Nfo Ly+thuyet

CƠ SỞ CÔNG NGHỆ QUANG TỬ NANO

Near-Field Nano-Optics Lý thuyết TS. Trần Thị Tâm Khoa Vật lý Kỹ thuật & Công nghệ nano Near - Field Nano - Optics

1

Lý thuyết quang học trường gần 1. 2. 3. 4. 5.

Mở đầu. Lý thuyết điện từ là nền tảng xử lý các vấn đề trường gần. Lý thuyết quang học trường gần như vấn đề tán xạ điện từ. Lý thuyết nhiễu xạ trong quang học trường gần. Mô hình thích hợp của các quá trình quang học trường gần. Near - Field Nano - Optics

2

8.1. Mở đầu: Trong NOM cả hai loại tương tác điện từ vĩ mô và vi mô đều có vai trò trong thang trung gian giữa kích thước nguyên tử và bước sóng quang học. Tại thời điểm hiện tại, chưa có nghiên cứu lý thuyết được xác định để đánh giá toàn bộ hệ thống NOM và tái tạo chính xác được các hình ảnh của NOM thu được từ thực nghiệm. Các cố gắng thực nghiệm để tạo ra các mẫu và đầu dò chuẩn, đảm bảo sự chuẩn xác trong các hình ảnh NOM thu được để kiểm tra các mô tả lý thuyết. Tuy nhiên cái khía cạnh hay của các vấn đề trung gian lại không phải là những cái chung của chúng, mà là sự đa dạng rộng lớn trong các khả năng thực nghiệm và các lời giải thích chúng. Như vậy, các vấn đề trường quang học gần chứa đựng sự đa dạng các cách mô tả và hiểu biết lý thuyết. 3 Near - Field Nano - Optics

Đối với vật lý quy mô trung gian chung, mô hình mô tả theo kinh nghiệm hoặc theo trực giác đều là những phần cần thiết của lý thuyết bao hàm toàn diện hơn. Trong phần lý thuyết sau đây, sẽ sử dụng phương thức nhờ sự giúp đỡ hùng hậu của máy tính, các phương pháp tính toán số để giải quyết các vấn đề điện từ phức tạp, nhưng các vấn đề vật lý ẩn bên dưới lại không bộc lộ rõ ràng. Chủ yếu là sẽ tập trung phát triển các xử lý giải tích, đưa vào các phép gần đúng và mô tả các mô hình cho các hiện tượng trường quang học gần nói chung. Near - Field Nano - Optics

4

8.2. Lý thuyÕt ®iÖn tõ lµ nÒn t¶ng xö lý c¸c vÊn ®Ò tr−êng quang häc gÇn 8.2.1. Sự tương tác điện từ vi mô và trường trung bình. bình 8.2.2. Đáp ứng quang học của vật liệu vĩ mô 8.2.3. Đáp ứng quang học của các đối tượng nhỏ và ý tưởng độ cảm của hệ thống 8.2.4. Vấn đề giá trị biên. Near - Field Nano - Optics

5

8.2.1. Sự tương tác điện từ vi mô và trường trung bình. bình Ta nhắc lại các phương trình Maxwell trong hệ đơn vị SI: ρ (8.2.1) ∇.Ε = ∇.Β = 0 ε0 ∂Β c 2∇ × Β = j + ∂Ε ∇×Ε = − ε 0 ∂t ∂t

(8.2.2)

ρ - mật độ điện tích và j mật độ dòng Near - Field Nano - Optics

6

ởở đây đây EE và và BB tương tương ứng ứng với với điện điện trường trường và và từ từ trường trường được được xác xác định định từ từ lực lực Lorentz Lorentz áp áp lên lên điện điện tích tích qq chuyển chuyển động động với với vận vận tốc tốc vv như như sau: sau:

F = q ( Ε + v × Β)

(8.2.3)

22=10 77và c là vận tốc ánh sáng. ε c trong đó trong đó ε00c =10 và c là vận tốc ánh sáng. Ta Ta có có phương phương trình trình liên liên tục: tục:

∂ρ + ∇. j = 0 ∂t0

Near - Field Nano - Optics

(8.2.4)

7

Tuy nhiên, khi ta xem xét đáp ứng điện từ của một hệ thống vật chất, chúng ta không phải lúc nào cũng quan tâm đến vi hành vi của từng điện tích cá biệt. Thay vì thế, chúng ta xem xét đáp ứng của vật liệu trung bình hoá trên một thể tích, theo thang thời gian hoặc không gian, đặc trưng cho vấn đề chúng ta quan tâm và thiết bị chúng ta sử dụng cho phép đo. Nói một cách khác, ta bỏ đi những biến không liên quan bằng cách lấy trung bình. Near - Field Nano - Optics

8

Chúng ta thường bàn luận về đáp ứng của vật liệu trên quy mô lớn hơn độ dài tương quan điện tử trong hệ: V1/3 >> λđộ dài tương quan điện tử Trong trường hợp này ta phải viện dẫn đến phép gần đúng đáp ứng tại chỗ để mô tả đáp ứng của vật liệu đối với trường điện từ tới. Trong chế độ trường yếu, ta có thể giả thiết rằng đáp ứng là tại chỗ và tuyến tính: p=α.E D = ε . E = ε0E + (p - ∇ . Q +...) Near - Field Nano - Optics

9

Mặt khác, khi chúng ta nghiên cứu hành vi điện tử trên quy mô khoảng cách tương quan điện tử vi mô: V1/3 << λđộ dài tương quan điện tử Chúng ta cần giả thiết sự đáp ứng không tại chỗ. Sau đó chúng ta mô tả trung bình của nguồn và của trường:

pα (Κ , ω ) = ∑ α εβ (Κ , ω ).Ε β (Κ , ω ) β

Dα (Κ , ω ) = ∑ ε εβ (Κ , ω ).Ε β (Κ , ω ) β

Hành vi không tại chỗ của tương quan điện tử vi mô trở nên quan trọng, khi chúng ta xem xét tương tác điện từ của hệ thống vật chất nhỏ. f (K, ω ) = ∫ dV ∫ dt f (r, t )e − iK.r + iωt

Near - Field Nano - Optics

10

Đáp ứng của vật liệu xuất hiện như nguồn của trường điện từ vĩ mô, được gọi là vectơ cảm ứng điện D và từ trường H. Như chúng ta đã thấy ở trên, cả nguồn và trường vĩ mô được xem như là hàm của các trường điện từ vi mô, E(r’) và B(r’).

ρ (r ) = Fρ [Ε(r'), B(r')] D i (r ) = FD [Ε(r'), B(r')]

j(r ) = Fj [Ε(r'), B(r')] H i (r ) = FH [Ε(r'), B(r')]

Near - Field Nano - Optics

11

Những hệ thức này là những phương trình cơ  bản,  cùng  với  hệ  phương  trình  Maxwell  xác  định trường điện từ và nguồn. Những kết quả  này  không  xử  lý  được  một  cách  tường  minh  các  tương  tác  điện  từ  trong  hệ  thống,  chỉ  trừ  trường  hợp  khi  có  đối  xứng  thì  vấn  đề  được  giản đơn đi một cách đáng kể. Bởi vậy để giải  quyết các vấn đề điện từ của các hệ thống vật  chất, hiện nay chúng ta cần viện đến những kỹ  thuật đặc biệt thay thế cách xử lý tường minh  của các nguồn điện từ. Near - Field Nano - Optics

