Multivariat -analisis Korelasi Kanonik

BAB I PENDAHULUAN

1. 1

Latar Belakang Analisis korelasi kanonik ditemukan untuk mengidentifikasi dan mengukur

kumpulan antara dua himpunan dari variabel. Analisis korelasi kanonik fokus pada korelasi antara sebuah kombinasi linear dari variabel dalam satu himpunan dan kombinasi linear dari variabel dalam himpunan lainnya. Ide pertama adalah untuk menentukan bagian dari kombinasi linear yang memiliki korelasi terbesar. Berikutnya, kita menentukan bagian dari kombinasi linear yang memiliki korelasi terbesar diantara semua bagian yang tidak berkorelasi dengan bagian yang dipilih di awal. Proses berlanjut. Bagian dari kombinasi linear dinamakan variabel kanonik, dan korelasi yang lainnya dinamakan korelasi kanonik. Ada beberapa masalah penelitian yang melibatkan hubungan antara dua kelompok variabel, misalnya hubungan antara sekelompok variabel kepribadian dan sekelompok variabel kemampuan, hubungan antara indeks harga dan indeks produksi. Disamping hubungan fungsional yang dinyatakan dengan persamaan regresi, ada juga yang perlu dipersoalkan yaitu ukuran kuat lemahnya antara dua kelompok variabel. Kajian tentang ukuran kuat lemahnya hubungan antara sekelompok variabel peramal dan sekelompok variabel tanggapan dikenal sebagai Analisis Korelasi Kanonik. Korelasi kanonik mengukur kekuatan kumpulan antara dua himpunan dari variabel. Aspek terbesar dari suatu teknik merepresentasikan sebuah percobaan ke sebuah intisari yang berdimensi tinggi dengan hubungan antara dua himpunan dari variabel ke dalam sebuah bagian kecil dari variabel kanonik.

Analisis Korelasi Kanonik

1

Pada Analisis Regresi Linear, dicari kombinasi linear dari sekelompok variabel peramal yang dipandang dapat paling baik menjelaskan variasi dan variabel-variabel tanggapan. Sedangkan pada Analisis Korelasi Kanonik dicari kombinasi linear dari variabel-variabel peramal dan kombinasi linear dari variabel-variabel tanggapan yang bersifat bahwa koefisien korelasi momen hasil kali antara kedua kombinasi linear itu mencapai nilai maksimum. Koefisien korelasi yang maksimum itu disebut koefisien korelasi kanonik antara kedua kelompok variabel tersebut dan koefisien-koefisien dari masing-masing variabel yang menghasilkan koefisien korelasi maksimum disebut bobot-bobot kanonis. Dalam makalah ini penulis mencoba untuk mengambil satu kasus sehingga judul makalah yang diambil adalah ” PENENTUAN PASANGAN VARIASI KANONIK SAMPEL DENGAN TEKNIK ANALISIS KORELASI KANONIK”.

1.2

Rumusan Masalah Berdasarkan uraian dari latar belakang diatas, maka penulis merumuskan

petanyaan tentang bagaimana penentuan pasangan variasi kanonik sampel dengan teknik analisis multivariat.

1.3

Tujuan Penulisan Setiap kegiatan yang dilakukan oleh individu dan kelompok tidak terlepas dari

tujuan yang hendak dicapai. Demikian pula dengan penulisan makalah ini, dimana penulisan makalah ini bertujuan untuk lebih memahami cara penentuan pasangan variasi kanonik sampel dengan teknik analisis multivariat.

Analisis Korelasi Kanonik

2

1.4

Sistematika Penulisan Penulisan makalah ini akan dikemas dalam sistematika penulisan sebagai

berikut: BAB I

: PENDAHULUAN Bab ini membahas tentang latar belakang permasalahan yang akan dibahas, rumusan masalah, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan.

BAB II

: ANALISIS KORELASI KANONIK Bab ini membahas uraian tentang analisis korelasi kanonik beserta formula-formula yang akan digunakan dalam pengolahan data dan analisis pada bab selanjutnya.

BAB III

: PENGOLAHAN DATA Bab ini membahas perhitungan untuk menentukan pasangan variasi kanonik sampel.

BAB IV

: KESIMPULAN Bab ini menjelaskan tentang kesimpulan dari keseluruhan perhitungan dalam penulisan makalah ini.

Analisis Korelasi Kanonik

3

BAB II ANALISIS KORELASI KANONIK

2.1

Variabel Kanonik dan Korelasi Kanonik Kita akan tertarik dalam mengukur dari kumpulan antara dua kelompok variabel.

Kelompok pertama dari p variabel diwakili oleh (p x 1) vektor acak X (1). Kelompok kedua dari q variabel diwakili oleh (q x 1) vektor acak X(2). Kita asumsi, dalam pengembangan teoritis, bahwa X(1) mewakili himpunan yang lebih kecil, sehingga p ≤ q. Misalkan untuk vektor acak X(1) dan X(2) : E ( X ( 1) ) = µ ( 1) ;

C o( Xv ( 1) ) = ∑

E( X ) = µ ; ( 2)

C o( Xv ) = ∑

( 2)

C o( Xv , X ) = ∑ 2 2 = ∑ ( 1)

( 2)

( 2)

11 22

(2-1)

' 21

Vektor acaknya :

 X 1( 1)   ( 1)  X2       X ( 1)   X p( 1)  X =  ( 2)  =  ( 2)  (( p + q ) x1)  X   X1  ( 2)  X1      ( 2)  X q 

(2-2)

Vektor rata-ratanya :

( ) ( )

 E X ( 1)   µ ( 1)  µ = E( X ) =  = ( 2)   ( 2)  ( ( p + q ) x1) E X   µ 

(2-3)

Analisis Korelasi Kanonik

4

Dan matriks kovariannya :

∑= E ( X

( p +q )( ( p +q ) )

− µ)( X − µ)'

 E ( X ( 1) − µ ( 1) ) ( X ( 1 ) − µ ( 1 ) ) ' E ( X ( 1 ) − µ ( 1 ) ) ( X ( 2 ) − µ ( 2 ) ) '  ∑ =  ( 2) − µ ( 2 ) )( X (1) − µ (1) )' E ( X ( 2 ) − µ ( 2 ) )( X ( 2 ) − µ ( 2 ) )' ( p + q )( p + q )  E ( X 

(2-4)

Kovarian antara pasangan variabel-variabel dari himpunan berbeda yaitu satu variabel dari X(1), satu variabel dari X(2) yang termuat di Σ12 atau ekuivalen di Σ 21 . pq elemen dari Σ12 mengukur kumpulan antara dua himpunan. Ketika p dan q relatif besar, menginterpretasikan elemen dari Σ12 secara bersamaan biasanya adalah percuma. Selain itu, sering bahwa kombinasi linear dari variabel itu menarik dan berguna untuk memprediksi atau membandingkan tujuan. Tugas pokok dari analisis korelasi kanonik adalah meringkaskan kumpulan antara himpunan X(1) dan X(2) dalam syarat-syarat yang sedikit berhati-hati memilih kovarian (atau korelasi) daripada kovarian pq di Σ12 . Kombinasi linear menyediakan ringkasan sederhana mengukur suatu himpunan dari variabel. Himpunan U = a ' X ( 1) dan V = b' X

