Nhom7(hoan Thanh)
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Nhom7(hoan Thanh) as PDF for free.
More details
- Words: 5,666
- Pages: 133
Nhóm 7 Giảng viên: Thầy Ngô Thu Lương Thành viên nhóm 1)Trần Quốc Huy 2)Phạm Quang Vinh 3)Trần Thanh Tùng 4)Cao Trong Nhất 5)Lê Đình Phương 6)Trần Khắc Kim Duy
CHƯƠNG 4:HÀM SƠ CẤP • 4.3-HÀM HYPERBOLIC VÀ LƯỢNG GIÁC PHỨC • 4.4-HÀM HYPERBOLIC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC • 4.5-Ứng dụng
4.3-HÀM HYPERBOLIC VÀ LƯỢNG GIÁC PHỨC
4.3.1.Hàm lượng giác phức. • Trong mục này chúng ta sẽ xác định rõ đặc điểm của những hàm lượng giác phức và hàm hyperbolic.Tương tự như những hàm phức và Lnz đã được định nghĩa trước đây,những hàm này sẽ thỏa mãn với những phần thực tương ứng được nhập vào
1.Định nghĩa. 2.Đồng nhất thức. 3.Tính tuần hoàn. 4.Phương trình lượng giác. 5.Mô đun. 6.“Không” điểm. 7.Giải tích. 8.Ánh xạ lượng giác.
1. Định nghĩa - Theo đ/n 4.1: và - Bằng cách cộng và trừ 2 phương trình trên,ta được: ,
- Thay giá trị thực x bằng giá trị phức z ở công thức trên ta thu được định nghĩa hàm sin và cos phức. * Định nghĩa 4.6: Hàm phức của sin và cos
Tương tự:
s inz ta nz = c o sz
c o sz 1 , c o tz = , s e cz s inz c o sz
Những hàm này đều thỏa mãn với giá trị thực tương ứng của chúng. Ví dụ: Hãy biểu thị giá trị của hàm lượng giác đã cho theo dạng a+ib. a.tan( π-2i)
b.sin(2+i)
i (π − 2 i )
−i ( π −2 i )
(e −e ) / 2i a.tan(π − 2i ) = i (π − 2i ) i (π −2i ) (e +e )/2 i (π − 2 i )
−i ( π −2i )
−2
e −e e −e = i (π − 2 i ) − i ( π − 2 i ) = − 2 i ≈ −0.9640i −2 (e +e )i e +e
b.
2
2. Đồng nhất thức Tương tự như hàm lượng giác thực:
sin(− z ) = −sinz
,
cos( z ) − cosz =
cos z + sin z = 1 sin(z1 ± z2 ) = sinz1 cosz2
cos ± z1 sinz2
cos(z1 ± z2 ) = cosz1 cos mz2
sinz1 sinz2
2
2
sin 2z = 2 sinz cosz
, cos 2z
2
cos= z
2
Chú ý: Một vài thuộc tính của hàm lượng giác thực sẽ không thỏa mãn với hàm phức tương ứng của chúng. Ví dụ thỏa tất cả những giá trị thực của x . Nhưng |cos i| > 1 và |sin(2 + i)| > 1 từ | cos i| ≈ 1.5431 và |sin (2 + i)| ≈ 1.4859 ,như vậy những sự khác nhau này,hầu hết đều không thỏa mãn với giá trị phức z
3.Tính tuần hoàn. - Trong 4.1 chúng ta đã cm rằng hàm mũ phức tuần hoàn với chu kỳ 2πi. - Từ đó ez+2πi=ez với mọi z. Thay z bằng iz => eiz+2πi=ei(z+2π) =eiz Như vậy,eiz là một hàm tuần hoàn với chu kì thực 2π.
3.Tính tuần hoàn. - Trong 4.1 chúng ta đã cm rằng hàm mũ phức tuần hoàn với chu kỳ 2πi. - Từ đó
với mọi z.
Thay z bằng iz => Như vậy,eiz là một hàm tuần hoàn với chu kì thực 2π.
• Tương tự,chúng ta có thể thấy rằng và là hàm tuần hoàn với chu kì thực 2π. • Từ định nghĩa 4.6,ta được:
sin(z + 2π ) = sin z , cos(z +2 π) =cos z sec(z + 2π ) = sec z , csc(z +2 π) =csc z các hàm trên có chu kỳ là 2π
tan(z + π ) = tan z , cot(z hàm tan và cot có chu kỳ là π
+ )π cot =
4.Phương trình lượng giác. Chúng ta chỉ chú ý tới việc giải những phương trình lượng giác đơn giản.Bởi vì hàm phức của sin va cos tuần hoàn, chúng ta có vô số cách giải phương trình có dạng sinz=w hoặc cosx=w. Giải pt dạng sinz=w hay cosz=w thường thì sử dụng đ/n 4.6 và công thức pt bậc 2. Ví dụ:
Giải pt sinz=5
sin z = 5
Nhân 2 vế pt cho
và đơn giản ta được:
Dùng công thức (3) của phần 1.6,ta được:
Với
thì hay
Vì
nên
Với n = 0,±1,±2……
Tương tự ,ta thấy rằng: có
và arg là (π/2+2nπ)
=>
Với n = 0,±1,±2………
5.Mô đun: - Là một phần của hàm lượng giác phức sẽ có ích trong việc giải những pt lượng giác. - Để tìm công thức biểu hiện x và y trong hàm sin và cos, đầu tiên chúng ta hãy biểu diễn những hàm này theo phần thực và phần ảo của chúng.
• Nếu chúng ta thay thế z bằng x+iy từ biểu thức của sinz trong đ/n 4.6,ta được:
Thay sinh y = => Tương tự: Ta có: Kết hợp với: và
Ta được:
Vậy Tương tự,ta được:
Hàm hyperbolic sinh x không bị ràng buột trên đường biên thực
Hình 4.11(a)
- Ta thấy /sinz/ và /cosz/ có thể lớn tùy ý nếu chọn y lớn tùy ý .Như vậy,chúng ta đã chỉ ra rằng hàm phức sin và cos không bị giới hạn trên mp phức. - Nghĩa là không tồn tại một hằng số thực M để cho /sinz/<M và /cosz/<M với mọi z thuộc C. - Điều này khác với hàm thực của sin và cos thỏa |sin x| ≤ 1 và |cos x| ≤ 1 thỏa với mọi giá trị thực của x.
6.”không” điểm. Ở phần đầu ta đã biết số phức bằng 0 khi và chỉ khi môđun của nó bằng 0. Do đó:
sinz = 0
Khi và chỉ khi: Vì và không âm nên pt cuối thõa mãn khi và chỉ khi sinx=0 và sinhy=0
• sinx=0 khi x=nπ, n=0,±1,±2…., • Nhìn lại Hình4.11(a) ta thấy sinh y = 0 y = 0. Vì vậy, kết quả của phương trình sinz = 0 trong mặt phẳng phức là các số thực z = nπ, n=0,±1,±2, …..
Vậy
sinz = 0
z = nл
(2 n +1) π Tương tự cosz = 0 z = 2 với n = 0,±1,±2………
7.Giải tích. d d e iz − e −iz ie iz + ie − iz e iz + e− iz sin z = = = dz dz 2i 2i 2 d ⇒ sin z = cos z dz
d cos z = − sin z dz
Giống như các hàm lượng giác thực,ta có các đạo hàm của hàm lượng giác phức sau:
Lưu ý:hàm tan, cot , sec , csc chỉ có đạo hàm tại những điểm mà mà mẫu số khác 0.
d sin z = cos z dz d tan z = sec2 z dz d sec z = sec z tan z dz
d cos z = sin − z dz d cot z = csc − 2 z dz d csc z = csc − z cot z dz
Những điểm kỳ dị:
z = (2 n +1)π / 2
-tan , sec :
n∨ 0,= 1, ±2,.
z = nπ ∨ n = 0,± 1,± 2,...
-cot , csc :
8. ÁNH XẠ LƯỢNG GIÁC
Bây giờ chúng ta sẽ thảo luận về ánh xạ phức w=sinz của mặt phẳng z lên trên mặt phẳng w.Vì sinz tuần hoàn với chu kỳ thực 2π , đặc trưng này đảm nhiệm < x trị ≤ x0 trong 2π+ , bất − ∞ ykỳ < < tất cả nhữngx0 giá trong dải thẳng đứng vô hạn:
• Trong một cách thức tương tự điều đó được dùng để nghiên cứu ánh xạ mũ w =ez, điều này cho phép chúng ta nghiên cứu ánh xạ w = sinz trên toàn bộ mặt phẳng phức bằng việc phân tích nó trên một trong bất kỳ những dải này .Chọn một dải −π < x ≤ π, −∞ < y < ∞.
