Nilai Eigen Dan Vektor Eigen

  • Uploaded by: No Name
  • 0
  • 0
  • June 2020
  • PDF

This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA


Overview

Download & View Nilai Eigen Dan Vektor Eigen as PDF for free.

More details

  • Words: 587
  • Pages: 4
BAB IV NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Definisi Jika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu, Ax = x untuk suatu skalar . Skalar  disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita menuliskannya kembali Ax = x sebagai Ax = Ix  (I – A)x = 0 Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika det(I – A)=0

...................................................(6.1)

Persamaan (6.1) disebut persamaan karakteristik A. Contoh Carilah nilai – nilai eigen dan basis-basis untuk ruang eigen dari  3 2 A=    1 0 Jawab: Persamaan karakteristik 1 0  3 2   3  2  I – A =   -  =      0 1    1 0   1 det(I – A) = (-3)  - (-2) = 0 = 2 - 3 + 2 = 0 1 = 2, 2 = 1 Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah 1 = 2 dan 2 = 1 Ruang vektor:   Jika  = 2 diperoleh:

30▲Aplikom 3

Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR

31

Bab 4. Nilai Eigen & Vektor Eigen

Dengan eliminasi diperoleh: , Jadi vektor-vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan  tak nol yang berbentuk:

Jadi basisnya adalah:

adalah vektor-vektor

untuk 

Cara Maple > with(LinearAlgebra): Mendefinisikan matriks > A := matrix(2,2,[3,2,-1,0]); é 3 A := ê ë K1

2ù ú 0û

Persamaan Karakteristik > det(lambda*(LinearAlgebra:-IdentityMatrix(2,2))-A);

K3 l C l 2 C 2 Nilai eigen > eigenvalues(A); 2, 1

Vektor eigen > eigenvectors(A);

[ 1, 1, { [ K1 1 ] } ] , [ 2, 1, { [ K2 1 ] } ] Untuk  1,1].

Aplikom 3

diperoleh vektor eigen = [-2, 1] dan 

diperoleh vektor eigen = [-

Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR

32

Bab 4. Nilai Eigen & Vektor Eigen

Diagonalisasi Definisi: Sebuah matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks P yang dapat dibalik sedemikian rupa sehingga adalah sebuah matriks diagonal, P dikatakan mendiagonalisasi A Contoh: Tentukan sebuah matriks P yang mendiagonalisasi

Penyelesaian: Persamaan karakteristiknya > restart; > with(linalg): > A:=matrix(3,3,[0,0,-2,1,2,1,1,0,3]);

é0 ê A := ê 1 ê ë1

0 K2 ù ú 2 1ú ú 0 3û

> det((lambda*LinearAlgebra:-IdentityMatrix(3,3)-A));

8 l K 5 l2 C l3 K 4 > eigenvalues(A);

1, 2, 2 > eigenvectors(A);

[ 1, 1, { [ K2 1 1 ] } ] , [ 2, 2, { [ K1 0 1 ] , [ 0 1 0 ] } ] > P:=matrix(3,3,[-2,-1,0,1,0,1,1,1,0]);

é K2 K1 ê P := ê 1 0 ê 1 ë 1

0ù ú 1ú ú 0û

> a:=evalm(inverse(P));

Aplikom 3

Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR

33

Bab 4. Nilai Eigen & Vektor Eigen

é K1 ê a := ê 1 ê ë 1

0 K1 ù ú 0 2ú ú 1 1û

> b:=evalm(A&*P);

é K2 K2 ê b := ê 1 0 ê 2 ë 1

0ù ú 2ú ú 0û

> evalm(a&*b);

é1 ê ê0 ê ë0

0 2 0

0ù ú 0ú ú 2û

Diagonalisasi Ortogonal Definisi: Jika A adalah sebuah matriks simetriks, maka: (a) Nilai eigen matriks A semuanya adalah bilangan real. (b) Vektor eigen yang berasal dari ruang eigen yang berbeda saling ortogonal. Contoh soal: Tentukan sebuah matriks Ortogonal P yang mendiagonalisasi

Penyelesaian:

Aplikom 3

Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR

Related Documents

Windows Eigen
June 2020 7
Eigen Values.docx
November 2019 14
07 Mijn Eigen Gebedje
November 2019 3
Maak Je Eigen Pasfoto
November 2019 10

More Documents from ""