Naizmenicne Struje

NAIZMENIČNE STRUJE Naizmenične struje predstavljaju vremenski promenljive struje koje stalno menjaju intenzitet, a povremeno i smer. Za dobijanje naizmenične struje koriste se generatori naizmenične struje, tzv. alternatori. dr Jasna Radulović, vanr. prof.

MATEMATIČKO PREDSTAVLJANJE NAIZMENIČNIH STRUJA Izvori napajanja u kolima naizmenične struje su prostoperiodične elektromotorne sile, pa su i struje i naponi, kao odzivi kola, takođe prostoperiodične (sinusne ili kosinusne) funkcije vremena, obeležavaju se malim slovima u(t), i(t), ili u, i i nazivaju se naizmeničnim naponima ili naizmeničnim strujama. 1. Trenutne vrednosti struja:

2. Fazori struja:

i1 (t ) = I m cos ωt = 2 I cos ωt

I 1 = I1 ψ 1 = I 0

i2 (t ) = I m cos(ωt + ψ 2 ) = 2 I cos( ωt + π / 4 )

I 2 = I 2 ψ 2 = I π 4

i3 (t ) = I m cos(ωt + ψ 3 ) = 2 I cos( ωt − π / 2 )

I 3 = I 3 ψ 3 = I − π 2

Vremenski dijagrami:

Fazorski dijagram:

i

i1(t)

I2

i2(t)

ψ2

T π/4

π

2π

t

I1

ψ3

i3(t) I3

Umesto fazorskog predstavljanja u elektrotehnici se najčešće radi sa kompleksnim veličinama, tj, projekcijama fazora na x (realnu) i y (imaginarnu) osu, u Gausovoj ravni.

I = Ie jψ = I cosψ + jI sinψ = I r + jI i Moduo i argument kompleksnog broja:

I = Ir + Ii 2

2

ψ = arctg

Ii Ir

Im

I

jI i

ψ

Veza izmedju kompleksnih predstavnika i odgovarajućih trenutnih vrednosti:

I r Re

i ( t ) = 2 Re[ I e jωt ] = 2 I cos( ωt +ψ ) 3. Kompleksni predstavnici struja:

I1 = I I 2 (1 + j), 2 I 3 = − jI . I2 =

1. Trenutna vrednost napona:

u = U m cos( ωt + θ ) = 2U cos( ωt + θ ) 2. Fazor napona:

U = U θ 3. Kompleksni predstavnik napona:

U = Ue jθ = U cosθ + jU sin θ = U r + jU i

Kolo sa teromogenom otpornošću Elementi kola u kojima se naročito ispoljava pojava pretvaranja električnog rada u toplotu, nazivaju se termogeni otpornici, njihova karakteristika je termogena u, i otpornost R. i(t) u(t)

R T 2π

i +

U

I

t

u

i( t ) = I m cos ωt = 2 I cos ωt.

u ( t ) = Ri ( t ) = 2 RI cos ωt

θ =ψ = 0

Napon na krajevima otpornika je u fazi sa strujom, θ = ψ

U = RI

Impedansa otpornika:

ZR = R

Admitansa otpornika:

YR =

1 =G R

Kolo sa kalemom Elementi kola u kojima se naročito ispoljava pojava pretvaranja električnog rada u magnetnu energiju i obratno, nazivaju se kalemovi, njihova karakteristika je induktivnost kalema L. u, i

i(t)

L

U

π2

i

.

+

T 2π

t u(t)

u

u( t ) = L

I

di = − LωI m sin ωt = 2 X L I cos( ωt + π / 2 ) = 2U cos( ωt + π / 2 ) dt

U = jX L I

Z L = jωL

X L = ωL - reaktivna otpornost idealnog kalema − reaktansa kalema

- impedansa kalema

1 YL = jωL

- admitansa kalema

Struja kroz idealni kalem kasni u odnosu na napon za π 2

Kolo sa kondenzatorom Elementi kola u kojima se naročito ispoljava pojava pretvaranja električnog rada u elektrostatičku energiju i obratno, nazivaju se kondenzatori, njihova karakteristika je kapacitivnost kondenzatora C. u, i

i(t)

