Ng©n hµng ®Ò thi to¸n x¸c suÊt thèng kª hÖ §¹i häc t¹i chøc --------------------------------------------------
lo¹i C©u hái 1 ®iÓm
C©u 1 (1 ®iÓm): Mét ngêi gäi ®iÖn tho¹i cho b¹n nhng l¹i quªn mÊt 3 ch÷ sè cuèi vµ chØ nhí r»ng chóng kh¸c nhau. T×m x¸c suÊt ®Ó ngêi ®ã quay sè mét lÇn ®îc ®óng sè ®iÖn tho¹i cña b¹n. C©u 2 (1 ®iÓm): C¬ cÊu chÊt lîng s¶n phÈm cña nhµ m¸y nh sau: S¶n phÈm lo¹i I: 40%, s¶n phÈm lo¹i II: 50%, cßn l¹i lµ phÕ phÈm. LÊy ngÉu nhiªn mét s¶n phÈm cña nhµ m¸y. TÝnh x¸c suÊt s¶n phÈm lÊy ra lµ phÕ phÈm. C©u 3 (1 ®iÓm): TÝn hiÖu th«ng tin ®îc ph¸t ®i 3 lÇn ®éc lËp nhau. X¸c suÊt thu ®îc tin cña mçi lÇn ph¸t lµ 0,4. TÝnh x¸c suÊt ®Ó thu ®îc th«ng tin ®ã. C©u 4 (1 ®iÓm): Cã 1000 vÐ sè trong ®ã cã 20 vÐ tróng thëng. Mét ngêi mua 30 vÐ, t×m x¸c suÊt ®Ó ngêi ®ã tróng 5 vÐ. C©u 5 (1 ®iÓm): §Ó ®îc nhËp kho, s¶n phÈm cña nhµ m¸y ph¶i qua 3 vßng kiÓm tra chÊt lîng ®éc lËp nhau. X¸c suÊt ph¸t hiÖn ra phÕ phÈm ë c¸c vßng lÇn lît theo thø tù lµ 0,8; 0,9 vµ 0,99. TÝnh x¸c suÊt phÕ phÈm ®îc nhËp kho. C©u 6 (1 ®iÓm): §¹i lîng ngÉu nhiªn X cã b¶ng ph©n bè X P
−5 0,4
2 0,3
3 0,1
TÝnh kú väng EX vµ ph¬ng sai DX.
4 0,2
C©u 7 (1 ®iÓm): §¹i lîng ngÉu nhiªn rêi r¹c X nhËn ba gi¸ trÞ cã thÓ cã lµ x1 , x 2 , x 3 . BiÕt x1 = 4, x 2 = 0,6 víi x¸c suÊt t¬ng øng p1 = 0,5 , p 2 = 0,3 vµ cã kú väng EX=8. T×m x 3 vµ p 3 . C©u 8 (1 ®iÓm): §¹i lîng ngÉu nhiªn liªn tôc X cã hµm mËt ®é x¸c suÊt
TÝnh kú väng EX.
cos x f ( x) = 2 0
nÕux ∈ ( − π / 2; π / 2) nÕu x ∉ ( − π / 2; π / 2 )
C©u 9 (1 ®iÓm): H·y tÝnh gi¸ trÞ trung b×nh mÉu x vµ ph¬ng sai mÉu s 2 cña mÉu cô thÓ cã b¶ng ph©n bè tÇn sè thùc nghiÖm sau xi ni
21 10
24 20
25 30
26 15
28 10
32 10
34 5
C©u 10 (1 ®iÓm): §o chiÒu cao cña 100 thanh niªn tõ 18 tuæi ®Õn 22 tuæi ë tØnh A, ta thu ®îc b¶ng sè liÖu: ChiÒucao X (cm) 154 − 158 158 − 162 162 − 166 166 − 170 170 − 174 174 − 178 178 − 182
Sèthanhniªn ni 10 14 26 28 12 8 2
H·y íc lîng chiÒu cao trung b×nh cña thanh niªn tõ 18 tuæi ®Õn 22 tuæi ë tØnh A. C©u 11 (1 ®iÓm): H·y tÝnh gi¸ trÞ cña trung b×nh mÉu x vµ ®é lÖch chuÈn mÉu s cña mÉu cô thÓ cã b¶ng ph©n bè tÇn sè thùc nghiÖm sau xi ni
4 5
7 2
8 3
12 10
C©u 12 (1 ®iÓm): Mét nghiªn cøu trªn 50 em bÐ 6 tuæi cho thÊy sè giê xem tivi trung b×nh trong mét tuÇn cña nhãm nµy lµ 38 giê víi ®é lÖch tiªu chuÈn lµ 6,4 giê. T×m kho¶ng tin cËy 99% cho thêi gian xem tivi trung b×nh trong mét tuÇn cña c¸c em nhá 6 tuæi. C©u 13 (1 ®iÓm): Trong ®ît vËn ®éng bÇu cö tæng thèng ë mét níc nä, ngêi ta pháng vÊn ngÉu nhiªn 2000 cö tri th× ®îc biÕt cã 1082 ngêi trong sè ®ã sÏ bá phiÕu cho øng cö viªn A. Víi ®é tin cËy 98% tèi thiÕu øng cö viªn A sÏ chiÕm ®îc bao nhiªu % sè phiÕu bÇu? Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96. C©u 14 (1 ®iÓm): §Ó nghiªn cøu tuæi thä (X) cña mét lo¹i bãng ®Ìn, ngêi ta th¾p thö 100 bãng vµ cã sè liÖu sau:
TuæithäX (giê) 1010 − 1030 1030 − 1050 1050 − 1070 1070 − 1090 1090 − 1110 1110 − 1130 1130 − 1150 1150 − 1170 1170 − 1190 1190 − 1210
Sèbãngtongøng(ni ) 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1 n = 100
TÝnh tuæi thä trung b×nh x .
