Nas2-ahp

  • October 2019
  • PDF

This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA


Overview

Download & View Nas2-ahp as PDF for free.

More details

  • Words: 4,942
  • Pages: 81
‫‪AHP‬‬ ‫فرایند تحلیل سلسله‬ ‫مراتبی‬

‫پیشگفتار‬ ‫یکی از کارآمد ترین تکنیک های تصمیم گیری‬ ‫فرایند تحلیل سلسله مراتبی ( ‪Analytical Hierarchy‬‬ ‫‪ )process-AHP‬که اولین بار توسط توماس ال‬ ‫ساعتی در ‪ 1980‬مطرح شد ‪ .‬که بر اساس‬ ‫مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان‬ ‫بررسی سناریوهای مختلف را به مدیران می‬ ‫دهد ‪.‬‬

‫انواع حالت های تصمیم گیری‬ ‫تصمیم گیری‬ ‫فضای گسسته‬ ‫چند معیاره‬

‫فضای پیوسته‬

‫تک معیاره‬

‫تک معیاره‬

‫چند معیاره‬

‫معیار کمی‬

‫معیار کمی‬

‫معیار کمی‬

‫معیار کمی‬

‫معیار کیفی‬

‫معیار کیفی‬

‫معیار کیفی‬

‫معیار کیفی‬

‫معیار کمی‪-‬کیفی‬

‫معیار کمی‪-‬کیفی‬

‫اصول فرایند تحلیل سلسله‬ ‫مراتبی‬ ‫اصل ‪ .1‬شرط معکوسی (‪)Reciprocal Condition‬‬

‫اصل ‪ .2‬همگنی‬ ‫اصل ‪ .3‬وابستگی‬ ‫اصل ‪ .4‬انتظارات‬

‫(‪)Homogeneity‬‬ ‫(‪)Dependency‬‬ ‫(‪)Expectation‬‬

‫شرط معکوسی‬ ‫اگرترجیح عنصر ‪ A‬بر عنصر ‪ B‬برابر ‪ n‬باشد‬ ‫ترجیح عنصر ‪ B‬بر عنصر ‪ A‬برابر ‪n/1‬خواهد بود ‪.‬‬

‫همگنی‬ ‫عنصر ‪ A‬با عنصر ‪ B‬باید همگن و قابل قیاس‬ ‫باشند ‪ .‬به بیان دیگر برتری عنصر ‪ A‬بر عنصر ‪B‬‬ ‫نمی تواند بی نهایت یا صفر باشد‪.‬‬

‫وابستگی‬ ‫هر عنصر سلسله مراتبی به عنصر سطح بالتر‬ ‫خود می تواند وابسته باشد وبه صورت خطی‬ ‫این وابستگی تا بالترین سطح می تواند ادامه‬ ‫داشته باشد‪.‬‬

‫انتظارات‬ ‫هر گاه تغییر در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد‬ ‫پروسه ارزیابی باید مجددا انجام گیرد‪.‬‬

‫فرایند تحلیل سلسله مراتبی در یک نگاه‬ ‫► ساخت سلسله مراتبی‬ ‫► مقایسه های زوجی‬ ‫► ترکیب وزنها‬ ‫► تحلیل حساسیت‬ ‫► روش رتبه بندی‬

‫مثال‬ ‫تصور کنید که از بین سه اتومبیل ‪ A,B,C‬یکی را‬ ‫انتخاب کنیم چهار معیار‪:‬راحتی ‪ ،‬قیمت ‪ ،‬مصرف‬ ‫سوخت‪ ،‬مدل مطرح می باشد ‪.‬حل این مثال را‬ ‫طی قدمهای زیر تشریح می کنیم‪:‬‬ ‫ساختن سلسله مراتبی‬ ‫محاسبه وزن‬ ‫سازگاری سیستم‬

‫ساختن سلسله مراتبی‬

‫انتخاب بهترین اتومبیل‬

‫انتخاب بهترین اتومبیل‬

‫انتخاب بهترین اتومبیل‬

‫انتخاب بهترین اتومبیل‬

‫انتخاب بهترین اتومبیل‬

‫انتخاب بهترین اتومبیل‬

‫انتخاب بهترین اتومبیل‬

‫انتخاب بهترین اتومبیل‬

‫محاسبه وزن‬ ‫)ترجیحات (قضاوت شفاهی‬ ‫کامل مرجح یا کامل مهم تر یا‬ ‫کامل مطلوب تر‬

‫‪Extremely preferred‬‬

‫مقدار‬ ‫عددی‬ ‫‪9‬‬

‫ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت‬ ‫خیلی قوی‬

‫‪Very strongly‬‬ ‫‪preferred‬‬

‫‪7‬‬

‫ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت‬ ‫قوی‬

‫‪Strongly preferred‬‬

‫‪5‬‬

‫‪Moderately preferred‬‬

‫‪3‬‬

‫‪Equally preferred‬‬

‫‪1‬‬

‫کمی مرجح یا کمی مهم تر یا‬ ‫کمی مطلوب تر‬ ‫ترجیح یا اهمیت یا مطلوبیت‬ ‫یکسان‬ ‫ترجیحات بین فواصل قوی‬

‫‪8،6،4،‬‬ ‫‪2‬‬

‫محاسبه وزن نسبی اتومبیل ها از نظر‬ ‫راحتی‬ ‫اتومبیل ‪ C‬اتومبیل‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫اتومبیل‬

‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/6‬‬

‫‪1/8‬‬

‫اتومبیل‪A‬‬ ‫اتومبیل‬

‫‪B‬‬

‫اتومبیل‪C‬‬

‫قدم اول‪ :‬مقادیر هر یک از ستون ها را با‬ ‫‪.‬هم جمع می کنیم‬ ‫اتومبیل ‪C‬‬

‫‪B‬‬ ‫اتومبیل‬ ‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪A‬‬ ‫اتومبیل‬ ‫‪1‬‬