12

8.2.2. Đáp ứng quang học của vật liệu vĩ mô Khi nghiên cứu đáp ứng quang học của vật liệu khối (vĩ mô) ta cần phải xem xét đến thực tế rằng đáp ứng điện từ của vật liệu tạo ra trường khử cực che chắn trường áp vào. Ta xem xét trường hợp quả cầu điện môi trong chế độ đáp ứng tuyến tính và tại chỗ:

p = αΕ = ε 0 χΕ p là mật độ phân cực cảm ứng, χ là độ cảm. Độ phân cực vô hướng được giả thiết là đồng nhất. Near - Field Nano - Optics

13

Vectơ cảm ứng điện hay trường vĩ mô:

D = ε 0 Ε + p = ε 0εΕ = (1 + χ )ε 0 Ε

Do phân cực cảm ứng không liên tục trên bề mặt quả cầu, xuất hiện mật độ điện tích bề mặt σ :

σ = −∇.p đến lượt mình lại tạo ra trường khử cực E1 trên quả cầu: 1 Ε1 = − p 3ε 0 Near - Field Nano - Optics

14

Trường hiệu dụng:

p Ε = Ε 0 + Ε1 = Ε 0 − 3ε 0

Ta tìm được phân cực cảm ứng p:

3χε 0 3ε 0 (ε − 1) Ε0 = p = ε 0 χΕ = Ε0 3+ χ ε +2

Ta thu được khả năng phân cực hiệu dụng dưới tác động của trường ngoài với hệ số che chắn bằng: (ε-1)/(ε+2) Near - Field Nano - Optics

15

Lấy tích phân mật độ phân cực của quả cầu bán kính a, ta có:

α sphere

ε −1 = 4πε 0 a ε +2

Near - Field Nano - Optics

3

16

Cũng bằng phương pháp tương tự ta tìm được biểu thức cho môi trường điện môi đồng nhất:

α p= Ε 1 − α / (3ε 0 ) Ta thu được công thức sau:

ε −1 α = 3ε 0 ε +2

Công thức LorrentzLorenz

Near - Field Nano - Optics

17

Near - Field Nano - Optics

18

8.2.3. Đáp ứng quang học của các đối tượng nhỏ và ý tưởng độ cảm của hệ thống

Near - Field Nano - Optics

19

8.2.4. Vấn đề giá trị biên. a. b. c.

Hệ Phương trình Maxwell vĩ mô và các điều kiện biên Các vấn đề giá trị biên và lý thuyết Green Các điều kiện trị biên dưới dạng thế năng

Near - Field Nano - Optics

20

Hệ Phương trình Maxwell vĩ mô và các điều kiện biên Để tránh các xử lý tường minh của nguồn chúng ta thường bắt đầu từ hệ các phương trình Maxwell vĩ mô trong đó đáp ứng điện từ của môi trường được bao gồm trong các biến trường vĩ mô. Tính thích hợp của các biến số của trường và đáp ứng của vật liệu được mô tả bằng các điều kiện biên. Ta hãy xem xét trường hợp không từ trường. Sự xem xét vi mô của môi trường không từ trường chỉ ra rằng sự không liên tục và sự thay đổi theo thời gian của mật độ phân cực đóng vai trò của mật độ điện tích vi mô và dòng, tương ứng. Near - Field Nano - Optics

21

Trung bình hoá vĩ mô của mật độ phân cực trên một đơn vị thể tích rất nhỏ, ta có:

ρ pol = −∇.p

jpol

∂p = ∂t

Mật độ điện tích trung bình ρ E và mật độ dòng

ρ E = ρ ext + ρ pol

Trong đó

jcond

j E:

jE = jcond + j pol

ρ ext

là mật độ điện tích cô lập thêm vào và là mật độ dòng dẫn.

Near - Field Nano - Optics

22

Trường nguồn trong các biến vĩ mô được biểu hiện như sau:

D = ε 0Ε + p

H = ε 0c B 2

Các phương trình Maxwell: ∇.D = ρ ext

∂Β ∇×Ε = − ∂t

∇.H = 0 ∂D ∇ × Η = jcond + ∂t Near - Field Nano - Optics

23

Lấy tích phân các phương trình Maxwell đối với các biến số trường vĩ mô, ta tìm ra các điều kiện biên giữa hai môi trường 1 và 2: mật độ điện

(D 2 − D1 ).n = σ surface

tích bề mặt

(B2 − B1 ).n = 0 n × (E 2 − E1 ) = 0

n × (H 2 − H1 ) = jsurface Near - Field Nano - Optics

mật độ dòng bề mặt

24

Các vấn đề giá trị biên và lý thuyết Green Một cách rất hữu hiệu để giải quyết các vấn đề điện từ là tìm hàm mode tối ưu thích hợp để mô tả hệ thống vật chất đã cho. Một khi ta đã tìm được một chuỗi các hàm mode nên tảng, ta có thể xây dựng phân bố trường theo điều kiện ban đầu bất kỳ bằng sự kết hợp tuyến tính của các hàm mode này. Sự tương tác của trường điện từ với vật chất được mô tả bằng các pt Maxwell và pt cơ bản:

D = FD [Ε, Β] H = FH [Ε, Β] Near - Field Nano - Optics

25

Định lý Green thứ nhất:

∂ψ Φ∇ ψ + ∇Φ.∇ψ dV = ∫ Φ dS ∂n S

( ∫ V

)

2

Tính đến sự bất đối xứng của Φ và ψ, ta có định lý Green thứ hai:

∂Φ ⎞ ⎛ ∂ψ Φ∇ ψ +ψ∇ Φ dV = ∫ ⎜ Φ −ψ ⎟dS ∂n ∂n ⎠ S⎝

∫( V

2

2

)

thường được gọi là “lý thuyết Green” Near - Field Nano - Optics

26

hệ thức này cho thấy rằng đáp ứng pt Poison:

∇ Φ(r ) = − s(r ) 2

Có thể lấy hàm Green G(r, r’) thay vào chỗ ψ(r):

( )

( )

∇ 2ψ (r ) = ∇ 2G r, r , = −4πδ r - r ,

Ta có thể tìm thấy trường toàn phần Φ(r) trong thể tích được mô tả bởi điều kiện biên cùng với nguồn bên trong như sau 1 Φ(r ) = 4π

( )⎤dS

, ⎡ G r, r ∂ 1 ∂ Φ , , , s G r, r −Φ r G r, r dV + ⎢ ∫V ∫ ∂n 4π S ⎣ ∂n

() ( )

( )

Near - Field Nano - Optics

⎥ ⎦

27

Hàm Green cho hệ thức Poisson được viết như sau:

( )

( )

1 , G r, r = + f r, r r - r, ,

với: ∇ 2f (r, r , ) = 0 Trong trường hợp trường vectơ, ý tưởng hàm Green , ( ) xác định G r, r được mở rộng thành cặp Green quan hệ của trường vectơ với nguồn điểm vectơ.

Near - Field Nano - Optics

28

Ta có thể giải cho hai loại điều kiện biên, hoặc: (a) giá trị của biến số trường Φ được đặc trưng trên mặt phẳng S. (b) Sự hạn chế G D (r, r , ) = 0 được ấn định cho những r’ nằm trên mặt phẳng S. Hoặc loại khác trong đó: (a) Giá trị của đạo hàm thường của biến số trường ∂Φ / ∂n được đặc trưng trên mặt phẳng S.

