AHP فرایند تحلیل سلسله مراتبی
پیشگفتار یکی از کارآمد ترین تکنیک های تصمیم گیری فرایند تحلیل سلسله مراتبی ( Analytical Hierarchy )process-AHPکه اولین بار توسط توماس ال ساعتی در 1980مطرح شد .که بر اساس مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان بررسی سناریوهای مختلف را به مدیران می دهد .
انواع حالت های تصمیم گیری تصمیم گیری فضای گسسته چند معیاره
فضای پیوسته
تک معیاره
تک معیاره
چند معیاره
معیار کمی
معیار کمی
معیار کمی
معیار کمی
معیار کیفی
معیار کیفی
معیار کیفی
معیار کیفی
معیار کمی-کیفی
معیار کمی-کیفی
اصول فرایند تحلیل سلسله مراتبی اصل .1شرط معکوسی ()Reciprocal Condition
اصل .2همگنی اصل .3وابستگی اصل .4انتظارات
()Homogeneity ()Dependency ()Expectation
شرط معکوسی اگرترجیح عنصر Aبر عنصر Bبرابر nباشد ترجیح عنصر Bبر عنصر Aبرابر n/1خواهد بود .
همگنی عنصر Aبا عنصر Bباید همگن و قابل قیاس باشند .به بیان دیگر برتری عنصر Aبر عنصر B نمی تواند بی نهایت یا صفر باشد.
وابستگی هر عنصر سلسله مراتبی به عنصر سطح بالتر خود می تواند وابسته باشد وبه صورت خطی این وابستگی تا بالترین سطح می تواند ادامه داشته باشد.
انتظارات هر گاه تغییر در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد پروسه ارزیابی باید مجددا انجام گیرد.
فرایند تحلیل سلسله مراتبی در یک نگاه ► ساخت سلسله مراتبی ► مقایسه های زوجی ► ترکیب وزنها ► تحلیل حساسیت ► روش رتبه بندی
مثال تصور کنید که از بین سه اتومبیل A,B,Cیکی را انتخاب کنیم چهار معیار:راحتی ،قیمت ،مصرف سوخت ،مدل مطرح می باشد .حل این مثال را طی قدمهای زیر تشریح می کنیم: ساختن سلسله مراتبی محاسبه وزن سازگاری سیستم
ساختن سلسله مراتبی
انتخاب بهترین اتومبیل
انتخاب بهترین اتومبیل
انتخاب بهترین اتومبیل
انتخاب بهترین اتومبیل
انتخاب بهترین اتومبیل
انتخاب بهترین اتومبیل
انتخاب بهترین اتومبیل
انتخاب بهترین اتومبیل
محاسبه وزن )ترجیحات (قضاوت شفاهی کامل مرجح یا کامل مهم تر یا کامل مطلوب تر
Extremely preferred
مقدار عددی 9
ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت خیلی قوی
Very strongly preferred
7
ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت قوی
Strongly preferred
5
Moderately preferred
3
Equally preferred
1
کمی مرجح یا کمی مهم تر یا کمی مطلوب تر ترجیح یا اهمیت یا مطلوبیت یکسان ترجیحات بین فواصل قوی
8،6،4، 2
محاسبه وزن نسبی اتومبیل ها از نظر راحتی اتومبیل Cاتومبیل
B
A اتومبیل
8
2
1
6
1
1/2
1
1/6
1/8
اتومبیلA اتومبیل
B
اتومبیلC
قدم اول :مقادیر هر یک از ستون ها را با .هم جمع می کنیم اتومبیل C
B اتومبیل 2
8
A اتومبیل 1
اتومبیلA
6
1
1/2
1
1/6
1/8
B اتومبیل اتومبیلC
15
19/6
13/8
جمع هر ستون
قدم دوم :تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع کل ستون همان عنصر )( نرمالیزکردن اتومبیل Cاتومبیل
B
A اتومبیل
8/15
12/19
8/13
اتومبیلA
6/15
6/19
4/13
B
1/15
1/19
1/13
اتومبیل
اتومبیلC
قدم سوم :محاسبه متوسط عناصر در هر سطر متوسط سطر
C اتومبیل
B اتومبیل
اتومبیA ل
0.593
0.533
0.631
0.615
0.341
0.400
0.316
0.308
0.066
0.067
0.053
0.077
1
1
1
1
اتومبیA ل B اتومبیل اتومبیC ل جمع کل
ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به قیم ت
اتومبیل Cاتومبیل
Bاتومبیل A
1/4
1/3
1
1/2
1
3
1
2
4
اتومبیلA اتومبیل
B
اتومبیل C
ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به مصر ف