lo¹i C©u hái 2 ®iÓm C©u1 (2 ®iÓm): ë mét c¬ quan nä cã 3 chiÕc m¸y tÝnh. Kh¶ n¨ng cã sù cè cña mçi m¸y tÝnh t¬ng øng b»ng 0,10; 0,15; 0,20. T×m x¸c suÊt sao cho: a. C¶ 3 m¸y tÝnh cïng bÞ háng. b. Ýt nhÊt mét chiÕc m¸y ho¹t ®éng ®îc. c. C¶ 3 m¸y tÝnh cïng ho¹t ®éng ®îc. d. Cã kh«ng qu¸ 2 m¸y tÝnh bÞ háng.
C©u 2 (2 ®iÓm): Mét nhµ m¸y «t« cã ba ph©n xëng I, II, III cïng s¶n xuÊt ra mét lo¹i pÝt-t«ng. Ph©n xëng I, II, III s¶n xuÊt t¬ng øng 36%, 34%, 30% s¶n lîng cña nhµ m¸y, víi tû lÖ phÕ phÈm t¬ng øng lµ 0,12; 0,1; 0,08. a. T×m tû lÖ phÕ phÈm chung cña nhµ m¸y. b. LÊy ngÉu nhiªn mét s¶n phÈm kiÓm tra vµ ®îc s¶n phÈm lµ phÕ phÈm. TÝnh x¸c suÊt ®Ó phÕ phÈm ®ã lµ do ph©n xëng I, II, III s¶n xuÊt. C©u 3 (2 ®iÓm): Mét bµi thi tr¾c nghiÖm gåm cã 10 c©u hái, mçi c©u hái cã 5 ph¬ng ¸n tr¶ lêi, trong ®ã chØ cã mét ph¬ng ¸n ®óng. Gi¶ sö mçi c©u tr¶ lêi ®óng ®îc 4 ®iÓm vµ c©u tr¶ lêi sai bÞ trõ 2 ®iÓm. Mét häc sinh kÐm lµm bµi b»ng c¸ch chän hó ho¹ mét ph¬ng ¸n cho mçi c©u hái. TÝnh x¸c suÊt ®Ó: a. Anh ta ®îc 4 ®iÓm. b. Anh ta bÞ ®iÓm ©m. C©u 4 (2 ®iÓm): Ba ph©n xëng I, II, III cïng s¶n xuÊt ra mét lo¹i s¶n phÈm. TØ lÖ phÕ phÈm do ba ph©n xëng s¶n xuÊt ra t¬ng øng lµ 0,3%, 0,8%, 1% . Rót ngÉu nhiªn mét s¶n phÈm tõ mét l« hµng gåm 1000 s¶n phÈm trong ®ã cã 500 s¶n phÈm do ph©n xëng I, 350 s¶n phÈm do ph©n xëng II vµ 150 s¶n phÈm do ph©n xëng III s¶n xuÊt. a. T×m x¸c suÊt ®Ó s¶n phÈm rót ®îc lµ phÕ phÈm (biÕn cè A). b. TÝnh x¸c suÊt ®Ó phÕ phÈm ®ã lµ do ph©n xëng I, II, III s¶n xuÊt. C©u 5 (2 ®iÓm): Cã bèn nhãm x¹ thñ tËp b¾n. Nhãm thø nhÊt cã 5 ngêi, nhãm thø hai cã 7 ngêi, nhãm thø ba cã 4 ngêi vµ nhãm thø t cã 2 ngêi. X¸c suÊt b¾n tróng ®Ých cña mçi ngêi trong nhãm thø nhÊt, nhãm thø hai, nhãm thø ba vµ nhãm thø t theo thø tù lµ 0,8; 0,7; 0,6 vµ 0,5. Chän ngÉu nhiªn mét x¹ thñ vµ biÕt r»ng x¹ thñ nµy b¾n trît. H·y x¸c ®Þnh xem x¹ thñ nµy cã kh¶ n¨ng ë trong nhãm nµo nhÊt.
C©u 6 (2 ®iÓm): Tû lÖ ngêi d©n nghiÖn thuèc l¸ lµ 30%. Tû lÖ ngêi viªm häng trong sè ngßi nghiÖn thuèc l¸ lµ 60%, cßn tû lÖ ngêi viªm häng trong sè ngêi kh«ng hót thuèc l¸ lµ 40%. a.Chän ngÉu nhiªn mét ngêi, biÕt r»ng ngêi ®ã viªm häng. TÝnh x¸c suÊt ngêi ®ã nghiÖn thuèc. b.NÕu ngêi ®ã kh«ng bÞ viªm häng, tÝnh x¸c suÊt ®Ó ngêi ®ã nghiÖn thuèc. C©u 7 (2 ®iÓm): Cho §LNN X liªn tôc víi hµm mËt ®é nh sau
kx f ( x ) = k 0 a. b.
nÕu0 ≤ x ≤ 1 nÕu1 ≤ x ≤ 4 nÕutr¸il¹i
T×m k vµ hµm ph©n bè F(x). TÝnh kú väng EX vµ ph¬ng sai DX .
C©u 8 (2 ®iÓm): B¾n hai lÇn ®éc lËp víi nhau mçi lÇn mét viªn ®¹n vµo cïng mét bia. X¸c suÊt tróng ®Ých cña viªn ®¹n thø nhÊt lµ 0,7 vµ cña viªn ®¹n thø hai lµ 0,4 . a. T×m x¸c suÊt ®Ó chØ cã mét viªn ®¹n tróng bia (biÕn cè A). b. Sau khi b¾n, quan tr¾c viªn b¸o cã mét vÕt ®¹n ë bia. T×m x¸c suÊt ®Ó vÕt ®¹n ®ã lµ vÕt ®¹n cña viªn ®¹n thø nhÊt. C©u 9 (2 ®iÓm): Mét tr¹m chØ ph¸t hai tÝn hiÖu A vµ B víi x¸c suÊt t¬ng øng 0.85 vµ 0.15 . Do cã nhiÔu trªn ®êng truyÒn nªn 1 7 tÝn hiÖu A bÞ mÐo vµ thu ®îc nh tÝn hiÖu B cßn 1 8 tÝn hiÖu B bÞ mÐo vµ thu ®îc nh A. a. T×m x¸c suÊt thu ®îc tÝn hiÖu A. b. Gi¶ sö ®· thu ®îc tÝn hiÖu A. T×m x¸c suÊt thu ®îc ®óng tÝn hiÖu lóc ph¸t. C©u 10 (2 ®iÓm): §Ó x¸c ®Þnh s¶n lîng khai th¸c ®iÖn tho¹i cña ®¬n vÞ m×nh, mét ®¬n vÞ ®· tiÕn hµnh thèng kª ngÉu
nhiªn 35 ngµy vµ thu ®îc kÕt qu¶ sau víi ®¬n vÞ 100.000 phót/ngµy: 0,84 1,04 1,05 0,81
0,96 1,02 1,08 0,88 0,80 0,91 0,97 1,07 0,98 1,13 0,87 0,82 1,01 0,93 1,03 1,10 0,97 0,83 0,76 0,95 1,15 1,00 1,05 1,14 0,89 0,95 1,20 1,16 1,24 0,79 0,77
T×m kho¶ng tin cËy 95% cho s¶n lîng ®iÖn tho¹i trung b×nh mçi ngµy. Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96. C©u 11 (2 ®iÓm): Muèn íc lîng sè c¸ trong hå, ngêi ta b¾t 2000 con c¸ trong hå ®¸nh dÊu råi th¶ l¹i xuèng hå. Sau ®ã b¾t l¹i 400 con vµ thÊy cã 53 con cã dÊu. H·y íc lîng sè c¸ trong hå víi ®é tin cËy lµ 0,95. Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96. C©u 12 (2 ®iÓm): Møc hao phÝ x¨ng cña mét lo¹i « t« ch¹y tõ A ®Õn B lµ mét §LNN cã ph©n bè chuÈn, cã trung b×nh lµ 50 lÝt. §o¹n ®êng ®îc xö lý l¹i, ngêi ta cho r»ng møc hao phÝ x¨ng trung b×nh gi¶m xuèng. Quan s¸t 30 « t« cïng lo¹i, ngêi ta thu ®îc sè liÖu sau X haophÝ 48,5 − 49 49 − 49,5 49,5 − 50 50 − 50,5 50,5 − 51 sèchuyÕn 5 10 10 3 2 H·y kÕt luËn vÒ ý kiÕn trªn víi møc ý nghÜa α = 0,025 . Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96. C©u 13 (2 ®iÓm): Mét gièng lóa míi ®îc gieo trªn 10 thöa ruéng thÝ nghiÖm cã ®iÒu kiÖn gièng nhau. S¶n lîng tÝnh theo cïng ®¬n vÞ nh sau: 25,4 25,4
28,0
20,1
27,4
25,6
23,9
24,8
26,4
27,0
Gi¶ sö s¶n lîng lóa lµ §LNN X cã ph©n bè chuÈn N ( µ , σ 2 ) . H·y t×m kho¶ng tin cËy 95% cña s¶n lîng trung b×nh cña gièng lóa míi. Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè Student 9 bËc tù do lµ 2,262. C©u 14 (2 ®iÓm): Hao phÝ nguyªn liÖu cho mét ®¬n vÞ s¶n phÈm lµ mét §LNN tu©n theo luËt ph©n bè chuÈn víi ®é lÖch chuÈn σ = 0,03 . S¶n xuÊt thö 36 s¶n phÈm vµ thu ®îc sè liÖu sau: X ( gram) 19,5-19,7 19,7-19,9 19,9-20,1 20,1-20,3 sès¶n phÈm 8 8 18 2 Víi ®é tin cËy 95% h·y íc lîng hao phÝ nguyªn liÖu trung b×nh cho 1 ®¬n vÞ s¶n phÈm. Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96. C©u 15 (2 ®iÓm): Träng lîng ®ãng bao cña mét lo¹i s¶n phÈm X lµ biÕn ngÉu nhiªn cã ph©n bè theo quy luËt chuÈn víi träng lîng trung b×nh theo quy ®Þnh lµ 100kg. Nghi ngê s¶n phÈm bÞ ®ãng thiÕu, ngêi ta c©n thö 29 bao lo¹i nµy ta thu ®îc kÕt qu¶: Träng lîng (kg) 98 -98,5 98,5 - 99 99 - 99,5 99,5 - 100 100 -100,5 100,5-101 Sè bao t¬ng øng 1
2
6
10
7
3
Víi møc ý nghÜa α = 0,025 h·y kÕt luËn vÒ ®iÒu nghi ngê nãi trªn. Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè Student 28 bËc tù do lµ 2,048. C©u 16 (2 ®iÓm): §Þnh møc thêi gian hoµn thµnh s¶n phÈm lµ 14 phót. LiÖu cã cÇn thay ®æi ®Þnh møc kh«ng, nÕu theo dâi thêi gian hoµn thµnh s¶n phÈm ë 250 c«ng nh©n ta thu ®îc kÕt qu¶ nh sau:
X (phót) 16 - 18 18 - 20 40
10 - 12
Sè c«ng nh©n 30
20
12 - 14 60
14 - 16 100
Víi møc ý nghÜa α = 0,05 h·y kÕt luËn vÒ ý ®Þnh nãi trªn. Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96.
