Muster 4

Pru ¨ fungsklausur Mathematik II, E–Technik Hinweise: 1. Legen Sie bitte Ihren Paß oder Personalausweis zur Identit¨ ats¨ uberpr¨ ufung auf Ihren Arbeitsplatz! 2. Versehen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen! 3. Der L¨ osungsweg der bearbeiteten Aufgaben muß vollst¨ andig und l¨ uckenlos dargestellt werden. Ergebnisse ohne Begr¨ undung bzw. L¨ osungsweg werden nicht gewertet. 4. Zugelassene Hilfsmittel: a) Formelsammlungen (auch eigene), b) Taschenrechner ¨ ¨ 5. Nicht zugelassen sind unter anderem Vorlesungs- und Ubungsmitschriften, L¨ osungen der in den Ubungsserien gestellten Aufgaben, Lehrb¨ ucher.

Aufgabe 1. Man bestimme die allgemeine L¨ osung des Differentialgleichungssystems: y10 = 2y1 + 2y2 y20 =

y1 + 3y2

y30

y1 + 2y2 + y3

=

Aufgabe 2. Gegeben ist das inhomogene lineare Differentialgleichungssystem y10 − y1 + y2 = 2 y20 − 4y1 − y2 = 3. a) Wie lautet die allgemeine L¨osung des zugeh¨ origen homogenen Systems (in der reellen Form)? b) Mit einem geeigneten Ansatz bestimme man eine spezielle L¨ osung des gegebenen inhomogenen Systems! c) Geben Sie die allgemeine L¨osung des inhomogenen Systems an! d) Welche der L¨osungen in Aufgabe c) erf¨ ullt die Anfangsbedingungen y1 (0) = y2 (0) = −1 ? ZZ

Aufgabe 3. Es sei B der halbe Kreisring 1 ≤ x2 +y 2 ≤ 4, y ≥ 0. Man berechne B

(Hinweis: Man verwende Polarkoordinaten!)

1 db . 1 + x2 + y 2

Z

Aufgabe 4. Gegeben ist das ebene Kurvenintegral 2. Art a eine gegebene reelle Zahl ist.

C

(3x2 + y + 1) dx + (ax + 2y) dy, wobei

a) Man berechne das Integral f¨ ur die Gerade C von A(0, 1) nach B(1, 4). b) F¨ ur welches a ist das Integral wegunabh¨ angig? F¨ ur diesen Fall bestimme man das Potential Φ(x, y) und den Wert des Kurvenintgrals f¨ ur eine Kurve von A(0, 1) nach P (3, 4). ZZ

Aufgabe 5. Man berechne das Oberf¨achenintegral 1. Art

z dσ, wobei S die obere HalbkugelS

fl¨ache x2 + y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0, ist. (Hinweis: Man verwende die sph¨ arischen Koordinaten ϕ und θ.) Aufgabe 6. Geben Sie Real- und Imagin¨ arteil der folgenden Funktionen an: a) w =

z , 1+z

b) w = e1/z

1

Aufgabe 7. Gegeben ist die Funktion f (z) =

(z 2

1 . + 1)(z 2 + 2)

a) Welche Singularit¨aten besitzt f (z), und von welcher Art sind diese? b) Man berechne die Residuen f¨ ur die Pole in der oberen Halbebene Im z > 0. c) Mit Hilfe des Residuensatzes berechne man

Z +∞ −∞

(x2

dx . + 1)(x2 + 2)

Aufgabe 8. a) Man bestimme die Laplace-Transformierte von f (t) = sin t − t cos t. p b) Wie lautet die Originalfunktion zu F (p) = ? 3 (p − 1) + p − 1 ( Aufgabe 9. Gegeben ist die Anfangswertaufgabe y 0 +y = f (t), y(0) = 1, mit f (t) =

e−t f¨ ur 0 ≤ t < 2, 0 f¨ ur t ≥ 2.

a) Wie lautet die Bildfunktion F (p) zu f (t)? ur die Bildfunktion Y (p) von y(t) auf! b) Stellen Sie die Gleichung f¨ c) Welche L¨osung besitzt die gegebene Anfangswertaufgabe? Aufgabe 10. In einer Schale befinden sich 5 rote, 4 weiße und 3 gr¨ une Kugeln? Von diesen werden zuf¨allig 3 Kugeln entnommen (ohne diese anschließend zur¨ uckzulegen). Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind a) alle 3 weiß,

b)

2 rot und eine gr¨ un?

Aufgabe 11. Drei Sch¨ utzen geben gleichzeitig je einen Schuss auf dieselbe Scheibe ab. Die Trefferwahrscheinlichkeiten betragen p1 = 0.8 f¨ ur den ersten, p2 = 0.7 f¨ ur den zweiten und p3 = 0.6 f¨ ur den dritten Sch¨ utzen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass keiner der Sch¨ utzen getroffen hat? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass sich genau 2 Treffer auf der Scheibe befinden? c) Es wird festgestellt, dass sich genau zwei Treffer auf der Scheibe befinden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass der erste Sch¨ utze getroffen hat? Aufgabe 12. Die Zufallsgr¨oße X sei normalverteilt mit µ = 1 und σ 2 = 4. Man ermittle P (X < 2)

und

P (|X − 1| > 6).

Sch¨atzen Sie P (|X − 1| > 6) mit der Tschebyscheffschen Ungleichung ab! L¨osungen: 1) y1 = 2(c1 + c2 )et + c3 e4t , y2 = −(c1 + c2 )et + c3 e4t , y3 = c2 et + c3 e4t 2a) y1 = (c1 cos 2t − c2 sin 2t)et , y2 = 2(c1 sin 2t + c2 cos 2t)et , 2b) y1 = −1, y2 = 1, 2c) L¨osung aus a)+L¨osung aus b), 2d) y1 = −1 + et sin 2t, y2 = 1 − 2et cos 2t 3) π2 ln 52 = 1.44 4a) (39 + 3a)/2, 4b) Φ(x, y) = x3 + x(y + 1) + y 2 , Kurvenintegral =57 5) 8π 2 2 2 2 z¯ x(x + 1) − y 2 (2x + 1)y y y 6a) = −i , 6b) e1/z = ex/(x +y ) cos 2 − i ex/(x +y ) sin 2 2 2 2 2 2 1+z (x + 1) + y (x + 1) + y x +y x + y2 √ √ √ 2 i i √ 7a) ±i, ±i 2 einfache Pole, 7b) Res f (z)|z=i = − 2 , Res f (z)|z=i 2 = 4 2, 7c) π(1 − 2 ) 8a) 2 (p2 + 1)−2 , 8b) et (1 + sin t − cos t) 1 (1 − e−2(p+1) ), 9b) (p + 1)Y (p) − 1 = F (p), 9c) y(t) = (t + 1)e−t − (t − 2)e−t 1(t − 2) 9a) F (p) = p+1 3 1 , 10b) 22 10a) 55 11a) 0.024 11b) 0.452 11c) 0.81416 12) P (X < 2) = Φ( 12 ) = 0.691, P (|X − 1| > 6) = 0.0027, Tschebyscheffsche Ungl. ⇒ P (|X − 1| > 6) <

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