• Trước khi chúng ta khảo sát hàm phức w = sinz trên dải này, Chú ý rằng sinz không phải từ một tới một trong khoảng này.
• Ví dụ: z1 = 0 và z2 = π nằm trong miền này và sin 0 = sin π = 0 .Từ sin(−z + π) = sin z, theo đó ảnh của dải −π < x ≤ −π/2, −∞ < y < ∞, cũng giống như ảnh của dải π/2 < x ≤ π, −∞ < y < ∞, qua w = sinz,vì vậy chúng ta chỉ cần xem xét ánh xạ w= sinz trên vùng −π/2 ≤ x ≤ π/2, −∞ < y < ∞
Vd:Ánh xạ w = sin z Mô tả ảnh của −π/2 ≤ x ≤ π/2, −∞ < y < ∞, dưới ánh xạ phức w = sinz. Giải :ảnh của đường thẳng đứng x = a với −π/2 ≤ a ≤ π/2 và a ≠ −π/2, 0, π/2 qua w = sinz được cho bởi: u = sina.coshy, v = cosa.sinhy, −∞ < y < ∞. (22) Từ −π/2 < a < π/2 và a ≠ 0,do đó sina≠0 và cosa≠0,từ(22) chúng ta nhận được :
⇒ cosh y = 2
u sin a
, sinh y =
v cos a
2
u v ⇒ − = 1 sin a cos a
(23)
• Phương trình Đề Các trên là 1 hình hypebol có đỉnh là (±sina,0) và các đường tiệm cận xiên v=±(cosa/sina)u. Bởi vậy, ảnh của đường thẳng đứng x=a với −π/2 < a < π/2 và a≠0 qua w=sinz là nhánh của hyperbol chứa điểm (sina,0).
Bởi vì sin(-z)= -sinz với mọi z,nó cũng chỉ ra rằng ảnh của đường x= -a là nhánh của hyperbol chứa điểm (-sina,0).
• Bởi vậy,cặp đường thẳng đứng x=a và x= -a với −π/2 < a < π/2 và a≠0 ánh xạ lên trên hyperbol . Chúng ta minh họa thuộc tính ánh xạ của w=sinz trong hình 4.12,nơi những đường thẳng đứng được tô màu trong hình 4.12(a) được ánh xạ lên trên hyperbol được chỉ ra bằng màu đen trong hình 4.12(b).
Đường x = π/3 được ánh xạ lên trên nhánh của hyperbol chứa điểm (½ ,3 0),và đường x = π/6 được ánh xạ lên nhánh chứa điểm (½,0). Tương tự đường x = −π/3 được ánh xạ lên nhánh chứa điểm ( -½ 3 ,0) ) và đường x = −π/6 được ánh xạ lên nhánh chứa điểm (-½,0),
Ảnh của đường x = −π/2, x = π/2 và
x=0 không thể tìm thấy từ (23). Hơn nữa,từ (22) chúng ta nhận ra rằng đường x = −π/2 là tập hợp những điểm u≤-1 trên trục thực âm
• Ảnh của đường x = π/2 là tập hợp
những điểm u ≥ 1 trên trục thực dương,và ảnh của đường x=0 là trục ảo u = 0 . Xem hình 4.12.Nói chung,chúng ta đã chỉ ra được rằng ảnh trên dải thẳng đứng vô hạn −π/2 ≤ x ≤ π/2, −∞ < y < ∞,qua w=sinz,là mặt phẳng w nguyên.
Đối với đường thẳng nằm ngang y = b, −π/2 ≤ x ≤ π/2 ảnh được cho bởi: u = s inx.cosh b, v = cos x.sinh b, −π/2 ≤ x ≤ π/2 khi b ≠ 0,tập hợp này cũng được cho bởi phương trình Đecac:
2
2
u v + = 1 cosh b sinh b
• Phương trình trên là 1 Elip với đoạn thẳng u bị chặn tại(±coshb,0) và đoạn thẳng v bị chặn tại (0,±sinhb) Nếu b>0,thì ảnh của đoạn thẳng y= b là nửa trên của elip được định nghĩa bởi (24) và ảnh của đoạn thẳng y= -b là nửa dưới của elip.
• Như vậy,những đoạn thẳng nằm ngang trong hình 4.12 được ánh xạ lên trên hình elip được chỉ ra bằng màu đen trong hình 4.12(b ) • Những cặp đoạn thẳng ở trong cùng được ánh xạ lên elip ở trong cùng,
• Những cặp đoạn thẳng ở giữa được ánh xạ lên hình elip giữa,và cặp những đoạn thẳng ở ngoài cùng được ánh xạ lên hình elip ở ngoài cùng.Quan sát rằng nếu b = 0 thì ảnh của đoạn thẳng y = 0, −π/2 < x < π/2,là một đoạn thẳng −1 ≤ u ≤ 1,v = 0 trên trục thực.
Tương tự tìm ánh xạ của hàm w=cosz ,từ cos z = sin (z + π/2) ta có thể biểu diễn ánh xạ hàm w bằng sự kết hợp phép chuyển w = z + π/2 và ánh xạ hàm w=sinz,
4.3.2 HÀM PHỨC HYPERBOLIC • • • •
1. 2. 3. 4.
Định nghĩa. Đạo hàm Liên hệ với hàm sin và cos. Đồng nhất thức
1. Định nghĩa. Với z phức ta có:
e −e sinh z = 2 z
−z
−z
e +e , cosh z = 2 z
Suy ra:
sin hz ta n hz = c o s hz
c o shz , c o thz = sin hz
1 , s e ch z c o shz
,=
2. Đạo hàm. • Ta có:
d d e ez − z−e sinh z = = dz d z 2 d ⇔ sinh z = cosh z dz
• Suy ra
z e+
− z
2
d d sinh z = cosh z cosh = z sinh z dz dz d d 2 tanh z = sec h z coth =−z csc h z2 dz dz d d sec hz =− sec hztanh z csc=− hz csc hzcoth z dz dz
3. Liên hệ với hàm sin và cos
sin z = − i sinh(iz )
cos z
sinhz = − i sin(iz )
cosh z
tan(iz )= i tanh z
cos =
co=
4. Đồng nhất thức. sinh(− z ) = − sinh z
cosh(− z ) = cosh z
cosh z − sinh z = 1 sinh( z1 ± z2 ) = sinh z1 cosh z2 ± cosh z1 sinh z 2 2
2
cosh( z1 ± z2 ) = cosh z1 cosh z2 ± sinh z1 sinh z 2
ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC HYPERBOLIC z d d e e− sinh z = dz d z 2
− z z − e +e = 2
d ⇔ sinh z =cosh z dz d d sinh z =cosh z cosh=z sinh z dz dz d d 2 2 tanh z =sec h z coth=− z csc h z dz dz d d sec hz =−sec hztanh z csc =− hz csc hzcoth z dz dz
z
Liên hệ giữa sin và cos Hàm thực lượng giác và Hyperbolic có những tính chất tương tự nhau.
Ta khó có thể tìm được mối liên hệ giữa hàm lượng giác và hyperbolic thực. Nhưng với số phức thì ta tìm được mối liên hệ bằng cách thay z bằng iz
-i.sinh(iz) = sin z sinh(z) = -i.sin(iz) Chúng ta thực hiện tương tự cho cosz và cosh z
sin z =−isinh( iz) cos =z cosh( iz) sinh z =−isin( iz) cosh =z cos( iz) tan( iz) =itanh z
Một số tính chất tương đồng giữa hàm hyperbolic thực và phức: sinh( − z) = − sinh z
cosh(− z) = cosh z
cosh z − sinh z = 1 sinh( z1 ± z2 ) = sinh z1 cosh z2 ± cosh z1 sinh z2 2
2
cosh( z1 ± z2 ) = cosh z1 cosh z2 ± sinh z1 sinh z2 *Trong ví dụ sau ta sẽ kiểm tra lại các tính chất trên, chứng minh tương tự cho các tính chất khác
Ví dụ: kiểm tra rằng cosh(z1+z2) = cosh z1.cosh z2+sinh z1.sinh z2 cho tất cả các số phức z1 , z2
Giải pháp: cosh (z1+z2) = cos (iz1+iz2) = cos iz1.cos iz2 –sin iz1 .sin iz2 = cos iz1 .cos iz2 + (- i.sin iz1).(- i.sin iz2) = cosh z1 .cosh z2 + sinh z1 . sinh z2
Lưu ý: so sánh với giải tích thực (i) trong giải tích thực , hàm mũ chỉ là một trong số những hàm cơ bản quan trọng, tuy nhiên trong giải tích phức , hàm mũ phức đảm nhiệm nhiều vai trò lớn. Tất cả hàm mũ phức có thể được định nghĩa trong những điều kiện của hàm mũ và logarit phức.Nghiên cứu về giải tích phức bao gồm việc dùng hàm mũ và logarit phức để ước lượng , lấy vi phân , tích phân và ánh xạ với hàm cơ bản.