(2-5)

( 2)

Untuk beberapa bagian dari koefisien vektor a dan b. Dengan menggunakan (2-5) dan kombinasi linear Z = CX dimana, µZ = E ( Z ) = E ( CX ) = Cµ X

∑

Z

= Cov ( Z ) = Cov ( CX ) = C ∑ X C '

Sehingga,

Analisis Korelasi Kanonik

5

Var (U ) = a ' Cov ( X (1) )a = a ' ∑ 11 a Var (V ) = b' Cov ( X (1) )b = b' ∑ 22 b

(2-6)

Cov (U , V ) = a ' Cov ( X (1) , X ( 2 ) )b = a ' ∑ 12 b

Kemudian dapat dicari koefisien vektor a dan b sedemikian sehingga, a ' ∑12 b

Corr (U , V ) =

(2-7)

a ' ∑11 a b' ∑ 22 b

sebisa mungkin bernilai besar. Definisi: Bagian pertama pasangan dari variabel kanonik adalah bagian dari kombinasi linear U1, V1 yang mempunyai unit variansi, yang memaksimalkan korelasi (2-7); Bagian kedua dari variabel kanonik adalah bagian dari kombinasi linear U2, V2 yang mempunyai unit variansi, yang memaksimalkan korelasi (2-7) diantara semua pilihan yang tidak berkorelasi dengan bagian pertama dari variabel kanonik. Pada langkah ke-k: Bagian ke-k pasangan dari variabel kanonik adalah bagian dari kombinasi linear Uk, Vk yang mempunyai unit variansi, yang memaksimalkan korelasi (2-7) diantara semua pilihan yang tidak berkorelasi dengan bagian k-1 sebelumnya dari pasangan variabel kanonik. Korelasi antara bagian ke-k dari variabel kanonik dinamakan korelasi kanonik ke-k.

Akibat 2.1. Misalkan p ≤

(

) ∑ ( )

Cov X (1) =

pxp

11

(

q dan vektor acak X(1) dan X(2) mempunyai,

) ∑ ( )

, Cov X ( 2 ) =

qxq

22

(

) ∑ ( )

dan Cov X ( 1) , X ( 2 ) =

pxq

12

dimana

Analisis Korelasi Kanonik

∑

6

a dan b , bentuk kombinasi ( qx 1)

mempunyai rank lengkap. Untuk koefisien vector

( px 1)

Corr (U , V ) = ρ1∗ diperoleh dengan linear U = a’X(1) dan V = b’X(2). Maka max a ,b kombinasi linear (variabel kanonik bagian pertama). −1 / 2 U 1 = e1' ∑ 11 X (1) dan V1 = f1' ∑ −221 / 2 X ( 2 ) , ' −1 / 2 ( 1) Bagian ke-k dari variabel kanonik, k = 2, 3, ..., p, U k = ek ∑ 11 X

dan

Vk = f k' ∑ −221/ 2 X ( 2 ) memaksimumkan Corr (U k ,Vk ) = ρ k∗ diantara kombinasi linear

yang tidak berkorelasi dengan variabel kanonik 1, 2, ..., k-1 sebelumnya. ρ1∗2 ≥ ρ2∗2 ≥ ... ≥ ρ ∗p2 e1 , e 2 ,..., e p

adalah

eigen

∑

(q

x

12

−1 22

∑

1),

∑ ∑ ∑ ∑

−1 / 2 11

eigen

dari

∑

−1 / 2 11

∑ ∑ ∑ ∑ −1 22

12

21

−1 / 2 11

dan

∗2 ∗2 ∗2 adalah vektor eigen (p x 1). (Jumlah ρ1 ≥ ρ 2 ≥ ... ≥ ρ p juga nilai eigen

p paling besar dari matriks vektor

nilai

−1 / 2 11

21

−1 / 2 11

∑ ∑ ∑ ∑

f1,f2,

−1 22

12

...,

fp.

21

Tiap

−1 / 2 11

yang bersesuaian dengan

fi

adalah

proporsi

untuk

ei ). Variasi kanonik mempunyai sifat sebagai berikut:

V a r( U k ) = V a r( Vk ) = 1

C o v( U k ,U l ) = C o rr( U k ,U l ) = 0 C o v( Vk ,Vl ) = C o rr( Vk ,Vl ) = 0

C o v( U k ,Vl ) = C o rr( U k ,Vl ) = 0

k≠l k≠l k≠l

untuk k, l = 1, 2, ..., p.

[

Jika variabel awal distandardisasikan dengan Z (1) = Z 1(1) , Z 2(1) ,..., Z (p1)

[

]

]

'

dan

Z ( 2 ) = Z 1( 2 ) , Z 2( 2 ) ,..., Z q( 2 ) maka variabel kanonik berbentuk: '

U k = a k' Z (1) = ek' ρ11−1 / 2 Z (1) −1 / 2 Vk = bk' Z ( 2 ) = f k' ρ 22 Z ( 2)

(2-8)

Analisis Korelasi Kanonik

7

( )

( )

(

)

Disini Cov Z ( 1) = ρ 11 , Cov Z ( 2 ) = ρ 22 , Cov Z ( 1) , Z ( 2 ) = ρ 12 = ρ 21 dan e k dan fk adalah −1 ρ21 ρ11−1 / 2 dan ρ 22−1 / 2 ρ 21 ρ11−1 ρ12 ρ 22−1 / 2 secara berurut. vektor-vektor eigen dari ρ11−1 / 2 ρ12 ρ22

∗ Korelasi kanonik ρ k memenuhi,

Corr (U k , Vk ) = ρ k∗ , dimana k = 1,2,..., p

(2-9)

∗2 ∗2 ∗2 −1 ρ21 ρ11−1 / 2 dan ρ1 ≥ ρ2 ≥ ... ≥ ρ p adalah vektor eigen tak nol dari matriks ρ11−1 / 2 ρ12 ρ22

−1 / 2 ρ 21 ρ11−1 ρ12 ρ 22−1 / 2 . atau matriks ρ 22

2. 2

Menginterpretasikan Populasi Variabel Kanonik Variabel kanonik secara umumnya artifisal. Jika variabel awal X(1) dan X(2)

digunakan, koefisien kanonik a dan b mempunyai unit proporsi dari himpunan X (1) dan X(2). Jika variabel awal yang distandardisasikan mempunyai rata-rata nol dan unit varians, maka koefisien kanonik tidak mempunyai unit dari pengukuran, dan pasti diinterpretasikan ke dalam bentuk variabel yang distandarkan.