lo¹i C©u hái 3 ®iÓm C©u 1 (3 ®iÓm): Mét nhµ m¸y s¶n xuÊt mét chi tiÕt cña ®iÖn tho¹i di ®éng cã tû lÖ s¶n phÈm ®¹t tiªu chuÈn chÊt lîng lµ 85%. Tríc khi xuÊt xëng ngêi ta dïng mét thiÕt bÞ kiÓm tra ®Ó kÕt luËn s¶n phÈm cã ®¹t yªu cÇu chÊt lîng hay
kh«ng. ThiÕt bÞ cã kh¶ n¨ng ph¸t hiÖn ®óng s¶n phÈm ®¹t tiªu chuÈn víi x¸c suÊt lµ 0,9 vµ ph¸t hiÖn ®óng s¶n phÈm kh«ng ®¹t tiªu chuÈn víi x¸c suÊt lµ 0,95. T×m x¸c suÊt ®Ó 1 s¶n phÈm ®îc chän ngÉu nhiªn sau khi kiÓm tra: a. §îc kÕt luËn lµ ®¹t tiªu chuÈn. b. §îc kÕt luËn lµ ®¹t tiªu chuÈn th× l¹i kh«ng ®¹t tiªu chuÈn. c. §îc kÕt luËn ®óng víi thùc chÊt cña nã. C©u 2 (3 ®iÓm): TÝn hiÖu th«ng tin ®îc ph¸t ®i 5 lÇn ®éc lËp nhau. X¸c suÊt thu ®îc tin cña mçi lÇn ph¸t lµ 0,7. TÝnh x¸c su©t: a. Thu ®îc tÝn hiÖu ®óng 2 lÇn. b. Thu ®îc tÝn hiÖu nhiÒu nhÊt 1 lÇn. c. Thu ®îc tin. C©u 3 (3 ®iÓm): Trong mét cuéc thi b¾n, mçi x¹ thñ ®îc b¾n 5 ph¸t vµo bia. X¸c suÊt b¾n tróng bia cña x¹ thñ A lµ 0,9. Tinh x¸c suÊt: a. A b¾n tróng bia ®óng 2 lÇn. b. A b¾n tróng bia nhiÒu nhÊt 2 lÇn. c. A b¾n tróng bia. C©u 4 (3 ®iÓm): Cho X , Y lµ hai §LNN cã ph©n bè x¸c suÊt ®ång thêi Y X −1 0 1
a. b. c.
−1
0
1
4α α 0
α 2α 2α
4α α 0
T×m α . TÝnh EX , EY . TÝnh cov( X , Y ), ρ ( X , Y ) . X vµ Y cã ®éc lËp kh«ng.
C©u 5 (3 ®iÓm): Tuæi thä cña mét loµi c«n trïng nµo ®ã lµ mét §LNN X (®¬n vÞ lµ th¸ng) víi hµm mËt ®é nh sau
kx 2 ( 2 − x ) f ( x) = 0
nÕu0 ≤ x ≤ 2 nÕutr¸il¹i
T×m k . b. TÝnh x¸c suÊt ®Ó c«n trïng chÕt tríc khi nã ®îc mét th¸ng tuæi. c. T×m EX , DX . a.