(ii)
như những hàm một biến thực x : sinh x , cosh x không tuần hòan.Nhưng trong trường hợp khác(miền phức), hàm phức sinh z và cosh z là tuần hòan. cosh x là khác 0 và sinh x = 0 tại x=0 ( xem hình 4.11) nhưng hàm phức sinh z, cosh z lại có nhiều giá trị z làm hàm số =0
4.4:Hàm lượng giác và hyperbolic ngược Hàm
phức logarit ln z được định nghĩa trong 4.1 để giải quyết những đẳng thức có dạng w e = z. bởi vì hàm mũ phức là tuần hòan, vì vậy lnz nhất thiết là 1 hàm có giá trị bội số.
Trong
phần này ta giải quyết những đẳng thức bao gồm hàm phức lượng giác và hyperbolic. Vì chúng là hàm tuần hòan nên hàm ngược của chúng kà hàm giá trị bội . Hơn nữa, hàm phức lượng giác và hyperbolic đã được định nghĩa trong hàm mũ phức thì hàm ngược của chúng sẽ bao gồm logarit phức.
Hàm nghịch đảo của sin chúng
ta nhận thấy rằng hàm sin phức là 1 hàm tuần hòan chu kì thực 2π chúng ta cũng nhận thấy rằng ánh xạ của hàm sin phức đi từ mặt phẳng phức mặt phẳng phức điều này cho thấy Range(sin z) = C. Xem hình 4.12, từ đây ta có kết luận : Cho bất kỳ số phức z nào thì tồn tại vô số kết quả để có đựơc đẳng thức sin w = z
Ta dùng định nghĩa 4.6 để viết lại đẳng thức sin w =z như sau:
e
là
2 iw
− 2iz.e − 1 = 0 iw
một phương trình bậc 2 theo eiw , chúng ta có thể dùng công thức bậc hai để giải eiw
e = iz + (1 − z ) iw
2 1/ 2
(1)
lấy đạo hàm 2 vế ta được
iw = ln(iz + (1 − z 2 )1/ 2 (2) hay w = −i. ln(iz + (1 − z ) mỗi giá trị nhận được từ phương trình ( 2) thỏa đẳng thức sinw = z. vì vậy chúng ta nhắc lại hàm bội được định nghĩa bằng đẳng thức thứ 2 trong(2) của hàm sin ngược, ta tóm tắt bằng định nghĩa sau:
2 1/ 2
Định nghĩa 4.8 Hàm
giá trị bội của định nghĩa bởi −1
−1
sin z
được
sin z = − i. ln(iz + (1 − z ) ) được
2 1/ 2
gọi là hàm nghịch đảo của sin
Ví dụ:tìm tất cả giá trị của hàm Giải pháp:đặt pháp
từ (3) ta có
Với
n = 0 ,±1, ±2 Biểu thức có thể đơn giản qua nhận xét rằng:
Và vì thế
Do vậy nên
4.9 SỐ NGHỊCH ĐẢO CỦA COS VÀ TAN −1 Hàm giá trị bội số của cos z được định nghĩa bởi (4)
Được gọi là số nghịch đảo của Cos
giá trị bội số của tan được định nghĩa bởi
Hàm
−1
z
(5)
Được gọi là số nghịch đảo của −1
tan z
Cả
hai số nghịch đảo của Cos và Tan là giá tri – bội của hàm Sin. Chúng được định nghĩa trong phạm vi của hàm logarit phức ln z. như với số nghịch đảo của Sin, biểu thức
(1 − z )
2 1/ 2
trong
phức
(4) trình bày căn bậc hai của số
1− z
2
−1
Mỗi giá trị của W = cos z thỏa mãn phương trình cosW = z và tương tự , mỗi giá trị của −1 W= tan z thỏa mãn phương trình tanW = z
PHÂN NHÁNH VÀ PHÂN TÍCH Số
nghịch đảo của sin và số nghịch đảo của cos là hàm giá trị bội số có thể tạo ra đơn trị bởi định rõ một đơn trị của căn bậc hai để sử dụng cho biểu thức ;
(1 − z )
2 1/ 2
và đơn trị của logarit phức được sử dụng trong mục (3) và (4).
Số nghịch đạo của tan trên một phương diện khác , có thể tạo ra hàm đơn trị bởi bằng cách định rõ một đơn trị để sử dụng.
Ví
Dụ: Chúng ta có thể định nghĩa một hàm f đã cho một giá trị của số nghịch đảo sin bằng cách sử dụng căn bậc hai chính và giá trị chính của hàm logarit phức trong mục (3). Nếu z = 5 , thì căn bậc hai chính của 1− ( 5 ) 2 = -4 là 2i
và
Việc xác định những giá trị trong mục (3) khi cho
Như vậy: Chúng ta thấy rằng giá trị của hàm f tại z −1 5 với n =0 và = 5 là giá trị của sin căn bậc hai 2i trong VD 1
Một nhánh giá trị bội số của hàm lượng giác nghịch đảo có thể thu được bởi một khai triển căn bậc hai của hàm và một nhánh của hàm logarit phức . Việc xác định miền của một nhánh định nghĩa theo cách này có thể khá phức tạp
Nhưng
chúng ta sẽ không đi sâu về vấn đề này. Trên một phương diện khác, Đạo hàm của một nhánh giá trị bội số của hàm lượng giác nghịch đảo dễ dàng dựa trên phép lấy vi phân hàm ẩn
Để hiểu được điều này, ta giả sử rằng f1 là một nhánh của hàm giá trị bội số −1 F(z) = sin z
Nếu W= f1( z) thì ta có z =sin W. Bởi việc phân biệt cả phương trình sau với z và áp dụng dãy qui tắc (6) trong phần 3.1 ta được
(6)
Từ
phương trình lượng giác
sin + cos = 1 2
ta
2
có Cos w = (1-sin2 w)1/2 , và từ Z = sin w, Ta có thể viết 2 1/ 2 cos w = (1 − z )
Bởi vậy: sau khi thay thế biểu thức cho cos w trong mục (6) ,ta được kết quả sau.
Nếu đặt sin-1 z biểu diễn cho nhánh f1 thì công thức có thể trình bày lại ít phức tạp hơn:
Tuy
nhiên, để sử dụng giống khai triển của hàm căn bậc hai được −1 định nghĩa : sin z khi tìm thấy giá trị đạo hàm Tương tự: Đạo hàm nhánh của số nghịch đảo của Cos và tan có thể được thành lập
Trong công thức −1 , −1 dưới đây kí hiệu, sin z cos z
−1
tan z
trình bày nhánh của góc đồng vị hàm giá trị bội số.
Những công thức cho đạo hàm chỉ có giá trị trên miền của những nhánh này.
Đạo hàm của khai triển −1
sin z
−1
cos z
−1
tan z (7)
(8)
(9)
Khi tìm thấy giá trị của một đạo hàm với phần (7) hoặc (8), ta phải sử dụng giống căn bậc hai như đã định nghĩa phân nhánh ở trên
Những
công thức này cũng tương tự những đạo hàm của hàm lượng giác ngược “thực”. Sự khác nhau giữa công thức “thực “ và “phức” là lựa chọn giá trị đặc biệt của khai triển hàm căn bậc hai dược cho ở mục (7) và (8).
Ví dụ 2: ĐẠO HÀM CỦA NHÁNH ‘SIN’ NGHỊCH ĐẢO Đặt
−1
sin z
Thay
cho khai triển số nghịch đảo sin thu được qua sử dụng khai triển căn bậc hai chính và định nghĩa logarit (7) của phần 4.2 và mục (19) phần 4.1,
Tìm đạo hàm của khai triển tại z = i Giải
: ta chú ý trong khai triển này đặc trưng là tại z = i 2 Bởi vì 1 − z = 2 thì ko là khai triển chính 2 của hàm căn bậc hai, và i(i) + 1 − z = 2 cũng
tương tự ko là khai triển chính của hàm logarit phức, Do từ (7) ta có .