‫اتومبیل‪A‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/6‬‬

‫‪1/8‬‬

‫‪B‬‬ ‫اتومبیل‬ ‫اتومبیل‪C‬‬

‫‪15‬‬

‫‪19/6‬‬

‫‪13/8‬‬

‫جمع هر‬ ‫ستون‬

‫قدم دوم‪ :‬تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع‬ ‫کل ستون همان عنصر‬ ‫)( نرمالیزکردن‬ ‫اتومبیل ‪ C‬اتومبیل‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫اتومبیل‬

‫‪8/15‬‬

‫‪12/19‬‬

‫‪8/13‬‬

‫اتومبیل‪A‬‬

‫‪6/15‬‬

‫‪6/19‬‬

‫‪4/13‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1/15‬‬

‫‪1/19‬‬

‫‪1/13‬‬

‫اتومبیل‬

‫اتومبیل‪C‬‬

‫قدم سوم ‪ :‬محاسبه متوسط عناصر‬ ‫در هر سطر‬ ‫متوسط‬ ‫سطر‬

‫‪C‬‬ ‫اتومبیل‬

‫‪B‬‬ ‫اتومبیل‬

‫اتومبی‪A‬‬ ‫ل‬

‫‪0.593‬‬

‫‪0.533‬‬

‫‪0.631‬‬

‫‪0.615‬‬

‫‪0.341‬‬

‫‪0.400‬‬

‫‪0.316‬‬

‫‪0.308‬‬

‫‪0.066‬‬

‫‪0.067‬‬

‫‪0.053‬‬

‫‪0.077‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫اتومبی‪A‬‬ ‫ل‬ ‫‪B‬‬ ‫اتومبیل‬ ‫اتومبی‪C‬‬ ‫ل‬ ‫جمع کل‬

‫ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل‬ ‫نسبت به‬ ‫قیم‬ ‫ت‬

‫اتومبیل ‪ C‬اتومبیل‬

‫‪ B‬اتومبیل ‪A‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫اتومبیل‪A‬‬ ‫اتومبیل‬

‫‪B‬‬

‫اتومبیل ‪C‬‬

‫ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل‬ ‫نسبت به‬ ‫مصر‬ ‫ف‬

‫اتومبیل ‪ C‬اتومبیل‬

‫‪ B‬اتومبیل ‪A‬‬

‫‪1/6‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫اتومبیل‪A‬‬ ‫اتومبیل‬

‫‪B‬‬

‫اتومبیل ‪C‬‬

‫ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل‬ ‫مدل‬ ‫نسبت به‬ ‫اتومبیل ‪ C‬اتومبیل‬

‫‪ B‬اتومبیل ‪A‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/7‬‬

‫‪1/4‬‬

‫اتومبیل ‪A‬‬ ‫اتومبیل ‪B‬‬ ‫اتومبیل ‪C‬‬

‫وزن اتومبیل ها برای معیار های‬ ‫م‬ ‫ق‬ ‫و‬ ‫یم صر‬ ‫ت ف‬ ‫مدل‬

‫مصرف‬

‫قیمت‬

‫‪0.265‬‬

‫‪0.087‬‬

‫‪0.123‬‬

‫‪0.655‬‬

‫‪0.274‬‬

‫‪0.320‬‬

‫‪0.080‬‬

‫‪0.639‬‬

‫‪0.557‬‬

‫‪،‬‬ ‫مد‬ ‫ل‬

‫اتومبیل ‪A‬‬ ‫اتومبیل ‪B‬‬ ‫اتومبیل ‪C‬‬

‫ماتریس مقایسه زوجی معیارها‬ ‫مدل‬

‫راحتی‬

‫مصرف‬

‫قیمت‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫قیمت‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/3‬‬

‫مصرف‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1/2‬‬

‫راحتی‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1/2‬‬

‫مدل‬

‫وزن هر یک از معیارها‬ ‫قیمت‬ ‫راحتی‬ ‫مدل‬

‫‪0.398‬‬

‫مصرف‬

‫‪0.085‬‬ ‫‪0.218‬‬ ‫‪0.299‬‬

‫وزن اتومبیل ها نسبت به معیارها‬ ‫مدل‬

‫راحتی‬

‫مصرف‬

‫قیمت‬

‫‪0.265‬‬

‫‪0.593‬‬

‫‪0.087‬‬

‫‪0.123‬‬

‫‪0.655‬‬

‫‪0.341‬‬

‫‪0.274‬‬

‫‪0.320‬‬

‫‪0.080‬‬

‫‪0.066‬‬

‫‪0.639‬‬

‫‪0.557‬‬

‫‪A‬‬ ‫اتومبیل‬ ‫‪B‬‬ ‫اتومبیل‬ ‫‪C‬‬ ‫اتومبیل‬

‫محاسبه وزن نهائی اتومبیل‬ ‫وزن نهائی اتومبیل ‪A‬‬ ‫‪0.265=0.265*0.593+0.299*0.087+0.218*0.123+0.085*0.398‬‬

‫وزن نهائی اتومبیل ‪B‬‬ ‫‪0.421=0.655*0.341+0.299*0.274+0.218*0.320+0.085*0.398‬‬

‫وزن نهائی اتومبیل ‪C‬‬ ‫‪0.314=0.080*0.066+0.299*0.639+0.218*0.557+0.085*0.398‬‬

‫اولویت نهائی اتومبیل ها‬ ‫اولویت‬

‫اتومبیل‬

‫وزن‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪0.431‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪0.314‬‬

