑠𝑒𝑛 √𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 3

3

,

𝑦 =

𝑐𝑜𝑠 √𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 3𝑥

1 1 𝑒 3𝑥 3𝑥 6𝑥 3𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 1 + 𝑒 𝑠𝑒𝑛 √𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 3

e) 𝑦 = 𝑒 √𝑙𝑛(𝑎𝑥

2 +𝑏𝑥+𝑐)

𝑦 , = 𝑒 √𝑙𝑛(𝑎𝑥

2 +𝑏𝑥+𝑐)

𝑦 , = 𝑒 √𝑙𝑛(𝑎𝑥

2 +𝑏𝑥+𝑐)

𝑦 , = 𝑒 √𝑙𝑛(𝑎𝑥

2 +𝑏𝑥+𝑐)

,

(√𝑙𝑛(𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐))

2𝑙𝑛(𝑎𝑥 2

1 , (𝑙𝑛(𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)) + 𝑏𝑥 + 𝑐)

2𝑙𝑛(𝑎𝑥 2

1 1 (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐), 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐

2

𝑒 √𝑙𝑛(𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐) 2𝑎𝑥 + 𝑏 𝑦 = 2 2𝑙𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ,

f)𝑦 =

𝑥 3 +2𝑥 𝑒𝑥

(𝑥 3 + 2𝑥 )´𝑒 𝑥 − (𝑥 3 + 2𝑥 )𝑒 𝑥 ´ 𝑦´ = 𝑒𝑥. 𝑒𝑥 𝑦´ =

(3𝑥 2 + 𝑙𝑛2. 2𝑥 )𝑒 𝑥 − (𝑥 3 + 2𝑥 )𝑒 𝑥 𝑒𝑥. 𝑒𝑥

𝑦´ =

𝑒 𝑥 [(3𝑥 2 + 𝑙𝑛2. 2𝑥 − 𝑥 3 − 2𝑥 ] 𝑒𝑥. 𝑒𝑥

𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 (𝒍𝒏𝟐 − 𝟏) 𝒚´ = 𝒆𝒙 1−10𝑥

g)𝑦 = 1+10𝑥

𝑦´ = 𝑦´ = 𝑦´ = 𝑦´ =

(1−10𝑥 )´(1+10𝑥 )−(1−10𝑥 )(1+10𝑥 )´ (1+10𝑥 )2 (−𝑙𝑛10.10𝑥 )(1+10𝑥 )−(1−10𝑥 )(𝑙𝑛10.10𝑥 ) (1+10𝑥 )2 −(𝑙𝑛10.10𝑥 )(1+10𝑥 )−(1−10𝑥 )(𝑙𝑛10.10𝑥 ) (1+10𝑥 )2 (𝑙𝑛10.10𝑥 )[−(1+10𝑥 )−(1−10𝑥 )] (1+10𝑥 )2

𝑦´ = 𝒚´ =

(𝑙𝑛10.10𝑥 )[−1−10𝑥 −1+10𝑥 ] (1+10𝑥 )2

−𝟐(𝒍𝒏𝟏𝟎. 𝟏𝟎𝒙 ) (𝟏 + 𝟏𝟎𝒙 )𝟐

h).𝑦 = 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑙𝑛𝑦 = ln𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑙𝑛𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛2𝑥. lne 𝑦´ = (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛2𝑥)´lne + (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛2𝑥)lne´ 𝑦 𝑦´ 2 =( ) lne + (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛2𝑥)(1) 𝑦 √1 − 4𝑥 2 2 𝑦´ = 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛2𝑥 [ ( ) lne + (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛2𝑥)] √1 − 4𝑥 2 𝟐𝒆𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 𝒚´ = [ ( ) 𝐥𝐧𝐞 + 𝒆𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙)] 𝟐 √𝟏 − 𝟒𝒙