2.2.1

Mengidentifikasi Varibel Kanonik Walaupun variabel kanonik artifisal, variabel kanonik dapat diidentifikasi dalam

bentuk variabel pokok. Identifikasi sering dibantu dengan menghitung korelasi antara variabel kanonik dan variabel awal. Misalkan A = [a1, a2, ..., ap]’ dan B = [b1, b2, ..., bp]’, sehingga vektor dari

= AX ( 1) dan V = BX ( 2 ) variabel kanonik adalah ( U px1) ( qx1)

(2-10)

dimana kita awalnya tertarik di variabel kanonik pertama p di V. Maka,

Analisis Korelasi Kanonik

8

(

)

(

)

Cov U , X (1) = Cov AX ( 1) , X (1) = A∑ 11

(

Var (U i ) = 1, Corr U i , X k( 1)

Karena

(

)

(

Cov U , X (1) oleh

)

diperoleh

(2-11) dengan

membagi

)

1/ 2 var X k(1) = σ kk . Secara ekuivalen,

Corr(U i , X k( 1) ) = Cov( (U i , σ kk−1 / 2 X k( 1) ) . Pendahuluan (p x p) diagonal matriks V11−1 / 2 elemen diagonal ke-k σkk−1 / 2 dalam bentuk

matriks,

ρU , X ( 1) = Corr (U , X (1) ) = Cov (U , V11−1 / 2 X (1) ) = Cov ( AX (1) , V11−1 / 2 X (1) ) = A∑ 11V11−1 / 2 ( pxp )

Perhitungan yang sama untuk bagian (U , X ( 2 ) ), (V , X ( 2 ) ), dan (V , X (1) ) menghasilkan

ρ U , X ( 1) = A∑ 11V11−1 / 2 ,

ρ U , X ( 1) = B ∑ 22 V22−1 / 2 ,

ρ U , X ( 1) = A∑ 12 V

ρ U , X ( 1) = B ∑ 21V11−1 / 2 ,

( pxp ) ( pxq )

−1 / 2 22

qxq

,

(2-12)

( qxp)

dimana V22−1 / 2 adalah matriks diagonal (q x q) dengan elemen ke-i

(

)

var X i( 2 ) .

Variabel kanonik diturunkan dari variabel standard terkadang diinterpretasikan dengan menghitung korelasi. ρ U ,Z ( 1) = AZ ρ 1 1

ρ V , Z ( 2 ) = BZ ρ 2 2

ρ U ,Z ( 2 ) = AZ ρ 1 2

ρ V , Z ( 1) = BZ ρ 2 1

(2-13)

Z dan B Z adalah matriks yang barisnya memuat koefisien kanonik untuk dimana ( A pxp ) ( qxq )

himpunan Z(1) dan Z(2) secara berurut. Korelasi pada matriks yang ditunjukkan (2-13)

Analisis Korelasi Kanonik

9

mempunyai nilai numerik sama dengan yang dimunculkan (2-12),

yakni

ρU , X ( ) = ρU , Z ( ) dan seterusnya. Mengikuti ini, 1

1

ρU , X ( ) = A∑ 11 V11−1 / 2 = AV111 / 2V11−1 / 2 ∑ 11 V11−1 / 2 =AZ ρ11 = ρU , Z ( ) 1

korelasi

1

tidak

dipengaruhi oleh standaridisasi.

2.2.2

Korelasi Kanonik Sebagai Generalisasi Dari Koefisien Korelasi Lainnya Pertama-tama, koefisien korelasi menyamaratakan korelasi antara dua variabel.

Ketika X(1) dan X(2) masing-masing terdiri dari variabel tunggal, sehingga p = q = 1, Corr ( Χ1(1) , Χ12 ) = Corr ( aΧ1(1) , bΧ12 ) untuk semua a, b. Oleh karena itu variasi kanonik ∗ ( 1) 2 U 1 = Χ1( 1) dan V1 = Χ1( 2 ) memiliki korelasi ρ1 Corr ( Χ1 , Χ1 ) ketika X(1) dan X(2)

memiliki komponen lebih, kondisi a ' =[0,..., 0,1,0,..., 0] dengan 1 pada posisi ke-i dan b' =[0,..., 0,1,0,..., 0] dengan 1 pada posisi ke-i menghasilkan,

(

)

(

)

(

)

Corr Χ i(1) , Χ 2k = Corr a' Χ1(1) , b' Χ12 ≤ max Corr a' Χ1(1) , b' Χ12 = ρ1∗ a ,b

(2-

14) yaitu bahwa korelasi kanonik yang pertama lebih besar dari harga mutlak semua elemen −1 / 2 −1 / 2 dalam ρ12 = V11 ∑12 V22 .

Kedua, perkalian koefisien korelasi ρ1( X ( ) ) adalah persoalan khusus dari 2

korelasi kanonik ketika X(1) memiliki elemen tunggal X 2(1) (p=1), menimbulkan ρ1( X ( 2 ) ) = max corrX 1(1) , b' X ( 2 ) = ρ1∗ , untuk p=1 b

(2-15)

Analisis Korelasi Kanonik

10

(1 ) Ketika p > 1, ρ1∗ lebih besar dari setiap korelasi perkalian Χi dengan X(2) atau

korelasi perkalian Χ1( 2 ) dengan X(1). Akibatnya,

ρ U ( X ( ) ) = max Corr (U k , b' Χ ( 2 ) ) = Corr (U k ,Vk ) = ρ k∗ , k = 1,2,..., p b k

(2-

2

16) yaitu bahwa korelasi kanonik juga merupakan perkalian koefisien korelasi dari Uk dengan X(2) atau perkalian koefisien korelasi Vk dengan X(1). Karena interpretasi dari perkalian koefisien korelasi, korelasi kanonik ke-k kuadrat, ρk∗2 , adalah sebanding dengan varians dari variasi kanonik Uk yang dijelaskan oleh himpunan X(2) dan juga sebanding dengan varians dari variasi kanonik Vk yang dijelaskan oleh himpunan X(1). Oleh karena itu, ρk∗2 seringkali dinamakan varians bersama antara dua himpunan X(1) dan X(2). Untuk nilai yang semakin besar, ρk∗2 , kadang-kadang dianggap sebagai ukuran dari himpunan yang overlap (tumpang tindih).