( ) (b) Sự hạn chế những r’ nằm trên mặt S. Near -phẳng Field Nano - Optics

∂G D r, r , / ∂n' = 0 được ấn định cho 29

Near - Field Nano - Optics

30

Các điều kiện trị biên dưới dạng thế năng Ta cũng nên viết lại các điều kiện biên dưới dạng các hệ thức liên tục của vectơ thế năng cho trường hợp ranh giới điện môi phẳng đơn giản. Phương trình sóng cho vectơ thế năng đơn sắc A exp(-iωt) nhận được từ các pt Maxwell: trong môi trường 1 trong môi trường 2 trong đó K = ω / c là số sóng trong chân không và: là thế năng đồng nhất trong môi trường = 1,Nano2.- Optics Tại z = 0 Neari- Field

31

Đối với sóng phân cực s:

điều này chỉ ra rằng trong trường hợp phân cực s cả trường cả đạo hàm của chúng đều liên tục ở ranh giới giữa hai môi trường. Vấn đề do vậy tương đương với vấn đề tán xạ của sóng lượng tử tại bờ thế V1-V2, do vậy ta có thể xem xét phương trình sóng như pt Schrodinger Near - Field Nano - Optics

32

Đối với sóng phân cực p:

điều này chỉ ra rằng trong trường hợp phân cực p có sự bất liên tục, như vậy bản thân điều kiện biên phụ thuộc vào tỷ số n1/n2. Điều này cho thấy đặc tính nổi bật của vấn đề giá trị biên.

Near - Field Nano - Optics

33

Do đối xứng tịnh tiến không gian dọc theo bề mặt ranh giới, nên vấn đề trở nên một chiều, do vậy vectơ sóng song song với bề mặt K|| = K n1 sinθ là liên tục.

Near - Field Nano - Optics

34

Bởi ta xem xét điều kiện biên riêng biệt cho hai loại sóng phân cực s và p, ta chỉ cần xem xét pt sóng vô hướng một chiều:

Trong đó thành phần z của số sóng được xác định từ hệ thức tán sắc như:

Near - Field Nano - Optics

35

Lời giải chung được đưa ra dưới dạng: Theo điều kiện sóng tới: A1 = Iµ tương ứng với sóng tới phân cực µ, B1 = Rµ – sóng phản xạ, A2 = Tµ cho sóng khúc xạ và truyền qua và B2 = 0. Sử dụng các hệ thức liên tục, ta thu được hệ thức sau cho biên độ trường. Cho sóng Cho sóng phân cực s:

phân cực p:

Near - Field Nano - Optics

36

Những phương trình này mang lại:

Đây chính là các công thức Fresnel nổi tiếng. Khi sin θ > n2/n1 (n1>n2) số sóng của sóng truyền qua Kz2 là thực và bởi vậy sóng truyền qua và phản xạ xẩy ra. Hệ thức bảo toàn dòng năng lượng: Near - Field Nano - Optics

37

Khi sin θ < n2/n1 (n1>n2); Kz2 là ảo, nên sóng truyền qua thể hiện suy giảm theo hàm mũ trong môi trường 2, tương ứng với sóng mờ Fresnel. Khi góc tới θ > θc xẩy ra phản xạ nội toàn phần.

Near - Field Nano - Optics

38

Cũng cần phải lưu ý rằng tồn tại một góc tới hạn khác khi tỷ số hệ số truyền qua của phân cực s và p của sóng mờ bằng 1:

⇒ Near - Field Nano - Optics

39

8.3. Lý thuyÕt quang häc tr−êng gÇn nh− vÊn ®Ò tr−êng ®iÖn tõ t¸n x¹ 8.3.1. Phép gần đúng tự nhất quán cho các vấn đề tán xạ nhiều lần. 8.3.2. Lý thuyết tán xạ trong chế độ trường gần dựa trên thế năng phân cực và từ thông.

Near - Field Nano - Optics

40

8.3.1. Phép gần đúng tự nhất quán cho các vấn đề tán xạ nhiều lần. a. b. c.

Cặp Green và hệ thức tự nhất quán. Các lời giải hình thức cho các hệ thức tự nhất quán. Sự tương tác của các hệ thống điện môi và ý tưởng độ cảm của hệ thống.

Near - Field Nano - Optics

41

Trong mục này ta xem xét quá trình tán xạ không từ tính đối với trường vectơ trong chế độ trường gần. Trường vectơ đơn sắc với sự phát triển theo thời gian exp[-iωt] được mô tả bằng pt sóng:

là số sóng trong chân không. Pt sóng được đơn giản thành hàm Helmholtz:

Khi điều kiện tiêu chuẩn Near - Field Nano - Optics

được đặt ra. 42

Hệ thống tán xạ được mô tả dưới dạng tenxơ điện môi phụ thuộc vào vị trí ẩn chứa trong môi trường đồng nhất có . Cho rằng tenxơ điện môi toàn phần bằng khi đó Pt trình sóng:

Tenxơ khả năng phân cực cuả vật tán xạ

được xem là thế năng tán xạ Near - Field Nano - Optics

43

a.

Cặp Green và hệ thức tự nhất quán.

Thay vì tìm hàm mode thích hợp ta hãy xem xét tenxơ - “cặp Green thực sự” sự đáp ứng hệ thức tenxơ và tất cả các điều kiện biên cho toàn bộ hệ thống:

1 ở đây đứng vai trò tenxơ đồng nhất. Khi tìm được cặp Green thực sự ta có thể ngay lập tức viết ra lời giải của trường vectơ dưới dạng pt tích phân. Near - Field Nano - Optics

44

Trong đó trường tới đáp ứng pt sóng vectơ trong không gian đồng nhất.

Nói chung, ta có thể tìm cặp Green đồng nhất mà đáp ứng Pt sau: cũng như các điều kiện biên áp vào cho hệ so sánh với cấu hình hình học đơn giản. Near - Field Nano - Optics

45

Sau đó ta có thể tính cho hiệu ứng của vật tán xạ dưới dạng pt tự nhất quán, thường được gọi tên Lippmann-Schwinger sau đây:

Trường tới

Trường thực

cặp Green đồng nhất để truyền tương tác từ r’ sang r trong hệ so sánh

Near - Field Nano - Optics

Trường nguồn cảm ứng phân bố trong hệ so sánh

46

Trong trường hợp trường gần ta thường bắt gặp là cặp Green cho hệ so sánh của nửa không gian bao bọc bởi mặt phẳng điện môi. Trong trường hợp này, sóng mờ Fresnel với toạ độ nửa không gian r = (r||, z) = (x, y, z) với (z>0): là phân cực và số sóng bằng: Trong chế độ trường gần nền tảng thích hợp cho cặp Green đồng nhất:

Near - Field Nano - Optics

47

b.

Các lời giải hình thức cho các hệ thức tự nhất quán. Thay vì sử dụng các biến số trường, ta có thể mô tả pt tự nhất quán dưới dạng cặp Green. Pt tenxơ tương ứng thường là pt Dyson:

cặp Green thực sự, hoặc hàm truyền tương tác tương đương

Quá trình trực tiếp từ r’ sang r trong hệ so sánh

Các quá trình tán xạ qua điểm r’’ trong hệ so sánh

Near - Field Nano - Optics

48

Nếu ta sử dụng toán tử hình thức của cặp Green: và Ta có thể viết lại pt Dyson: lời giải hình thức cho pt toán tử này được đơn giản đưa dưới dạng:

Near - Field Nano - Optics

49

Để giải pt tích phân lặp lại này ta có thể sử dụng phương pháp tính toán số sử dụng hệ Nđối tượng rời rạc hoá. Trong phép gần đúng này cách cơ bản là tìm cách giảm các bước tính và tìm ra thuật toán tốt cho việc tính hệ thức ma trận 3Nx3N. Kết quả là rất khó tìm ra ý nghĩa vật lý của vấn đề nếu chỉ dùng phép gần đúng tự nhất quán.

Near - Field Nano - Optics

50

c.

Sự tương tác của các hệ thống điện môi và ý tưởng độ cảm của hệ thống.