đó
Sử
dụng nhánh chính của hàm căn bậc hai, 1/ 2 ta được 2 = 2 Bởi
vậy: đạo hàm là 1/ 2 hoặc
1 2 2
4.4 NHỮNG HÀM HYPERBOLIC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC. Quan
sát ta thấy rằng khai triển số nghịch đảo sin được dung trong ví dụ 2 thì ko được định 2 1/ 2 nghĩa ở đây. Cho z = bởi vì (1 − z ) = -4 không là nhánh chính của căn bậc hai.Ta có thể định nghĩa nhánh khác của số nghịch đảo sin
Ví dụ: xét khai triển Của hàm căn bậc hai Ta kiểm tra , nếu định nghĩa sin^-1 để phân nhánh số nghịch đảo sin , sử dụng khi nhánh f2 của căn bậc hai và phân nhánh chính của hàm logarit, thì
4.10 Hàm hyperbolic sin, cos, tan nghịch đảo.
Đao hàm khai triển của −1
−1
sinh , cosh , tanh
−1
Ví dụ 3:Hàm Hyperbolic cosine ngược. Đặt
cosh −1 z
ứng với khai triển của hàm hyperbolic cosine ngược , được dùng bởi phân nhánh :
Của căn bậc hai và khai triển chính của hàm logarit phức. ta được những giá trị sau:
Giá trị khai triển hàm cos ngược là:
Nơi ta cần lấy giá trị của nhánh chính hàm logarit, bởi vì
Khai triển chính của hàm logarit là
Vì thế
Từ (14) ta có:
Sau khi sử dụng hàm f2 tìm căn bậc hai trong biểu thức này ta được:
* Nhận xét: chức năng đa trị của hàm f(z) = có thể biểu diễn bằng cách sử dụng mặt Riemann dựng sinz theo nhận xét ở mục 4.3 Ta có hình biểu diển 4.16. Để nhìn thấy ảnh một điểm ở dưới ánh xạ đơn trị w = ,
chúng ta hình dung nằm trong mặt phẳng xy hình 4.16. Xem xét tất cả các điểm trên bề mặt Riemann đang nằm trưc tiếp qua . Tất cả chúng chỉ trên bề mặt tương ứng tới một điểm duy nhất trong một trong số những hình vuông mô tả trong những nhận xét trong mục 4.3. Như vậy, điều này tập hợp vô hạn những điểm trong mặt Riemann tương ứng ảnh (của)
4.5 Ứng dụng Trong Mục 3.44 chúng tôi thấy vai trò mà những hàm điều hòa quan trọng trong những lĩnh vực (của) điện tĩnh học, dòng chất lỏng, sự hấp dẫn, và luồng nhiệt. Đó thường là trường hợp thường được áp dụng vào chúng ta cần tìm hàm điều hoà trong miền D và chỉ rõ những giá trị trên biên D .Trong điều này chúng ta sẽ nhìn ánh xạ bởi những hàm giải tích có thể giúp giải quyết những vấn đề.
Vấn đề Dirichlet Giả thiết miền D trong mặt phẳng phức , từ mục 3.3 hàm lấy 2 biến thực x,y gọi là điều hoà trong D nếu liên tục và thoả phương trình :
Trong Mục3.4 chúng ta định nghĩa Vấn đề Dirichlet để tìm là hàm điều hoà trên D và chỉ rõ những giá trị trên biên D. Nhìn thấy Hình 4.17. những giá trị của trên biên D được gọi là những điều kiện biên.
Cho ví dụ, xem xét vấn đề:
Cho ví dụ, xem xét vấn đề:
Ở đâu koVà k1 là những hằng số thực . Đây là một vấn đề Dirichlet trong miền D bị chặn bởi những đường thẳng đứng x= -1 Và x=1. Nhìn thấy ở Hình 4.18. Trong ví dụ 2 mục 3.4 chúng ta sử dụng những phương trình vi phân để giải quyết vấn đề của Dirichlet. Bạn cần phải xem lại ví dụ trong mục 3 .4 để hiểu pháp này được tìm thấy như thế nào
Chức năng điều hoà và ánh xạ hàm giải tích: giả sử cho W=f(z) là một ánh xạ giải tích của miền D trong mạt phẳng Z kể trên tới miền D’ trong mặt phẳng W nếu hàm là hàm điều hoà trong miền D’,thì hàm là hàm điều hoà trong miền D
Chứng minh để làm rõ hàm là hàm điều hòa trong D .Ta cần có thỏa phương trình laplace’s trong miền D.
Cách lấy vi phân riêng phần :
ứng dụng thứ 2 :
Làm tương tự với y ta có:
Từ phương trình (3) và (4) ta có:(5)
Bởi vì f là hàm giải tích trong D (theo định lý 3.4) điều đó thỏa mãn phương trình CauchyRiemann và hơn nữa từ định lý 3.7 ta có u và v là điều hòa liên hợp trong D và :
và
từ đó (5) trở thành
sử dụng biểu thức 9 trong mục 3.2 ta thấy:
và như vậy phương trình trên được rút gọn:
từ đó là điều hoà trong D’, và (6) trở thành
từ (7) ta kết luận là thỏa phương trình Laplace’s vì vậy hàm là hàm điều hòa trong miền D. Một phương pháp để giải quyết vấn đề Dirichlet: Bây giờ chúng ta giới thiệu 1 phương pháp để giải quyết vấn đề Dirichlet ở trên: Giả sữ D là miền có đường biên là những đường cong chúng ta muốn tìm hàm là hàm điều hòa trong miền D và có các giá trị trên những đường biên, t tương ứng .
Phương pháp này gồm 4 bước:
1) Tìm
1 hàm giải tích ánh xạ miềnD trong mặt phẳng Z lên miền D’ đơn giản hơn trong mặt phẳng W và ánh xạ những đường biên lên những đường cong
2) Thay đổi những điều kiện biên trên tới những điều kiện biên trên ,
t
3)giải quyết vấn đề Dirichlet trong miền D’ để thu được hàm điều hòa 4)thế phần thực và phần ảo của f(z)cho những biến u,v trong theo định lý 4.5
là giải pháp Dirichlet trong miền D. Minh họa ý tưởng trên trong hình 4.19
Sử dụng ánh xạ để giải vấn đề Dirichlet
Để D là miền trong z- mặt phẳng giới hạn bởi y=x và y=x+2.
Tìm thấy một hàm φ (x,y) là hàm điều hòa trong miền D và thỏa mãn điều kiện φ (x,x+2) =2 và φ (x,x) = 3
Bước 1
Gợi ý rằng chúng ta lấy miền D’ là miền giới hạn bởi đường u= -1 và u= 1. Trong đó giải pháp Dirichlet: Là tìm ánh xạ giải tích từ D đến D’
Quay gốc π /4
11/27/09
129
Ánh xạ
y = x + 2 và y = x
u= -√2 và u = 0 √2 u= 2 và u = 0
Dịch chuyển ảnh đến u =-1 và u =1. Quay 1 gốc π /4 ánh xạ R=eiπ /4 tăng lên √2 ta được hàm M(z)=√2z, và dịch chuyển bởi ánh xạ T(z) = z +1.Thành ra , miền D được ánh xạ bởi miền D’ bởi cấu trúc: f(z) = T(M(R(z))) = √2eiπ/ 4z + 1 = (1 + i)z + 1
Bước 2:
Bây giờ chúng ta thay đổi những điều kiện biên miền D tới điều kiện miền D’. Cứ trình tự như vậy, chúng ta tìm thấy những ảnh hàm w = f(z) của những đường biên thẳng y = x và y = x + 2 của miền D. Bằng việc thay z với x + iy, chúng ta có thể biểu thị ánh xạ w= (1+ i)z + 1 như: w = (1 + i)(x + iy) + 1 = x – y + 1 + (x+y)i Từ phương trình trên chúng ta tìm ảnh của đường biên y=x+2 là tập hợp những điểm: w = u + iv = x - (x + 2) + 1 + (x + (x + 2)) i = -1 + 2(x + 1)i với u = -1. Bởi vậy, điều kiện biên φ (x, x+ 2) = -2 và φ (x, x) = 3 thay đổi điều kiện φ (1, v) =3
Bước 3 Giải
pháp Dirichlet trong miền D’ là đã cho (2) với x và y được thay thế bởi u và v, với k0= -2 và k1=3:
11/27/09
132
Bước 4
Bước cuối cùng trong cách giải của chúng ta là thế phần thực và phần ảo của f bởi φ từ biến u và v để thu được nghiệm φ . Từ (8) chúng ta thấy được phần thực và phần ảo của hàm f là:
u(x,y) = x-y+1 và u(x,y) = x + y
Tương ứng và như vậy hàm: Là 1 giải pháp của bài toán Dirichlet trong miền D. Bạn kiểm tra sự tính toán trực tiếp của hàm φ ở phương trình (9) thỏa mãn phương trình của Laplace và điều kiện biên φ (x,x) = 3 và φ (x,x+2) =2
11/27/09
133
CHƯƠNG 4:HÀM SƠ CẤP • 4.3-HÀM HYPERBOLIC VÀ LƯỢNG GIÁC PHỨC • 4.4-HÀM HYPERBOLIC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC • 4.5-Ứng dụng
4.3-HÀM HYPERBOLIC VÀ LƯỢNG GIÁC PHỨC
4.3.1.Hàm lượng giác phức. • Trong mục này chúng ta sẽ xác định rõ đặc điểm của những hàm lượng giác phức và hàm hyperbolic.Tương tự như những hàm phức và Lnz đã được định nghĩa trước đây,những hàm này sẽ thỏa mãn với những phần thực tương ứng được nhập vào
1.Định nghĩa. 2.Đồng nhất thức. 3.Tính tuần hoàn. 4.Phương trình lượng giác. 5.Mô đun. 6.“Không” điểm. 7.Giải tích. 8.Ánh xạ lượng giác.