2.2.3

Variabel Kanonik r yang Pertama Sebagai Variabel Kesimpulan Perubahan

koordinat

dari

X ( 1) ke U = AX (1) dan dari X ( 2 ) ke V = BX ( 2 )

dilakukan untuk memaksimalkan Corr (U 1 ,V1 ) dan berturut-turut Corr (U i , Vi ) dimana (Ui, Vi) memiliki korelasi nol dengan pasangan (Ui, Vi), (U2, V2), ..., (Ui-1, Vi-1). Korelasi antara himpunan X(1) dan X(2) telah dimasukkan kedalam pasangan variabel kanonik. Dengan model, vektor koefisien ai, bi dipilih untuk memaksimumkan korelasi, tidak perlu menampilkan variabel penaksir himpunan bagian dari kovarian

∑

11

Analisis Korelasi Kanonik

dan

11

∑

. Ketika beberapa pasangan dari variabel kanonik yang pertama memberikan

22

kesimpulan yang kecil dari variabilitas dalam

∑

dan

11

∑

22

, maka tidaklah jelas

bagaimana korelasi kanonik dapat diinterpretasikan.

2.2.4

Interpretasi Geometrik dari Analisis Korelasi Kanonik Populasi Interpretasi geometrik dari prosedur pemilihan variabel kanonik memberrikan

pengetahuan yang berharga kedalam sifat analisis korelasi kanonik. Transformasi U = AX ( 1)

dari X (1) ke U memberikan Cov (U ) = A∑11 A' = I . ' Dari 2.1 dan A = E ∑11

−1 / 2

dengan baris ei' dan

=E ' P1 A1−1 / 2 P1' dimana E ' adalah matriks orrthogonal

∑ =P A P 11

1

1

' 1

. Sekarang P1' Χ(1) adalah himpunan dari

komponen utama yang berasal dari X(1) saja. Matriks A1−1 / 2 P1' Χ(1) memiliki ke-i baris

1

Pi ' Χ(1) , yang komponen utama ke-i nya ditetapkan memiliki varians I. Yaitu

λi

(

)

Cov A1−1 / 2 P1' Χ(1) = A1−1 / 2 P1' ∑11 P1 A1−1 / 2 = A1−1 / 2 P1' P1 A1 P1' P1 A1−1 / 2 = A1−1 / 2 A1 A1−1 / 2 = 1 . Akibatnya, U = AX(1) = E ' P1 A1−1 / 2 P1' Χ(1) dapat diinterpretasikan sebagai: 1. Transformasi dari X(1) ke komponen utama standar yang tidak berkorelasi, 2. Rotasi orrthogonal P1 yang ditentukan oleh

∑

11

, dan

3. Rotasi E’ yang ditentukan dari matriks kovarian penuh ∑.

Analisis Korelasi Kanonik

12

Interpretasi serupa berlaku untuk V = BX ( 2 ) .

2.3

Variasi Kanonik Sampel Dan Korelasi Kanonik Sampel Sampel acak dari n observasi pada masing-masing variabel dari (p + q) variabel

X(1),

X(2)

dapat

 x11( 1)  ( 1)  x 21     Χ ( 1)   x (p11) Χ =  ( 2)  =  ( 2)  Χ   x11 ( 2)  x 21     x (p21)

digabungkan

x12( 1) ( 1) x 22  x (p12)

x12( 2 ) ( 2) x 22 

x (p22)

kedalam

((p

+

q)

x

n)

 x1( 1n)    x 2( 1n)      x (j1)   x (pn1)  = [ x , x ,..., x ] x =  ( 2)  j 1 2 n dimana  x1( n2 )   x j   ( 2)  x2n     ( 2)  x pn 

data

matriks

(2-17)

Adapun vektor rata-rata sampelnya adalah  x ( 1)  ( 1) 1 =  ( 2 )  dimana x = ( p +q ) x1 n  x   x

n

∑ x (j1) dan x j =1

( 2)

=

1 n ( 2) ∑xj n j =1

(2-18)

Analisis Korelasi Kanonik

13

Dan matriks kovarian sampel dapat ditulis

S kl =

)(

(

)

(k) (l) ' 1 n (k) (l) x − x x − x , ∑ j j n − 1 j =1

Kombinasi linear

∧

∧'

∧

S

( p +q ) x ( p+q )

k,l = 1, 2 ∧'

U = a x ( 1) , V = b x ( 2 ) r∧

∧

U ,V

=

dimana

(2-19)

∧

a S12 b ∧'

 S12  ( pxq )     S 22  ( qxq ) 

(2-20)

∧'

memiliki korelasi sampel

 S11 ( pxp ) =    S 21  ( qxp )

∧

∧'

∧

(2-21)

a S12 a b S12 b ∧

Pasangan pertama dari variasi kanonik sampel dalam kombinasi linear U 1 dan ∧

V 1 memiliki unit varian sampel yang memaksimumkan rasio (2-21). Pada umumnya, ∧

ke-k pasangan variasi kanonik sampel adalah pasangan dari kombinasi linear U k dan ∧

V k yang memiliki unit varian sampel yang memaksimumkan (2-21) diantara kombinasi linear yang tidak berkorelasi dengan k-1 variasi kanonik sampel yang sebelumnya. ∧

∧

Korelasi sampel antara U k dan V k dinamakan korelasi kanonik sampel. Variasi sampel kanonik dan korelasi kanonik sampel dapat diperoleh dari matriks kovarian sampel S11, S12 = S21’, dan S22 dengan cara yang bersesuaian dengan persoalan yang dibahas dalam 2.1.

Analisis Korelasi Kanonik

14

Akibat 2.2. Misalkan

ρ1∗2 ≥ ρ2∗2 ≥ ... ≥ ρ ∗p2

adalah p order nilai eigen dari ∧

−1 S11−1 / 2 S12 S 22 S 21 S11−1 / 2

∧

∧

vektor eigen yang berkoresponden dengan e1, e 2 ,..., e p ∧

∧

∧

dimana S kl didefinisikan pada (2-19) dan p ≤ q. Misalkan f 1 , f 2 ,...., f

q

menjadi

∧

−1 / 2 −1 / 2 S 21 S11−1 S12 S 22 vektor eigen dari S 22 dimana p yang pertama f ' s diperoleh dari

∧

f

k

  1 = ∗ ∧ ρ  k

∧

adalah

 ∧  −1 / 2 −1 / 2 S 22 S 21 S11 S e k , k =1,2,..., p.  

∧'

∧

∧

U k = e k S x dan V k = f k' S 22−1 / 2 x ( 2 )      dimana x(1) dan x(2) adalah nilai variabel −1 / 2 11

( 1)

Pasangan variasi kanonik sampel ke-k

∧'

∧'

ak

bk

dari X(1) dan X(2) untuk unit ekperimen khusus. Variasi kanonik sampel pertama

mempunyai korelasi sampel maksimum r ∧

∧∗

∧

U 1 ,V 1

= ρ 1 . Untuk pasangan ke-k r ∧

∧∗

∧

U k ,V k

= ρk

dan korelasi ini merupakan kemungkinan terbesar diantara kombinasi linear yang tidak ∧∗

∧∗

∧∗

berkorelasi dengan k-1 variasi kanonik sampel sebelumnya. Jumlah ρ1 , ρ 2 ,..., ρ p adalah korelasi kanonik sampel. Jika p > rank ( S12 ) = p1 , maka korelasi kanonik ∧∗

∧∗

∧∗

sampel tak nol adalah ρ1 , ρ2 ,..., ρ p1 .