i).𝑦 = 101−𝑠𝑒𝑛

4 3𝑥

𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛101−𝑠𝑒𝑛

4 3𝑥

𝑙𝑛𝑦 = (1 − 𝑠𝑒𝑛4 3𝑥)𝑙𝑛10 𝑦´ = (1 − 𝑠𝑒𝑛4 3𝑥)´𝑙𝑛10 + (1 − 𝑠𝑒𝑛4 3𝑥)(𝑙𝑛10)´ 𝑦 𝑦´ = (4𝑠𝑒𝑛3 3𝑥(𝑠𝑒𝑛3𝑥)´)𝑙𝑛10 + (1 − 𝑠𝑒𝑛4 3𝑥)(0) 𝑦 𝑦´ = (4𝑠𝑒𝑛3 3𝑥. 3𝑐𝑜𝑠3𝑥)𝑙𝑛10 𝑦 𝒚´ = 𝒍𝒏𝟏𝟎. 𝟏𝟎𝟏−𝒔𝒆𝒏

𝟒 𝟑𝒙

𝟏𝟐𝒔𝒆𝒏𝟑 (𝟑𝒙)𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)

j).𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 ) 𝑦´ = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 )(2𝑥 )´ 𝑦´ = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 )𝑙𝑛2. 2𝑥 (1) 𝒚´ = 𝒍𝒏𝟐. 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙 )

k).𝑦 = (𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑒 𝑥 𝑦´ = (𝑥 2 − 2𝑥 + 3)´𝑒 𝑥 + (𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑒 𝑥 ´ 𝑦´ = (2𝑥 − 2)𝑒 𝑥 + (𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑒 𝑥 𝑦´ = 𝑒 𝑥 [(2𝑥 − 2) + (𝑥 2 − 2𝑥 + 3)] 𝑦´ = 𝑒 𝑥 [2𝑥 − 2 + 𝑥 2 − 2𝑥 + 3] 𝒚´ = 𝒆𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)

l) 𝑦 = 𝑒 √𝑥+1 ′

𝑦 ′ = (𝑒 √𝑥+1 )

′

𝑦´ = 𝑒 √𝑥+1 . (√𝑥 + 1) 𝑦´ = 𝑒 √𝑥+1 .

1 2√𝑥 + 1

𝑦´ = 𝑒 √𝑥+1 .

𝒚´ =

. (𝑥 + 1)´

1 2√𝑥 + 1

𝒆√𝒙+𝟏 𝟐√𝒙 + 𝟏

m) 𝑦 = sen 𝑒 𝑥 𝑦´ = cos 𝑒 𝑥

2 +3𝑥−2

2 +3𝑥−2

𝑦´ = cos 𝑒 𝑥

(𝑒 𝑥

2 +3𝑥−2

2 +3𝑥−2

(𝑒 𝑥

𝟐 +𝟑𝒙−𝟐

(𝒆𝒙

𝒚´ = 𝐜𝐨𝐬 𝒆𝒙

)´

2 +3𝑥−2

). (𝑥 2 + 3𝑥 − 2)

𝟐 +𝟑𝒙−𝟐

). (𝟐𝒙 + 𝟑)

n) 𝑦 = 3sen 𝑥 𝑦´ = 𝐼𝑛3. 3sen 𝑥 . (𝑆𝑒𝑛𝑥)´ = 𝑰𝒏𝟑. 𝟑𝐬𝐞𝐧 𝒙 . 𝑪𝒐𝒔𝒙

o) 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝐼𝑛𝑦 = 𝐼𝑛(𝑥𝑒 𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)) 𝐼𝑛𝑦 = 𝐼𝑛𝑥 + 𝐼𝑛𝑒 𝑥 + 𝐼𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑦´ 1 1 (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) = +x+ (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑦 𝑥 𝑦´ 1 (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) = +x− (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑦 𝑥

(1 + 𝑥 2 )(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) − (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑥 𝑦´ = 𝑦 𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑦´ = 𝑥𝑒 𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)

(1 + 𝑥 2 )(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) − (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑥 𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)

𝒚´ = 𝒆𝒙 (𝟏 + 𝒙𝟐 )(𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙) − (𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒙

10) En los siguientes ejercicios derivar las funciones que se indican. 𝑥−2 )− √6

a) 𝑦 = 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

√2 − 4𝑥 − 𝑥 2

𝑥−2 )) ´ − √6

𝑦´ = (2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

𝑦´ = (2 (

𝑦´ = (

𝑦´ =

1 𝑥−2 2 ) √1−( √6

2√6

).