C©u 6 (3 ®iÓm): ë mét tæng ®µi bu ®iÖn c¸c cuéc ®iÖn tho¹i gäi ®Õn xuÊt hiÖn mét c¸ch ngÉu nhiªn, ®éc lËp víi nhau vµ trung b×nh cã 2 cuéc gäi trong mét phót. TÝnh x¸c suÊt ®Ó: a. Cã Ýt nhÊt mét cuéc gäi trong kho¶ng thêi gian 10 gi©y. b. Trong kho¶ng thêi gian 3 phót cã nhiÒu nhÊt ba cuéc gäi. c. Trong kho¶ng thêi gian 3 phót liªn tiÕp mçi phót cã nhiÒu nhÊt mét cuéc gäi. C©u 7 (3 ®iÓm): Sè cuéc gäi ®iÖn tho¹i ®Õn mét tr¹m ®iÖn tho¹i A trong mét phót lµ mét ®¹i lîng ngÉu nhiªn (biÕn ngÉu nhiªn) X cã ph©n bè Po¸t-x«ng víi tham sè λ = 1,5 . TÝnh x¸c suÊt ®Ó trong mét phót: a. Tr¹m ®iÖn tho¹i A kh«ng nhËn ®îc cuéc gäi nµo. b. Tr¹m ®iÖn tho¹i A nhËn ®îc nhiÒu nhÊt 2 cuéc gäi. c. Tr¹m ®iÖn tho¹i A nhËn ®îc Ýt nhÊt 4 cuéc gäi. C©u 8 (3 ®iÓm): Cho ®¹i l¬ng ngÉu nhiªn X liªn tôc cã hµm mËt ®é kx 2 e −2 x x ≥ 0 f ( x) = 0 x<0
a. T×m h»ng sè k vµ hµm ph©n bè cña X. b. TÝnh kú väng EX. c. TÝnh ph¬ng sai DX.
C©u 9 (3 ®iÓm): §Ó x¸c ®Þnh chiÒu cao trung b×nh cña c¸c c©y con trong mét vên ¬m ngêi ta tiÕn hµnh ®o ngÉu nhiªn 40 c©y. KÕt qu¶ ®o ®îc nh sau: Kho¶ng chiÒu cao (cm) 16,5-17
17-17,5 17,5-18
18-18,5
18,5-19 19-19,5 Sè c©y 6
3
5
11
12
3 a. T×m kho¶ng tin cËy 90% cho chiÒu cao trung b×nh cña vên c©y con. b. NÕu muèn kho¶ng íc lîng cã ®é chÝnh x¸c ε = 0,1 th× cÇn lÊy mÉu bao nhiªu c©y.
Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,95 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,64. C©u 10 (3 ®iÓm): §Ó íc lîng n¨ng suÊt trung b×nh cña mét gièng lóa míi, ngêi ta gÆt ngÉu nhiªn 100 thöa ruéng trång thÝ nghiÖm vµ thu ®îc sè liÖu sau: X (t¹/ha)
40 - 42
42 - 44
44 - 46
46 - 48
7
13
25
35
48 -
50 50 - 52 Sè thöa ruéng
15
5 Gi¶ sö biÕn ngÉu nhiªn chØ n¨ng suÊt X tu©n theo quy luËt chuÈn.
a. T×m kho¶ng tin cËy 95% cho n¨ng suÊt trung b×nh cña gièng lóa míi. b. NÕu muèn kho¶ng íc lîng cã ®é chÝnh x¸c ε = 0,1 th× cÇn lÊy mÉu bao nhiªu c©y. Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96. C©u 11 (3 ®iÓm): Träng lîng cña mét lo¹i s¶n phÈm A lµ mét §LNN cã ph©n bè theo quy luËt chuÈn víi ®é lÖch chuÈn lµ 1 gam. C©n thö 27 bao lo¹i nµy ta thu ®îc kÕt qu¶: Träng lîng(gam) 47,5 - 48,5 48,5 - 49,5 49,5 - 50,5 50,5 51,5 51,5 - 52,5 Sè bao t¬ng øng 1
3
6
15
2
a. Víi ®é tin cËy 95%, h·y t×m kho¶ng tin cËy cña träng lîng trung b×nh cña lo¹i s¶n phÈm trªn. b.
NÕu muèn ®é chÝnh x¸c ε = 0,1 th× kÝch thíc mÉu cÇn thiÕt lµ bao nhiªu.
Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96. C©u 12 (3 ®iÓm): ChiÒu dµi cña mét chi tiÕt m¸y do mét ph©n xëng s¶n xuÊt lµ mét §LNN cã ph©n bè chuÈn N ( µ , σ 2 ) víi σ = 3 cm . LÊy ngÉu nhiªn 36 chi tiÕt ®em ®o vµ thu ®îc ®é dµi trung b×nh x = 20 cm . H·y tÝnh kho¶ng tin cËy cña µ = EX , víi ®é tin cËy 0,95. b. CÇn lÊy mÉu kÝch thíc bao nhiªu víi ®é tin cËy 0,99 víi sai sè kh«ng vît qu¸ 0,3 cm. Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96 vµ ph©n vÞ møc 0,995 lµ 2,58. a.
