Nilai Eigen Dan Vektor Eigen

BAB IV NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Definisi Jika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu, Ax = x untuk suatu skalar . Skalar  disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita menuliskannya kembali Ax = x sebagai Ax = Ix  (I – A)x = 0 Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika det(I – A)=0

...................................................(6.1)

Persamaan (6.1) disebut persamaan karakteristik A. Contoh Carilah nilai – nilai eigen dan basis-basis untuk ruang eigen dari  3 2 A=    1 0 Jawab: Persamaan karakteristik 1 0  3 2   3  2  I – A =   -  =      0 1    1 0   1 det(I – A) = (-3)  - (-2) = 0 = 2 - 3 + 2 = 0 1 = 2, 2 = 1 Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah 1 = 2 dan 2 = 1 Ruang vektor:   Jika  = 2 diperoleh:

30▲Aplikom 3

Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR

31

Bab 4. Nilai Eigen & Vektor Eigen

Dengan eliminasi diperoleh: , Jadi vektor-vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan  tak nol yang berbentuk:

Jadi basisnya adalah:

adalah vektor-vektor

untuk 

Cara Maple > with(LinearAlgebra): Mendefinisikan matriks > A := matrix(2,2,[3,2,-1,0]); é 3 A := ê ë K1

2ù ú 0û

Persamaan Karakteristik > det(lambda*(LinearAlgebra:-IdentityMatrix(2,2))-A);

K3 l C l 2 C 2 Nilai eigen > eigenvalues(A); 2, 1

Vektor eigen > eigenvectors(A);

[ 1, 1, { [ K1 1 ] } ] , [ 2, 1, { [ K2 1 ] } ] Untuk  1,1].

Aplikom 3

diperoleh vektor eigen = [-2, 1] dan 

diperoleh vektor eigen = [-

Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR

32

Bab 4. Nilai Eigen & Vektor Eigen

Diagonalisasi Definisi: Sebuah matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks P yang dapat dibalik sedemikian rupa sehingga adalah sebuah matriks diagonal, P dikatakan mendiagonalisasi A Contoh: Tentukan sebuah matriks P yang mendiagonalisasi

Penyelesaian: Persamaan karakteristiknya > restart; > with(linalg): > A:=matrix(3,3,[0,0,-2,1,2,1,1,0,3]);

é0 ê A := ê 1 ê ë1

0 K2 ù ú 2 1ú ú 0 3û

> det((lambda*LinearAlgebra:-IdentityMatrix(3,3)-A));

8 l K 5 l2 C l3 K 4 > eigenvalues(A);

1, 2, 2 > eigenvectors(A);

[ 1, 1, { [ K2 1 1 ] } ] , [ 2, 2, { [ K1 0 1 ] , [ 0 1 0 ] } ] > P:=matrix(3,3,[-2,-1,0,1,0,1,1,1,0]);

é K2 K1 ê P := ê 1 0 ê 1 ë 1

0ù ú 1ú ú 0û

> a:=evalm(inverse(P));

Aplikom 3

Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR

33

Bab 4. Nilai Eigen & Vektor Eigen

é K1 ê a := ê 1 ê ë 1

0 K1 ù ú 0 2ú ú 1 1û

> b:=evalm(A&*P);

é K2 K2 ê b := ê 1 0 ê 2 ë 1

0ù ú 2ú ú 0û

> evalm(a&*b);

é1 ê ê0 ê ë0

0 2 0

0ù ú 0ú ú 2û

Diagonalisasi Ortogonal Definisi: Jika A adalah sebuah matriks simetriks, maka: (a) Nilai eigen matriks A semuanya adalah bilangan real. (b) Vektor eigen yang berasal dari ruang eigen yang berbeda saling ortogonal. Contoh soal: Tentukan sebuah matriks Ortogonal P yang mendiagonalisasi

Penyelesaian:

Aplikom 3

Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR