Mys-3-variable De Desviación-linealización.pdf

UNEXPO

DEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO MAESTRÍA EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA

MODELACIÓN Y SIMULACIÓN Prof. Saturno Sarmiento

VARIABLE DE DESVIACIÓN „ DEFINICIÓN

Es la diferencia entre el valor de la

variable o señal y su valor en el punto d operación: de ió y (t ) = c(t ) − c

y (t )

es la variable de desviación.

c(t )

es la variable absoluta correspondiente.

c

es el valor de la variable

c (t )

en el punto de operación (valor base).

VARIABLE DE DESVIACIÓN „ REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL

CONCEPTO DE VARIABLE DE DESVIACIÓN PREMISAS IMPORTANTES: c(t )

El valor base es generalmente •El el valor inicial de la variable. •El punto de operación está generalmente en estado estacionario, es decir, las condiciones iniciales (C.I.) de las variables de desviación y sus derivadas son todas ceros.

En general, siempre que sea posible, designaremos por x(t) e y(t) a las variables de desviación relacionadas con las variables independiente y dependiente absolutas, respectivamente, de la ecuación en estudio.

LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES „ DEFINICIÓN Es una metodología que permite aproximar la respuesta de un sistema no lineal mediante una ecuación lineal, la cual puede ser luego analizada usando la transformada de Laplace. La aproximación lineal de una ecuación no lineal es válida solamente para una región cercana a algún punto base, alrededor del cual la linealización es hecha. Para facilitar el proceso de linealización se selecciona el estado estable inicial como el punto base para la linealización, y se previamente se usan las variables de desviación tal como p definieron.

LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES „ FUNCIONES DE UNA VARIABLE Sea un sistema cuya entrada es r(t) y cuya salida es c(t). La relación entre ambas variables se establece como: c(t) = f[r(t)]. f[r(t)] Aquí c(t) es una función no lineal de r(t). Expandiendo c(t) en una serie de Taylor alrededor del punto de operación [r , c ] se tiene que: c(t ) = f [r (t )] = f [r (t )] r = r +

df dr

[r − r ] + r =r

1 d2 f 2! dr 2

[r − r ]2 + ..... r =r

Considerando q que la desviación alrededor del p punto de operación es pequeña, se pueden despreciar los términos de orden superior, con lo que se tiene que: c(t ) = f (r ) +

df dr

[r − r ] r =r

c(t ) − c = K [r − r ]

f (r ) = f [r (t )] r = r

c = f (r )

K=

df dr

c(t ) = c + K [r − r ] r =r

Es la formula de linealización básica.

Aplicando variable de desviación se tiene:

y (t ) = Kx(t )

y (t ) = c(t ) − c

x(t ) = r − r

LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES „ INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LA FORMULA DE

LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Es importante señalar que f [ r (t)]

lo que más afecta a los parámetros de una función p de transferencia de un sistema linealizado es la pendiente, df ,

Línea tangente df 1 dr

r =r

dr

f [r ] Función no lineal

r

r (t)

r =r

y no el valor de la función en si misma, f (r ) . Esto se debe a que es la pendiente la que influye en los parámetros de la f función ió de d transferencia t f i

LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES „ FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLE Considérese un sistema no lineal, cuya salida c(t) es función de r1(t) 1(t) y de d r2(t): 2(t) c(t ) = f [ r1 (t ), r2 (t )]

Expandiendo p en una serie de Taylor y la función c(t) ( ) se tiene: ⎡ df c(t ) = f [ r1 (t ), r2 (t ) ] = f (r1 , r2 ) + ⎢ ⎢ dr1 ⎣⎢ +