C©u 13 (3 ®iÓm): §Ó x¸c ®Þnh chiÒu cao trung b×nh cña trÎ em 8 tuæi ë thµnh phè, ngêi ta tiÕn hµnh ngÉu nhiªn ®o chiÒu cao cña 100 em häc sinh líp 3 (8 tuæi) ë mét trêng tiÓu häc vµ ®îc kÕt qu¶:
Kho¶ngchiÒu cao(cm) Sèemtongøng 110- 112 5 112- 114 8 114- 116 14 116- 118 17 118- 120 20 120- 122 16 122- 124 10 124- 126 6 126- 128 4 n = 100 a. T×m kho¶ng tin cËy 95% cho chiÒu cao trung b×nh cña trÎ em 8 tuæi ë thµnh phè. b. NÕu muèn kho¶ng íc lîng cã ®é chÝnh x¸c ε = 0,5 cm th× cÇn ph¶i lÊy mÉu kÝch thíc bao nhiªu. Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96. C©u 14 (3 ®iÓm): a.§Ó
íc lîng tû lÖ phÇn tr¨m phÕ phÈm cña mét l« hµng ngêi ta tiÕn hµnh kiÓm tra ngÉu nhiªn 400 s¶n phÈm vµ nhËn thÊy cã 16 phÕ phÈm. Víi møc tin cËy 95% h·y íc lîng tû lÖ phÕ phÈm tèi ®a cña l« hµng. b.Møc hao phÝ x¨ng cña mét lo¹i ¤t« ch¹y tõ A ®Õn B lµ mét ®¹i lîng ngÉu nhiªn cã quy luËt chuÈn víi kú väng 50 lÝt. §o¹n ®êng ®îc söa ch÷a l¹i. Ngêi ta cho r»ng møc hao phÝ x¨ng trung b×nh gi¶m xuèng. Quan s¸t 28 « t« cïng lo¹i thu ®îc X hao phÝ (lÝt) 50,0 - 50,5 50,5-51
48,5 - 49,0 49,0 - 49,5
49,5 - 50,0
3
Sè «t« t¬ng øng 2
4
10
9
Víi møc ý nghÜa α = 0,025 h·y kÕt luËn vÒ ®iÒu nghi ngê nãi trªn. Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96. C©u 15 (3 ®iÓm): a. Mét cuéc ®iÒu tra cho thÊy trong 2074 gia ®×nh trÝ thøc cã 373 gia ®×nh cã m¸y vi tÝnh ë nhµ. T×m kho¶ng tin cËy 95% cho tØ lÖ nh÷ng gia ®×nh trÝ thøc cã m¸y vi tÝnh t¹i nhµ. b. Träng lîng X cña s¶n phÈm do mét nhµ m¸y s¶n xuÊt ra lµ mét §LNN cã ph©n bè chuÈn N ( µ , σ 2 ) víi ®é lÖch σ = 2 kg vµ träng lîng trung b×nh µ = 20 kg . Nghi ngê träng lîng ®ãng gãi thay ®æi, ngêi ta c©n thö 100 s¶n phÈm vµ thu ®îc kÕt qu¶ sau: X (kg ) sès¶n phÈm
18 5
19 25
20 40
21 20
22 10
H·y kiÓm ®Þnh ®iÒu nghi ngê trªn víi møc ý nghÜa α = 0,05 . Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96.
lo¹i C©u hái 4 ®iÓm C©u 1 (4 ®iÓm): Hai x¹ thñ A vµ B tËp b¾n. Mçi ngêi b¾n hai ph¸t. X¸c suÊt b¾n tróng ®Ých cña A trong mçi lÇn b¾n lµ 0,4; cßn cña B lµ 0,5. a.
Gäi X lµ sè ph¸t b¾n tróng cña A trõ ®i sè ph¸t b¾n tróng cña B. T×m ph©n bè x¸c suÊt cña X , kú väng EX vµ ph¬ng sai DX.
b. T×m ph©n bè x¸c suÊt cña Y = X vµ kú väng EY . C©u 2 (4 ®iÓm): a.Mét xÝ nghiÖp cã hai «t« vËn t¶i ho¹t ®éng. X¸c suÊt trong ngµy lµm viÖc c¸c «t« bÞ háng t¬ng øng b»ng 0,1 vµ 0,2. Gäi X lµ sè «t« bÞ háng trong thêi gian lµm viÖc. LËp b¶ng ph©n bè x¸c suÊt, tÝnh kú väng EX vµ ph¬ng sai DX cña X. b.Cho §LNN liªn tôc X cã hµm mËt ®é kx nÕu0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = k nÕu1 ≤ x ≤ 4 0 víi x cßnl¹i T×m k. TÝnh kú väng EX vµ ph¬ng sai DX cña X. C©u 3 (4 ®iÓm): Cho §LNN rêi r¹c X cã b¶ng ph©n bè x¸c suÊt X P
0 0
1 k
2 2k
3 2k
4 3k
a.X¸c ®Þnh k. b. TÝnh
x¸c suÊt P{ X ≥ 5} vµ P{ X < 3} .
c.TÝnh kú väng EX. d.TÝnh ph¬ng sai DX .
5 k2
6 2k 2
7 2
7k + k
C©u 4 (4 ®iÓm): Cã 5 s¶n phÈm trong ®ã cã 4 chÝnh phÈm vµ 1 phÕ phÈm. Ngêi ta lÊy ra lÇn lît 2 s¶n phÈm (lÊy kh«ng hoµn l¹i). a. Gäi X lµ "sè phÕ phÈm cã thÓ gÆp ph¶i". ph©n bè x¸c suÊt cña X.
LËp b¶ng
b. TÝnh kú väng EX vµ ph¬ng sai DX. c. Gäi Y lµ "sè chÝnh phÈm cã thÓ gÆp ph¶i". LËp hÖ thøc cho biÕt mèi quan hÖ gi÷a Y vµ X. d. TÝnh kú väng EY vµ ph¬ng sai DY. C©u 5 (4 ®iÓm): a.Mét nhãm cã 10 ngêi trong ®ã cã 6 nam vµ 4 n÷. Chän ngÉu nhiªn ra 3 ngêi. Gäi X lµ sè n÷ cã trong nhãm ®îc chän. i.LËp b¶ng ph©n bè x¸c suÊt cña X. ii.TÝnh kú väng EX. b. Cho §LNN liªn tôc X cã hµm mËt ®é kx 2 (1 − x) nÕu0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = 0 víi x cßnl¹i i. T×m
k. TÝnh P{ 0,4 < X < 0,6} .
ii.TÝnh kú väng EX. C©u 6 (4 ®iÓm): a.Víi ®é tin cËy 95% h·y íc lîng møc x¨ng hao phÝ trung b×nh cho mét lo¹i m« t« ch¹y trªn cïng mét ®o¹n ®êng tõ A ®Õn B dùa vµo b¶ng sè liÖu sau X (lÝt) 4,6 − 4,8 4,8 − 5,0 5,0 − 5,2 5,2 − 5,4 5,4 − 5,6 Sèxetongøng 3 7 12 8 4 biÕt r»ng X lµ §LNN cã ph©n bè chuÈn.
b.Mét c«ng ty cã mét hÖ thèng m¸y tÝnh cã thÓ xö lý 1300 ho¸ ®¬n trong 1 giê. C«ng ty míi nhËp mét hÖ thèng m¸y tÝnh míi, hÖ thèng nµy ch¹y kiÓm tra trong 40 giê cho thÊy sè ho¸ ®¬n xö lý trung b×nh trong 1 giê lµ 1378 víi ®é lÖch tiªu chuÈn 215. Víi møc ý nghÜa 2,5% h·y nhËn ®Þnh xem hÖ thèng míi cã tèt h¬n hÖ thèng cò hay kh«ng? Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96. C©u 7 (4 ®iÓm): a.§Ó x¸c ®Þnh gi¸ trung b×nh ®èi víi mét lo¹i hµng ho¸ trªn thÞ trêng, ngêi ta ®iÒu tra ngÉu nhiªn t¹i 100 cöa hµng thu ®îc sè liÖu sau ®©y GÝaX (nghindång) 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 Sècöa hµngni 6 7 12 15 30 10 8 6 4 2 Víi ®é tin cËy 95% h·y t×m kho¶ng tin cËy cho gi¸ trung b×nh cña lo¹i hµng ho¸ nãi trªn. b.Träng lîng ®ãng bao cña mét lo¹i s¶n phÈm X lµ biÕn ngÉu nhiªn cã ph©n bè theo quy luËt chuÈn víi träng lîng trung b×nh theo quy ®Þnh lµ 50kg. Nghi ngê s¶n phÈm bÞ ®ãng thiÕu, ngêi ta c©n thö 27 bao lo¹i nµy ta thu ®îc kÕt qu¶: Träng lîng (kg) 48,0 - 48,5 50,0 50,0 - 50,5 Sè bao t¬ng øng 7 2
2
48,5 - 49,0 49,0 - 49,5 49,5 6
10
Víi møc ý nghÜa α = 0,01 h·y kÕt luËn vÒ ®iÒu nghi ngê nãi trªn. Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96. Ph©n vÞ møc 0,99 cña ph©n bè Student 26 bËc tù do lµ 2,479. C©u 8 (4 ®iÓm):
a.§Ó x¸c ®Þnh chiÒu cao trung b×nh cña c¸c c©y con trong mét vên ¬m ngêi ta tiÕn hµnh ®o ngÉu nhiªn 35 c©y. KÕt qu¶ ®o ®îc nh sau: Kho¶ng chiÒu cao (cm) 8,5-9 9-9,5 Sè c©y 5 3
6,5-7,0 2
7,0-7,5
7,5-8,0
8,0-8,5
4
10
11
i. T×m kho¶ng tin cËy 90% cho chiÒu cao trung b×nh cña vên c©y con. ii. NÕu muèn kho¶ng íc lîng cã ®é chÝnh x¸c ε = 0,1 th× cÇn lÊy mÉu bao nhiªu c©y? b.TØ
lÖ phÕ phÈm do mét m¸y tù ®éng s¶n xuÊt lµ 5%. KiÓm tra ngÉu nhiªn 300 s¶n phÈm thÊy cã 24 s¶n phÈm lµ phÕ phÈm. Tõ ®ã cã ý kiÕn cho r»ng tû lÖ phÕ phÈm do m¸y ®ã s¶n xuÊt cã chiÒu híng t¨ng lªn. H·y kÕt luËn ý kiÕn trªn víi møc ý nghÜa α = 0,05 . Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,95 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,64. C©u 9 (4 ®iÓm): a.§iÒu tra doanh sè hµng th¸ng cña 100 hé kinh doanh mét lo¹i hµng, ta cã b¶ng sè liÖu sau: Doanhsè X triÖudång 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12,0 Sè hét ongøng 10 15 20 30 15 10 T×m kho¶ng tin cËy 95% cho doanh sè trung b×nh hµng th¸ng cña c¸c hé kinh doanh mÆt hµng nµy. b.Träng lîng ®ãng bao cña mét lo¹i s¶n phÈm A lµ biÕn ngÉu nhiªn cã ph©n bè theo quy luËt chuÈn víi träng lîng trung b×nh theo quy ®Þnh lµ 50kg. Nghi ngê s¶n phÈm bÞ ®ãng thiÕu, ngêi ta c©n thö 25 bao lo¹i nµy vµ thu ®îc kÕt qu¶: Träng lîng 48,0 - 48,5 50,0 50,0 - 50,5
48,5 - 49,0 49,0 - 49,5 49,5 -
Sè bao t¬ng øng 2
2
5
10
6
Víi møc ý nghÜa α = 0,01 h·y kÕt luËn vÒ ®iÒu nghi ngê nãi trªn. Cho biÕt ph©n vÞ møc 0,975 cña ph©n bè chuÈn t¾c N(0;1) lµ 1,96. Ph©n vÞ møc 0,99 cña ph©n bè Student 24 bËc tù do lµ 2,492. C©u 10 (4 ®iÓm): Sè liÖu díi ®©y thÓ hiÖn lîng mua hµng Y vµ thu nhËp X ®èi víi 12 kh¸ch hµng cña mét siªu thÞ. xi
210 230 220 225 240 240 250 275 300 310 350 290 19 21 20 15 25 30 32 40 56 61 74 58
yi
H·y biÓu biÔn c¸c ®iÓm ( xi ; yi ) trªn mÆt ph¼ng Oxy vµ nhËn xÐt. b.T×m ph¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh thùc nghiÖm. c.TÝnh hÖ sè t¬ng quan tuyÕn tÝnh thùc nghiÖm (t¬ng quan mÉu). d.T×m sai sè håi qui. e.Dù ®o¸n lîng mua hµng cña mét kh¸ch hµng cã thu nhËp b×nh qu©n lµ 265. a.
C©u 11 (4 ®iÓm): Gi¶ sö ta cã sè liÖu sau vÒ quan s¸t lîng vèn ®Çu t Y vµ lîi nhuËn thu ®îc X . xi yi mi
2 3 4 4 5 6 1 2 3 4 4 8 1 2 2 3 3 1
H·y biÓu biÔn c¸c ®iÓm ( xi ; yi ) trªn mÆt ph¼ng Oxy vµ nhËn xÐt. b.T×m ph¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh thùc nghiÖm. a.
c.TÝnh hÖ sè t¬ng quan tuyÕn tÝnh thùc nghiÖm (t¬ng quan mÉu). d.T×m sai sè håi qui. C©u 12 (4 ®iÓm): Quan s¸t hai §LNN X vµ Y sau khi rót gän ta ®îc b¶ng tÇn sè sau. yi xi 7 8 9
21
32
40
42 7 0
1 52 1
0 8 40
a.T×m ph¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh thùc nghiÖm. b.TÝnh hÖ sè t¬ng quan tuyÕn tÝnh thùc nghiÖm (t¬ng quan mÉu). c.T×m sai sè håi qui. C©u 13 (4 ®iÓm): Gi¶ sö X lµ møc gi¸ (ngh×n ®ång) Y lµ tæng thu nhËp vÒ mét lo¹i hµng (triÖu ®ång), Z lµ tæng cung cÊp (triÖu ®ång). Ta cã c¸c quan s¸t ®ång thêi sau vÒ X ,Y , Z . xi yi zi
10 10,5 11 11,5 12 12,5 13 13,5 14 14,5 101,5 55,2 40,8 28,5 21,1 16,2 14,1 13 12,1 11,5 3,9 5 8,2 8,6 15,1 30,5 48,7 7,3 105,5 120,4
a) Gi¶ sö sù phô thuéc gi÷a nhu cÇu Y vµ gi¸ c¶ X cã d¹ng hyperbol, cßn sù phô thuéc cña nguån cung cÊp Z vµ X cã d¹ng tuyÕn tÝnh. H·y t×m hÖ sè t¬ng quan tuyÕn tÝnh gi÷a: (i) Y vµ 1 / X . (ii) Z vµ X . b) X¸c ®Þnh c¸c ®êng håi qui thùc nghiÖm cña Y theo 1 / X ; cña Z theo X . C©u 14 (4 ®iÓm): Nghiªn cøu mèi liªn hÖ gi÷a X (®¬n vÞ ngh×n VN ®ång) lµ sè tiÒn ®Çu t cho viÖc phßng bÖnh tÝnh
theo ®Çu ngêi vµ Y (tÝnh theo %) lµ tØ lÖ ngêi m¾c bÖnh ë 50 ®Þa ph¬ng, ta thu ®îc b¶ng t¬ng quan thùc nghiÖm sau Y X 10 20 30 40 50
2
1 6
2,5
4 6 3
3
3,5
4
3 6 4
2 6 3 1
3 2
a.T×m ph¬ng tr×nh håi qui tuyÕn tÝnh thùc nghiÖm cña Y ®èi víi X. b.TÝnh hÖ sè t¬ng quan tuyÕn tÝnh thùc nghiÖm (t¬ng quan mÉu). c.T×m sai sè håi qui. d.NÕu n¨m sau ®Çu t cho phßng bÖnh lµ 60000 ®ång th× tØ lÖ m¾c bÖnh kho¶ng bao nhiªu phÇn tr¨m?