N10 6.7

Lý thuyết thặng dư và ứng dụng

GVHD

: Ngô Thu Lương

Nhóm 10

: Bùi Hoàng Thịnh Trần Mậu Tĩnh Đoàn Minh Hương Cao Minh Thuận Nguyễn Hoài Nghĩa Vũ Văn Đát

Lý thuyết thặng dư và ứng dụng

1

6.7 Ứng dụng: 

Trong 1 số vấn đề của toán học hay kỹ thuật ta có thể dùng biến đổi Laplace cho hàm số thực ƒ xác định với t≥0,

Trong ứng dụng này ta gặp phải 2 vấn đề cơ bản: Bài toán thuận: cho hàm f(t) thỏa mãn điều kiện bài toán tìm dạng Laplace của nóNếu tích phân (1) là hội tụ, kết quả là 1 hàm của s. Bài toán ngược: Cho trước dạng biến đổi F(s) tìm hàm ƒ(t) Hàm F(s) được gọi làm dạng biến đổi Laplace ngược và ký hiệu là 

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 2



Biến đổi tích phân: Giả thiết ƒ(x,y) là 1 hàm 2 biến thực. Tích phân theo 1 biến nào đó của hàm ƒ. Ví dụ ta giữ coi y là hằng số tích phân theo biến x ta có Như vậy 1 tích phân xác định như biến đổi 1 hàm f của biến x thành 1 hàm theo biến α. Chúng ta nói rằng

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 3

là 1 biến đổi tích phân của hàm ƒ. Dạng tích phân xuất hiện ở dạng cặp đôi. Có nghĩa rằng ta có thể tìm lại hàm f ban đầu bằng 1 phép biến đổi tích phân khác

gọi là biến đổi ngược.Hàm K(α,x) trong (2) và hàm H(α,x) trong (3) gọi là nhân tử của phép biến đổi. Chú ý rằng nếu α thay cho 1 biến phức, tích phân xác định (3) trở thành 1 tích phân đường.

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 4



Biến đổi Laplace: Giả thiết ở tích phân (2) thay ký hiệu α bằng ký hiệu s, hàm f là 1 hàm số thực xác định trong khoảng [0,+∞) thì tích phân (2) là 1 tích phân không xác định và được tính bằng giới hạn: Nếu giới hạn trên tồn tại, chúng ta nói rằng tích phân trên là tồn tại hay hội tụ; nếu giới hạn trên không tồn tại tích phân trên cũng không tồn tại hay là phân kỳ. Hàm K(s,t)=e-st , với s là 1 biến phức, là nhân tử ở (4) cho phép biến đổi Laplace được xác định bởi (1). Tích phân để thực hiện phép biến đổi Laplace có thể phân kỳ đối với 1 số dạng của hàm ƒ.VD và ko tồn tại.Mặt khác giới hạn (4) sẽ chỉ tồn tại với 1 vài giá trị cụ thể của biến s.

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 5

Ví dụ 1 .định lý tồn tại Biến đổi Laplace 

Biến đổi Laplace của f(t)=1 , t ≥ 0 là

Nếu s là một biến phức, s = x + iy, khi đó ta có

Từ (6) ta thấy trong (5) e-sb →0 khi b→∞ nếu x>0.nói cách khác,(5) với diều kiện Re(s) > 0.

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 6



Định lý 6.23 Hàm giải tích của biến đổi Laplace Giả thiết hàm f liên tục từng phần trên [0,∞) và biến thiên theo quy luật hàm mũ c với t>T. Hàm biến đổi Laplace của f:

là 1 hàm giải tích trên nửa mặt phẳng xác định bởi Re(s)>c.

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 7



Định lý 6.24 Biến đổi Laplace ngược Nếu ƒ và ƒ’ liên tục từng phần trên [0,∞) và ƒ biến thiên theo quy luật hàm mũ c với t≥0, và F(s) là hàm biến đổi Laplace, thì hàm biến đổi Laplace ngược là

với γ >c.

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 8

Định lý 6.25: Biến đổi Laplace ngược Giả thiết F(s) là hàm biến đổi Laplace có 1 số hữu hạn các cực s1 ,s2 ,…,sn phía bên trái đường thẳng Re(s)= γ nằm song song với Oy và C là nửa đường tròn theo hình vẽ. Nếu sF(s) được nằm trong miền khảo sát khi R->∞, thì

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 9

Ví dụ 2 Biến đổi Laplace ngược Thính £-1{1/z3},Re(s)>0 Giải Coi như một hàm của một biến phức s, khi đó hàm F(s)=1/z3 có một cực cấp 3 tại z=0,vì vậy theo (9) và (2) cuẩ mục 6.5 ta có f(t)=£-1{1/s3}=Res(est1/s3,0)= =

=t2/2

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 10

Ví dụ: Biến đổi laplace ngược Tính Giải Tính thặng dư ở cực đơn khi s=1 và s=3. ta cần chú ý sau khi tổ hợp số mũ của hàm và thay thế bằng t-2 thay vào (16) ta được: 

Vì vậy từ (17),(9) và (1) trong mục 6.5

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 11

=-1/2et-2+1/2e3(t-2)

Nói cách khác

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 12



Biến đổi Fourier Giả thiết ƒ(x) là 1 hàm số thực xác định trong khoảng (-∞,+∞). Ta có hàm biến đổi Fourier

Và hàm biến đổi Fourier ngược

Ta thấy ở đây hàm K(α,x)=eiαx và H(α,x)=e-iθx/2Π, và α là biến thực.

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 13

Ví dụ 4. biến đổi chuổi Fourier Tìm biến đổi Fourier f(x)=e-|x| Giải Đồ thị của ƒ là hình bên, 

từ miền xác định mở rộng của ƒ trong (21),từ công thức (19) ta có

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 14



Ta tính tích phân không xác định I2

Với limb→∞ e-b cosbα=0 và limb→ ∞e-b sinbα=0 vớib>0 Tính tích phân I1 Cộng I1 và I2 cho ta giá trị Fourier (22) hoặc

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 15

Chú ý: 





(i) Hai điều kiện liên tục từng phần và biến thiên theo quy luật là điều kiện đủ nhưng có thể không cần cho sự tồn tại của F(s). VD hàm ƒ(t)=t-1/2 không liên tục từng phần trong khoảng [0,∞) nhưng vẫn tồn tại. (ii) Ta thừa nhận hàm F(s) có 1 số hữu hạn các cực trong mặt phẳng phức. Nó thường xuất hiện trong trường hợp F(s) tạo thành bởi 1 phương trình vi phân thông thường. Trong cách giải xung quanh phương trình vi phân thành phần thường hiếm gặp hàm F(s) với vô hạn các cực. Trong trường hợp đó thì giá trị của tích phân sẽ bằng tổng giá trị các thặng dư. (iii) (1) còn dùng để tính dạng nghịch đảo của 1 số hàm phức tạp như F(s)=(s2 +a2 )-1/2 (iv) Ta không đề cập đến điều kiện để biến đổi Fourier của hàm ƒ(x) tồn tại. Những điều kiện này chặt chẽ hơn nhiều so với điều kiện để tồn tại biến đổi Laplace.

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 16

The End lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 17