⎡ 1 ⎢d2 f 2! ⎢ dr12 ⎢⎣

r1 = r1 r2 = r2

[r1 (t ) − r1 ]2 + 2

d2 f dr1dr2

r1 = r1 r2 = r2

r1 = r1 r2 = r2

[r1 (t ) − r1 ] +

df dr2

⎤ [r2 (t ) − r2 ]⎥ + ⎥ r1 = r1 r2 = r2 ⎦⎥

[r1 (t ) − r1 ][r2 (t ) − r2 ] +

d2 f dr2 2

⎤ [r2 (t ) − r2 ]2 ⎥ + .... ⎥ r1 = r1 ⎥⎦ r2 = r2

En las cercanías del punto normal de operación se tiene: ⎡ df c(t ) = c + ⎢ ⎢ dr d1 ⎣⎢

r1 = r1 r2 = r2

df [r1 (t ) − r1 ] + ddr2

⎤ [r2 (t ) − r2 ]⎥ ⎥ r1 = r1 r2 = r2 ⎦⎥

c(t ) − c = K1[r1 − r1 ] + K 2 [r2 − r2 ]

df = K1 = Costante r 1= r 1 dr1 r2= r2

c = f [r1 , r2 ]

df = K 2 = Costante dr 2 r2r1==rr21

LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES „ FUNCIONES DE DOS O MÁS

VARIABLE - CONT La formula de linealización básica para funciones de dos o más variables es: c(t ) − c = K1[r1 − r1 ] + K 2 [r2 − r2 ]

Aplicando p variable de desviación a la formula de linealización básica se obtiene: y (t ) = K1x1 (t ) + K 2 x2 (t )

y (t ) = c(t ) − c

x1 (t ) = r1 (t ) − r1

x2 (t ) = r2 (t ) − r2

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES „ PROCEDIMIENTO Considere la siguiente ecuación diferencial de primer orden d con una entrada: t d dc(t ) = f [r (t ), c(t )] + b dt

f[r(t),c(t)] es una función no lineal de la variable de entrada r(t) y de la variable de salida c(t), y b es una constante. t t Aplicando A li d lla fformula l d de lilinealización li ió d de dos o más variables se tiene: dc(t ) df = dt dr

r =r c =c

[r (t ) − r ] +

dy (t ) d = K1x(t ) + K 2 y (t ) dt

df dc

r =r c =c

[c(t ) − c ]

Aplicando variable de desviación se tiene: y (t ) = c(t ) − c

x(t ) = r (t ) − r

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LA FORMA DE EE •

En forma general, el modelo no lineal invariante en el tiempo de un proceso puede ser descrito como:

x = f(x, u) y = g(x, u) •

Los elementos de las matrices de linealización para el sistema no lineal descrito por las ecuaciones anteriores se definen como:

∂f i A ij = ∂xi ∂g i Cijj = ∂xi

xo ,uo

∂f i ; Bij = ∂ui

xo ,uo

xo ,uo

∂g i ; Dijj = ∂ui

xo ,uo

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LA FORMA DE EE •El desarrollo de cada uno de los términos de las matrices A, B, C y D puede escribirse como sigue:

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LA FORMA DE EE • Después de linealizar el sistema, este puede formularse

en forma de Espacio de Estado (EE) tal como sigue:

x = Ax + Bu y = Cx + Du • Las ecuaciones anteriores (la Ecuación de Estado y la

Ecuación de Salida, Salida respectivamente) representan un modelo lineal invariante en el tiempo, en forma de Espacio de Estado. Este modelo es el que se usa para hacer los análisis temporales y para conseguir conseg ir el modelo en el dominio “S” de la Función de Transferencia.

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LA FORMA DE EE •

Ejemplo de linealización de un modelo no lineal de 2 tanques interactivos:

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LA FORMA DE EE •

Las ecuaciones dinámicas no lineales del sistema de los 2 tanques interactivos son :

•

Los parámetros del sistema son:

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LA FORMA DE EE •

Se asume que solo la altura del 2° tanque es medida, con lo cual se tiene que:

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LA FORMA DE EE •

Los elementos de las matrices A y B son:

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LA FORMA DE EE •

Como solo la altura del 2° tanque es medida, se tiene:

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LA FORMA DE EE •

De acuerdo a las ecuaciones anteriores, el modelo de espacio de estado, en variable de desviación, puede ser descrito como:

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES A LA FORMA DE EE • Las matrices del modelo linealizado son:

A=

B=

C=