C i

2π

+

u( t ) =

I t

u

U

I q( t ) 1 = ∫ i( t ) dt = m sin ωt C C ωC

U = − jX C I

ZC =

u(t)

T

XC =

1 1 = −j jωC ωC

u ( t ) = 2U cos( ωt − π / 2 )

1 - reaktivna otpornost kondenzatora − reaktansa kondenzatora ωC

- impedansa kondenzatora

Y C = jωC

Struja kroz kondenzator prednjači u odnosu na napon za π 2

-admitansa kondenzatora

Kolo sa rednom R, L, C vezom I

L

R

+

C

+

UR

∑ e(t ) = ∑ u (t )

+ UL

UC

U = U R +U L +U C

+ U

U R = RI,

U C = I / ( jω C ) ,

U L = jωL I ,

UC

 1   U =  R + j  ωL −  I = Z I ωC    

 1   = R + jX Z = R + j ωL − ω C  

U

- impedansa kola

U = R2 + X 2 I

X = ωL −

1 = XL − XC ωC

ϕ UR

Moduo i faza impedanse:

Z=

UL

UL

I

ϕ U

ϕ = arctan

X . R

Z = Ze jϕ

- reaktansa kola

ϕ = θ −ψ

UR

I UC

SNAGA U KOLIMA NZS Reaktivna snaga:

Aktivna snaga:

P = UI cos ϕ

[ W]

Q = UI sin ϕ

[ VAr]

Prividna snaga:

S = UI

[ VA]

S = P2 + Q2

S

Q

ϕ P

Trougao snaga Kompleksni predstavnici snaga:

P = Pe j0 = P π 2 S = Se jϕ = S cos ϕ + jS sin ϕ = P + jQ j

π 2

Q = Qe = j

S = U I = Ue jθ Ie − jψ = UIe j( θ −ψ ) = UIe jϕ *

P cos ϕ = S

- Faktor snage

METODE REŠAVANJA EL. MREŽA 1. Direktna primena Kirhofovih zakona Prvi Kirhofov zakon: Algebarska suma struja koje se sustiču u jednom čvoru električne mreže jednaka je nuli

∑I

∑ i( t ) = 0

k

=0

m = nČ − 1 Drugi Kirhofov zakon: Algebarska suma trenutnih vrednosti elektromotornih sila po proizvoljnoj zatvorenoj konturi električnog kola jednaka je algebarskoj sumi trenutnih vrednosti napona na svim elementima te konture.

∑ e(t ) = ∑ u (t )

∑E = ∑Z I −

− −

nk = ng − ( nČ − 1)

∑ (E− Z I ) = 0 −

− −

2. Metoda transfiguracije mreže Z1

Z2

Zn

Ze

=

n

Ze = ∑Zi i =1

Z1 Z2

Ze

=

n 1 1 =∑ Z e i =1 Z i

Zn 1

1

Z 12 Z 13 Z 12 + Z 23 + Z 13 Z 12 Z 23 Z2 = Z 12 + Z 23 + Z 13 Z 13 Z 23 Z3 = Z 12 + Z 23 + Z 13 Z1 =

Z 13

Z1

Z 12 Z3

Z2

Z 23 3

2

3

2

Z1Z 2 Z3 Z Z Z 13 = Z 1 + Z 3 + 1 3 Z2 Z Z Z 23 = Z 2 + Z 3 + 2 3 Z1 Z 12 = Z 1 + Z 2 +

3. Tevenenova teorema U odnosu na bilo koja dva kraja mreže, mreža sa naizmeničnom strujom se ponaša kao realni naponski generator čija je ems jednaka naponu na tim priključcima (Tevenenova ems), a unutrašnja impedansa je jednaka ekvivalentnoj impedansi između tih priključaka (Tevenenova impedansa).