Mục đích của việc tính toán tự nhất quán để đánh giá phân cực cảm ứng trên đầu dò trong tương tác mẫu-đầu dò. Sau đó phân cực của đầu dò chính là nguồn tạo ra sóng ánh sáng lan truyền tới đầu thu qua hệ thống dẫn và thu nhặt tín hiệu. Pt tích phân lặp thể hiện phân cực tự nhất quán tại đầu dò: Phân cực cảm ứng tại điểm rp của đầu dò bởi trường tự nhất quán của hệ mẫu

Thể hiện hàm truyền tương tác đi-lại khả năng mà qua đó phân cực cảm ứng tại điểm phân cực rp của đầu dò biến dạng trường tự tuyến nhất quán qua đa tương tác với hệ tínhNear - Field Nano - Optics 51 mẫu cũng như với tự nó.

H8-7: H8-7:Tính Tínhtoán toántự tựnhất nhấtquán quáncho cho đo đođạc đạcquang quanghọc họctrường trườnggần gầntán tán xạ xạtrên trênbề bềmặt mặtlượn lượnsóng sóngkhi khisử sử dụng dụngquả quảcầu cầuđiện điệnmôi môinhư nhưđầu đầudò: dò: (a) (a)Phép Phépđo đoquang quanghọc họctrường trườnggần gần của củabề bềmặt mặtlượn lượnsóng sóngkhi khichiếu chiếunó nó bằng bằngmột mộttrường trườngmờ. mờ.(b) (b)Hệ Hệso so sánh sánhmà màqua quanó nóxác xácđịnh địnhđược đượchàm hàm Green Greenbậc bậc0.0.ỞỞđây đâygiả giảthiết thiếtlàlàranh ranh giới giớiđiện điệnmôi môiphẳng. phẳng.(c) (c)Tán Tánxạ xạ nhiều nhiềulần lầnxẩy xẩyra ratrong trongtương tươngtác tác đối đốitượng-đầu tượng-đầudò. dò.Biên Biênđộ độcủa củatừng từng quá quátrình trìnhđược đượcđánh đánhgiá giáqua quasử sử dụng dụnghàm hàmđáp đápứng ứngđiện điệnmôi môiα(ω) α(ω) và vàhàm hàmGreen Greencho chohệ hệso sosánh. sánh.(d) (d) tổng tổngcác cácquá quátrình trìnhtán tánxạ xạnhiều nhiềulần lần xác xácđịnh địnhđáp đápứng ứngcủa củahệ hệcấu cấuhình hình mẫu+đầu mẫu+đầudò. dò.(e) (e)Hàm Hàmđáp đápứng ứngđiện điện môi môicủa củađầu đầudò dòđược đượcmô môtả tảbởi bởi α( α(REN REN))vốn vốnđược đượcxác xácđịnh địnhbởi bởiđặt đặt mẫu mẫutương tươngđối đốivới vớiđầu đầudò. dò. Near - Field Nano - Optics

52

Hàm truyền tương tác đi-lại gồm sự đóng góp từ bản thân đầu dò Sprobe và từ hệ mẫu Ssample. Hàm tổng thể: từ pt này ta có thể xác định độ cảm hiệu dụng hoặc “độ cảm của hệ” của đầu dò kết hợp với toàn bộ hệ thống mẫu-đầu dò qua tương tác trường gần. Độ cảm của hệ bị biến dạng do hình học của mẫuđầu dò, nghĩa là vị trí tương đối so với mẫu. Phương pháp luận tương tự có thể làm cho hệ đa cực. Near - Field Nano - Optics

53

Ý tưởng về độ cảm của hệ cho thấy một trong những tính chất vật lý quan trọng nhất của quang học và quang tử trường gần. Khi thay đầu dò bằng một nguyên tử, thì ý tưởng độ cảm của hệ nhấn mạnh rằng các tính chất tán xạ ánh sáng của nguyên tử bị ảnh hưởng của sự tồn tại của hệ vật chất gần đó. Cũng cần lưu ý rằng tín hiệu thu nhận được cũng phụ thuộc và hệ thống dẫn sóng và thu nhận tín hiệu, nên ta giải thích tín hiệu ngoài phân bố trường gần và phân cực cảm ứng ta còn cần tính đến các vấn đề trên. Near - Field Nano - Optics

54

8.3.2. Lý thuyết tán xạ trong chế độ trường gần dựa trên thế năng phân cực và từ thông. a. b. c. d.

từ thông là nguồn cảm ứng điện. Các tham số nhỏ trong vấn đề tán xạ và tiêu chuẩn trường gần. Mô hình cuộn từ thông để đánh giá trường gần. Mô hình đầu dò và giải thích hình ảnh NOM. Near - Field Nano - Optics

55

a.

từ thông là nguồn cảm ứng điện.

Hệ PT Maxwell vĩ mô cho môi trường không từ tính và không có trường nguồn ngoài:

Trong đó các biến trường vĩ mô: Và các nguồn nội được mô tả dưới dạng thành phần của phân cực : Near - Field Nano - Optics

56

Nếu ta xác định thành phần thông bằng:

như mật độ từ

Từ các Pt trên ta nhận được: Tính đối ngẫu thể hiện sự thay thế của các biến trường và nguồn như sau: Ta viết lại từ thông dưới dạng của hằng số điện môi phụ thuộc vào vị trí:

Near - Field Nano - Optics

57

Sử dụng hệ pt Maxxwell vĩ mô:

Sau đây ta xem xét trường hợp chất điện môi với và rồi nghiên cứu pt Maxwell vĩ mô:

Do bởi div của cả D và H bằng 0, ta có thể chọn vectơ thế năng bằng 2 cách: Near - Field Nano - Optics

58

Hình 8.8: Vectơ cảm ứng điện D và phân cực cảm ứng p của đối tượng điện môi nhỏ có thể được mô tả dưới dạng hợp nhất bởi sử dụng nguồn từ thông tương đương jmag chạy trên bề mặt ranh giới. Trường từ thông cư xử như nguồn của vectơ cảm ứng điện D cũng như trong trường hợp tương tự dòng điện tạo ra cảm ứng từ B. Near - Field Nano - Optics

59

Để thuận tiện cho việc xem xét các vấn đề điện môi với nguồn jM, vậy ta sử dụng vectơ thế năng C với:

Do bản chất div của từ thông bằng 0 nên ta có thể trực tiếp nhận được phương trình sóng ngang cho C

Ta có thể thấy C tương ứng với thế năng trễ thuộc về nguồn jM. Lưu ý rằng pt sóng này có nghĩa chỉ cho hệ không từ tính. Near - Field Nano - Optics

60

Phương trình sóng cho D

Trong đó thế năng tán xạ: Vectơ thế năng C được so sánh trực tiếp với vectơ điện Hertz hoặc thế năng phân cực như sau: ⇒ Điều này rất dễ hiểu nếu nhắc lại rằng vectơ Hertz thể hiện thế năng trễ ngang gây ra bởi phân cực p, trong khi trường thế năng C gây ra bởi Near - Field Nano - Optics

61

b.

Các tham số nhỏ trong vấn đề tán xạ và tiêu chuẩn trường gần.

Chúng ta hãy nghiên cứu lý thuyết tán xạ phụ thuộc vào thời gian cho thành phần Fourier của vectơ thế năng :

Pt trên có thể nhận được từ PT Alembert cho C(r, t) với K=ω/c. Near - Field Nano - Optics

62

Ở đây và là các thành phần bề mặt và khối của vectơ thế năng và được xác định bằng:

thể hiện cho điều kiện biên của sóng điện từ. Lời giải của Helmholtz cho trong dạng của pt Lippmann-Schwinger: là cặp Green ngang cho hệ. Near - Field Nano - Optics

63

Cho chế độ vật tán xạ nhỏ Ka << 1 thì

Ta hãy đánh giá vài giá trị tiêu biểu khi chế độ vật tán xạ nhỏ tồn tại. và cỡ 1, tham số kích cỡ a = 1 – 10 nm thì Ka = 0,01 – 0,1, đáp ứng điều kiện vật tán xạ nhỏ. Nhưng khi a = 100 nm gần với giới hạn nhiễu xạ a ∼λ/4 thì Ka ∼ 1 thì vần đề tán xạ trở nên phức tạp hơn nhiều. 64 Near - Field Nano - Optics

c.

