Nathalia Maldonado[1] Pmv

Modelo Matemático para expresar el área de un terreno con relación a su longitud. Nathalia Maldonado Prada Colegio Colombo Americano

Resumen En este documento se busca darle una solución a este enunciado: Manuel, un campesino tiene una finca en forma rectangular, la cual necesita cercar para evitar problemas de límites con los vecinos. Para este fin tiene 240 metros de cerca pero hay que tener en cuenta que a un lado de la finca hay un rio, lo cual se considera como límite natural por lo que el material será usado en los otros tres lados. Para poder cercar su finca perfectamente Manuel debe encontrar un modelo matemático que exprese el área del terreno como una función de su longitud, y además debe estimar las dimensiones del campo rectangular con mayor área que pueda cercarse con esos 240 m para no desperdiciar ni el material ni el espacio.

Índice de términos: Función. Modelo Matemático.

Introducción En este documento se busca moldear una a una situación problema a través de funciones. En esta se plantea que hay una finca de forma rectangular la cual es cercada mediante 240 metros, teniendo en cuenta que un lado del terreno está sobre la orilla del rio y por lo tanto tiene un límite natural y la cerca será utilizada en los otros tres lados del terreno. Mediante esta situación buscamos encontrar un modelo matemático que exprese el área del terreno como función de su longitud, y además estimar las dimensiones del campo rectangular de mayor área que pueda cercarse con esos 240 metros. Para logar resolverlo se empleo la relación de funciones del área y la longitud comenzando por conocer la función de cada una de esas y así poder relacionarlas. Para encontrar el campo de mayor área realice una tabulación con datos específicos que al sumarlos me dieran los 240 metros de longitud y encontrar con cuál de ellos obtendría la mayor área.

Contenido: Esta es la representación de la situación problema dándole valores mediante variables a los lados del rectángulo X X

RIO

X+M

X Función Longitud 𝑙 =𝑥+𝑥+𝑥+𝑚 𝑙 = 2𝑥 + 𝑥 + 𝑚 𝑙 = 240

(1)

Función Área 𝐴=𝑥 𝑥+𝑚

(2)

Modelo matemático del área en función de su longitud: Para encontrar esta función se siguió un procedimiento: 1. En la función de la longitud conociendo que L= 240 se despejo m, asi: 𝑙 = 2𝑥 + 𝑥 + 𝑚 240 = 3𝑥 + 𝑚 240 − 3𝑥 = 𝑚 2. Luego ya conociendo a m se dejó el área en función de la longitud. 𝐴 = 𝑥 𝑥 + 240 − 3𝑥 𝐴 = 𝑥 2 + 240𝑥 − 3𝑥 2 𝐴(𝑥) = −2𝑥 2 + 240𝑥

Luego para encontrar las dimensiones del campo rectangular de mayor área con esos 240 m e realizó una tabulación:

X

M

80 70 60 50 40 30 20 10

X+m

0 30 60 90 120 150 180 210

Long 240 240 240 240 240 240 240 240

80 100 120 140 160 180 200 220

Área 6400 7000 7200 7000 6400 5400 4000 2200

8000 7000 6000 Área

5000 4000

3000

Área

2000 1000 0 0

50

100

150

200

250

m

Resultados a) El modelo matemático que expresa el área del terreno como función de su longitud es 𝐴 𝑥 = −2𝑥 2 + 240𝑥 b) Campo rectangular de mayor área que pueda cercarse con esos 240 metros es de 7200 metros cuadrados.

Conclusiones: Mediante el modelo matemático encontrado se pudo evidenciar que el campo rectangular de mayor área que puede cercarse con esos 240 metros es de 7200 metros cuadrados por lo tanto las dimensiones deben ser de 60 m y 120 m teniendo en cuenta que un lado es cercado con un límite natural, el rio.