Nang Cao - Chuong 1

Hình học lớp 10 nâng cao Chương 1: Vectơ Bài 1. Bài 1. Bài 1. Bài 1.

Vectơ và các phép toán 1.Các khái niệm cơ bản 1.1Dẫn dắt đến khái niệm vectơ Vectơ đại diện cho những đại lượng có hướng và có độ lớn ví dụ: lực, vận tốc,… 1.2Định nghĩa vectơ và các yếu tố liên quan. Định nghĩa: Vectơ là đọan thẳng có hướng, tức là trong hai đầu mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối. Ký hiệu

hoặc

r r a, b

uuuu r uuu r MN , AB

.

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ – không. Ví dụ:

uuu r uuu r AA, BB

,…

Giá của vectơ

uuu r AB

Độ dài của vectơ

uuu r AB  AB

(khác vectơ không) là đường thẳng đi qua A, B.

uuu r AB

là độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu là

uuu r AB

. Ta có

. Độ dài vectơ không bằng 0.

1.3 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng và hai vectơ bằng nhau.

Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Quy ước: Vectơ – không cùng phương với mọi vectơ Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng. Quy ước: vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài. Mọi vectơ - không đều bằng nhau và đuợc ký hiệu là

1.4 Cho vectơ

cho

và điểm M. Khi đó ta có thể dựng được duy nhất điểm N sao

r a

uuuu r r MN  a

r 0

.

Nguyễn Tăng Vũ http://trungtamquangminh.tk

1

Hình học lớp 10 nâng cao Chương 1: Vectơ Chú ý: + Chứng minh hai điểm trùng nhau:

+ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:

uuuu r uuuur AM  AM   M  M 

cùng phương khi và chỉ khi A, B, C

uuu r uuur AB, AC

thẳng hàng.

2.Định nghĩa các phép toán trên vectơ 2.1Phép cộng hai vectơ Cho hai vectơ . Ta dựng vectơ

r r a, b

vectơ tổng của hai vectơ

r r a, b

. Ký hiệu

2.2Phép trừ hai vectơ Cho vectơ , khi đó tồn tại vectơ

r a

của vectơ

Cho hai vectơ

 

, vectơ

sao cho

r b

r r a, b

là

uuur AC

uuu r CA

, vì

Từ đó ta có

là

r a

. Vậy

r a

uuur uuu r uuu r r AC  CA  AA  0

. Vậy

uuur AC

uuur uuu r uuur AC  AB  BC

. Ta gọi

r b

là

.

là vectơ đối

r r r a  a  0

 

uuur uuu r AC  CA

. Ví dụ

.

. Khi đó vectơ

r r r r a  b  a  b

 

r a

và

r b

kí hiệu là

uuu r uuur uuu r uuu r uuu r AB  AC  AB  CA  CB r a

vectơ xác định như sau: cùng hướng với

r k .a

r a

r r a b

.

.

.

2.3Phép nhân vectơ với một số. Cho số thực k và vectơ ( ). Khi đó phép nhân vectơ

Và

. Khi đó vectơ

. Vậy ta có

r r r ab  0

được gọi là vectơ hiệu của hai vectơ

Như vậy ta có:

uuur r BC  b

uuur r r AC  a  b

. Ta ký hiệu vectơ đối của vectơ

r a

vectơ đối của vectơ

r r a  b

uuu r r AB  a

r 0

nếu k ≥ 0 và ngược hướng

r a

r a

với số thực k là một

khi k < 0.

r r k .a  k . a

Nguyễn Tăng Vũ http://trungtamquangminh.tk

2

Hình học lớp 10 nâng cao Chương 1: Vectơ Đặc biệt:

r r k .0  0 k

Chú ý:

r r  k 0 k .a  0   r  a0 Chú ý quan trọng: không có định nghĩa phép chia hai vectơ, do đó không có

r r r b b  k .a  k  r a

3.Các công thức cơ bản 3.1Quy tắc 3 điểm, n điểm. Cho 3 điểm A, B, C ta luôn có

uuu r uuur uuur AB  BC  AC

Cho n điểm A1, A2, …, An, khi đó ta có

(1.1)

uuuur uuuur uuuuuur uuuur A1 A2  A2 A3  ...  An 1 An  A1 An

(1.2)

Quy tắc hình bình hành. Cho hình bình hành ABCD. Khi đó ta có

uuu r uuur uuur AB  AD  AC

(1.3)

3.2Mối quan hệ giữa hai vectơ cùng phương. Hai vectơ

r r a, b



Từ đây suy ra nếu

r r b0 r r a, b



cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho

không cùng phương thì

r r a  k .b

r r r x.a  y.b  0  x  y  0

3.3Định lý về biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Cho hai vectơ

r r a, b

hai số x, y sao cho

không cùng phương. Khi đó với vectơ

r c

bất kì thì tồn tại duy nhất

r r r c  x.a  y.b

Hệ quả: Cho 3 vectơ

r r r a, b, c

không cùng phương. Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực x,

y, z không đồng thời bằng 0 sao cho

r r r r x.a  y.b  z.c  0

. Bộ số (x, y, z) có phải duy nhất

không? Vì sao? 3.4Công thức điểm chia và hệ quả.