Analisis Korelasi Kanonik

15

Jika

observasi

distandardisasikan,

maka

data

matriks

menjadi

 z (j1)   Z ( 1)  Z =  ( 2 )  = [ z1 , z 2 ,..., z n ] dengan z j =  ( 2 )  dan variasi kanonik sampel menjadi :  z j  Z  ∧

∧

U = A z z ( 1) ;

( p x1) ∧

∧

∧

∧

∧

V = B z z ( 2)

( q x1)

(2-22)

∧

1/ 2 1/ 2 dimana A z = A D11 dan B z = B D22 . Korelasi kanonik sampel tidak efektif dengan

standardisasi. Sebagai catatan bahwa D11−1 / 2 = D22−1 / 2 = I untuk observasi standard.

2.4

Ukuran Deskripsi Penambahan Sampel Jika variasi kanonik memberikan kesimpulan yang bagus dari masing-masing

himpunan variabel, maka persekutuan antara variabel-variabel dapat digambarkan dalam bagian variasi kanonik dan korelasinya. Ini berguna untuk mendapatkan ukuran kesimpulan dari tingkat dimana variasi kanonik menginformasikan untuk masingmasing himpunan. Dan juga berguna ketika menghitung proporsi varian dalam suatu himpunan variabel yang dijelaskan oleh variasi kanonik dari himpunan lain.

2.4.1

Penaksiran dari Matriks Kesalahan

Analisis Korelasi Kanonik

16

∧ ^ ( i) ∧ ∧  B = b1 , b 2 ,..., b q  . Misalkan ( qxq )  

'

∧ ∧ ∧  Diberikan matriks A = a 1 , a 2 ,..., a p  ; ( pxp )   ∧

dan

^ ^

^ ( i)

b

V = Bx x

( p x1)

( 1)

menotasikan ke-i kolom dari

^ −1

A

dan

'

∧

a

^ −1

B

berturut-turut. Karena

^ ^

U = Ax

( 1)

dan

( 2) maka, ∧ −1 ∧

= A

U ; x

( p x p) ( p x1)

( q x1)

( 2)

∧ −1 ∧

= B

^ ^ ^'

^ ^ ^'

   C  U,V = AoS1 B 2 v C  U = oSA 1 A 1=v I    (p ) x p ^^ ^ ^

Karena sampel

(2-23)

V

( q x q) ( q x1)

, sampel

∧∗ ρ 1 0 ∧∗ ∧ −1  0 ρ 2 S12 = A      0 0  '

dan sampel

 C  V  = oSB 2 B 2=v I   (q ) x q

   ∧ −1 ∧ ∗ ∧ ( 1) ∧ ( 1) ' ∧ ∗ ∧ ( 2) ∧ ( 2) ' ∧ ∗ ∧ ( p) ∧ ( p)'  0 0  B  = ρ a b + ρ a b + ... + ρ a b 1 2 p        ∧∗  ρ p  

0

∧ (1) ∧ (1) ∧ ( 2 ) ∧( 2 ) ∧ ( p ) ∧( p )  ∧ −1  ∧ −1     S11 = A A = a a + a a + ... + a a       '

'

(2-24)

'

Analisis Korelasi Kanonik

17

'

∧(1) ∧(1) ∧( 2 ) ∧( 2 ) ∧( p ) ∧( p )  ∧ −1  ∧ −1    S 22 = +... +b b B B  =b b +b b   

Karena

∧ −1

A

'

∧

x

( 1)

'

'

∧

∧

dan U memiliki kovarians sampel I , r kolom petama dari =A U −1

∧

∧

∧

memuat kovarian sampel dari r variasi kanonik pertama U 1 , U 2 ,..., U r dengan

( 1) ( 1) (1 ) ∧ variabel komponennya X 1 , X 2 ,..., X p . Demikian pula r kolom pertama dari B

∧

∧

−1

∧

memuat kovarian sampel V 1 , V 2 ,..., V r dengan variabel komponennya. Jika pasangan r kanonik pertama digunakan maka dimisalkan,

 ∧   U∧ 1  ∧( r)  ( 1)  ∧ ( 1) ∧ ( 2 ) ( 2 )  ∧ ( 1)  U2  x =  a a  a   dan x =  b     ∧   U r 

(

(1)

sehingga S12 diperkirakan Cov x , x

( 2)

∧  V∧1  ∧ ( 2) ∧ ( r)    b  b  V 2     ∧  Vr 

(2-25)

).

Selanjutnya, penaksiran untuk matriks kesalahannya adalah ' ' ∧(1) ∧(1) ' ∧( 2 ) ∧( 2 ) ∧( r ) ∧( r ) S11 −a a +a a +... +a a  

'  ∧( r +1) ∧r +(1) ' ∧( p ) ∧( p ) =a a +... +a a  

' ' ∧(1) ∧(1) ' ∧( 2 ) ∧( 2 ) ∧( r ) ∧( r ) S 22 −b b +b b +... +b b  

'  ∧( r +1) ∧( r +1) ' ∧( q ) ∧( q ) =b b +... +b b  

' '  ∧ ∗ ∧(1) ∧(1)' ∧ ∗ ∧( 2 ) ∧( 2 ) ∧ ∗ ∧( r ) ∧( r ) S 12 −ρ1 a b +ρ2 a b +... +ρr a b  

(2-26)

' 1) ∧( r + 1)'  ∧∗ ∧( r + ∧ ∗ ∧( p ) ∧( p )  =ρ b +... +ρp a b r+ 1 a  

Penaksir matriks kesalahan (2-26) dapat diinterpretasikan sebagai kesimpulan dari gambaran seberapa baik r variasi kanonik sampel yang pertama menghasilkan matriks kovarian sampel. Pola entry yang terbesar dalam baris atau kolom dari

Analisis Korelasi Kanonik

18

penaksiran matriks kesalahan menandakan hal yang kurang baik terhadap variabel koresponding. Biasanya r variasi yang pertama melakukan kerja yang baik untuk menghasilkan elemen dari S12 = S’12 daripada elemen dari S11 atau S22. Secara matematis, ini terjadi karena matriks sisa pada persoalan yang lalu secara langsung berhubungan dengan p – r korelasi sampel kanonik terkecil. Korelasi ini biasanya tertutup terhadap nol. Disisi lain, matriks sisa bersesuaian dengan penaksiran matriks S11 dan S22 hanya bergantung pada p – r yang sebelumnya dan q – r vektor koefisien. Elemen-elemen dalam vektor ini relatif besar, dan karena itu matriks sisa memiliki entry yang besar.