(√2 − 4𝑥 − 𝑥 2) )´

(𝑥−2)´(√6 )

4−2𝑥

6

√2+4𝑥−𝑥 2

)−(

2−𝑥

)−(

√−𝑥 2 +4𝑥+2

√−𝑥2 +4𝑥+2 6( ) 6

)

)

2√6 − 2 + 𝑥 √−𝑥 2 + 4𝑥 + 2

b) 𝑦 = 3𝑥 3 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 + (𝑥 2 + 2)(√1 − 𝑥 2 ) 𝑦´ = (3𝑥 3 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥)´ + ((𝑥 2 + 2)(√1 − 𝑥 2 )) ´ 1

𝑦´ = (9𝑥 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑥 3 . 𝑦´ = (9𝑥 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑦´ = (9𝑥 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑦´ = 𝑦´ = 𝑦´ =

√1−𝑥 2

3𝑥 3 √1−𝑥 2 3𝑥 3 √1−𝑥 2

√1−𝑥 2 9𝑥 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥+3𝑥 3 √1−𝑥 2

) + (2𝑥(√1 − 𝑥 2 ) − (𝑥 2 + 2) ( 𝑥(𝑥 2 +2)

) + (2𝑥(√1 − 𝑥 2 ) − (

2𝑥(1−𝑥 2 )−𝑥(𝑥 2 +2) √1−𝑥 2

√1−𝑥 2 9𝑥 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥+3𝑥 3 +2𝑥−2𝑥 3 −𝑥 3 −2𝑥 √1−𝑥 2

√1 − 𝑥 2 9𝑥 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 √1 − 𝑥 2

𝒚´ = 𝟗𝒙𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏𝒙

√1−𝑥 2

))

𝑥(𝑥 2 +2)

) + (2𝑥(√1 − 𝑥 2 ) − (

+

2𝑥

2√1−𝑥 2

√1−𝑥 2

))

))

c).) y = −

1 cos(𝑥−cos 𝑥)

solución

dy dx dy dx dy dx

= = =

−(1)(− sin(𝑥−cos 𝑥)(1+sin 𝑥) cos(𝑥−cos 𝑥)2 −(1)(− sin(𝑥−cos 𝑥)(1+sin 𝑥) cos(𝑥−cos 𝑥)2 sin(𝑥−cos 𝑥)(1+sin 𝑥) cos(𝑥−cos 𝑥)2

d). y = ln(

𝑥+√1−𝑥 2 𝑥

)

Solución

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑙𝑛(𝑥 + √1 − 𝑥 2 ) − 𝑙𝑛(𝑥) =

(𝑥+√1−𝑥 2 )

(𝑥+√1−𝑥 2 ) 2√1−𝑥2 (𝑥+√1−𝑥 2 )

1−

=

= = =

1 𝑥

−

1 𝑥

𝑥

√1−𝑥2 (𝑥+√1−𝑥 2 )

(

−

1−2𝑥

1+

=

′

−

1 𝑥

√1−𝑥2 −𝑥 √1−𝑥2

)

(𝑥+√1−𝑥 2 )

−

1 𝑥

(√1−𝑥 2 −𝑥) (𝑥+√1−𝑥 2 )(𝑥+√1−𝑥 2 )