اتومبیل Cاتومبیل
Bاتومبیل A
1/6
1/4
1
1/3
1
4
1
3
6
اتومبیلA اتومبیل
B
اتومبیل C
ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل مدل نسبت به اتومبیل Cاتومبیل
Bاتومبیل A
4
4
1
7
1
3
1
1/7
1/4
اتومبیل A اتومبیل B اتومبیل C
وزن اتومبیل ها برای معیار های م ق و یم صر ت ف مدل
مصرف
قیمت
0.265
0.087
0.123
0.655
0.274
0.320
0.080
0.639
0.557
، مد ل
اتومبیل A اتومبیل B اتومبیل C
ماتریس مقایسه زوجی معیارها مدل
راحتی
مصرف
قیمت
2
2
3
1
قیمت
1/4
1/4
1
1/3
مصرف
1/2
1
4
1/2
راحتی
1
2
4
1/2
مدل
وزن هر یک از معیارها قیمت راحتی مدل
0.398
مصرف
0.085 0.218 0.299
وزن اتومبیل ها نسبت به معیارها مدل
راحتی
مصرف
قیمت
0.265
0.593
0.087
0.123
0.655
0.341
0.274
0.320
0.080
0.066
0.639
0.557
A اتومبیل B اتومبیل C اتومبیل
محاسبه وزن نهائی اتومبیل وزن نهائی اتومبیل A 0.265=0.265*0.593+0.299*0.087+0.218*0.123+0.085*0.398
وزن نهائی اتومبیل B 0.421=0.655*0.341+0.299*0.274+0.218*0.320+0.085*0.398
وزن نهائی اتومبیل C 0.314=0.080*0.066+0.299*0.639+0.218*0.557+0.085*0.398
اولویت نهائی اتومبیل ها اولویت
اتومبیل
وزن
1
B
0.431
2
C
0.314
3
A
0.265
ساختن سلسله مراتبی سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مساله در راس آن پیچیده واقعی می باشد که هدف کلی مساله و در سطوح بعدی معیار ها و دارند ،هر چند یک قاعده ثابت گزینه ها قرار و قطعی برای رسم سلسله مراتبی وجود ندارد .سلسله مراتبی ممکن است به یکی از صورت های زیر باشد : هدف _ معیارها _ زیر معیار ها _ گزینه ها
یک نمونه کلی از ساختمان سلسله مراتبی )تصمیم کلی مساله (هدف
معیار n
...
معیار2
معیار1
زیر معیارn
...
زیر معیار2
زیر معیار 1
گزینه n
...
گزینه 2
گزینه 1
سلسله مراتبی انتخاب یک مدرسه استاندارد کلی دانش :Vنظم :Kآمادگی برای دانشگاه : Lآموزشهای جانبی S:کیفیت آموزشی :Fآموزان انتخاب بهترین مدرسه
اجتماعی
آموزشی
فرهنگی
L
C
B
A
K
V
F
S
محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در دو قسمت جداگانه زیر مورد بحث قرار می گیرد: وزن نسبی ( ( local priority وزن نهایی ( )overall priority
روشهای محاسبه وزن نسبی
.2 .3 .4 .5
روش حداقل مربعات روش حداقل مربعات لگاریتمی روش بردار ویژه روشهای تقریبی
) least squares method ( روش حداقل مربعات Wi = a ijW j
ها
aij =
Wi
( aij ≠ Wi
Wi ≠ aijW j
(حداقل برای یک
n
i =1 j =1
St: n
∑W i =1
i
=1
یاi وjدر حالت ناسازگاری
Wj
MINZ = ∑ ∑ ( a ij W j - Wi n
(یاi وj در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه
Wj
)
2
برای حل مساله فوق ،معادله لگرانژی آن به صورت .زیر در نظرگرفته می شود
n L = ∑ ∑ ( a ij Wj - Wi ) + 2λ ∑ Wi − 1 i =1 j =1 i =1 اگر از : wlمشتق بگیریم خواهیم داشت n n معادله فوق نسبت به ∑ ( ail Wl − Wi ) ail − ∑ ( alj W j − Wl ) + λ = 0 l = 1,2,..., n n
2
j =1
n
i =1
:n=2باشد ،داریم اگر 2 2 a11 − 2a11 + a21 + 2 .W1 − ( a12 + a21 ) .W2 + λ = 0
)
)
(
(
− ( a21 + a12 ) .W1 + a12 − 2a12 + a22 + 2 .W2 + λ = 0 2
2
W1 + W2 = 1
مثال ماتریس مقایسه زوجی زیر را در نظر :بگیرید
1 1 / 3 1 / 2 3 1 3 2 1 / 3 1
نشان می دهیم ماتریس مقایسه ،ناسازگار است )1 . وزن هر معیار را با روش حداقل مربعات )2 .به دست می آوریم
=A
برای یکی از i,j,kها برقرار نباشد رابطهaik . akj اگر = aij ماتریس ناسازگار خواهد بود.