2.4.2

Proporsi dari Varian Sampel yang Diketahui Ketika observasi distandardisasi, matriks kovarian Skl merupakan matriks ∧

∧

korelasi Rkl. Vektor koefisien kanonik merupakan baris dari matriks A z dan B z serta ∧ −1

∧ −1

kolom A z dan B z

yang merupakan korelasi sampel antara variasi kanonik dan

variabel komponennya. Khususnya, sampel

sampel

∧   Cov z (1) , U  = sampel  

∧   Cov z ( 2 ) , V  = sampel  

∧ −1  ∧ −1 ∧ ∧  Cov  A z U , U   = AZ  

dan

∧ −1  ∧ −1 ∧ ∧  Cov  B z V , V   =B Z  

Analisis Korelasi Kanonik

19

 r∧ ( 1 )  U 1,x1 ∧ −1  ∧ ( 1) ∧ ( 2 ) ∧ ( p )   rU∧ 1,x( 1) A Z =  a z , a z ,...,a z  =  2      r∧  U 1,x(p1)

r∧

 r∧ ( 2 )  V 1, x1  r∧ ( 2 )  V 1, x 2    r∧  V 1, xq( 2 )

r∧

 ∧ ( 1) ∧ ( 2 ) ∧ ( q )  B Z =  b z , b z ,...,b z  =   ∧ −1

   r∧  U p ,x2( 1 )      r∧  U p ,x(p1 )   r∧

U 2 , x1( 1 )

U p ,x1( 1 )

r∧

U 2 , x2( 1 )

 r∧

U 2 , x(p1 )

V 2 , x1( 2 )

r∧

V 2 , x 2( 2 )

 r∧

V 2 , x q( 2 )

   r∧  V q , x2( 2 )      r∧  V q , xq( 2 )   r∧

V q , x1( 2 )

(2-27)

dimana rU∧ i , x ( 1) dan rV∧ i , x ( 2 ) adalah koefisien korelasi sampel antara elemen yang ditulis. k

k

Dengan menggunakan (2-24) dan observasi standar, maka Total

=tr ( R11

Total

=tr ( R22

varian ∧(1)

) =tr  az 

sampel

∧(1)

∧( 2 ) ∧( 2 )

'

az



+a z

varian ∧(1)

) =tr  bz  

∧(1)

standar ∧( p ) ∧( p )

'

+... +a z

az

sampel '

∧( 2 ) ∧( 2 )

b z +b z

bz

az

'

∧( q ) ∧( q )

+... +b z

bz

'

dalam

∧

kedua

(2-28) ∧ −1

∧

pertama

himpunan

 =q  

Karena korelasi dalam r < p kolom pertama dari A z ∧

himpunan

 = p  

standar

'

dalam

∧

∧

∧ −1

dan B z ∧

variasi kanonik sampel U 1 , U 2 ,..., U r dan V 1 , V 2 ,..., V r

hanya melibatkan

berturut-turur, kita

definisikan kontribusi dari r variasi kanonik yang pertama terhadap total varians sampel

Analisis Korelasi Kanonik

20

standar

sebagai

' p r  ∧ ( 1) ∧ ( 1) ' ∧ ( 2 ) ∧ ( 2 ) ' ∧ ( p) ∧ ( p)  tr ( R11 ) = tr  a z a z + a z a z + ... + a z a z  = ∑∑r ∧2   i =1 k =1 U i , xk( 1 )  

' p r  ∧ ( 1) ∧ ( 1) ' ∧ ( 2 ) ∧ ( 2 ) ' ∧( q ) ∧( q )  tr ( R22 ) = tr b z b z + b z b z +... + b z b z  = ∑∑r∧2 ( 2 )   i =1 k =1 V i , xk  

dan

.

Proporsi dari total varian sampel standar dijelaskan dengan r variasi kanonik yang pertama menjadi:

R2( 1) ∧ ∧

∧

z U 1 ,U 2 , . U. .r ,

 p r o dp aot or ivst aia l rs iaa mns t pa end lda lah ari m p ue rn t a nm a  = ∧ ∧ ∧  y a dn i gj e loa l sUe 1k,hU a2 , .nU. .r ,     ∧ ( 1) ∧ ( 1) ' ∧ ( r ) ∧ ( r ) '  r p t r a z a z + . .+ .a z a z  r∧2   ∑ ∑ U i ,z( 1)  = i= 1 k = 1 k =  t (rR1 )1 p

dan

Analisis Korelasi Kanonik

21

R2( 2) ∧ ∧

∧

z V 1 ,V 2 , . V. .r ,

 p r o dp aot orr ivst aia l rs iaa mns t pa end lda lah ari m p ue rn t a nm a  = ∧ ∧ ∧  y a dn i gj e loa l sVe1k,Vh 2a, .nV. .r ,     ∧ ( 1) ∧ ( 1) ' ∧ ( r ) ∧ ( r ) '  r q t rb z b z + . .+ .b z bz  r 2   ∑ ∑ V∧ i,z( 1)  = i= 1 k = 1 k =  t (rR2 )2 q (2-29)

Ukuran deskripsi diatas memberikan petunjuk seberapa baik variasi kanonik menggambarkan masing-masing himpunannya yang memberikan deskripsi nilai tunggal dari matriks kesalahannya, terutama ' ' ∧ (1 ) ∧ (1 ) ∧(r) ∧(r)  1  tr  R11 − a z a z −... − a z a z  =1 − R 2( 1)  z p   

' ' ∧ ( 1) ∧ ( 1 ) ∧( r ) ∧( r )  1  tr  R22 − b z b z +... + b z b z  =1 − R 2( 2 )  z q   

∧

∧

∧

U 1 ,U 2 ,..., U r

∧

∧

∧

V 1 ,V 2 ,..., V r

berdasarkan (2-28) dan (2-29).

2.5

Kesimpulan Sampel Besar Ketika ∑12 = 0 maka a’X(1) dan b’X(2) memiliki kovarians a’∑12b = 0 untuk

semua vektor a dan b. Akibatnya semua korelasi kanonik haruslah nol sehingga analisis kanonik tidak diteruskan lagi. Hasil selanjutnya memberikan cara untuk menguji ∑12 = 0 untuk sampel besar.

Analisis Korelasi Kanonik

22

 X (j1)  Misalkan: X j =  ( 2 )  , j = 1,2,...,n merupakan sampel acak dari populasi N(p+q)(μ, ∑)  X j 

 ∑ 11  ( pxp ) dengan ∑ =    ∑ 21  ( qxp )

∑(

      ∑ 22  ( qxq )  

12 pxq )

Tes rasio likelihood dari H0 : ∑12 =

0 melawan H1 : ∑12 ≠

( pxq )

 S11 S 22 nilai yang besar dari − 2 ln Λ = n ln  S 

S

( p +q ) x ( p+q )

 S11 ( pxp ) =    S 21  ( qxp )

0

( pxq )

menolak H0 untuk

p   ∧ ∗2   = −n ln ∏1 - ρ i  (2-30)    i =1   

dimana

 S12  ( pxq )    adalah estimator tak bias dari ∑ . Untuk n yang besar, tes   S 22  ( qxq ) 

statistik (2-30) mendekati variabel acak yang berdistribusi Chi-kuadrat ( χ 2 ) .