‫‪3‬‬

‫‪A‬‬

‫‪0.265‬‬

‫ساختن سلسله مراتبی‬ ‫سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مساله‬ ‫در راس آن‬ ‫پیچیده واقعی می باشد که‬ ‫هدف کلی مساله و در سطوح بعدی معیار ها و‬ ‫دارند ‪ ،‬هر چند یک قاعده ثابت‬ ‫گزینه ها قرار‬ ‫و قطعی برای رسم سلسله مراتبی وجود ندارد‬ ‫‪ .‬سلسله مراتبی ممکن است به یکی از صورت‬ ‫های زیر باشد ‪:‬‬ ‫هدف _ معیارها _ زیر معیار ها _‬ ‫گزینه ها‬

‫یک نمونه کلی از ساختمان سلسله‬ ‫مراتبی‬ ‫)تصمیم کلی مساله (هدف‬

‫معیار ‪n‬‬

‫‪...‬‬

‫معیار‪2‬‬

‫معیار‪1‬‬

‫زیر معیار‪n‬‬

‫‪...‬‬

‫زیر معیار‪2‬‬

‫زیر معیار ‪1‬‬

‫گزینه ‪n‬‬

‫‪...‬‬

‫گزینه ‪2‬‬

‫گزینه ‪1‬‬

‫سلسله مراتبی انتخاب یک مدرسه‬ ‫استاندارد کلی دانش ‪:V‬نظم ‪:K‬آمادگی برای دانشگاه ‪: L‬آموزشهای جانبی‬ ‫‪S:‬کیفیت آموزشی ‪ :F‬آموزان‬ ‫انتخاب بهترین مدرسه‬

‫اجتماعی‬

‫آموزشی‬

‫فرهنگی‬

‫‪L‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪K‬‬

‫‪V‬‬

‫‪F‬‬

‫‪S‬‬

‫محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله‬ ‫مراتبی‬ ‫محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در‬ ‫دو قسمت جداگانه زیر مورد بحث قرار می‬ ‫گیرد‪:‬‬ ‫‪ ‬وزن نسبی ( ‪( local priority‬‬ ‫‪ ‬وزن نهایی ( ‪)overall priority‬‬

‫روشهای محاسبه وزن نسبی‬

‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪.5‬‬

‫روش حداقل مربعات‬ ‫روش حداقل مربعات لگاریتمی‬ ‫روش بردار ویژه‬ ‫روشهای تقریبی‬

) least squares method ( ‫روش حداقل‬ ‫مربعات‬ Wi = a ijW j

‫ها‬

aij =

Wi

( aij ≠ Wi

Wi ≠ aijW j

‫(حداقل برای یک‬

n

i =1 j =1

St: n

∑W i =1

i

=1

‫یا‬i ‫ و‬j‫در حالت ناسازگاری‬

Wj

MINZ = ∑ ∑ ( a ij W j - Wi n

‫(یا‬i ‫ و‬j ‫در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه‬

Wj

)

2

‫برای حل مساله فوق ‪ ،‬معادله لگرانژی آن به صورت‬ ‫‪.‬زیر در نظرگرفته می شود‬

‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L = ∑ ∑ ( a ij Wj - Wi ) + 2λ  ∑ Wi − 1 ‬‬ ‫‪i =1 j =1‬‬ ‫‪ i =1‬‬ ‫‪‬‬ ‫اگر از ‪: wl‬مشتق بگیریم خواهیم داشت‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫معادله فوق نسبت به‬ ‫‪∑ ( ail Wl − Wi ) ail − ∑ ( alj W j − Wl ) + λ = 0 l = 1,2,..., n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪j =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪:n=2‬باشد ‪ ،‬داریم‬ ‫اگر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a11 − 2a11 + a21 + 2 .W1 − ( a12 + a21 ) .W2 + λ = 0‬‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫‪− ( a21 + a12 ) .W1 + a12 − 2a12 + a22 + 2 .W2 + λ = 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪W1 + W2 = 1‬‬

‫مثال‬ ‫ماتریس مقایسه زوجی زیر را در نظر‬ ‫‪:‬بگیرید‬

‫‪1 1 / 3 1 / 2 ‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 1 / 3 1 ‬‬

‫نشان می دهیم ماتریس مقایسه ‪ ،‬ناسازگار‬ ‫است ‪)1 .‬‬ ‫وزن هر معیار را با روش حداقل مربعات )‪2‬‬ ‫‪.‬به دست می آوریم‬

‫=‪A‬‬

‫برای یکی از ‪ i,j,k‬ها برقرار نباشد‬ ‫رابطه‪aik . akj‬‬ ‫اگر ‪= aij‬‬ ‫ماتریس ناسازگار خواهد بود‪.‬‬

‫‪a12 = 1 / 3 , a23 = 3 ⇒ a13 ≠ a12 × a23 = 1 / 3 × 3 = 1‬‬ ‫‪15W1 −10 / 3W2 −5 / 2W3 +λ = 0‬‬ ‫‪−10 / 3W1 +20 / 9W2 −10 / 3W3 +λ = 0‬‬ ‫‪−5 / 2W1 −10 / 3W2 +45 / 4W3 +λ = 0‬‬ ‫‪W1 +W2 +W3 =1‬‬

‫از حل دستگاه فوق خواهیم‬ ‫‪:‬داشت‬

‫‪W1 = 0.1735‬‬ ‫‪W2 = 0.6059‬‬ ‫‪W3 = 0.2206‬‬

‫روش حداقل مربعات لگاریتمی‬ ‫(‪)logarithmic least squares method‬‬ ‫در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه ‪ j‬و ‪(i‬یا‬