Mô hình cuộn từ thông để đánh giá trường gần.

Ta xem xét một vật thể điện môi đồng nhất kích cỡ nhỏ hơn bước sóng bị chiếu bởi trường điện tơí đồng nhất. Trường cảm ứng điện: nếu như giả thiết chế độ trường gần và bỏ qua thành phần khối trong jM. Hệ thức này cho ta biết rằng phân bố không gian của trường D của đối tượng điện môi hình thức bất kỳ thường về hình thức tương đương với phân bố trường từ được tạo ra dòng điện hình solenoid chạy trên bề mặt, khi ∇[ln ε(r)] có giá trị khác 0. Do D chứa p nên chúng phải được xác định = cách tự nhất quán với việc xử lý khắtNear khe.* 65 - Field Nano - Optics

Hình 8.9. Mô hình cuộn từ thông thích hợp cho việc đánh giá quang học trường gần của các vật nhô ra với vài hình dạng khác nhau. Bằng cách giả thiết cuộn từ thông cuộn sao cho tái tạo lại phân cực cảm ứng, chúng ta có thể dễ dàng đánh giá quang học trường gần với phép gần đúng tốt. Trong từng hình hướng của phân cực cảm ứng được chỉ ra và cuộn từ cuộn như quay xung quanh nó. Near - Field Nano - Optics

66

Hình 8.10. Ví dụ một tính toán trường gần bằng sử dụng cuộn từ thông tương đương với một vật thể điện môi hoặc vật nhô lên có dạng chữ nhật được chiếu bởi: (a) Trường tới phân cực TE (b) phân cực TM; (c) biên độ tán xạ được cho bằng |Dcoil|2, trong khi (d) xuất hiện giao thoa giữa trương của cuộn và trường chiếu sáng |Dcoil+Dillumination|2. Phân bố của cả 2 trường hợp trong mặt phẳng và trên khoảng cách d phía trên vật thể và chỗ nhô lên như trên h.8-11 và 8-12. 67 Near - Field Nano - Optics

Near - Field Nano - Optics

68

Near - Field Nano - Optics

69

d. Mô hình đầu dò và giải thích hình ảnh NOM. Ta có thể rút ra một tính chất rất quan trọng của sự phụ thuộc phân cực của hình ảnh NOM và đánh giá vai trò của đầu dò thuôn và sự kết hợp của nó với ống dẫn sóng sử dụng bức tranh cuộn từ thông. Trước tiên ta xem xét mô hình thích hợp mô tả đầu dò NOM khi áp dụng lý thuyết từ thông bề mặt. Sau đó xem xét kết hợp với giản đồ truyền tín hiệu như ống dẫn sóng nối với đầu thu. Ta hãy xem xét đầu dò hình côn với đầu là bán cầu. Near - Field Nano - Optics

70

Near - Field Nano - Optics

71

Near - Field Nano - Optics

72

Near - Field Nano - Optics

73

8.4. Lý thuyÕt nhiÔu x¹ trong quang häc tr−êng gÇn 8.4.1 Nhiễu xạ ánh sáng từ một lỗ nhỏ hơn bước sóng. 8.4.2. Tích phân nhiễu xạ Kirchhoff và lý thuyết trường xa. 8.4.3. Nhiễu xạ tự lỗ nhỏ và các vấn đề tương đương. 8.4.4. Phân bố từ thông và sự tự nhất quán. 8.4.5. Các lời giải “chính xác” của Leviatan cho vấn đề lỗ nhỏ. Near - Field Nano - Optics

74

8.4.1 Nhiễu xạ ánh sáng từ một lỗ nhỏ hơn bước sóng. Trong mục này chúng ta sẽ xem xét lý thuyết nhiễu xạ và bàn luận sự liên quan của nó tới quang học trường gần. Lý thuyết nhiễu xạ về gốc gác là được phát triển cho quang học trường xa, trong đó quang hình được thay đổi do bước sóng quang học ngắn; như vậy lý thuyết nhiễu xạ thất bại trong chế độ trường gần. Trong mục này chúng ta xem xét lý thuyết nhiễu xạ dựa trên tích phân Kirchhoff và bàn luận cả hai khả năng ứng dụng và giới hạn theo quan điểm quang học trường gần. Điều này rất quan trọng bởi các vấn đề trường gần liên quan đến cả những vấn đề trường xa. Near - Field Nano - Optics

75

8.4.2. Tích phân nhiễu xạ Kirchhoff và lý thuyết trường xa. Vấn đề tán xạ bao gồm hệ thống được tách ra bởi ranh giới giữa phía nguồn và phía đầu thu, với phần của ranh giới có lỗ hoặc vùng chắn sáng, mà nhiễu xạ trường quang học tới. Sử dụng lý thuyết Green và một vài phép gần đúng, Kirchhoff đưa vào công thức trường nhiễu xạ như là một tích phân của các biến trường chỉ trên vùng lỗ. Chúng ta hãy nghiên cứu chỉ lý thuyết nhiễu xạ vô hướng. Near - Field Nano - Optics

76

Giả thiết rằng ranh giới bao gồm phần che chắn với lỗ trong đó và phần còn lại nằm xa lỗ vô hạn. Kirchhoff giả thiết: • Cả hai giá trị và đạo hàm trực giao của thế năng vô hướng triệt tiêu trên tấm chắn và đơn giản được cho bằng trường tới trong vùng lỗ. • Trường nhiễu xạ được mô tả sử dụng hàm Green cho không gian tự do • Trường đáp ứng điều kiện bức xạ Near - Field Nano - Optics

77

Ở đây chúng ta giả thiết biến đơn sắc theo thời gian và bởi vậy pt Helmholtz Lý thuyết Green với những phép gần đúng này cho ta tích phân Kirchhoff

Trong đó R = r – r’; R = |R| và việc lấy tích phân trên vùng lỗ A với diện tích rất nhỏ da’.

Near - Field Nano - Optics

78

8.4.3. Nhiễu xạ qua lỗ nhỏ và các vấn đề tương đương. Nhiễu xạ qua lỗ nhỏ bao gồm vần đề điều kiện biên hỗn hợp trong đó giá trị thế năng được cho trên bề mặt dẫn, trong khi đạo hàm trực giao của nó, nghĩa là, hệ thức liên tục của trường, được cho trong vùng lỗ. Trong trường hợp này, không thể trực tiếp đưa hàm Green thích hợp trên điều kiện biên đã cho. Như vậy nếu ta khăng khăng giữ vấn đề nguyên bản, ta cần bắt đầu từ dạng gần đúng của hàm Green và đưa vào hệ thức tự nhất quán với sự chú ý rằng hàm Green liên quan đến điều kiện biên hỗn hợp. Sau đó bằng phương pháp lặp ta lại có thể tính hàm Green tự nhất quán để tính trường tán xạ tại điểm bất kỳ trong nửa không gian phia đầu thu. Near - Field Nano - Optics