BAB III PENGOLAHAN DATA DAN ANALISIS

Analisis Korelasi Kanonik

23

3.1

Contoh Kasus Dalam sebuah sekolah dasar terdapat beberapa siswa yang diukur kemampuan

membaca dan berhitungnya. Dengan X 1( 1) = Kecepatan Membaca

X 2( 1) = Kekuatan Membaca X 1( 2 ) = Kecepatan Berhitung

X 2( 2 ) = Kekuatan Membaca ,

sehingga

bentuk

matriks korelasi sampelnya seperti dibawah ini:

R R =  11 R21

3.2

8,00 R12  2,00 = R22   3,00  1,00

2,00 5,00 −1,00 3,00

3,00 −1,00 6,00 − 2,00

1,00  3,00   − 2,00   7,00 

Pengolahan Data Korelasi kanonik sample dan variasi kanonik sampel dijabarkan dalam

perhitungan berikut ini: •

i)

8,00 R11 =  2,00

ii)

R11 − Iλ = 0

8,00 2,00 

2,00  5,00  

2,00  1 − 5,00   0

8,00 − λ 2,00

0 λ =0 1 

2,00 =0 5,00 − λ

(8,00 − λ)( 5,00 − λ) − ( 2,00 ) 2

=0

λ −13 ,00 λ + 36 ,00 = 0 λ1 = 9,00 dan λ2 = 4,00 2

iii)

Untuk λ1 = 9,00

Analisis Korelasi Kanonik

24

 e11  8,00 2,00 e11  2,00 5,00  e  = 9,00e     12   12  8,00e11 + 2,00e12 = 9,00e11 2,00e11 + 5,00e12 = 9,00e11 2,00e12 = e11   2,00e11 = 4e12 

misal : e11 = 1,00, maka e12 = 0,50

0,89 

Jadi, e1 =   0,45  Untuk λ2 = 4,00

 e21  8,00 2,00  e21  2,00 5,00  e  = 4,00e     22   22  8,00e21 + 2,00e22 = 4,00e21 2,00e21 + 5,00e22 = 4,00e21 4,00e21 = −2e22   e22 = −2e21 

misal : e22 = 1,00, maka e21 = −0,50

− 0,45 

Jadi, e2 =    0,89  k

iv)

1/ 2 R11 = ∑ λi ei ei' i =1

R11−1 / 2

k

=∑ i =1

=

1 ei ei' λi

1 1 e1e1' + e2 e2' λ1 λ2

1 0,89  1 − 0,45 0,45[ 0,89 0,45] +  [ − 0,45 0,89] 9 4  0,89   0,26 0,13   0,10 − 0,20  0,36 − 0,07  = + =   0,13 0,07  − 0,20 0,40  − 0,07 0,47  =

Analisis Korelasi Kanonik

25

− 2,00  7,00  

 6,00 R22 =  − 2,00

•

−1 R22 =

1 ( 6 x7 ) − (−2) 2

7,00 2,00 

2,00  7,00 = 0,03   6,00  2,00

2,00  0,18 = 6,00   0,05

0,05  0,16  

−1 R11−1 / 2 R12 R22 R21 R11−1 / 2

•

 0,36 = − 0,07  1,15 = − 0,68 0,73 = 0,01

− 0,07  3  0,47  −1 0,15 0,59  1,34  0,31 0.03  0,36  0,60  − 0,07

∧ ∗2

10,18  3 0,05

0,05 3  0,16  1

−1 0,36  3 − 0,07

− 0,07  0,47  

− 0.03  0,36 − 0,07    0,43 − 0,07 0,47   − 0,07   0,26 − 0,04  =  0,47  − 0,04 0,28  

∧ ∗2

Nilai eigen ρ dan ρ diperoleh dari: 1 2  0,26 − 0,04  1 0 − 0,04 0,28  − 0 1λ = 0     0,26 − λ

 = 0 0,28 − λ  − 0,04

− 0,04

⇒

( 0,26 − λ )( 0,28 − λ ) − ( − 0,04 ) 2

=0

λ2 − 0,54λ + 0,07 = 0

λ12 =

0,54 ± 0,01 0,54 ± 0,11 − b ± b 2 − 4ac = = 2a 2 2

Jadi, ∧∗

2

∧∗

λ1 =   ρ1   = 0,32 ⇒ ρ1 = 0,57 





∧∗



2

∧∗

λ2 =   ρ2   = 0,22 ⇒ ρ 2 = 0,46 



Pasangan variasi kanonik •

∧ ∧  U 1 ,V 1   

dan

∧ ∧  U 2 ,V 2   

adalah sebagai berikut:

∗

∧ Diketahui ρ 1 = 0,57 dan vektor eigen e1 nya yaitu :

Analisis Korelasi Kanonik

26

 e11   0,26 − 0,04  e11  = 0 , 57 e   − 0,04 0,28   e     12   12  0,26e11 − 0,04e12 = 0,57e11 − 0.04e11 + 0,28e12 = 0,57e12 − 0,04e12 = 0,31e11   0,31  e12 = e11 − 0,04 

M isal: e11 = 1,00 m aka e12 = − 7,75

 0,13 

Jadi, e1 =   − 0,99  ∧  0,36 a 1 = R11−1 / 2 e1 =  − 0,07

− 0,07  0,13   0,12  = 0,47 − 0,99  − 0,47  ∧

−1 / 2 f 1 ∝ R22 R21 R11−1 / 2 e1 dan b1 = R −1 / 2 f , maka 22 1 ∧

∧

−1 b1 ∝ R22 R21 a 1

 0,18 0,05 3 − 1  0,12  =    0,05 0,16  1 3  − 0,47  0,59 − 0,03  0,12   0,08  =  =  0,31 0,43  − 0,47  − 0,16 

∧  ∧ ' ( 2 )  ∧' b1 z  = b1 R22 b1 =1     −2,00  0,08   6,00 −0,16 ]   =[0,80 7,00  −2,00 −0,16 

∧  Var V 1  =Var  

[0,08

Dengan menggunakan

pasangan variasi kanonik sampel pertama yaitu ∧'

∧

∧'

∧ ∧  U 1 ,V 1   

1 0,52

 0,08   0,15  − 0,16  = − 0,31 . Jadi,    

sebagai berikut:

U 1 = a 1 z (1) = 0,12 z1(1) − 0,47 z 2( 1)