a12 = 1 / 3 , a23 = 3 ⇒ a13 ≠ a12 × a23 = 1 / 3 × 3 = 1 15W1 −10 / 3W2 −5 / 2W3 +λ = 0 −10 / 3W1 +20 / 9W2 −10 / 3W3 +λ = 0 −5 / 2W1 −10 / 3W2 +45 / 4W3 +λ = 0 W1 +W2 +W3 =1
از حل دستگاه فوق خواهیم :داشت
W1 = 0.1735 W2 = 0.6059 W3 = 0.2206
روش حداقل مربعات لگاریتمی ()logarithmic least squares method در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه jو (iیا
در حالت ناسازگاری (حداقل برای jو iیا
=1 ≠1
میانگین هندسی این اختلفات برابر :است با
Wj Wj
Wj Wj
aij aij
ها
(
1
Wj
Wj
W aij = i
W ≠ i
aij
یک
1 W j n2 n n ∏∏a ij = Z n2 W i = 1 j = 1 i
∑∑ ( Lna n
n
i =1 j =1
1 n2
ij
− Ln(Wi / W j )
∑∑ ( Lna n
n
i =1 j =1
ij
)
= 0
− Ln(Wi / W j )
)
در حالت سازگاری
1 = 2 LnZ n
در حالت ناسازگاری
(Eigenvector Method ویژه
روش بردار
)
a11 W1 + a12 W2 + + a1n Wn = λ . W1 a21 W1 + a22 W2 + + a2 n Wn = λ . W2 an1 W1 + an 2 W2 + + ann Wn = λ . Wn
λ وزن عنصر ام و i یک عدد ثابت است.
aij Wi امjام برi ترجیح عنصر است و
:iام طبق تعریف قبل برابر است با وزن عنصر
i = 1,2, , n
1 n Wi = ∑ aij W j λ i =1
دستگاه معادلت فوق را به صورت زیر می توان نوشت:
A ×W = λ . W یعنیA زوجی{= [a که Aهمان ماتریس مقایسه ] ij وزن و
یک اسکالر است.