79

Có thể thay thế vấn đề bằng cái tương đương, mà đối với nó ta có thể có hàm Green xác định rõ ràng. Đối với vấn đề lỗ vấn đề tương đương thu được bằng cách đóng lỗ để tạo một mặt phẳng dẫn hoàn hảo và sau đó thay hiệu ứng lỗ bằng nguồn cơ bản gắn phía bên kia của lỗ bị lấp. Ta có thể tái tạo lại trường nguyên bản tương ứng cả với trường chiếu sáng và cả với hệ thức liên tục trên lỗ. Trong trường hợp này ta cần tách biến số trường, ví dụ như trường điện, thành ba thành phần: Trường nguồn tới E(IN) , trường phản xạ E(REF) và trường cảm ứng trong vùng lỗ E(S) . Trường tổng bên phía nguồn chiếu (1) bằng: E(1)= E(IN)+E(REF)-E(S) và trường trong không gian tán xạ (2) bằng E(2) = E(S) . Near - Field Nano - Optics

80

Có thể chỉ ra rằng trường tán xạ chính xác được đưa dưới dạng hàm Green trong nửa không gian:

Tương ứng với hệ thức trên ta có thể giả thiết các moment từ và điện hiệu dụng ngay sau lỗ bị lấp. Chỉ có hai moment từ tiếp tuyến với bề mặt lỗ và một moment điện trực giao với nó được phép đưa vào. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét lý thuyết Leviatan một cách chi tiết. Near - Field Nano - Optics

81

8.4.4. Phân bố từ thông và sự tự nhất quán. Ta xem xét một lỗ tròn bán kính a, nhỏ hơn bước sóng tới và nhiễu xạ λ nhiều lần. Do trường biến cải đáng kể trong vùng gần lỗ, phép gần đúng gần tĩnh là hợp lý.

Near - Field Nano - Optics

82

Near - Field Nano - Optics

83

Do bản chất của vấn đề lỗ nhỏ, trường nguồn sinh ra do phân cực cảm ứng trên cạnh lỗ, bị loại bỏ khi bịt lỗ để tạo mặt phẳng dẫn hoàn chỉnh. Sau đó thay phân cực cảm ứng bằng dòng từ thông bên này hay bên kia của lỗ bị bịt thoả mãn: Do sự dẫn nối tắt điện trường tiếp tuyến áp vào từ thời điểm bắt đầu phía trong lỗ, dòng từ thông cũng tiếp tuyến với lỗ bị lấp và được biểu diễn với vectơ đơn vị trực giao như sau: Từ trường tương ứng được tạo ra bởi cả đạo hàm theo thời gian của điện trường và cả hạt tải từ gần tĩnh. 84 Near - Field Nano - Optics

Mặt phẳng x-y là mặt phẳng dẫn, còn z vuông góc với. Dòng từ thông trong hướng x và y làm tăng hạt tải từ theo định luật bảo toàn:

Trong đó µ = 1, 2 ứng với thành phần tiếp tuyến trong mặt phẳng x-y. Thêm vào đó chúng ta cho rằng thành phần solenoid bằng: Thành phần này làm tăng phân cực điện trực giao với lỗ. (xem hình 8.16.c) Near - Field Nano - Optics

85

Leviatan mô tả 3 thành phần này của dòng từ thông: Near - Field Nano - Optics

86

Hệ thức liên tục cho các thành phần tiếp tuyến của từ trường được tạo ra do dòng từ thông cảm ứng trong lỗ: Trong đó vùng (1) và (2) thể hiện tương cho nguồn ánh sáng và đầu thu. Vấn đề là phải xác định các hệ số Vi (i = 1, 2, 3) thích hợp với hệ thức liên tục đặt cho Ht.

Near - Field Nano - Optics

87

8.4.5. Các lời giải “chính xác” của Leviatan cho vấn đề lỗ nhỏ. Có thể tìm được lời giải giải tích cho trường hợp lỗ tròn nhờ sự đối xứng trụ của nó. Trong hệ toạ độ trụ (r, φ) và lời giải có dạng:

Sau đó tính toán trường không khó khăn. Near - Field Nano - Optics

88

Chúng ta hãy xác định các thành phần Fouriercủa vectơ thế năng từ và thế năng vô hướng như sau:

Điện trường và từ trường do nguồn đó được tính bằng:

gây ra sau

Khi cả hai bên lỗ được giả thiết là chân không. Near - Field Nano - Optics

89

Kết quả tính toán số, một tính chất đáng lưu ý là hầu như cường độ trường không thay đổi trong vùng gần lỗ trống; trường nằm gọn trong vùng được xác định chính bằng kích thước lỗ trống, ngoại trừ vùng bức xạ, giảm theo 1/z. Đây là, theo Leviatan, thể hiện một bước hiểu thêm các đặc trưngNear nền- Field tảng của quang học trường gần. 90 Nano - Optics

8.5. M« h×nh thÝch hîp cho c¸c vÊn ®Ò quang häc tr−êng gÇn 8.5.1. Bản chất gần tĩnh tầm ngắn của các quá trình quang học trường gần. 8.5.2. Mô hình thích hợp dựa trên thế năng che chắn kiểu-Yukawa. 8.5.3. Ứng dụng mô hình photon ảo cho nhiễu xạ từ một lỗ nhỏ. 8.5.4. Mô hình photon ảo của NOM. 8.5.5. Ý nghĩa của mô hình thế năng che chắn và ý nghĩa vật lý của photon ảo Near - Field Nano - Optics

91

8.5.1. Bản chất gần tĩnh tầm ngắn của các quá trình quang học trường gần. Lời giải của Leviatan cho vấn đề lỗ nhỏ chứng tỏ rằng quang học trường gần của những vật tán xạ nhỏ được định xứ hoá cao (thu mảnh) trong khoảng không gian được xác định không phải bằng bước sóng quang học tới, mà bằng kích cỡ của chính đối tượng tán xạ, nghĩa là của lỗ. Đặc trưng quy mô như vậy cho hệ là một tham số không đơn vị a/λ <<1 và cho việc quan sát hệ tại khoảng cách r đáp ứng tiêu chuẩn trường gần r/λ <<1. Nói cách khác tồn tại trường hiệu dụng định xứ hoá cao trong hiện tượng tán xạ lỗ nhỏ liên quan tới tương tác nội của các hệ con nhỏ. Các thành phần của trường gần là nguồn sóng ánh sáng lan truyền ra trường xa và không thể quan sát được nếu như nó không bị tán xạ bởi một vật xáo trộn (đầu dò) được đặt vào trong không gian gần nó. Near - Field Nano - Optics

92

Sự định xứ phụ thuộc vào kích thước của quang học trường gần là nền tảng của quá trình NOM với độ phân giải xa ra ngoài giới hạn nhiễu xạ. Nguyên lý bất định Heisenberg cho chhungs ta biết rằng độ phân giải của kính hiển vi được xác định bởi bước sóng ngắn nhất, hoặc số sóng cao nhất, có thể có trong quá trình đo cá biệt. Trong nghĩa này, trường điện từ có số sóng cực cao nên dùng cho NOM. Bởi vậy rất đáng quan tâm đến nghiên cứu phần trường gần của trường tán xạ, mà tách biệt khỏi phần trường xa trên nền tảng phân tích Fourier. Như vậy, nghiên cứu phổ không gian của trường quang học gần, gồm có số sóng ảo, đảm bảo đo với độ phân giải của NOM cũng như cách giải thích hình ảnh NOM. Near - Field Nano - Optics

93

Trường định xứ (thu mảnh) liên quan đến tương quan tầm ngắn giữa các kích thích cảm ứng của vật liệu, hoặc sự tương tác bị che chắn trong vật chất là do trường kích thích từ ngoài. Do chúng ta chỉ quan tâm đến sự nhiễu loạn tại chỗ trong trường tán xạ, ta cần tìm cách tách riêng các thành phần tầm ngắn ra khỏi toàn bộ quá trình điện từ phục vụ cho phép gần đúng phù hợp. Sự tương tác tầm ngắn trong quá trình NOM cũng thể hiện bản chất gần tĩnh trong nghĩa là hiệu ứng lan truyền hoặc giảm chậm là không đáng kể. Near - Field Nano - Optics