∧∗

ρ 1 = 0,57 ,

•

∧

∧

0,27 = 0,52 , maka b1 =

 0,08  −1,28 ]  = 0,27 −0,16 

V 1 = b1 z ( 2 ) = 0,15 z1( 2 ) − 0,31 z 2( 2 ) ∗

∧ Diketahui ρ 2 = 0,46 dan vektor eigen e 2 nya yaitu :

Analisis Korelasi Kanonik

27

 e21   0,26 − 0,04  e21  = 0 , 46 e   − 0,04 0,28   e     22   22  0,26e21 − 0,04e22 = 0,46e21 − 0.04e21 + 0,28e22 = 0,46e22 − 0,04e22 = 0,20e21   0,20  e22 = e21 − 0,04 

M isal: e21 = 1,00 m aka e22 = − 5,00

 0,20 

Jadi, e2 =   − 0,98  ∧  0,36 a 2 = R11−1 / 2 e 2 =  − 0,07

− 0,07  0,20   0,14  = 0,47 − 0,98  − 0,47  ∧

−1 / 2 f 2 ∝ R22 R21 R11−1 / 2 e2 dan b 2 = R −1 / 2 f , maka 22 2 ∧ ∧ 0,18 0,05  3 − 1  0,14  −1 b 2 ∝ R22 R21 a 2 =     0,05 0,16  1 3  − 0,47  0,59 − 0,03  0,14   0,10  =  =  0,31 0,43  − 0,47  − 0,−16  ∧  ∧' ( 2 )  ∧' b 2 z  = b 2 R22 b 2 =1     −2,00  0,10   6,00 −0,16 ]   =[0,92 7,00  −2,00 −0,16 

∧  Var V 2  =Var  

[0,10

Dengan menggunakan

0,57 =0,75

pasangan variasi kanonik kedua yaitu

 0,10  −1,32 ]  = 0,57 −0,16  ∧

, maka b 2 =

∧ ∧  U 2 ,V 2   

1 0,75

 0,10   0,13  − 0,16  = − 0,21 . Jadi,    

sebagai berikut:

∧

∧∗

ρ 2 = 0,46 ,

U 2 = a 2' z ( 1) = 0,14 z1( 1) − 0,47 z 2( 1) ∧

V 2 = b2' z ( 2 ) = 0,13 z1( 2 ) − 0,21z 2( 2 )

Analisis Korelasi Kanonik

28

dan

−1

∧

− 0,31  − 0,21 

∧ 0,15   sampel Cov  z ( 2 ) , V  = B =    z 0,13

•

Proporsi

R 2( 1) z

∧

dari

∧

total

∧

R ( 2) z

∧

∧

∧

− 23,86 = −14 ,77

standar

standar

'  ∧ ( 1) ∧ ( 1) ' ∧ ( r) ∧ (r)   tr b z b z + ... + b z b z    = =  tr ( R22 )

=

−1

r

p

∑∑ r

3,85  1   35 ,23  17 ,05  

yang

pertama

adalah

:

2 ∧

( 1) i =1 k =1 U i , z k

dan proporsi dari total

p

[

sampel

V 1 ,V 2 ,...,V r

− 3,85 =  1,17

]

1 ( − 3,85) 2 + ( 3,85) 2 + (1,17 ) 2 + (1) 2 = 8,00 4

=

2

sampel

'  ∧ ( 1) ∧ ( 1) ' ∧ (r) ∧ (r)  tr  a z a z + ... + a z a z    = =  tr ( R11 )

U 1 ,U 2 ,...,U r

varian

varian

−1

− 0,47  − 0,47  

−1 ∧ 0,12   ∧ sampel Cov  z (1) , U  = A z =    0,14

[

yang

r

q

∑∑r

kedua

adalah

:

2 ∧

( 1) i =1 k =1 V i , z k

. Sehingga terlihat

q

]

1 ( − 23,86) 2 + ( 35,23) 2 + ( − 14,77) 2 + (17,05) 2 = 581,54 4

bahwa proporsi dari total varian sampel standar yang kedua lebih baik dari proporsi dari total varian sampel standar yang pertama.

•

Test signifikansi dari relasi kanonik kemampuan membaca dan berhitung siswa. H0 :

Tidak ada hubungan antara kemampuan membaca siswa dengan berhitung siswa.

Analisis Korelasi Kanonik

29

H1 :

Ada hubungan antara kemampuan membaca siswa dengan berhitung siswa. ∧∗

∧∗

∧∗

∧∗

H0 ditolak jika ρ = ρ = 0 , karena ρ = 0,57 dan ρ = 0,46 , dua korelasi 1 2 1 2 ∧∗

∧∗

∧∗

∧∗

kanonik ρ dan ρ terlihat nonzero, atau dengan kata lain ρ ≠ 0dan ρ ≠ 0 , 1 2 1 2 jadi H0 diterima.

BAB IV KESIMPULAN 4.1

Kesimpulan Dari pengolahan data pada bab sebelumnya, diketahui matriks korelasi

R11 R21

sampelnya adalah R = 

8,00 R12  2,00 = R22   3,00  1,00

2,00 5,00 −1,00 3,00

3,00 −1,00 6,00 − 2,00

1,00  3,00   , sehingga dapat − 2,00   7,00 

diambil kesimpulan bahwa :

Analisis Korelasi Kanonik

30

•

Analisis korelasi kanonik dari himpunan kemampuan membaca dan berhitung siswa menggunakan variabel R menghasilkan dua korelasi kanonik dan dua pasangan variasi kanonik yaitu korelasi kanonik ρ1∗ = 0,57 dengan pasangan

variasi kanonik

U 1 = a1' X ( 1) = 0,12 X 1( 1) − 0,47 X 2( 1)

serta korelasi kanonik

V1 = b1' X ( 2 ) = 0,15 X 1( 2 ) − 0,31 X 2( 2 )

ρ = 0,46 dengan pasangan variasi kanonik ∗ 2

U 2 = a 2' X ( 1) = 0,14 X 1( 1) − 0,47 X 2(1) V2 = b2' X ( 2 ) = 0,13 X 1( 2 ) − 0,21 X 2( 2 )

. •

Proporsi dari total varian sampel standar

R 2( 2 ) z

∧

∧

∧

V 1 ,V 2 ,..., V r

R 2( 1) z

∧

∧

∧

U 1 ,U 2 ,..., U r

= 8,00

dan

= 581 ,54 , sehingga Sehingga terlihat bahwa proporsi dari total

varian sampel standar yang kedua lebih baik dari proporsi dari total varian sampel standar yang pertama. •

∧∗

∧∗

∧∗

∧∗

H0 diterima karena ρ 1 = 0,57 dan ρ 2 = 0,46 , dua korelasi kanonik ρ1 dan ρ 2

terlihat nonzero yang artinya tidak ada hubungan antara kemampuan membaca siswa dengan berhitung siswa.

Analisis Korelasi Kanonik

31