W
λ
}و
برد
مثال برای ماتریس زیر ،بردار و مقدار ویژه را محاسبه می کنیم. 2 4 3 3
حل:
2 4 W1 2W1 + 4W2 λ .W1 2W1 + 4W2 − λ .W1 = 0 3 3 W = 3W + 3W = λW ⇒ 3W + 3W − λ .W = 0 2 1 2 2 2 2 1 برای حل این دستگاه می توان نوشت:
)2 − λ ( W1 + 4 W2 = 0 3 )2 − λ ( W1 + 12 W2 = 0 ⇒ − )2 − λ ( 3 W1 + )3 − λ ( W2 = 0 − 3 )2 − λ ( W1 − )2 − λ ()3 − λ ( W2 = 0 3
که خواهیم داشت:
12 W2 − )2 − λ ()3 − λ ( W2 = 0 2 ⇒ 12 − ) 2 − λ )( 3 − λ ( = 0 ⇒ λ − 5λ − 6 = 0 W2 ≠ 0
λ = +6 , − 1
⇒
در دستگاه فوق 1و =باW1 +W2 با قرار دادن λ استفاده از رابطه مقادیر ،بردارهای ویژه به شکل زیر خواهند بود. λ = 6 ⇒ −4 W1 + 4 W2 = 0 ⇒ W1 = W2 = 0.5
λ = −1 ⇒ 3W1 + 4 W2 = 0 ⇒ W1 = 4 , W2 = −3 رابطه بین بردار ویژه و مقدار ویژه به صورت زیر است: 2 4 4 4 3 3 × − 3 = ) −1( − 3
2 4 0.5 0.5 3 3 × 0.5 = 60.5
در روش بردار ویژه برای محاسبه وزنها ،طبق مراحل زیر عمل می کنیم: .1 .2 .3 .4
ماتریس Aرا تشکیل می دهیم. ماتریس) A − λ. (I را مشخص کنید. ماتریس) A ( − λ.I را محاسبه کرده و آن را دترمینان λ را محاسبه کنید. مساوی صفر قرار داده و مقادیر رابطه) A در− λ max I ( ×W λ نامیده و 0آن= را بزرگترین λmaxرا استفاده Wi داده( Iوmaxبا) A − λ قرار= × W 0 ازرابطه ها را محاسبه نمایید. مقادیر
مثال اگر ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر باشد ویژه وزن معیارها را با استفاده از روش بردار 1 1 1 3 2 بدست می آوریم . :حل
3 1
A = 3 1 1 2 3
1 1− λ 1 3 2 5 3 det) A − λI ( = 3 1 − λ 3 = )1 − λ ( − 3)1 − λ ( + = 0 2 1 2 1− λ 3
قبلλ max ، = 3.0536 بعد از حل معادله گردد. می معادله ماتریسی Wi ) A − λ max I ( ×W =0
می را محاسبه W1 W = 0 2 W3
محاسبه
را تشکیل داده و
1 کنیم1 . − 2.0536 3 2 − 2.0536 × 3 3 2 1 − 2.0536 3
ها
W1 + W2 + W3 = 1
دستگاه را ,به فوق= W T )0.1571 , 0.5936 (0.2493
معادله اضافه می کنیم .نتیجه زیر حاصل می شود.
قضیه: برای یک ماتریس مثبت و معکوس ،همچون ماتریس مقایسه زوجی ،بردار ویژه را می توان از رابطه زیر Ak . e بدست آورد. W = lim eT . A k . e
(eT = )1,1, ,1
که در آن
می باشد.
∞→ k
k =1 بطور مثال برای.را محاسبه می کنیم a11 a A k . e = 21 an1
a12 a22
an 2
n a ∑ 1 j a1n 1 jn=1 1 a a2 n × = ∑ 2 j j =1 n ann 1 ∑a nj j = 1
:را محاسبه می نماییم
A k .eابتدا :داریم
e T . A k .e حال حاصل عبارت
n ∑a1 j jn=1 n n a T k T k ∑ 2 j = ∑∑a ij e . A .e = e .) A .e( = [1 1 1] × j =1 i =1 j =1 n ∑a j =1 nj
مثال اگر ماتریس مقایسه زوجی برای چهار عنصربه صورت زیر باشد: 1 4 2 1 2 1
1
3 3 1 2
1
9 1 1 3 1 2
1 9 A= 3 4
محاسبه ون عناصر با استفاده از قضیه قبل به صورت زیر است:
:حل 1 A .e 1 W = T 1 e . A .e
:در تکرار اول داریم
1.694 0.05837 15 0.51675 1 normalize → W = A حاصل از جمع سطری ماتریس بردار = 4.833 0.16651 7.50 0.25837
در تکرار دوم داریم:
2 A .e 2 W = T 2 e . A .e