−

1 𝑥

𝑥√1−𝑥 2 −𝑥 2 −𝑥√1−𝑥 2 −1+𝑥 2

=−

(√1−𝑥 2 )(𝑥+√1−𝑥 2 )𝑥 1 (√1−𝑥 2 )(𝑥+√1−𝑥 2 )𝑥

e). y = (0.4)(cos 2𝑥+1 − sin 0.8𝑥) 2

2

solución

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

4

= (10) 2(cos2

4

= (5) (𝑐𝑜𝑠

4

= (5) (𝑐𝑜𝑠

𝑑𝑦

8

2x+1 2

2x+1 2

2x+1 2

= (− 50) (𝑐𝑜𝑠( 𝑑𝑥

8

− sin 10 𝑥)( cos

4

− sin 5 𝑥)( −sin(

2

4

′

=

1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔((1+𝑥 )) 1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1+𝑥 )

1 ′ ) 1+𝑥 1 2 1+( ) 1+𝑥 1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1+𝑥) (

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

=

=

−1 (1+𝑥)2

1+

2

) − sin 5 𝑥)( sin(

solución

𝑑𝑥

2𝑥+1

4

2x+1

1 1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1+𝑥) 2 (1+𝑥)

−1 (1+𝑥)2 2 (1+𝑥) +1 1 ( )𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1+𝑥) (1+𝑥)2

8

− sin 10 𝑥)

2

− sin 5 𝑥)( −10sin(

1 f). y = ln(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1+𝑥

𝑑𝑦

2𝑥+1

2𝑥+1 ′ ) 2

)(

2𝑥+1

8

) − 8cos 10 𝑥)

2

2𝑥+1 2

8

8

− cos 10 𝑥(10 𝑥)′ )

4

) + 4cos 5 𝑥)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

=

−1 (1+𝑥)2 1 (1+𝑥)2 +1)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( ) 1+𝑥 2 (1+𝑥)

−1 (1+𝑥)2 +1)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(

1 ) 1+𝑥

g). y = 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√1+ln(2𝑥+3) ) solución

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√1+ln(2𝑥+3) ) (√1 + ln(2𝑥 + 3)

′

′

(√1+ln(2𝑥+3) ) =𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√1+ln(2𝑥+3) ) 𝑑𝑥 1+1 ln(2𝑥+3)

𝑑𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√1+ln(2𝑥+3) )

1

(2𝑥+3)′ (2𝑥+3)

2 √1+ln(2𝑥+3) 2 ln(2𝑥+3)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√1+ln(2𝑥+3) )

1

2

2 (2𝑥+3)√1+ln(2𝑥+3) 2 ln(2𝑥+3)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√1+ln(2𝑥+3) )

1 2 ln(2𝑥+3)((2𝑥+3)√1+ln(2𝑥+3)

𝑥

h.) y = ln(tan 2 ) − cot 𝑥 ln(1 + sin 𝑥) − 𝑥 solución 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= =

𝑥 2 𝑥 (tan ) 2

(tan )′

𝑥1 22 𝑥 (tan ) 2

−𝑠𝑒𝑐 2 .

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

(1+𝑐𝑜𝑠𝑥) (1+𝑠𝑒𝑛𝑥)

−1

1+𝑐𝑜𝑠𝑥

− (−𝑐𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) + 𝑐𝑜𝑡𝑥(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)-1

1

=

𝑥 1 𝑐𝑜𝑠2 2 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑐𝑜𝑠

𝑑𝑦

− (−𝑐𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 ln(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) + 𝑐𝑜𝑡𝑥

𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

+ 𝑐𝑠𝑒𝑐 2 (2) ln(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) − 𝑠𝑒𝑛𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1

𝑥 2

2

𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 12 𝑠𝑒𝑛𝑥1.𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥2) ln(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 1 2

= = = =

2

1

1 𝑥 2

2 𝑠𝑒𝑛 .𝑐𝑜𝑠 1 𝑠𝑒𝑛𝑥

+

𝑥 2

+

ln(1+𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

ln(1+𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

−

−

𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

−1

−1

𝑠𝑒𝑛𝑥+ln(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)−𝑐𝑜𝑠2 𝑥−𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥+ln(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)−1 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