1. Định nghĩa - Theo đ/n 4.1: và - Bằng cách cộng và trừ 2 phương trình trên,ta được: ,
- Thay giá trị thực x bằng giá trị phức z ở công thức trên ta thu được định nghĩa hàm sin và cos phức. * Định nghĩa 4.6: Hàm phức của sin và cos
Tương tự:
s inz ta nz = c o sz
c o sz 1 , c o tz = , s e cz s inz c o sz
Những hàm này đều thỏa mãn với giá trị thực tương ứng của chúng. Ví dụ: Hãy biểu thị giá trị của hàm lượng giác đã cho theo dạng a+ib. a.tan( π-2i)
b.sin(2+i)
i (π − 2 i )
−i ( π −2 i )
(e −e ) / 2i a.tan(π − 2i ) = i (π − 2i ) i (π −2i ) (e +e )/2 i (π − 2 i )
−i ( π −2i )
−2
e −e e −e = i (π − 2 i ) − i ( π − 2 i ) = − 2 i ≈ −0.9640i −2 (e +e )i e +e
b.
2
2. Đồng nhất thức Tương tự như hàm lượng giác thực:
sin(− z ) = −sinz
,
cos( z ) − cosz =
cos z + sin z = 1 sin(z1 ± z2 ) = sinz1 cosz2
cos ± z1 sinz2
cos(z1 ± z2 ) = cosz1 cos mz2
sinz1 sinz2
2
2
sin 2z = 2 sinz cosz
, cos 2z
2
cos= z
2
Chú ý: Một vài thuộc tính của hàm lượng giác thực sẽ không thỏa mãn với hàm phức tương ứng của chúng. Ví dụ thỏa tất cả những giá trị thực của x . Nhưng |cos i| > 1 và |sin(2 + i)| > 1 từ | cos i| ≈ 1.5431 và |sin (2 + i)| ≈ 1.4859 ,như vậy những sự khác nhau này,hầu hết đều không thỏa mãn với giá trị phức z
3.Tính tuần hoàn. - Trong 4.1 chúng ta đã cm rằng hàm mũ phức tuần hoàn với chu kỳ 2πi. - Từ đó ez+2πi=ez với mọi z. Thay z bằng iz => eiz+2πi=ei(z+2π) =eiz Như vậy,eiz là một hàm tuần hoàn với chu kì thực 2π.
3.Tính tuần hoàn. - Trong 4.1 chúng ta đã cm rằng hàm mũ phức tuần hoàn với chu kỳ 2πi. - Từ đó
với mọi z.
Thay z bằng iz => Như vậy,eiz là một hàm tuần hoàn với chu kì thực 2π.
• Tương tự,chúng ta có thể thấy rằng và là hàm tuần hoàn với chu kì thực 2π. • Từ định nghĩa 4.6,ta được:
sin(z + 2π ) = sin z , cos(z +2 π) =cos z sec(z + 2π ) = sec z , csc(z +2 π) =csc z các hàm trên có chu kỳ là 2π
tan(z + π ) = tan z , cot(z hàm tan và cot có chu kỳ là π
+ )π cot =
4.Phương trình lượng giác. Chúng ta chỉ chú ý tới việc giải những phương trình lượng giác đơn giản.Bởi vì hàm phức của sin va cos tuần hoàn, chúng ta có vô số cách giải phương trình có dạng sinz=w hoặc cosx=w. Giải pt dạng sinz=w hay cosz=w thường thì sử dụng đ/n 4.6 và công thức pt bậc 2. Ví dụ:
Giải pt sinz=5
sin z = 5
Nhân 2 vế pt cho
và đơn giản ta được:
Dùng công thức (3) của phần 1.6,ta được:
Với
thì hay
Vì
nên
Với n = 0,±1,±2……
Tương tự ,ta thấy rằng: có
và arg là (π/2+2nπ)
=>
Với n = 0,±1,±2………
5.Mô đun: - Là một phần của hàm lượng giác phức sẽ có ích trong việc giải những pt lượng giác. - Để tìm công thức biểu hiện x và y trong hàm sin và cos, đầu tiên chúng ta hãy biểu diễn những hàm này theo phần thực và phần ảo của chúng.
• Nếu chúng ta thay thế z bằng x+iy từ biểu thức của sinz trong đ/n 4.6,ta được:
Thay sinh y = => Tương tự: Ta có: Kết hợp với: và
Ta được:
Vậy Tương tự,ta được:
Hàm hyperbolic sinh x không bị ràng buột trên đường biên thực
Hình 4.11(a)
- Ta thấy /sinz/ và /cosz/ có thể lớn tùy ý nếu chọn y lớn tùy ý .Như vậy,chúng ta đã chỉ ra rằng hàm phức sin và cos không bị giới hạn trên mp phức. - Nghĩa là không tồn tại một hằng số thực M để cho /sinz/<M và /cosz/<M với mọi z thuộc C. - Điều này khác với hàm thực của sin và cos thỏa |sin x| ≤ 1 và |cos x| ≤ 1 thỏa với mọi giá trị thực của x.
6.”không” điểm. Ở phần đầu ta đã biết số phức bằng 0 khi và chỉ khi môđun của nó bằng 0. Do đó:
sinz = 0
Khi và chỉ khi: Vì và không âm nên pt cuối thõa mãn khi và chỉ khi sinx=0 và sinhy=0
• sinx=0 khi x=nπ, n=0,±1,±2…., • Nhìn lại Hình4.11(a) ta thấy sinh y = 0 y = 0. Vì vậy, kết quả của phương trình sinz = 0 trong mặt phẳng phức là các số thực z = nπ, n=0,±1,±2, …..
Vậy
sinz = 0
z = nл
(2 n +1) π Tương tự cosz = 0 z = 2 với n = 0,±1,±2………
7.Giải tích. d d e iz − e −iz ie iz + ie − iz e iz + e− iz sin z = = = dz dz 2i 2i 2 d ⇒ sin z = cos z dz
d cos z = − sin z dz
Giống như các hàm lượng giác thực,ta có các đạo hàm của hàm lượng giác phức sau:
Lưu ý:hàm tan, cot , sec , csc chỉ có đạo hàm tại những điểm mà mà mẫu số khác 0.
d sin z = cos z dz d tan z = sec2 z dz d sec z = sec z tan z dz
d cos z = sin − z dz d cot z = csc − 2 z dz d csc z = csc − z cot z dz
Những điểm kỳ dị:
z = (2 n +1)π / 2
-tan , sec :
n∨ 0,= 1, ±2,.
z = nπ ∨ n = 0,± 1,± 2,...
-cot , csc :
8. ÁNH XẠ LƯỢNG GIÁC
Bây giờ chúng ta sẽ thảo luận về ánh xạ phức w=sinz của mặt phẳng z lên trên mặt phẳng w.Vì sinz tuần hoàn với chu kỳ thực 2π , đặc trưng này đảm nhiệm < x trị ≤ x0 trong 2π+ , bất − ∞ ykỳ < < tất cả nhữngx0 giá trong dải thẳng đứng vô hạn:
• Trong một cách thức tương tự điều đó được dùng để nghiên cứu ánh xạ mũ w =ez, điều này cho phép chúng ta nghiên cứu ánh xạ w = sinz trên toàn bộ mặt phẳng phức bằng việc phân tích nó trên một trong bất kỳ những dải này .Chọn một dải −π < x ≤ π, −∞ < y < ∞.
• Trước khi chúng ta khảo sát hàm phức w = sinz trên dải này, Chú ý rằng sinz không phải từ một tới một trong khoảng này.
