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- Pages: 2
OCM09 Blog Problemas Nivel Intermedio Miguel Moreno 22 de marzo de 2009
1.
Geometr´ıa
1. Sea ABC un tri´ angulo acut´angulo. Los puntos M y N est´an sobre los lados AB y AC, respectivamente. Los c´ırculos con diametros BN y CM se intersectan en P y Q. Demuestre que P , Q y H (el ortocentro de ABC) son colineales. 2. Sea ABCD un cuadril´atero conciclico. Demostrar que los ortocentros de los tri´ angulos ABC, BCD, CDA y DAB son los v´ertice de un cuadril´atero congruente con ABCD. 3. sea ABCD un cuadril´ atero con ∠CBD = 2∠ADB, ∠ABD = 2∠CDB y AB = CB. Demostrar que AD = CD. 4. Sea ABC un tri´ angulo rect´angulo en A. Sea X el pie de la altura correspondiente a A y sea Y el punto medio de XC. Sobre la prolongaci´on del lado AB sea D el punto tal que AB = BD. Demostrar que la recta determinada por D y X es perpendicular a AY .
2.
´ Algebra
1. Encontrar todas las triplas de reales (x, y, z) que satisfacen 4x2 =y 4x2 + 1 4y 2 =z 4y 2 + 1 4z 2 =x 4z 2 + 1
1
2. Sean a, b n´ umeros positivos distintos, A = B<
a+b 2
yB=
√
ab. Demostrar
(a − b)2
. 3. Sean x, y, z reales positivos tales que xyz = 32. Hallar el menor valor de x2 + 4xy + 4y 2 + 2z 2 4. Determine todas las funciones reales f definidas en el conjunto de los reales positivos tales que f (1) = 21 y 3 3 f (xy) = f (x)f ( ) + f (y)f ( ) y f (x) .
3.
Teor´ıa de N´ umeros
1. Considere 2n rel="nofollow"> 4 enteros positivos distintos, a1 , a2 , . . . a2n menores que 2n. Demostrar que de las diferencias | ai − aj | hay tres iguales. 2. Demostrar que la ecuaci´on 4xy − x − y = z 2 no tiene soluciones enteras positivas. 3. Sea r un numero real que cumple la siguiente propiedad: Para cada pareja de n´ umeros enteros positivos m y n, con n multiplo de m, se tiene que bnrc es multiplo de bmrc. Demostrar que r es entero. 4. Cuantas funciones f existen tales que f : {1, 2, . . . , n} → {1995, 1996} y f (1) + f (2) + · · · + f (1996) es impar.
4.
Combinatoria
1. Demostrar que no es posible recorrer un tablero de ajedrez de 5 × 5 con un caballo. 2. Demostrar
n X n k = n2n−1 k
k=1
3. Sea n un numero natural. Un cubo de lado n puede ser dividido en 1996 cubos, no necesariamente iguales, de lado natural. Determine el menor valor de n. 4. En un alfabeto de tres letras a, b, c cuantas palabras de n letras hay, tales que la palabra tiene un numero par de a’s.
2
1.
Geometr´ıa
1. Sea ABC un tri´ angulo acut´angulo. Los puntos M y N est´an sobre los lados AB y AC, respectivamente. Los c´ırculos con diametros BN y CM se intersectan en P y Q. Demuestre que P , Q y H (el ortocentro de ABC) son colineales. 2. Sea ABCD un cuadril´atero conciclico. Demostrar que los ortocentros de los tri´ angulos ABC, BCD, CDA y DAB son los v´ertice de un cuadril´atero congruente con ABCD. 3. sea ABCD un cuadril´ atero con ∠CBD = 2∠ADB, ∠ABD = 2∠CDB y AB = CB. Demostrar que AD = CD. 4. Sea ABC un tri´ angulo rect´angulo en A. Sea X el pie de la altura correspondiente a A y sea Y el punto medio de XC. Sobre la prolongaci´on del lado AB sea D el punto tal que AB = BD. Demostrar que la recta determinada por D y X es perpendicular a AY .
2.
´ Algebra
1. Encontrar todas las triplas de reales (x, y, z) que satisfacen 4x2 =y 4x2 + 1 4y 2 =z 4y 2 + 1 4z 2 =x 4z 2 + 1
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2. Sean a, b n´ umeros positivos distintos, A = B<
a+b 2
yB=
√
ab. Demostrar
(a − b)2
. 3. Sean x, y, z reales positivos tales que xyz = 32. Hallar el menor valor de x2 + 4xy + 4y 2 + 2z 2 4. Determine todas las funciones reales f definidas en el conjunto de los reales positivos tales que f (1) = 21 y 3 3 f (xy) = f (x)f ( ) + f (y)f ( ) y f (x) .
3.
Teor´ıa de N´ umeros
1. Considere 2n rel="nofollow"> 4 enteros positivos distintos, a1 , a2 , . . . a2n menores que 2n. Demostrar que de las diferencias | ai − aj | hay tres iguales. 2. Demostrar que la ecuaci´on 4xy − x − y = z 2 no tiene soluciones enteras positivas. 3. Sea r un numero real que cumple la siguiente propiedad: Para cada pareja de n´ umeros enteros positivos m y n, con n multiplo de m, se tiene que bnrc es multiplo de bmrc. Demostrar que r es entero. 4. Cuantas funciones f existen tales que f : {1, 2, . . . , n} → {1995, 1996} y f (1) + f (2) + · · · + f (1996) es impar.
4.
Combinatoria
1. Demostrar que no es posible recorrer un tablero de ajedrez de 5 × 5 con un caballo. 2. Demostrar
n X n k = n2n−1 k
k=1
3. Sea n un numero natural. Un cubo de lado n puede ser dividido en 1996 cubos, no necesariamente iguales, de lado natural. Determine el menor valor de n. 4. En un alfabeto de tres letras a, b, c cuantas palabras de n letras hay, tales que la palabra tiene un numero par de a’s.
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