94

8.5.2. Mô hình thích hợp dựa trên thế năng che chắn kiểu-Yukawa. Chúng ta bắt đầu với phân tích việc định xứ hoá trường quang học gần trong trường hợp tán xạ qua lỗ nhỏ. Đầu tiên, chúng ta sẽ nghiên cứu thể hiện bản chất tầm ngẵn gần tĩnh của tương tác điện từ trong tán xạ qua lỗ nhỏ như thế nào. Sau đó ta sẽ xem làm thế nào để khử trường tầm xa. Việc đưa việc che chắn là một ý tưởng quan trọng nhất trong quá trình NOM. Dùng thế năng che chắn kiểu Yukawa là cách đơn giản nhất để mô tả tương tác tầm ngắn gần tĩnh: là độ dài che chắn hoặc độ dài tương quan điện từ đặc trưng cho trường hiệu dụng liên quan. 95 Near - Field Nano - Optics

Nói chung, khi ta xem xét trường hiệu dụng liên quan đến tương tác tầm hữu hạn, ta có thể giả thiết rằng đây là trung gian gần hạt với khối lượng hiệu dụng và có thể xem như bước sóng Compton (chia cho 2π) của trường hiệu dụng. Tương tự như kích thích cơ bản trong chất rắn, như exciton polariton, chúng ta sẽ gọi các gần hạt (quasiparticles) liên quan tới các quá trình quang học trường gần chung là các photon ảo, ảo mô tả các kích thích của các mode kết hợp với vật liệu. Sự sử dụng các gần hạt không có nghĩa ngay lập tức là cần lượng tử hoá. Trường lượng tử hoá trong không gian thu mảnh, hoặc khi tồn tại ranh giới giữa các vật liệu, mang theo một số các vấn đề tinh tế và đòi hỏi sự xem xét rất cẩn thận. Near - Field Nano - Optics

96

Ý tưởng khối lượng hiệu dụng của giả hạt là sự lựa chọn cho tương tác nội tầm gần trong hệ đa vật thể và là sự đo lường đáp ứng của hệ đối với trường ngoài. Nói cách khác, điều này nhấn mạnh rằng các quá trình vi mô phức tạp trong hệ đa vật thể được tái chuẩn hoá, hoặc đã nằm trong khối lượng hiệu dụng để tách đáp ứng vĩ mô của hệ tới trường ngoài thêm vào. Điều này cũng đáng lưu ý rằng ý tưởng về photon ảo là một lựa chọn cho trường mờ, và ngược lại. Thế năng che chắn loại Yukawa tương ứng với lời giải chung của pt Helmholtz cho trường vô hướng:

Near - Field Nano - Optics

97

Trước tiên, đáng xem xét ý nghĩa pt Helmholz sửa đổi và quan hệ của nó tới hiện tượng trường gần. Chúng ta hãy xem xét hệ thức tán sắc của sóng ánh sáng (hoặc photon):

ω là tần số không gian, còn và là số sóng tương ứng song song và vuông góc với bề mặt ranh giới phẳng. Nếu ta giả thiết rằng trường ánh sáng thu mảnh trong vùng nhỏ trên mặt phẳng ranh giới giả thiết, nó phải chứa thành phần Fourier không gian với lớn như giá trị đảo của kích thước định xứ. Cho rằng kích cỡ của thu mảnh bằng Near - Field Nano - Optics

98

Sau đó trường thu mảnh chứa sóng nằm trong khu vực của hệ thức tán sắc tại như trên hình dưới.

Near - Field Nano - Optics

99

Do khu vực tương ứng với hàm parabol so với , trường thu mảnh hoạt động như sóng của hạt lớn khi ta xem xét chuyển động của nó vuông góc với mặt phẳng ranh giới trong nghĩa là nó tuân theo hệ thức tán sắc được viết như sau: & Giả hạt tương ứng với được xem xét như là “ảo” bởi năng lượng của nó nằm dưới đỉnh của parabol hoặc , như trên hình.

Near - Field Nano - Optics

100

Trong trường hợp này hệ thức tán sắc có thể viết lại dưới dạng: & và điều này kết quả trong pt Helmholz biến đổi tương ứng với phần mở rộng thêm của vào vùng ảo. Nếu ta xem xét giới hạn trường gần ta thu được pt

Sau đó photon ảo có thể xuất hiện chỉ trong tình huống của nguyên lý bất định Heisenberg Near - Field Nano - Optics

101

8.5.3. Ứng dụng mô hình photon ảo cho nhiễu xạ từ một lỗ nhỏ. Ta áp dụng mô hình thế năng Yukawa thích hợp để đánh giá sự định xứ hoá của trường quang học gần của lỗ tròn kích cỡ nhỏ hơn bước sóng. Giả thiết rằng bước sóng tới λ lớn hơn rất nhiều lần so với bán kính lỗ a, nghĩa là a/λ << 1. Tham số duy nhất mà chúng ta có thể điều chỉnh là khoảng cách che chắn . Đầu tiên chúng ta giả thiết bằng quy mô của định xứ a nghĩa là bán kính lỗ, và xem xét sự đóng góp từ từng yếu tố dS’ tại vị trí r’ trong vùng lỗ được mô tả bằng sử dụng thế năng che chắn theo mô hình Yukawa. 102 Near - Field Nano - Optics

Trường thế năng tổng xung quanh lỗ tính được khi lấy tổng tất cả các đóng góp của các yếu tố bề mặt trong khoảng lỗ A.

Near - Field Nano - Optics

103

Nói chung, mật độ Hamiltonian cho trường che chắn loại Yukawa được cho dưới dạng tổng của thành phần gradient và thành phần khối lượng .

Từ pt trên ta có thể tính thế năng theo trục z của lỗ:

Với hệ thống toạ độ trên hình 8.19b, ta có:

Near - Field Nano - Optics

104

Kết quả tính toán số cho cho trường hợp và Hành vi trường gần được mô hình hoá bởi thế năng Yukawa rất phù hợp với kết quả tính toán của Leviatan.

Near - Field Nano - Optics

105

Ta thấy rằng sự khác nhau duy nhất là trong hành vi trường xa, suy giảm theo 1/r. Theo Bethe tỷ số giữa thông lượng trường gần và trường xa

Ta có thể dễ dàng đánh giá thành phần trường xa. Cái này tái tạo rất tốt hành vi toàn bộ của tính toán “chính xác”, như trên hình 20.

Near - Field Nano - Optics

106

Trên hình d cần lưu ý rằng sự khác nhau định tính trong phân bố cường độ xung quanh cạnh lỗ trong trường hợp thiết diện tại z rất gần lỗ: kết quả của Leviatan cho thấy sự suy giảm theo bậc tại cạnh đối với z rất nhỏ, trong khi trong hình lại cho thấy sự suy giảm tương đối chậm. Điều này là do ta chỉ tính toán trường hiệu dụng với bước sóng Compton 107 Near - Field Nano - Optics

8.5.4. Mô hình photon ảo của NOM. a. b.

Độ phân giải và hàn truyền tín hiệu của NOM. So sánh mô hình mô tả và thực nghiệm.