• Ví dụ: z1 = 0 và z2 = π nằm trong miền này và sin 0 = sin π = 0 .Từ sin(−z + π) = sin z, theo đó ảnh của dải −π < x ≤ −π/2, −∞ < y < ∞, cũng giống như ảnh của dải π/2 < x ≤ π, −∞ < y < ∞, qua w = sinz,vì vậy chúng ta chỉ cần xem xét ánh xạ w= sinz trên vùng −π/2 ≤ x ≤ π/2, −∞ < y < ∞
Vd:Ánh xạ w = sin z Mô tả ảnh của −π/2 ≤ x ≤ π/2, −∞ < y < ∞, dưới ánh xạ phức w = sinz. Giải :ảnh của đường thẳng đứng x = a với −π/2 ≤ a ≤ π/2 và a ≠ −π/2, 0, π/2 qua w = sinz được cho bởi: u = sina.coshy, v = cosa.sinhy, −∞ < y < ∞. (22) Từ −π/2 < a < π/2 và a ≠ 0,do đó sina≠0 và cosa≠0,từ(22) chúng ta nhận được :
⇒ cosh y = 2
u sin a
, sinh y =
v cos a
2
u v ⇒ − = 1 sin a cos a
(23)
• Phương trình Đề Các trên là 1 hình hypebol có đỉnh là (±sina,0) và các đường tiệm cận xiên v=±(cosa/sina)u. Bởi vậy, ảnh của đường thẳng đứng x=a với −π/2 < a < π/2 và a≠0 qua w=sinz là nhánh của hyperbol chứa điểm (sina,0).
Bởi vì sin(-z)= -sinz với mọi z,nó cũng chỉ ra rằng ảnh của đường x= -a là nhánh của hyperbol chứa điểm (-sina,0).
• Bởi vậy,cặp đường thẳng đứng x=a và x= -a với −π/2 < a < π/2 và a≠0 ánh xạ lên trên hyperbol . Chúng ta minh họa thuộc tính ánh xạ của w=sinz trong hình 4.12,nơi những đường thẳng đứng được tô màu trong hình 4.12(a) được ánh xạ lên trên hyperbol được chỉ ra bằng màu đen trong hình 4.12(b).
Đường x = π/3 được ánh xạ lên trên nhánh của hyperbol chứa điểm (½ ,3 0),và đường x = π/6 được ánh xạ lên nhánh chứa điểm (½,0). Tương tự đường x = −π/3 được ánh xạ lên nhánh chứa điểm ( -½ 3 ,0) ) và đường x = −π/6 được ánh xạ lên nhánh chứa điểm (-½,0),
Ảnh của đường x = −π/2, x = π/2 và
x=0 không thể tìm thấy từ (23). Hơn nữa,từ (22) chúng ta nhận ra rằng đường x = −π/2 là tập hợp những điểm u≤-1 trên trục thực âm
• Ảnh của đường x = π/2 là tập hợp
những điểm u ≥ 1 trên trục thực dương,và ảnh của đường x=0 là trục ảo u = 0 . Xem hình 4.12.Nói chung,chúng ta đã chỉ ra được rằng ảnh trên dải thẳng đứng vô hạn −π/2 ≤ x ≤ π/2, −∞ < y < ∞,qua w=sinz,là mặt phẳng w nguyên.
Đối với đường thẳng nằm ngang y = b, −π/2 ≤ x ≤ π/2 ảnh được cho bởi: u = s inx.cosh b, v = cos x.sinh b, −π/2 ≤ x ≤ π/2 khi b ≠ 0,tập hợp này cũng được cho bởi phương trình Đecac:
2
2
u v + = 1 cosh b sinh b
• Phương trình trên là 1 Elip với đoạn thẳng u bị chặn tại(±coshb,0) và đoạn thẳng v bị chặn tại (0,±sinhb) Nếu b>0,thì ảnh của đoạn thẳng y= b là nửa trên của elip được định nghĩa bởi (24) và ảnh của đoạn thẳng y= -b là nửa dưới của elip.
• Như vậy,những đoạn thẳng nằm ngang trong hình 4.12 được ánh xạ lên trên hình elip được chỉ ra bằng màu đen trong hình 4.12(b ) • Những cặp đoạn thẳng ở trong cùng được ánh xạ lên elip ở trong cùng,
• Những cặp đoạn thẳng ở giữa được ánh xạ lên hình elip giữa,và cặp những đoạn thẳng ở ngoài cùng được ánh xạ lên hình elip ở ngoài cùng.Quan sát rằng nếu b = 0 thì ảnh của đoạn thẳng y = 0, −π/2 < x < π/2,là một đoạn thẳng −1 ≤ u ≤ 1,v = 0 trên trục thực.
Tương tự tìm ánh xạ của hàm w=cosz ,từ cos z = sin (z + π/2) ta có thể biểu diễn ánh xạ hàm w bằng sự kết hợp phép chuyển w = z + π/2 và ánh xạ hàm w=sinz,
4.3.2 HÀM PHỨC HYPERBOLIC • • • •
1. 2. 3. 4.
Định nghĩa. Đạo hàm Liên hệ với hàm sin và cos. Đồng nhất thức
1. Định nghĩa. Với z phức ta có:
e −e sinh z = 2 z
−z
−z
e +e , cosh z = 2 z
Suy ra:
sin hz ta n hz = c o s hz
c o shz , c o thz = sin hz
1 , s e ch z c o shz
,=
2. Đạo hàm. • Ta có:
d d e ez − z−e sinh z = = dz d z 2 d ⇔ sinh z = cosh z dz
• Suy ra
z e+
− z
2
d d sinh z = cosh z cosh = z sinh z dz dz d d 2 tanh z = sec h z coth =−z csc h z2 dz dz d d sec hz =− sec hztanh z csc=− hz csc hzcoth z dz dz
3. Liên hệ với hàm sin và cos
sin z = − i sinh(iz )
cos z
sinhz = − i sin(iz )
cosh z
tan(iz )= i tanh z
cos =
co=
4. Đồng nhất thức. sinh(− z ) = − sinh z
cosh(− z ) = cosh z
cosh z − sinh z = 1 sinh( z1 ± z2 ) = sinh z1 cosh z2 ± cosh z1 sinh z 2 2
2
cosh( z1 ± z2 ) = cosh z1 cosh z2 ± sinh z1 sinh z 2
ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC HYPERBOLIC z d d e e− sinh z = dz d z 2
− z z − e +e = 2
d ⇔ sinh z =cosh z dz d d sinh z =cosh z cosh=z sinh z dz dz d d 2 2 tanh z =sec h z coth=− z csc h z dz dz d d sec hz =−sec hztanh z csc =− hz csc hzcoth z dz dz
z
Liên hệ giữa sin và cos Hàm thực lượng giác và Hyperbolic có những tính chất tương tự nhau.
Ta khó có thể tìm được mối liên hệ giữa hàm lượng giác và hyperbolic thực. Nhưng với số phức thì ta tìm được mối liên hệ bằng cách thay z bằng iz
-i.sinh(iz) = sin z sinh(z) = -i.sin(iz) Chúng ta thực hiện tương tự cho cosz và cosh z
sin z =−isinh( iz) cos =z cosh( iz) sinh z =−isin( iz) cosh =z cos( iz) tan( iz) =itanh z
Một số tính chất tương đồng giữa hàm hyperbolic thực và phức: sinh( − z) = − sinh z
cosh(− z) = cosh z
cosh z − sinh z = 1 sinh( z1 ± z2 ) = sinh z1 cosh z2 ± cosh z1 sinh z2 2
2
cosh( z1 ± z2 ) = cosh z1 cosh z2 ± sinh z1 sinh z2 *Trong ví dụ sau ta sẽ kiểm tra lại các tính chất trên, chứng minh tương tự cho các tính chất khác
Ví dụ: kiểm tra rằng cosh(z1+z2) = cosh z1.cosh z2+sinh z1.sinh z2 cho tất cả các số phức z1 , z2
Giải pháp: cosh (z1+z2) = cos (iz1+iz2) = cos iz1.cos iz2 –sin iz1 .sin iz2 = cos iz1 .cos iz2 + (- i.sin iz1).(- i.sin iz2) = cosh z1 .cosh z2 + sinh z1 . sinh z2
Lưu ý: so sánh với giải tích thực (i) trong giải tích thực , hàm mũ chỉ là một trong số những hàm cơ bản quan trọng, tuy nhiên trong giải tích phức , hàm mũ phức đảm nhiệm nhiều vai trò lớn. Tất cả hàm mũ phức có thể được định nghĩa trong những điều kiện của hàm mũ và logarit phức.Nghiên cứu về giải tích phức bao gồm việc dùng hàm mũ và logarit phức để ước lượng , lấy vi phân , tích phân và ánh xạ với hàm cơ bản.