Nguyễn Tăng Vũ http://trungtamquangminh.tk

3

Hình học lớp 10 nâng cao Chương 1: Vectơ Cho hai điểm A, B phân biệt. M là điểm thỏa

ta luôn có

uuur uuur MA  k .MB  k  1

. Khi đó với điểm O bất kì

(1.4)

uuu r uuu r uuuu r OA  k .OB OM  1 k

Hệ quả 1 Khi k = - 1 ta có công thức đường trung tuyến:

(1.5)

uuuu r 1 uuu r uuu r OM  OA  OB 2





Hệ quả 2 Nếu M nằm giữa A và B, cho k = -MA/MB ta có công thức. (1.6)

uuuu r MB uuu r MA uuu r OM  .OA  .OB AB AB Hệ quả 3. Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c, AD là phân giác trong. Khi đó ta có

(1.7)

uuur DC uuu r DB uuur r b uuu c uuur AD  . AB  . AC  . AB  . AC BC BC bc bc Hệ quả 4. Đưa công thức (1.6) về dạng diện tích ta sẽ được công thức nào? Hệ quả 5. Cho tam giác ABC. M là điểm nằm trong tam giác. Đặt . Chứng minh rằng

Sa  SMBC , Sb  S MAC , Sc  S MAB

uuur uuur uuuu r r S a .MA  Sb .MB  Sc .MC  0

(1.8)

Hệ quả 6. Từ hệ thức 5, nếu cho M là các điểm đặc biệt trong tam giác (trọng tâm, trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp), ta sẽ có những hệ thức nào. 3.5Tâm tỉ cự của một hệ điểm và ứng dụng. Ta bắt đầu từ bài toán sau: Bài toán 1.Với hai điểm A, B phân biệt cho trước, tìm điểm M thỏa

Lời giải: Ta có

uuur uuur r MA  MB  0

(1.9)

, từ đây suy ra điểm M cần

r uuur uuur uuur uuur uuu r uuuu r 1 uuu r 0  MA  MB  MA  MA  AB  AM  AB 2 tìm chính là trung điểm AB. Từ bài toán này, ta có thể nghĩ tới bài toán tổng quát hơn chút. Cho hai số thực , . Liệu có tồn tại điểm M sao cho

uuur uuur r  .MA   .MB  0

(1.10)

Theo cách giải bài trên ta có thể biến đổi vế trái của (1.10) như sau:

uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r  .MA   .MB   .MA   .MA   . AB       MA   . AB

.

Đến đây ta thấy xảy ra hai trường hợp. Trường hợp 1: Nếu biệt.

+

= 0 thì không tồn tại M để (1.10) thỏa vì A, B là hai điểm phân

Nguyễn Tăng Vũ http://trungtamquangminh.tk

4

Hình học lớp 10 nâng cao Chương 1: Vectơ Trường hợp 2: Nếu

+

≠ 0, thì (1.10) thỏa khi và chỉ khi

, biểu thức

uuuu r AM 

 

uuu r AB

này cho ta cách xác định M và hơn nữa M là duy nhất. Từ điều trên ta có bài toán Bài toán 2: Cho hai điểm A, B và các số thực , M sao cho

uuur uuur r  .MA   .MB  0

thỏa

+

≠ 0 thì tồn tại duy nhất điểm

. (1.10) và không tồn tại M thỏa (1.10) nếu

+

= 0 và A

, B phân biệt Bài toán 3: Cho 3 điểm A, B, C và các số thực , , khác 0. Có tồn tại điểm M sao cho

không đồng thời bằng 0 có tổng (1.11)?

uuur uuur uuuu r r  .MA   .MB   .MC  0

Lời giải: Ta có thể giả sử ,

có tổng khác 0, do đó tồn tại điểm I

đó vế trái của (1.11) có thể viết lại như sau:

uu r uur r  IA   IB  0

. Khi

uuur uuur uuuu r uuu r uuuu r  .MA   .MB   .MC       MI   MC

Hệ thức trên cùng bài toán 2 cho ta câu trả lời cho bài toán 3. Hơn nữa nếu A, B, C không thẳng hàng thì khi Trường hợp

=

=

+

+

≠ 0 thì (1.11) tương đương với

= 0, không tồn tại M thỏa (1.11)

uuur uuur uuuu r r MA  MB  MC  0

(1.12) khi đó

M là trọng tâm của tam giác ABC Bằng cách quy nạp ta có bài toán tổng quát sau: Bài toán 4: Cho n điểm A1, A2, …,An và n số thực có tổng khác 0. Khi đó tồn tại điểm M sao cho

1

, 2,…,

n

không đồng thời bằng 0 và

uuuu r uuuur uuuur r 1.MA1   2 .MA2  ...   n MAn  0

(Điểm M được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A1, A2, …,An với các hệ số

1

(1.132)

, 2,…, n).

Chứng minh: (dành cho các bạn) 4.

Ứng dụng của công thức điểm chia và tâm tỉ cự (còn tiếp)

Nguyễn Tăng Vũ http://trungtamquangminh.tk

5