‫در حالت ناسازگاری (حداقل برای‪ j‬و ‪i‬یا‬

‫‪=1‬‬ ‫‪≠1‬‬

‫میانگین هندسی این اختلفات برابر‬ ‫‪:‬است با‬

‫‪Wj‬‬ ‫‪Wj‬‬

‫‪Wj‬‬ ‫‪Wj‬‬

‫‪aij‬‬ ‫‪aij‬‬

‫ها‬

‫(‬

‫‪1‬‬

‫‪Wj‬‬

‫‪Wj‬‬

‫‪W‬‬ ‫‪aij = i‬‬

‫‪W‬‬ ‫‪≠ i‬‬

‫‪aij‬‬

‫یک‬

‫‪1‬‬ ‫‪W j n2‬‬ ‫‪ n n‬‬ ‫‪∏∏a ij‬‬ ‫‪ = Z n2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪i‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪j‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

∑∑ ( Lna n

n

i =1 j =1

1 n2

ij

− Ln(Wi / W j )

∑∑ ( Lna n

n

i =1 j =1

ij

)

= 0

− Ln(Wi / W j )

)

‫در حالت سازگاری‬

1 = 2 LnZ n

‫در حالت‬ ‫ناسازگاری‬

(Eigenvector Method ‫ویژه‬

‫روش بردار‬

)

a11 W1 + a12 W2 +  + a1n Wn = λ . W1 a21 W1 + a22 W2 +  + a2 n Wn = λ . W2  an1 W1 + an 2 W2 +  + ann Wn = λ . Wn

λ ‫وزن‬ ‫عنصر ام و‬ i ‫یک عدد ثابت است‬.

aij Wi ‫ ام‬j‫ام بر‬i ‫ترجیح عنصر‬ ‫است و‬

‫‪:i‬ام طبق تعریف قبل برابر است با‬ ‫وزن عنصر‬

‫‪i = 1,2,  , n‬‬

‫‪1 n‬‬ ‫‪Wi = ∑ aij W j‬‬ ‫‪λ i =1‬‬

‫دستگاه معادلت فوق را به صورت زیر‬ ‫می توان نوشت‪:‬‬

‫‪A ×W = λ . W‬‬ ‫یعنی‪A‬‬ ‫زوجی{‪= [a‬‬ ‫که‪ A‬همان ماتریس مقایسه‬ ‫] ‪ij‬‬ ‫وزن و‬

‫یک اسکالر است‪.‬‬

‫‪W‬‬

‫‪λ‬‬

‫}و‬

‫برد‬

‫مثال‬ ‫برای ماتریس زیر‪ ،‬بردار و مقدار ویژه را محاسبه‬ ‫می کنیم‪.‬‬ ‫‪ 2 4‬‬ ‫‪ 3 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪2 4 W1  2W1 + 4W2  λ .W1  2W1 + 4W2 − λ .W1 = 0‬‬ ‫‪3 3 W  =  3W + 3W  = λW  ⇒ 3W + 3W − λ .W = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2   1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2  1‬‬ ‫برای حل این دستگاه می‬ ‫توان نوشت‪:‬‬

‫‪)2 − λ ( W1 + 4 W2 = 0 ‬‬ ‫‪3 )2 − λ ( W1 + 12 W2 = 0‬‬ ‫‪⇒‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− )2 − λ (  3 W1 + )3 − λ ( W2 = 0 − 3 )2 − λ ( W1 − )2 − λ ()3 − λ ( W2 = 0‬‬ ‫‪3‬‬

‫که خواهیم داشت‪:‬‬

‫‪12 W2 − )2 − λ ()3 − λ ( W2 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪12‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫)(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫(‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪− 5λ − 6 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪W2 ≠ 0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪λ = +6 , − 1‬‬

‫⇒‬

‫در دستگاه فوق ‪1‬و =با‪W1 +W2‬‬ ‫با قرار دادن ‪λ‬‬ ‫استفاده از رابطه‬ ‫مقادیر‬ ‫‪ ،‬بردارهای ویژه به شکل زیر خواهند بود‪.‬‬ ‫‪λ = 6 ⇒ −4 W1 + 4 W2 = 0 ⇒ W1 = W2 = 0.5‬‬

‫‪λ = −1 ⇒ 3W1 + 4 W2 = 0 ⇒ W1 = 4 , W2 = −3‬‬ ‫رابطه بین بردار ویژه و مقدار ویژه به‬ ‫صورت زیر است‪:‬‬ ‫‪2 4  4 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 3 × − 3 = ) −1( − 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪2 4 0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪3 3 × 0.5 = 60.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫در روش بردار ویژه برای محاسبه وزنها ‪ ،‬طبق‬ ‫مراحل زیر عمل می کنیم‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬

‫ماتریس ‪ A‬را تشکیل می دهیم‪.‬‬ ‫ماتریس‪) A − λ.‬‬ ‫(‪I‬‬ ‫را مشخص کنید‪.‬‬ ‫ماتریس‪) A‬‬ ‫( ‪− λ.I‬‬ ‫را محاسبه کرده و آن را‬ ‫دترمینان‬ ‫‪λ‬‬ ‫را محاسبه کنید‪.‬‬ ‫مساوی صفر قرار داده و مقادیر‬ ‫رابطه‪) A‬‬ ‫در‪− λ max I‬‬ ‫‪( ×W‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫نامیده و ‪0‬آن= را‬ ‫بزرگترین ‪λmax‬را‬ ‫استفاده ‪Wi‬‬ ‫داده( ‪I‬و‪max‬با‪) A − λ‬‬ ‫قرار= ‪× W‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ازرابطه‬ ‫ها را محاسبه نمایید‪.‬‬ ‫مقادیر‬

‫مثال‬ ‫اگر ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر باشد‬ ‫ویژه‬ ‫وزن معیارها را با استفاده از روش بردار‬ ‫‪ 1 1‬‬ ‫‪1 3 2 ‬‬ ‫بدست می آوریم ‪.‬‬ ‫‪:‬حل‬

‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪A = 3 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1− λ 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪det) A − λI ( = 3 1 − λ‬‬ ‫‪3 = )1 − λ ( − 3)1 − λ ( + = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1− λ‬‬ ‫‪3‬‬