11. hallar las derivadas de las funciones “y” dadas en forma implícita. 𝑥2

𝑦2

a) 𝑎2 + 𝑏2 = 1 solución 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑎2 𝑏 2 𝑥 2 𝑏 2 + 𝑦 2 𝑎2 = 𝑎2 𝑏 2 2𝑥𝑏 2 + 2𝑦𝑦 ′ 𝑎2 = 0 2𝑥𝑏 2 = −2𝑦𝑦 ′ 𝑎2

𝑦′ = −

𝑥𝑏 2 𝑦𝑎2

1

1

1

b) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 solución 1

1

1

𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 1 −1/2 1 −1/2 𝑥 + 𝑦 𝑦′ = 0 2 2 1 −1/2 1 𝑦 𝑦′ = − 𝑥 −1/2 2 2 1

𝑦′ = −

𝑥 −2 1

𝑦 −2 1

′

𝑦 =−

𝑦2 1

𝑥2 c) 𝑥 4 + 𝑦 4 = 𝑥 2 𝑦 2 solución 𝑥4 + 𝑦4 = 𝑥2𝑦2 4𝑥 3 + 4𝑦 3 𝑦 ′ = 2𝑥𝑦 2 + 2𝑥 2 𝑦𝑦 ′ 4𝑥 3 𝑦 ′ − 2𝑥 2 𝑦𝑦 ′ = 2𝑥𝑦 2 − 4𝑥 3 𝑦 ′ (4𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦) = 2𝑥𝑦 2 − 4𝑥 3

𝑦′ =

2𝑥𝑦 2 − 4𝑥 3 4𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦

𝑦′ =

𝑥𝑦 2 − 2𝑥 3 2𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦

d) cos(𝑥𝑦) = 𝑥 solución cos(𝑥𝑦) = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)(𝑦 + 𝑥𝑦′) = 1 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) + 𝑥𝑦′𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) = 1 𝑥𝑦 ′ 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) = 1 − 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)

𝑦′ =

1 − 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)

2

2

2

e) 𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑎3 solución

2

2

2

𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑎3 2 −1 2 −1/3 𝑥 3+ 𝑦 𝑦′ = 0 3 3 2 −1/3 2 𝑦 𝑦′ = − 𝑥 −1/3 3 3 1

′

𝑦 =−

𝑥 −3 1

𝑦 −3 1

𝑦′ = −

𝑦3 1

𝑥3

𝑥

1−𝑘

𝑥

f) 𝑡𝑔 (2) = √1+𝑘 𝑡𝑔(2) solución 𝑥

1−𝑘

𝑥

𝑡𝑔 (2) = √1+𝑘 𝑡𝑔(2) 𝑦′ 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 (2) 2

1−𝑘 1

𝑥

= √1+𝑘 . 2 𝑠𝑒𝑐 2 (2)

𝑥

1−𝑘

𝑦 ′ 𝑠𝑒𝑐 2 (2) = √1+𝑘 √1 − 𝑘 𝑥 1+𝑘 𝑦 ′ 𝑠𝑒𝑐 2 ( ) = 𝑥 2 𝑠𝑒𝑐 2 (2)

CONCLUCIONES  Aplicando los teoremas, podemos hallas las derivadas de las distintas funciones polinómicas y radicales.  Al deducir las fórmulas podemos hallar las derivadas trigonométricas, logarítmicas, exponenciales y trigonométricas inversas.  Al desarrollar ejercicios sobre la derivada fortalecemos mas nuestros conocimientos y en consecuencia tenemos más habilidad y destreza al desarrollar los distintos tipos de derivadas. BIBLIOGRAFÍA  Espinosa.R.E., (2012). Análisis matemático I(6taEdic.). Lima: Ediciones edukperú.  Leitold.L., (1999). El cálculo (7ta edición). México: Grupo serla, S.A.  Lazaro.C.M., (2014). Cálculo diferencial (4ta edición). Lima: Editorial Moshera S.R.L.  Lazaro.C.M., (2017). Análisis matemático I. Lima: Editorial Moshera S.R.L.