Near - Field Nano - Optics

108

Ta hãy xem xét một mô hình thích hợp cho sự tương tác mẫu - đầu dò trong NOM. Ở đây ta giả thiết là quá trình cơ bản có thể được mô tả dưới dạng tương tác gần tĩnh tầm ngắn qua photon ảo giữa hai lỗ nhỏ đặt rất gần nhau hoặc các quả cầu điện môi tương ứng cho đối tượng và đầu dò. Ta xem xét cả hai mẫu và đầu dò được kết hợp bằng cách nào đó qua các photon lan truyền tới và đi. Mô hình này đòi hỏi sự mở rộng của tương tác trường gần của các đối tượng vật chất đặt rất gần nhau nhưng không nối với nhau. Như vậy ta cần xem xét vật truyền tương tác nối với phân cực điện lên hai vật tán xạ gần nhau. Lưu ý rằng hệ pt Maxwell cho các ranh rới không liên tục là rất khó thu được. Near - Field Nano - Optics

109

a.

Độ phân giải và hàn truyền tín hiệu của NOM.

Ta hãy xem xét quả cầu điện môi nhỏ bán kính a, bản thân bề mặt cũng có thể được mô tả bằng các quả cầu điện môi nhỏ bán kính tương đương với độ xuyên sâu λpen (>>a) của trường mờ chiếu sáng. Độ phân giải của NOM phụ thuộc vào: -bán kính của mũi đầu dò. - độ lọc trường chiếu sáng Near - Field Nano - Optics

110

Đầu nhọn của đầu dò cách vật đo một khoảng bằng bán kính a. Trong trường hợp này xác suất xuyên đường ngầm của trường mờ với khoảng cách che chắn có bậc ∼ e-1, và trường mờ với khoảng cách che chắn ngắn hơn do sự va chạm nhỏ lên đối tượng bị lọc đi bởi tầm tương tác của chúng ngắn hơn khoảng cách mẫu-đầu dò rất nhiều. Bởi vậy, đặc trưng tầm ngắn của đầu dò được xác định bằng bán kính độ cong tại mũi đầu dò và khoảng cách mẫu -đầu dò.

Near - Field Nano - Optics

111

b.

So sánh mô hình mô tả và thực nghiệm.

Hiệu lực của giả thiết cộng hưởng được thử cho một trường hợp đơn giản của trường mờ tại góc phản xạ nội toàn phần θin, chiết suất n và bước sóng quang học λ. Độ xuyên sâu của sóng mờ chiếu sáng:

Công suất quang học của sóng mờ chiếu thu được bởi đầu dò quang sợi trần với các độ côn khác nhau. Trường mờ có độ xuyên sâu kết hợp với quả cầu bán kính Khi độ cao giữ nguyên công suất thu được Θ – góc của hình côn , α tham số phụ thuộc vào dạng của đầuNear dò - Field Nano - Optics

112

Near - Field Nano - Optics

113

8.5.5. Ý nghĩa của mô hình thế năng che chắn và ý nghĩa vật lý của photon ảo a. b.

Lượng tử hoá sóng mờ và so sánh với mô hình gần-hạt (quasiparticle) Sự tạo hạt thô của tương tác vi mô trong hệ thống nhiều vật thể và ý nghĩa của thế năng che chắn.

Near - Field Nano - Optics

114

a.

Lượng tử hoá sóng mờ và so sánh với mô hình gần-hạt (quasiparticle)

Hình ảnh hạt ảo giống một điểm lan truyền dọc theo quãng đường có thể xử lý vấn đề trường mờ bằng cách thuận tiện khi trường gần được mô tả như một vật truyền dẫn điện từ nối đối tượng vật chất đặc đặt trong một thể tích không gian nhỏ hơn λ4 / c. Trong nghĩa này, bản chất tương tác vi mô của trường mờ được xem như cấu tạo từ tương tác Culomb (gần tĩnh) giữa phân cực điện cảm ứng lên mặt vật chất bằng ánh sáng tới và tán xạ. Trong nghĩa này, trường mờ tương quan cặp sóng tới và phản xạ qua phân cực cảm ứng tại vị trí x1 với cặp tại điểm x2 rất gần đấy trên bề mặt kim loại. Điều này nhấn mạnh rằng trường mờ thể hiện vật lan truyền giống như hàm cặp Green (hai hạt), tích phân tương tác đa vật thể trên bề mặt vật chất. Near - Field Nano - Optics

115

Ở đây rất nên so sánh trường mờ bị lượng tử hoá với exciton polariton được mô tả bởi Hopfield. Exciton polariton tương ứng với sự thể hiện gần hạt của tương quan không gian-thời gian giữa sự kích thích nguyên tử trong tinh thể. Bằng phân tích Fourier, mode kết hợp của sóng ánh sáng và trường phân cực cảm ứng được định nghĩa. Những mode này tương ứng với các trạng thái cơ bản của pt Maxwell

Trong đó ω0 là tần số dao động của phân cực, và đáp ứng quang học tuyến tính được giả thiết như βE. Near - Field Nano - Optics

116

Bên cạnh quang học trường mờ, rất đáng lưu ý rằng thế năng che chắn loai Yukwa đóng vai trò quan trọng trong phân tích Fourier của tương tác của vật truyền giốngCoulomb. Thế năng Yukawa thay ví thế năng Coulomb là biến đổi Fourier, và sau đó khoảng cách che chắn trải đến vô cùng. Biến đổi Fourier của

Near - Field Nano - Optics

117

b.

Sự tạo hạt thô của tương tác vi mô trong hệ thống nhiều vật thể và ý nghĩa của thế năng che chắn.

Để phát triển tiếp lý thuyết hiện tượng học xem xét đặc trưng tĩnh của tương tác điện từ vi mô xẩy ra trong các quá trình trường quang học gần. Rất lý thú xem xét quan điểm “tạo hạt thô” thích hợp trong quan hệ với quá trình đa vật thể. Quá trình trường quang học gần và đo dạc liên quan đến sự trích ra thông tin về sự tương tác điện từ giữa phân cực cảm ứng tại quy mô tạo hạt thô nhất định nằm trong khoảng bước sóng và kích thước nguyên tử. Bằng cách tạo hạt thô ta có thể trích ra tương quan điện từ tầm dài hơn, mà tạo ra đáp ứng quang học tại quy mô đó. Mặt khác, nếu ta thấy quá trình tương tác một cách chi tiết, ta có thể tìm thấy tương tác vi mô, bi che chắn tại quy mô rộng hơn Near - Field Nano - Optics

118

Thật thú vị khi nghiên cứu quan hệ giữa tạo hạt thô của hệ và các tinh chất quang học của vật chất, mặc dù không có hành vi tới hạn nào có thể chờ đợi xuất hiện trong trường hợp điện môi thông thường. Vectơ Hertz trong môi trường không từ tính thể hiện thế năng trễ được tạo ra bởi trường phân cực p:

Khi môi trường điện môi không đồng nhất, pt sóng cho điện trường đáp ứng đơn sắc Thành phần

Near - Field Nano - Optics

trái thể hiện sự không đồng nhất của phân cực cảm ứng.

119

Sử dụng hệ thức

ta thu được

Sự nhiễu loạn tại chỗ của phân cực cảm ứng

Thu được trung bình của phân cực cảm ứng trên toàn bộ thể tích vĩ mô Cho tương lai rất nên xem xét ý nghĩa của tạo hạt thô trong môi trường điện môi và sự liên hệ của nó tới trường hiệu dụng loại Yukawa.Near - Field Nano - Optics 120

∂Ε x ∂Ε y ∂Ε z ∇.Ε = + + ∂x ∂y ∂z ⎛ ∂Ε z ∂Ε y ⎞ r ⎛ ∂Ε x ∂Ε y ⎞ r ⎛ ∂Ε y ∂Ε x ⎞ r ⎟⎟i + ⎜⎜ ⎟⎟ j + ⎜⎜ ⎟⎟k ∇ × Ε = ⎜⎜ − − − ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂y

D = ε 0 Ε + p = ε 0εΕ = (1 + χ )ε 0 Ε ∂ρ + ∇. j = 0 ∂t0 Near - Field Nano - Optics

121