(ii)
như những hàm một biến thực x : sinh x , cosh x không tuần hòan.Nhưng trong trường hợp khác(miền phức), hàm phức sinh z và cosh z là tuần hòan. cosh x là khác 0 và sinh x = 0 tại x=0 ( xem hình 4.11) nhưng hàm phức sinh z, cosh z lại có nhiều giá trị z làm hàm số =0
4.4:Hàm lượng giác và hyperbolic ngược Hàm
phức logarit ln z được định nghĩa trong 4.1 để giải quyết những đẳng thức có dạng w e = z. bởi vì hàm mũ phức là tuần hòan, vì vậy lnz nhất thiết là 1 hàm có giá trị bội số.
Trong
phần này ta giải quyết những đẳng thức bao gồm hàm phức lượng giác và hyperbolic. Vì chúng là hàm tuần hòan nên hàm ngược của chúng kà hàm giá trị bội . Hơn nữa, hàm phức lượng giác và hyperbolic đã được định nghĩa trong hàm mũ phức thì hàm ngược của chúng sẽ bao gồm logarit phức.
Hàm nghịch đảo của sin chúng
ta nhận thấy rằng hàm sin phức là 1 hàm tuần hòan chu kì thực 2π chúng ta cũng nhận thấy rằng ánh xạ của hàm sin phức đi từ mặt phẳng phức mặt phẳng phức điều này cho thấy Range(sin z) = C. Xem hình 4.12, từ đây ta có kết luận : Cho bất kỳ số phức z nào thì tồn tại vô số kết quả để có đựơc đẳng thức sin w = z
Ta dùng định nghĩa 4.6 để viết lại đẳng thức sin w =z như sau:
e
là
2 iw
− 2iz.e − 1 = 0 iw
một phương trình bậc 2 theo eiw , chúng ta có thể dùng công thức bậc hai để giải eiw
e = iz + (1 − z ) iw
2 1/ 2
(1)
lấy đạo hàm 2 vế ta được
iw = ln(iz + (1 − z 2 )1/ 2 (2) hay w = −i. ln(iz + (1 − z ) mỗi giá trị nhận được từ phương trình ( 2) thỏa đẳng thức sinw = z. vì vậy chúng ta nhắc lại hàm bội được định nghĩa bằng đẳng thức thứ 2 trong(2) của hàm sin ngược, ta tóm tắt bằng định nghĩa sau:
2 1/ 2
Định nghĩa 4.8 Hàm
giá trị bội của định nghĩa bởi −1
−1
sin z
được
sin z = − i. ln(iz + (1 − z ) ) được
2 1/ 2
gọi là hàm nghịch đảo của sin
Ví dụ:tìm tất cả giá trị của hàm Giải pháp:đặt pháp
từ (3) ta có
Với
n = 0 ,±1, ±2 Biểu thức có thể đơn giản qua nhận xét rằng:
Và vì thế
Do vậy nên
4.9 SỐ NGHỊCH ĐẢO CỦA COS VÀ TAN −1 Hàm giá trị bội số của cos z được định nghĩa bởi (4)
Được gọi là số nghịch đảo của Cos
giá trị bội số của tan được định nghĩa bởi
Hàm
−1
z
(5)
Được gọi là số nghịch đảo của −1
tan z
Cả
hai số nghịch đảo của Cos và Tan là giá tri – bội của hàm Sin. Chúng được định nghĩa trong phạm vi của hàm logarit phức ln z. như với số nghịch đảo của Sin, biểu thức
(1 − z )
2 1/ 2
trong
phức
(4) trình bày căn bậc hai của số
1− z
2
−1
Mỗi giá trị của W = cos z thỏa mãn phương trình cosW = z và tương tự , mỗi giá trị của −1 W= tan z thỏa mãn phương trình tanW = z
PHÂN NHÁNH VÀ PHÂN TÍCH Số
nghịch đảo của sin và số nghịch đảo của cos là hàm giá trị bội số có thể tạo ra đơn trị bởi định rõ một đơn trị của căn bậc hai để sử dụng cho biểu thức ;
(1 − z )
2 1/ 2
và đơn trị của logarit phức được sử dụng trong mục (3) và (4).
Số nghịch đạo của tan trên một phương diện khác , có thể tạo ra hàm đơn trị bởi bằng cách định rõ một đơn trị để sử dụng.
Ví
Dụ: Chúng ta có thể định nghĩa một hàm f đã cho một giá trị của số nghịch đảo sin bằng cách sử dụng căn bậc hai chính và giá trị chính của hàm logarit phức trong mục (3). Nếu z = 5 , thì căn bậc hai chính của 1− ( 5 ) 2 = -4 là 2i
và
Việc xác định những giá trị trong mục (3) khi cho
Như vậy: Chúng ta thấy rằng giá trị của hàm f tại z −1 5 với n =0 và = 5 là giá trị của sin căn bậc hai 2i trong VD 1
Một nhánh giá trị bội số của hàm lượng giác nghịch đảo có thể thu được bởi một khai triển căn bậc hai của hàm và một nhánh của hàm logarit phức . Việc xác định miền của một nhánh định nghĩa theo cách này có thể khá phức tạp
Nhưng
chúng ta sẽ không đi sâu về vấn đề này. Trên một phương diện khác, Đạo hàm của một nhánh giá trị bội số của hàm lượng giác nghịch đảo dễ dàng dựa trên phép lấy vi phân hàm ẩn
Để hiểu được điều này, ta giả sử rằng f1 là một nhánh của hàm giá trị bội số −1 F(z) = sin z
Nếu W= f1( z) thì ta có z =sin W. Bởi việc phân biệt cả phương trình sau với z và áp dụng dãy qui tắc (6) trong phần 3.1 ta được
(6)
Từ
phương trình lượng giác
sin + cos = 1 2
ta
2
có Cos w = (1-sin2 w)1/2 , và từ Z = sin w, Ta có thể viết 2 1/ 2 cos w = (1 − z )
Bởi vậy: sau khi thay thế biểu thức cho cos w trong mục (6) ,ta được kết quả sau.
Nếu đặt sin-1 z biểu diễn cho nhánh f1 thì công thức có thể trình bày lại ít phức tạp hơn:
Tuy
nhiên, để sử dụng giống khai triển của hàm căn bậc hai được −1 định nghĩa : sin z khi tìm thấy giá trị đạo hàm Tương tự: Đạo hàm nhánh của số nghịch đảo của Cos và tan có thể được thành lập
Trong công thức −1 , −1 dưới đây kí hiệu, sin z cos z
−1
tan z
trình bày nhánh của góc đồng vị hàm giá trị bội số.
Những công thức cho đạo hàm chỉ có giá trị trên miền của những nhánh này.
Đạo hàm của khai triển −1
sin z
−1
cos z
−1
tan z (7)
(8)
(9)
Khi tìm thấy giá trị của một đạo hàm với phần (7) hoặc (8), ta phải sử dụng giống căn bậc hai như đã định nghĩa phân nhánh ở trên
Những
công thức này cũng tương tự những đạo hàm của hàm lượng giác ngược “thực”. Sự khác nhau giữa công thức “thực “ và “phức” là lựa chọn giá trị đặc biệt của khai triển hàm căn bậc hai dược cho ở mục (7) và (8).
Ví dụ 2: ĐẠO HÀM CỦA NHÁNH ‘SIN’ NGHỊCH ĐẢO Đặt
−1
sin z
Thay
cho khai triển số nghịch đảo sin thu được qua sử dụng khai triển căn bậc hai chính và định nghĩa logarit (7) của phần 4.2 và mục (19) phần 4.1,
Tìm đạo hàm của khai triển tại z = i Giải
: ta chú ý trong khai triển này đặc trưng là tại z = i 2 Bởi vì 1 − z = 2 thì ko là khai triển chính 2 của hàm căn bậc hai, và i(i) + 1 − z = 2 cũng
tương tự ko là khai triển chính của hàm logarit phức, Do từ (7) ta có .