‫قبل‪λ max ،‬‬ ‫‪= 3.0536‬‬ ‫بعد از حل معادله‬ ‫گردد‪.‬‬ ‫می‬ ‫معادله ماتریسی ‪Wi‬‬ ‫‪) A − λ max‬‬ ‫‪I ( ×W‬‬ ‫‪=0‬‬

‫می‬ ‫را محاسبه ‪ W1 ‬‬ ‫‪W  = 0‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪W3 ‬‬

‫محاسبه‬

‫را تشکیل داده و‬

‫‪1‬‬ ‫کنیم‪1 .‬‬ ‫‪ − 2.0536‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− 2.0536‬‬ ‫× ‪3 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− 2.0536‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ها‬

‫‪W1 + W2 + W3 = 1‬‬

‫دستگاه‬ ‫را ‪,‬به‬ ‫فوق= ‪W T‬‬ ‫‪)0.1571‬‬ ‫‪, 0.5936‬‬ ‫(‪0.2493‬‬

‫معادله‬ ‫اضافه می کنیم‪ .‬نتیجه زیر حاصل می شود‪.‬‬

‫قضیه‪:‬‬ ‫برای یک ماتریس مثبت و معکوس ‪ ،‬همچون ماتریس‬ ‫مقایسه زوجی ‪ ،‬بردار ویژه را می توان از رابطه زیر‬ ‫‪Ak . e‬‬ ‫بدست آورد‪.‬‬ ‫‪W = lim‬‬ ‫‪eT . A k . e‬‬

‫(‪eT = )1,1,  ,1‬‬

‫که در آن‬

‫می باشد‪.‬‬

‫∞→ ‪k‬‬

k =1 ‫ بطور مثال برای‬.‫را محاسبه می کنیم‬ a11 a A k . e =  21   an1

a12 a22

 

 an 2

 

 n  a ∑ 1 j  a1n  1   jn=1  1  a  a2 n   ×   = ∑ 2 j  j =1         n  ann  1 ∑a  nj   j = 1  

:‫را محاسبه می نماییم‬

A k .e‫ابتدا‬ :‫داریم‬

e T . A k .e ‫حال حاصل عبارت‬ 

 n  ∑a1 j   jn=1  n n  a  T k T k ∑ 2 j  = ∑∑a ij e . A .e = e .) A .e( = [1 1  1] ×  j =1   i =1 j =1   n   ∑a   j =1 nj 

‫مثال‬ ‫اگر ماتریس مقایسه زوجی برای چهار عنصربه‬ ‫صورت زیر باشد‪:‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪A= ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬

‫محاسبه ون عناصر با استفاده از قضیه قبل به‬ ‫صورت زیر است‪:‬‬

:‫حل‬ 1 A .e 1 W = T 1 e . A .e

:‫در تکرار اول داریم‬

1.694  0.05837   15  0.51675 1   normalize     → W = A ‫حاصل از جمع سطری ماتریس‬ ‫بردار‬ = 4.833 0.16651      7.50  0.25837 

‫در تکرار دوم داریم‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪.e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪W = T 2‬‬ ‫‪e . A .e‬‬

‫‪1. 5‬‬ ‫‪0.8889 ‬‬ ‫‪ 4 0.4583‬‬ ‫‪ 35‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A2 = ‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪1.25‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2.4167 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪18.5 2.1111 6.8333‬‬

‫بنابر این خواهیم داشت‪:‬‬ ‫)‪W 2 = ( 0.05867 0.51196 0.15994 0.26943‬‬

‫مقدار نهایی ‪ W‬در تکرارسوم و چهارم و پنجم به‬ ‫صورت زیر است‪:‬‬ ‫)‪W 3 = ( 0.05882 0.51259 0.15958 0.26943‬‬ ‫) ‪W 4 = ( 0.05882 0.51261 0.15971 0.26886‬‬ ‫)‪W 5 = ( 0.05882 0.51261 0.15971 0.26886‬‬

‫روشهای تقریبی (‪)Approximation Method‬‬

‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬

‫مجموع سطری‬ ‫مجموع ستونی‬ ‫میانگین حسابی‬ ‫میانگین هندسی‬

‫مثال‬ ‫ماتریس مقایسه زوجی زیر در دست است‪ .‬با‬ ‫چهار روش ذکر شده بردار وزن را محاسبه می‬ ‫کنیم‪.‬‬ ‫‪A1 A2 A3 A4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪A1  1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪A2 1 / 5 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A3 1 / 6 1 / 4 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A4 1 / 7 1 / 6 1 / 4‬‬

‫‪:‬مجموع سطری‬ ‫‪ 0.51‬‬ ‫‪0.30‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.04‬‬

‫بردار‬ ‫نرمالیزه‬

‫‪ 19 ‬‬ ‫‪11.20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 5.42 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1.56 ‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6 7‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1 / 5 1‬‬ ‫مجموع عناصر هر ‪‬‬ ‫سطر‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 / 6 1 / 4 1 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 / 7 1 / 6 1 / 4 1‬‬

‫‪:‬مجموع ستونی‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6 7‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1 / 5 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ستون‬ ‫مجموع عناصر هر‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(1.51 6.43 11.25 18‬‬ ‫‪1 / 6 1 / 4 1 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 / 7 1 / 6 1 / 4 1‬‬ ‫) ‪0.16 0.09 0.06‬‬

‫‪( 0.68‬‬

‫بردار‬ ‫نرمالیزه‬

‫)‪0.16 0.09 0.06‬‬

‫‪( 0.66‬‬

‫بردار‬ ‫معکوس‬

‫میانگین حسابی‪:‬‬ ‫‪0.39‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.33‬‬ ‫‪0.22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.06‬‬