1. 5 0.8889 4 0.4583 35 4 13 7 . 75 A2 = 11 1.25 4 2.4167 4 18.5 2.1111 6.8333
بنابر این خواهیم داشت: )W 2 = ( 0.05867 0.51196 0.15994 0.26943
مقدار نهایی Wدر تکرارسوم و چهارم و پنجم به صورت زیر است: )W 3 = ( 0.05882 0.51259 0.15958 0.26943 ) W 4 = ( 0.05882 0.51261 0.15971 0.26886 )W 5 = ( 0.05882 0.51261 0.15971 0.26886
روشهای تقریبی ()Approximation Method
.1 .2 .3 .4
مجموع سطری مجموع ستونی میانگین حسابی میانگین هندسی
مثال ماتریس مقایسه زوجی زیر در دست است .با چهار روش ذکر شده بردار وزن را محاسبه می کنیم. A1 A2 A3 A4 7 6 4 1
A1 1 5 6 A2 1 / 5 1 4 A3 1 / 6 1 / 4 1 A4 1 / 7 1 / 6 1 / 4
:مجموع سطری 0.51 0.30 0.15 0.04
بردار نرمالیزه
19 11.20 5.42 1.56
5 6 7 1 1 / 5 1 مجموع عناصر هر سطر 4 6 1 / 6 1 / 4 1 4 1 / 7 1 / 6 1 / 4 1
:مجموع ستونی 5 6 7 1 1 / 5 1 ستون مجموع عناصر هر 4 6 )(1.51 6.43 11.25 18 1 / 6 1 / 4 1 4 1 / 7 1 / 6 1 / 4 1 ) 0.16 0.09 0.06
( 0.68
بردار نرمالیزه
)0.16 0.09 0.06
( 0.66
بردار معکوس
میانگین حسابی: 0.39 0.33 0.22 0.06
0.53 0.36 0.09 0.02
0.78 0.16 0.04 0.03
0.66 0.13 0.11 0.09
نرمالیزه ی ستونها
0.590 0.245 0.115 0.050
7 6 4 1
5 6 1 1 / 5 1 4 1 / 6 1 / 4 1 1 / 7 1 / 6 1 / 4
میانگین سطری
:میانگین هندسی 4 1 × 5 × 6 × 7 = 3.807 4 1 / 5 × 1 × 4 × 6 = 1.480 4 1 / 6 × 1 / 4 × 1 × 4 = 0.639 4 1 / 7 × 1 / 6 × 1 / 4 × 1 = 0.278
میانگین هندسی
0.61 0.24 0.10 0 . 04
7 6 4 1
5 6 1 1 / 5 1 4 1 / 6 1 / 4 1 1 / 7 1 / 6 1 / 4
نرمالیزه ی ستونها
محاسبه وزن نهایی وزن نهایی هر گزینه در یک فرایند سلسله مراتبی از مجموع حاصلضرب اهمیت معیارها در وزن گزینه ها بدست می آید.
مثال
مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی Xو Yیکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از :قابلیت رهبری و هدایت( )Lتواناییهای شخصی( )Pوتواناییهای اداری( )Aماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد . اند آمده بدست ( قابلیت رهبری)L تواناییهای (P تواناییهای (A معیارها A 1 4 2 1
L P 1 1 L 3 P 3 1 1 A 4 2
)اداری
X Y X 1 2 1 1 Y 2
)شخصی
X Y X 1 1 3 Y 3 1
X Y X 1 4 1 1 Y 4
حل: ابتدا سلسله مراتب مربوطه را رسم می کنیم.
هدف A
L
P
Y
X
محاسبه وزن 1 D1 = 3 4
1 3 1 1 2
1 1 8 4 normalize 3 2 → 8 1 4 8
6 1 33 13 0.128 6 8 rowmeans →W1 = 0.512 11 13 0.360 6 4 22 13
:یعنی داریم W A = 0.360, WP = 0.512 , WL = 0.128
1 D2 = 1 4
4 4 5 4 1 normalize → W 2 = ⇒ WLX = , WLY = 1 1 5 5 5
1 1 4 1 3 1 normalize D3 = → W 3 = ⇒ WPX = ,WPY = 3 3 4 4 3 1 4 1 D4 = 1 2
2 2 3 2 1 normalize → W 4 = ⇒ W AX = , W AY = 1 1 3 3 3
محاسبه وزن نهایی: 4 1 2 W X = ) × 0.128( + ) × 0.512( + ) × 0.360( = 0.4704 5 4 3 1 3 1 WY = ) × 0.128( + ) × 0.512( + ) × 0.360( = 0.5296 5 4 3
توجه داشته باشید =کهW X + WY 1 شخص Yانتخاب می گردد.