đó
Sử
dụng nhánh chính của hàm căn bậc hai, 1/ 2 ta được 2 = 2 Bởi
vậy: đạo hàm là 1/ 2 hoặc
1 2 2
4.4 NHỮNG HÀM HYPERBOLIC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC. Quan
sát ta thấy rằng khai triển số nghịch đảo sin được dung trong ví dụ 2 thì ko được định 2 1/ 2 nghĩa ở đây. Cho z = bởi vì (1 − z ) = -4 không là nhánh chính của căn bậc hai.Ta có thể định nghĩa nhánh khác của số nghịch đảo sin
Ví dụ: xét khai triển Của hàm căn bậc hai Ta kiểm tra , nếu định nghĩa sin^-1 để phân nhánh số nghịch đảo sin , sử dụng khi nhánh f2 của căn bậc hai và phân nhánh chính của hàm logarit, thì
4.10 Hàm hyperbolic sin, cos, tan nghịch đảo.
Đao hàm khai triển của −1
−1
sinh , cosh , tanh
−1
Ví dụ 3:Hàm Hyperbolic cosine ngược. Đặt
cosh −1 z
ứng với khai triển của hàm hyperbolic cosine ngược , được dùng bởi phân nhánh :
Của căn bậc hai và khai triển chính của hàm logarit phức. ta được những giá trị sau:
Giá trị khai triển hàm cos ngược là:
Nơi ta cần lấy giá trị của nhánh chính hàm logarit, bởi vì
Khai triển chính của hàm logarit là
Vì thế
Từ (14) ta có:
Sau khi sử dụng hàm f2 tìm căn bậc hai trong biểu thức này ta được:
* Nhận xét: chức năng đa trị của hàm f(z) = có thể biểu diễn bằng cách sử dụng mặt Riemann dựng sinz theo nhận xét ở mục 4.3 Ta có hình biểu diển 4.16. Để nhìn thấy ảnh một điểm ở dưới ánh xạ đơn trị w = ,
chúng ta hình dung nằm trong mặt phẳng xy hình 4.16. Xem xét tất cả các điểm trên bề mặt Riemann đang nằm trưc tiếp qua . Tất cả chúng chỉ trên bề mặt tương ứng tới một điểm duy nhất trong một trong số những hình vuông mô tả trong những nhận xét trong mục 4.3. Như vậy, điều này tập hợp vô hạn những điểm trong mặt Riemann tương ứng ảnh (của)
4.5 Ứng dụng Trong Mục 3.44 chúng tôi thấy vai trò mà những hàm điều hòa quan trọng trong những lĩnh vực (của) điện tĩnh học, dòng chất lỏng, sự hấp dẫn, và luồng nhiệt. Đó thường là trường hợp thường được áp dụng vào chúng ta cần tìm hàm điều hoà trong miền D và chỉ rõ những giá trị trên biên D .Trong điều này chúng ta sẽ nhìn ánh xạ bởi những hàm giải tích có thể giúp giải quyết những vấn đề.
Vấn đề Dirichlet Giả thiết miền D trong mặt phẳng phức , từ mục 3.3 hàm lấy 2 biến thực x,y gọi là điều hoà trong D nếu liên tục và thoả phương trình :
Trong Mục3.4 chúng ta định nghĩa Vấn đề Dirichlet để tìm là hàm điều hoà trên D và chỉ rõ những giá trị trên biên D. Nhìn thấy Hình 4.17. những giá trị của trên biên D được gọi là những điều kiện biên.
Cho ví dụ, xem xét vấn đề:
Cho ví dụ, xem xét vấn đề:
Ở đâu koVà k1 là những hằng số thực . Đây là một vấn đề Dirichlet trong miền D bị chặn bởi những đường thẳng đứng x= -1 Và x=1. Nhìn thấy ở Hình 4.18. Trong ví dụ 2 mục 3.4 chúng ta sử dụng những phương trình vi phân để giải quyết vấn đề của Dirichlet. Bạn cần phải xem lại ví dụ trong mục 3 .4 để hiểu pháp này được tìm thấy như thế nào
Chức năng điều hoà và ánh xạ hàm giải tích: giả sử cho W=f(z) là một ánh xạ giải tích của miền D trong mạt phẳng Z kể trên tới miền D’ trong mặt phẳng W nếu hàm là hàm điều hoà trong miền D’,thì hàm là hàm điều hoà trong miền D
Chứng minh để làm rõ hàm là hàm điều hòa trong D .Ta cần có thỏa phương trình laplace’s trong miền D.
Cách lấy vi phân riêng phần :
ứng dụng thứ 2 :
Làm tương tự với y ta có:
Từ phương trình (3) và (4) ta có:(5)
Bởi vì f là hàm giải tích trong D (theo định lý 3.4) điều đó thỏa mãn phương trình CauchyRiemann và hơn nữa từ định lý 3.7 ta có u và v là điều hòa liên hợp trong D và :
và
từ đó (5) trở thành
sử dụng biểu thức 9 trong mục 3.2 ta thấy:
và như vậy phương trình trên được rút gọn:
từ đó là điều hoà trong D’, và (6) trở thành
từ (7) ta kết luận là thỏa phương trình Laplace’s vì vậy hàm là hàm điều hòa trong miền D. Một phương pháp để giải quyết vấn đề Dirichlet: Bây giờ chúng ta giới thiệu 1 phương pháp để giải quyết vấn đề Dirichlet ở trên: Giả sữ D là miền có đường biên là những đường cong chúng ta muốn tìm hàm là hàm điều hòa trong miền D và có các giá trị trên những đường biên, t tương ứng .
Phương pháp này gồm 4 bước:
1) Tìm
1 hàm giải tích ánh xạ miềnD trong mặt phẳng Z lên miền D’ đơn giản hơn trong mặt phẳng W và ánh xạ những đường biên lên những đường cong
2) Thay đổi những điều kiện biên trên tới những điều kiện biên trên ,
t
3)giải quyết vấn đề Dirichlet trong miền D’ để thu được hàm điều hòa 4)thế phần thực và phần ảo của f(z)cho những biến u,v trong theo định lý 4.5
là giải pháp Dirichlet trong miền D. Minh họa ý tưởng trên trong hình 4.19
Sử dụng ánh xạ để giải vấn đề Dirichlet
Để D là miền trong z- mặt phẳng giới hạn bởi y=x và y=x+2.
Tìm thấy một hàm φ (x,y) là hàm điều hòa trong miền D và thỏa mãn điều kiện φ (x,x+2) =2 và φ (x,x) = 3
Bước 1
Gợi ý rằng chúng ta lấy miền D’ là miền giới hạn bởi đường u= -1 và u= 1. Trong đó giải pháp Dirichlet: Là tìm ánh xạ giải tích từ D đến D’
Quay gốc π /4
11/27/09
129
Ánh xạ
y = x + 2 và y = x
u= -√2 và u = 0 √2 u= 2 và u = 0
Dịch chuyển ảnh đến u =-1 và u =1. Quay 1 gốc π /4 ánh xạ R=eiπ /4 tăng lên √2 ta được hàm M(z)=√2z, và dịch chuyển bởi ánh xạ T(z) = z +1.Thành ra , miền D được ánh xạ bởi miền D’ bởi cấu trúc: f(z) = T(M(R(z))) = √2eiπ/ 4z + 1 = (1 + i)z + 1
Bước 2:
Bây giờ chúng ta thay đổi những điều kiện biên miền D tới điều kiện miền D’. Cứ trình tự như vậy, chúng ta tìm thấy những ảnh hàm w = f(z) của những đường biên thẳng y = x và y = x + 2 của miền D. Bằng việc thay z với x + iy, chúng ta có thể biểu thị ánh xạ w= (1+ i)z + 1 như: w = (1 + i)(x + iy) + 1 = x – y + 1 + (x+y)i Từ phương trình trên chúng ta tìm ảnh của đường biên y=x+2 là tập hợp những điểm: w = u + iv = x - (x + 2) + 1 + (x + (x + 2)) i = -1 + 2(x + 1)i với u = -1. Bởi vậy, điều kiện biên φ (x, x+ 2) = -2 và φ (x, x) = 3 thay đổi điều kiện φ (1, v) =3
Bước 3 Giải
pháp Dirichlet trong miền D’ là đã cho (2) với x và y được thay thế bởi u và v, với k0= -2 và k1=3:
11/27/09
132
Bước 4
Bước cuối cùng trong cách giải của chúng ta là thế phần thực và phần ảo của f bởi φ từ biến u và v để thu được nghiệm φ . Từ (8) chúng ta thấy được phần thực và phần ảo của hàm f là:
u(x,y) = x-y+1 và u(x,y) = x + y
Tương ứng và như vậy hàm: Là 1 giải pháp của bài toán Dirichlet trong miền D. Bạn kiểm tra sự tính toán trực tiếp của hàm φ ở phương trình (9) thỏa mãn phương trình của Laplace và điều kiện biên φ (x,x) = 3 và φ (x,x+2) =2
11/27/09
133