‫‪0.53‬‬ ‫‪0.36‬‬ ‫‪0.09‬‬ ‫‪0.02‬‬

‫‪0.78‬‬ ‫‪0.16‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪0.03‬‬

‫‪ 0.66‬‬ ‫‪ 0.13‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.09‬‬

‫نرمالیزه ی‬ ‫ستونها‬

‫‪ 0.590 ‬‬ ‫‪ 0.245 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.115 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.050 ‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1 / 5 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 / 6 1 / 4 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 / 7 1 / 6 1 / 4‬‬

‫میانگین‬ ‫سطری‬

‫‪:‬میانگین هندسی‬ ‫‪ 4 1 × 5 × 6 × 7 = 3.807 ‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 / 5 × 1 × 4 × 6 = 1.480 ‬‬ ‫‪ 4 1 / 6 × 1 / 4 × 1 × 4 = 0.639 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 / 7 × 1 / 6 × 1 / 4 × 1 = 0.278‬‬

‫میانگین‬ ‫هندسی‬

‫‪ 0.61‬‬ ‫‪0.24‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪04‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1 / 5 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 / 6 1 / 4 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 / 7 1 / 6 1 / 4‬‬

‫نرمالیزه ی‬ ‫ستونها‬

‫محاسبه وزن نهایی‬ ‫وزن نهایی هر گزینه در یک فرایند سلسله مراتبی‬ ‫از مجموع حاصلضرب اهمیت معیارها در وزن‬ ‫گزینه ها بدست می آید‪.‬‬

‫مثال‬

‫مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به‬ ‫اسامی ‪X‬و‪ Y‬یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی‬ ‫انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از‪ :‬قابلیت‬ ‫رهبری و هدایت(‪ )L‬تواناییهای شخصی(‪ )P‬وتواناییهای‬ ‫اداری(‪ )A‬ماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد‬ ‫‪.‬‬ ‫اند‬ ‫آمده‬ ‫بدست‬ ‫( قابلیت رهبری‪)L‬‬ ‫تواناییهای ‪(P‬‬ ‫تواناییهای ‪(A‬‬ ‫معیارها‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪L P‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P 3 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫)اداری‬

‫‪X Y‬‬ ‫‪X  1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫)شخصی‬

‫‪X Y‬‬ ‫‪X 1 1 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪Y 3 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪X Y‬‬ ‫‪X  1 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫ابتدا سلسله مراتب مربوطه را رسم می کنیم‪.‬‬

‫هدف‬ ‫‪A‬‬

‫‪L‬‬

‫‪P‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

‫محاسبه وزن‬  1 D1 = 3  4 

1 3 1 1 2

1 1 8 4  normalize  3 2    →  8 1 4   8

6 1 33 13  0.128  6 8  rowmeans  →W1 = 0.512 11 13  0.360 6 4 22 13 

:‫یعنی داریم‬ W A = 0.360, WP = 0.512 , WL = 0.128

1 D2 =  1  4

4 4 5 4 1 normalize    → W 2 =   ⇒ WLX = , WLY = 1 1 5 5    5

1  1 4 1 3 1 normalize   D3 = → W 3 =   ⇒ WPX = ,WPY = 3   3 4 4 3 1      4 1 D4 =  1  2

2 2 3 2 1 normalize    → W 4 =   ⇒ W AX = , W AY = 1 1 3 3    3

‫محاسبه وزن نهایی‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪W X = ) × 0.128( + ) × 0.512( + ) × 0.360( = 0.4704‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪WY = ) × 0.128( + ) × 0.512( + ) × 0.360( = 0.5296‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫توجه داشته‬ ‫باشید =که‪W X + WY‬‬ ‫‪1‬‬ ‫شخص ‪ Y‬انتخاب می گردد‪.‬‬

‫بنابر این گزینه یا‬

‫‪:‬محاسبه نرخ ناسازگاری‬ ‫► ماتریس سازگار و خصوصیات آن‬ ‫► ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن‬ ‫► الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس‬ ‫► الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله‬ ‫مراتبی‬

‫ماتریس سازگار و خصوصیات آن‬ ‫اگر ‪ n‬معیار به شرح ‪ C1 , C 2 , , C n‬داشته باشیم و ماتریس مقایسه‬ ‫زوجی آنها به صورت زیر باشد ‪:‬‬

‫‪i , j = 1,2,  , n‬‬

‫آن‪a‬‬ ‫که در ‪ij‬‬

‫ترجیح ‪ci‬‬ ‫عنصر‬

‫چنانچه در‬ ‫این ماتریس داشته باشیم ‪:‬‬

‫‪c j‬را‬

‫‪i , j , k = 1,2,  , n‬‬

‫] [‬

‫‪A = aij‬‬

‫بر نشان می دهد ‪.‬‬

‫‪aik × a kj = aij‬‬

‫آنگاه می گوییم ماتریس ‪ A‬سازگار است ‪.‬‬

A A 1 p1 = B  1 / 2 C 1 / 6 A 6 C ‫= اهمیت نسبی عناصر‬B 3   ‫نسبت به‬ C 1  

A B ‫ = اهمیت نسبی عناصر‬B ‫نسبت به‬ C

 2   1    1 / 3

B 2

C 6 1 3  1 / 3 1   0.6 W =  0.3  0.1  0 .6  W = 0.3  0.1

‫مثال‬

‫طبق تعریف می توان گفت مقدارویژه این ماتریس( )ازرابطه زیر‬ ‫‪:‬به دست می آید‪λ‬‬

‫‪P1 × W = λ . W‬‬ ‫که حاصلضرب ‪ P1 × W‬برابر است با ‪:‬‬

‫‪2 6 0.6 1.8 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪P1 × W = 1 / 2 1 3 ×  0.3 = 0.9 = 3  0.3 = 3W‬‬ ‫‪1 / 6 1 / 3 1  0.1  0.3‬‬ ‫‪ 0.1‬‬ ‫بنابراین خواهیم داشت‪:‬‬