بنابر این گزینه یا
:محاسبه نرخ ناسازگاری ► ماتریس سازگار و خصوصیات آن ► ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن ► الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس ► الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی
ماتریس سازگار و خصوصیات آن اگر nمعیار به شرح C1 , C 2 , , C nداشته باشیم و ماتریس مقایسه زوجی آنها به صورت زیر باشد :
i , j = 1,2, , n
آنa که در ij
ترجیح ci عنصر
چنانچه در این ماتریس داشته باشیم :
c jرا
i , j , k = 1,2, , n
] [
A = aij
بر نشان می دهد .
aik × a kj = aij
آنگاه می گوییم ماتریس Aسازگار است .
A A 1 p1 = B 1 / 2 C 1 / 6 A 6 C = اهمیت نسبی عناصرB 3 نسبت به C 1
A B = اهمیت نسبی عناصرB نسبت به C
2 1 1 / 3
B 2
C 6 1 3 1 / 3 1 0.6 W = 0.3 0.1 0 .6 W = 0.3 0.1
مثال
طبق تعریف می توان گفت مقدارویژه این ماتریس( )ازرابطه زیر :به دست می آیدλ
P1 × W = λ . W که حاصلضرب P1 × Wبرابر است با :
2 6 0.6 1.8 1 0.6 P1 × W = 1 / 2 1 3 × 0.3 = 0.9 = 3 0.3 = 3W 1 / 6 1 / 3 1 0.1 0.3 0.1 بنابراین خواهیم داشت:
3. W
= P1 × W
هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر :است .1 .2 .3
مقدار وزن عناصر برابر مقدار نرمالیزه هر عنصر می باشد. مقدار ویژه برابر طول ماتریس است ( . ) AW = nW مقدار ناسازگاری دراین ماتریس صفر است .
ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن قضیه یک – اگر λ1 , λ2 , , λ nمقادیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی Aباشد مجموع مقادیر آنها برابر nاست :
=n
ویژهλ قضیه دو – بزرگترین مقدار max مساوی n λ است (در این صورت برخی از
n
i
∑λ i =1
همواره بزرگتر یا ها منفی خواهند بود ).
λmax ≥ n
قضیه سه – اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرد ،مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت .
A ×W = λ . W
λ Wو به ترتیب بردار ویژه و مقدار ویژه که در آن ماتریس Aمی باشد .یک مقدار ویژه برابر nبوده (بزرگترین مقدار ویژه ) و بقیه آنها برابر صفر هستند .بنابراین در این حالت می توان نوشت AW =: nW در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی Aناسازگار باشد λ max طبق قضیه ، 3
کمی از nفاصله می گیرد که می توان نو شت :
A × W = λmax . W شاخص ناسازگاری
λmax − n λ max − n = I .I n −1
الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس .1ماتریس مقایسه زوجی Aرا تشکیل دهید.
.2بردار وزن Wرا مشخص نمایید .
.3آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس λmax( A مشخص یعنی است ؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید .در غیر این صورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید : -1-3با ضرب بردار Wدر ماتریس Aتخمین λmax . W ازبه مناسبی دست آورید λmax . W برW تقسیم مقادیر به دست آمده برای -2-3باλmax را محاسبه نمایید . تخمین هایی از مربوطه λmax به دست آمده را پیدا کنید λmax − n . -3-3متوسط = I .I میn − . 4مقدار شاخص ناسازگاری را از رابطه زیر محاسبه 1 کنیم: .5نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید :
I .I . = I .R. I .I .R
مثال
برای ماتریس مقایسه زوجی زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه کنید . 1 2 8 6 1
1 1/ 6
A = 1 / 2 1 / 8
حل قدم 1و :2با استفاده از روش میانگین حسابی داریم : 0.593 W = 0.341 0.066
قدم :3از آنجا که مقدار λmaxمشخص نمی باشد ،باید آن را طبق قدم های زیر تخمین بزنیم . قدم -1-3تخمین λmax . W
قدم -2-3محاسبه λmaxها
2 8 0.593 1 1.803 A . W = 1 / 2 1 6 × 0.341 = 1.034 1 / 8 1 / 6 1 0.066 0.197
= 3.040
0.593
= 1.0803
λ max 1
λ max 2 = 1.034 0.341 = 3.032
قدم -3-3محاسبه میانگین λmaxها
λ max 3 = 0.197 0.066 = 2.985
λ max 1 + λ max 2 + λ max 3 = = 3.019 3
λ max
قدم :4محاسبه شاخص ناسازگاری
λ max − n 3.019 − 3 = I .I = = 0.010 n−1 3− 1 قدم :5محاسبه نرخ ناسازگاری
I .I . = I .R. = 0.017 I .I .R 3×3 نرخ ناسازگاری این ماتریس برابر 0.017است که کمتر از 0.1بوده بنابراین سازگاری آن مورد قبول می باشد .
الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی شاخص I .I . را در وزن عنصر ناسازگاری هر ماتریس I .Iدست مربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها را .به می آوریم .این حاصل جمع .R. را I .Iمی نامیم .همچنین وزن عناصر را در I .I .Rماتریس های مربوطه ضرب نامگذاری می کنیم . کرده IوI .مجموعشان را I .I .R حاصل تقسیم نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را می دهد .
مثال
مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی Xو Yیکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از :قابلیت رهبری و هدایت( )Lتواناییهای شخصی( )Pوتواناییهای اداری( )Aماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد . اند آمده بدست ( قابلیت رهبری)L تواناییهای (P تواناییهای (A معیارها A 1 4 2 1
L P 1 1 L 3 P 3 1 1 A 4 2
)اداری
X Y X 1 2 1 1 Y 2
)شخصی
X Y X 1 1 3 Y 3 1
X Y X 1 4 1 1 Y 4
در این مثال نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را محاسبه می نماییم :
هدف A
Y
L
P
X
Y
X
Y
X
:با به کارگیری روش میانگین حسابی وزن های محلی عبارتنداز 1 1 / 3 1 / 4 D1 = 3 1 2 normalize → 4 1 / 2 1
1 / 8 6 / 33 1 / 13 3 / 8 6 / 11 8 / 13 normalize → W1 = 4 / 8 6 / 22 4 / 13
WA = 0.360 , W p = 0.512 , WL = 0.128
0.128 0.512 0.360
: یعنی داریم
1 4 normalize 4 / 5 D2 = → W = ⇒ WLX = 4 / 5 , WLY = 1 / 5 2 1 / 4 1 1 / 5 1 3 normalize 1 / 4 D3 = → W3 = ⇒ WPX = 1 / 4 , WPY = 3 / 4 1 / 3 1 3 / 4 1 2 normalize 2 / 3 D2 = → W2 = ⇒ W AX = 2 / 3 , W AY = 1 / 3 1 / 2 1 1 / 3
وزن های نهایی هر کدام از این گزینه ها برابر است با : W X = ( 4 / 5 × 0.128) + (1 / 4 × 0.512 ) + ( 2 / 3 × 0.360) = 0.4704 WY = (1 / 5 × 0.128) + ( 3 / 4 × 0.512) + (1 / 3 × 0.360 ) = 0.5296
ماتریس برای D1
داریم : D1 × W1 = λ max . W1 1 1 / 3 1 / 4 0.128 0.389 D1 × W1 = 3 1 2 × 0.512 = 1.616 4 1 / 2 1 0.360 1.128
λmax
λ max
0.389 3.039 ⇒ λ 3.156 . W1 = 1 . 616 = max 1.128 3.133
λ max 1 + λ max 2 + λ max 3 = = 3.019 3
λ max − n 3.019 − 3 I .I = = = 0.054 n −1 3 −1
می
I .I .R.3×3 = 0.58
D2 , Dهای به همین ترتیب برای 3 , Dماتریس 4
I .I . 2 = I .I . 3 = I .I . 4 = 0 I .I .R.2 = I .I .R.3 = I .I .R.4 = 0
توان نوشت:
0 = 0.054 0.360] × 0 0 0 = 0.580 0.360] × 0 0
0.512
0.512
I .I . = (1×0.054 ) + [0.128
I .I .R. = (1×0.580 ) + [0.128
I .I . 0.054 = ⇒ I .R. = = 0.093 I .I .R. 0.580
در این سلسله مراتبی میزان ناسازگاری کمتر از 0.1بوده و قابل قبول است و نیازی به تجدید نظر در قضاوت ها .نیست
THE END