A Električna mreža

A

I ≡

Z

ET ZT

B

I= I

Z B

A

A

+ Električna mreža

(U )

AB 0

B

= ET

Složena otpornička mreža (isključene ems iz kola)

ZT = Ze B

ET Z + ZT

4. Metoda konturnih struja nk = ng − ( nČ − 1)

Z 11 I I + Z 12 I II + ... + Z 1k I k = E 11 Z 21 I I + Z 22 I II + ... + Z 2 k I k = E 22  Z k1 I I + Z k 2 I II + ... + Z kk I k = E kk

TROFAZNI SISTEMI Polifazni sistemi (Nikola Tesla) služe za prenos električne energije od polifaznih generatora do polifaznih prijemnika. Polifazni generatori imaju q priključaka, tzv. faza i jedan neutralni ili nulti priljučak (uzemljen). Polifazni prijemnici takodje imaju q priključaka i nulti priključak. U praksi se najčešće koriste trofazni sistemi, q=3. U Uf = l 3 Trofazni generator U f = 220 V U l = 380 V, U f 1 = U f e j0 = 220 V

N

1 +

U f1+

U

f1

U 12

2 +

U 23 U 31 +

f3

+U

U f2 =Uf e U f3 =Uf e

-j

-j

2π 3

4π 3

= 220e − j120 V 

= 220e j120 V

U 12 = U f 1 − U f 2 = U l e

U f2 + U f3

+U

3

+

f2

=0



j30

U 23 = U f 2 − U f 3 = U l e

= 380 e

-j90

j30

= 380 e

V,

-j90

= − j380 V,

U 31 = U f 3 − U f 1 = U l e j150 = 380 e j150 V . 



Veza trofaznih prijemnika u zvezdu 1. sa nultim vodom

I1 I2

0

Z2

I0

Z1 0

Z3 I3

Struje faza prijemnika u isto vreme su i struje u linijama

U f1 I1 = Z1

I2 =

U f2 Z2

U f3 I3 = Z3 U l = 3U f

I 0 = I1 + I 2 + I 3

Veza trofaznih prijemnika u zvezdu 2. bez nultog voda (simetričan sistem)

I f 1 = I l1 1 +

U 31

Z

Uf1

U 12

I f 2 = I l2 Z

0

2

I f 3 = I l3

U 23

+

Uf2

Uf3

+

Z

3

I f1

U f1 = I l1 = Z

I f2

U f2 = I l2 = Z

I 0 = I1 + I 2 + I 3 = 0

I f3

U f3 = I l3 = Z

Veza trofaznih prijemnika u trougao Il1

1 U12

If1

U31

Z

Il2

Z

2

I f1

U 12 = Z1

I l1 = I f 1 − I f 3

If2

Il3

U23 3

I f2 =

U 23 Z2

I l2 = I f 2 − I f 1 I l = 3I f

Z

If3

I f3

U 31 = Z3

I l3 = I f 3 − I f 2

Snaga trofaznog sistema Da bi se izmerila snaga trofaznog simetričnog potrošača, priključenog na trofazni simetrični sistem napona, dovoljno je da se izmeri snaga jedne faze. Prividna, aktivna i reaktivna snaga simetričnog trofaznog potrošača su tri puta veće od odgovarajuće snage jedne faze,

S = 3 S1 = 3U f I f = 3 ZI 2f P = 3 P1 = 3U f I f cos ϕ = 3 RI 2f Q = 3 Q1 = 3U f I f sin ϕ = 3 XI 2f

TEST PITANJA • • • • • • • •

Napisati izraz za struju koja se menja po prostoperiodičnom zakonu – trenutna vrednost struje. Napisati izraz za napon koji se menja po prostoperiodičnom zakonu – trenutna vrednost napona. Nacrtati fazorski dijagram napona i struje za kolo sa termogenim otpornikom. Nacrtati fazorski dijagram napona i struje za kolo sa kalemom. Nacrtati fazorski dijagram napona i struje za kolo sa kondenzatorom. Napisati izraz za impedansu rednog R, L, C kola. Čemu je jednaka aktivna, reaktivna i prividna snaga u kolima NZS (jedinice). Čemu je jednaka prividna, aktivna i reaktivna snaga simetričnog trofaznog potrošača.

Napomena: za UI (usmeni ispit) svaki naslov na početku slajda je pitanje.