‫‪3. W‬‬

‫= ‪P1 × W‬‬

‫هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر‬ ‫‪:‬است‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬

‫مقدار وزن عناصر برابر مقدار نرمالیزه هر عنصر می باشد‪.‬‬ ‫مقدار ویژه برابر طول ماتریس است ( ‪. ) AW = nW‬‬ ‫مقدار ناسازگاری دراین ماتریس صفر است ‪.‬‬

‫ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن‬ ‫قضیه یک – اگر ‪ λ1 , λ2 , , λ n‬مقادیر ویژه ماتریس مقایسه‬ ‫زوجی ‪ A‬باشد مجموع مقادیر آنها برابر ‪ n‬است ‪:‬‬

‫‪=n‬‬

‫ویژه‪λ‬‬ ‫قضیه دو – بزرگترین مقدار ‪max‬‬ ‫مساوی ‪n‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫است (در این صورت برخی از‬

‫‪n‬‬

‫‪i‬‬

‫‪∑λ‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫همواره بزرگتر یا‬ ‫ها منفی خواهند بود ‪).‬‬

‫‪λmax ≥ n‬‬

‫قضیه سه – اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت‬ ‫سازگاری فاصله بگیرد ‪ ،‬مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی‬ ‫از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت ‪.‬‬

‫‪A ×W = λ . W‬‬

‫‪λ‬‬ ‫‪ W‬و‬ ‫به ترتیب بردار ویژه و مقدار ویژه‬ ‫که در آن‬ ‫ماتریس ‪ A‬می باشد ‪.‬یک مقدار ویژه برابر ‪ n‬بوده‬ ‫(بزرگترین مقدار ویژه ) و بقیه آنها برابر صفر هستند‬ ‫‪.‬بنابراین در این حالت می توان نوشت‬ ‫‪AW =: nW‬‬ ‫در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی ‪ A‬ناسازگار باشد‬ ‫‪λ max‬‬ ‫طبق قضیه ‪، 3‬‬

‫کمی از ‪ n‬فاصله می گیرد که می توان نو شت ‪:‬‬

‫‪A × W = λmax . W‬‬ ‫شاخص ناسازگاری‬

‫‪λmax − n‬‬ ‫‪λ max − n‬‬ ‫= ‪I .I‬‬ ‫‪n −1‬‬

‫الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک‬ ‫ماتریس‬ ‫‪ .1‬ماتریس مقایسه زوجی ‪ A‬را تشکیل دهید‪.‬‬

‫‪ .2‬بردار وزن ‪ W‬را مشخص نمایید ‪.‬‬

‫‪ .3‬آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس ‪λmax( A‬‬ ‫مشخص‬ ‫یعنی‬ ‫است ؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید ‪ .‬در غیر این‬ ‫صورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید ‪:‬‬ ‫‪ -1-3‬با ضرب بردار ‪ W‬در ماتریس ‪ A‬تخمین ‪λmax . W‬‬ ‫ازبه‬ ‫مناسبی‬ ‫دست آورید‬ ‫‪λmax . W‬‬ ‫بر‪W‬‬ ‫تقسیم مقادیر به دست آمده برای‬ ‫‪ -2-3‬با‪λmax‬‬ ‫را محاسبه نمایید ‪.‬‬ ‫تخمین هایی از‬ ‫مربوطه ‪λmax‬‬ ‫به دست آمده را پیدا کنید ‪λmax − n .‬‬ ‫‪ -3-3‬متوسط‬ ‫= ‪I .I‬‬ ‫می‪n −‬‬ ‫‪ . 4‬مقدار شاخص ناسازگاری را از رابطه زیر محاسبه ‪1‬‬ ‫کنیم‪:‬‬ ‫‪ .5‬نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید ‪:‬‬

‫‪I .I .‬‬ ‫= ‪I .R.‬‬ ‫‪I .I .R‬‬

‫مثال‬

‫برای ماتریس مقایسه زوجی زیر نرخ ناسازگاری را‬ ‫محاسبه کنید ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1/ 6‬‬

‫‪‬‬ ‫‪A =‬‬ ‫‪1 / 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 / 8‬‬

‫حل‬ ‫قدم ‪1‬و‪ :2‬با استفاده از روش میانگین حسابی داریم ‪:‬‬ ‫‪ 0.593‬‬ ‫‪W =  0.341‬‬ ‫‪ 0.066‬‬

‫قدم ‪ :3‬از آنجا که مقدار‪ λmax‬مشخص نمی باشد ‪ ،‬باید آن را طبق قدم های‬ ‫زیر تخمین بزنیم ‪.‬‬ ‫قدم ‪ -1-3‬تخمین ‪λmax . W‬‬

‫قدم ‪ -2-3‬محاسبه ‪ λmax‬ها‬

‫‪2 8 0.593‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1.803 ‬‬ ‫‪A . W = 1 / 2 1 6 ×  0.341 = 1.034 ‬‬ ‫‪1 / 8 1 / 6 1 0.066‬‬ ‫‪0.197‬‬

‫‪= 3.040‬‬

‫‪0.593‬‬

‫‪= 1.0803‬‬

‫‪λ max 1‬‬

‫‪λ max 2 = 1.034 0.341 = 3.032‬‬

‫قدم ‪-3-3‬محاسبه میانگین ‪ λmax‬ها‬

‫‪λ max 3 = 0.197 0.066 = 2.985‬‬

‫‪λ max 1 + λ max 2 + λ max 3‬‬ ‫=‬ ‫‪= 3.019‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪λ max‬‬

‫قدم ‪ :4‬محاسبه شاخص ناسازگاری‬

‫‪λ max − n 3.019 − 3‬‬ ‫= ‪I .I‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.010‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪3− 1‬‬ ‫قدم ‪ :5‬محاسبه نرخ ناسازگاری‬

‫‪I .I .‬‬ ‫= ‪I .R.‬‬ ‫‪= 0.017‬‬ ‫‪I .I .R 3×3‬‬ ‫نرخ ناسازگاری این ماتریس برابر ‪ 0.017‬است که کمتر‬ ‫از ‪ 0.1‬بوده بنابراین سازگاری آن مورد قبول می باشد ‪.‬‬

‫الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک‬ ‫سلسله مراتبی‬ ‫برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی‬ ‫شاخص ‪I .I .‬‬ ‫را در وزن عنصر‬ ‫ناسازگاری هر ماتریس‬ ‫‪I .I‬دست‬ ‫مربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها را ‪.‬به‬ ‫می آوریم ‪ .‬این حاصل جمع ‪.R.‬‬ ‫را‪ I .I‬می نامیم ‪ .‬همچنین‬ ‫وزن عناصر را در ‪ I .I .R‬ماتریس های مربوطه ضرب‬ ‫نامگذاری می کنیم ‪.‬‬ ‫کرده ‪I‬و‪I .‬مجموعشان را‬ ‫‪I .I .R‬‬ ‫حاصل تقسیم‬ ‫نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را می دهد‬ ‫‪.‬‬

‫مثال‬

‫مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به‬ ‫اسامی ‪X‬و‪ Y‬یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی‬ ‫انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از‪ :‬قابلیت‬ ‫رهبری و هدایت(‪ )L‬تواناییهای شخصی(‪ )P‬وتواناییهای‬ ‫اداری(‪ )A‬ماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد‬ ‫‪.‬‬ ‫اند‬ ‫آمده‬ ‫بدست‬ ‫( قابلیت رهبری‪)L‬‬ ‫تواناییهای ‪(P‬‬ ‫تواناییهای ‪(A‬‬ ‫معیارها‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪L P‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P 3 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫)اداری‬

‫‪X Y‬‬ ‫‪X  1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫)شخصی‬

‫‪X Y‬‬ ‫‪X 1 1 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪Y 3 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪X Y‬‬ ‫‪X  1 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬

‫در این مثال نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را محاسبه می نماییم ‪:‬‬

‫هدف‬ ‫‪A‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪L‬‬

‫‪P‬‬

‫‪X‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪X‬‬

:‫با به کارگیری روش میانگین حسابی وزن های محلی عبارتنداز‬  1 1 / 3 1 / 4 D1 =  3 1 2   normalize   →  4 1 / 2 1 

 1 / 8 6 / 33 1 / 13   3 / 8 6 / 11 8 / 13  normalize     → W1 =  4 / 8 6 / 22 4 / 13

WA = 0.360 , W p = 0.512 , WL = 0.128

 0.128  0.512    0.360

: ‫یعنی داریم‬

 1 4 normalize  4 / 5 D2 =      → W = ⇒ WLX = 4 / 5 , WLY = 1 / 5 2    1 / 4 1 1 / 5   1 3 normalize 1 / 4  D3 =    → W3 =  ⇒ WPX = 1 / 4 , WPY = 3 / 4   1 / 3 1 3 / 4   1 2 normalize  2 / 3 D2 =    → W2 =  ⇒ W AX = 2 / 3 , W AY = 1 / 3   1 / 2 1 1 / 3 

‫وزن های نهایی هر کدام از این گزینه ها برابر است با ‪:‬‬ ‫‪W X = ( 4 / 5 × 0.128) + (1 / 4 × 0.512 ) + ( 2 / 3 × 0.360) = 0.4704‬‬ ‫‪WY = (1 / 5 × 0.128) + ( 3 / 4 × 0.512) + (1 / 3 × 0.360 ) = 0.5296‬‬

‫ماتریس‬ ‫برای‬ ‫‪D1‬‬

‫داریم ‪:‬‬ ‫‪D1 × W1 = λ max . W1‬‬ ‫‪1 1 / 3 1 / 4 ‬‬ ‫‪0.128‬‬ ‫‪0.389‬‬ ‫‪D1 × W1 = 3 1‬‬ ‫‪2  × 0.512 = 1.616 ‬‬ ‫‪4 1 / 2 1 ‬‬ ‫‪0.360‬‬ ‫‪1.128 ‬‬

λmax

λ max

0.389 3.039 ⇒ λ 3.156 . W1 =  1 . 616 = max       1.128   3.133 

λ max 1 + λ max 2 + λ max 3 = = 3.019 3

λ max − n 3.019 − 3 I .I = = = 0.054 n −1 3 −1

‫می‬

I .I .R.3×3 = 0.58

D2 , D‫های‬ ‫به همین ترتیب برای‬ 3 , D‫ماتریس‬ 4

I .I . 2 = I .I . 3 = I .I . 4 = 0 I .I .R.2 = I .I .R.3 = I .I .R.4 = 0

‫توان نوشت‬:

‫‪0‬‬ ‫‪ = 0.054‬‬ ‫‪0.360] × ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ = 0.580‬‬ ‫‪0.360] × ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪0.512‬‬

‫‪0.512‬‬

‫‪I .I . = (1×0.054 ) + [0.128‬‬

‫‪I .I .R. = (1×0.580 ) + [0.128‬‬

‫‪I .I .‬‬ ‫‪0.054‬‬ ‫= ‪⇒ I .R.‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.093‬‬ ‫‪I .I .R. 0.580‬‬

‫در این سلسله مراتبی میزان ناسازگاری کمتر از ‪ 0.1‬بوده‬ ‫و قابل قبول است و نیازی به تجدید نظر در قضاوت ها‬ ‫‪.‬نیست‬

THE END