Multicoliniaritatea

MULTICOLINIARITATEA ŞI SELECŢIA VARIABILELOR EXPLICATIVE • • • • •

Multicoliniaritatea Consecinţele multicoliniarităţii Detectarea multicoliniarităţii Remedierea multicoliniarităţii Selecţia variabilelor explicative

Multicoliniaritatea • •

•

•

O ipoteză a modelului liniar clasic de regresie: nu există multicoliniaritate printre variabilele explicative incluse în model. Seriile x1 şi x2 sunt ortogonale sau independente când cov(x1,x2)=0. Multicoliniaritatea se referă strict la existenţa mai multor relaţii liniare, iar termenul de coliniaritate se referă la existenţa unei singure relaţii liniare. Această distincţie nu se face în practică, folosindu-se în ambele situaţii termenul de multicoliniaritate. În cazul a două variabile explicative, intercorelaţia lor se măsoară cu coeficientul de corelaţie simplă dintre ele. Intercorelaţia în cazul mai multor variabile explicative se măsoară cu ajutorul coeficienţilor de corelaţie parţială sau prin coeficientul de corelaţie multiplă R între variabila y şi variabilele xi. Multicoliniaritatea este un fenomen de eşantionare: chiar dacă în populaţie, variabilele xi sunt necorelate liniar, se poate ca într-un eşantion dat, ele să fie corelate. Astfel încât, deşi teoretic se poate considera că variabilele xi au o influenţă separată sau independentă asupra variabilei dependente y, se poate întâmpla ca în eşantionul dat pentru a testa funcţia de regresie a populaţiei, unele variabile xi, să fie atât de puternic corelate, încât să nu se poată izola influenţa lor individuală asupra lui y.

Consecinţele multicoliniarităţii • • • • • •

varianţe şi covarianţe mari ale estimatorilor coeficienţilor de regresie; intervale mari de încredere ale estimatorilor, din cauza abaterilor standard mari; raţiile t Student nesemnificative, din cauza abaterilor standard mari; un coeficient mare de determinaţie R2, dar raţiile t nesemnificative; instabilitatea estimatorilor şi a abaterilor lor standard la mici schimbări ale datelor; în caz de multicoliniaritate perfectă matricea este singulară (determinatul este 0), estimarea coeficienţilor este imposibilă şi varianţa lor, infinită.

Regresia y = f(x1, x2, x3, x4) din exerciţiul prezentat indică un coeficient de determinaţie mare, de 0.995, iar testul Fisher arată că regresia este global semnificativă cu o probabilitate de 100% (Significance F). Cu excepţia coeficientului variabilei x1, care este semnificativ, restul coeficienţilor au raţiile Student mai mici decât valoarea critică pentru un prag de semnificaţie de 5%. aˆ Intervalele de încredere ale estimatorilor, cu excepţia intervalului pentru 1 , schimbă semnul de la minus la plus, conţinând valoarea 0 şi indicând faptul că sunt nesemnificativi.

Exerciţiu – multicoliniaritatea y

x1

x2

x3

x4

9.5

83.7

18

92.5

92.5

10.7

88.8

21.5

93.6

95.6

11.5

100.7

25.6

96.5

97.5

12.5

105.5

29.5

94

97.4

13.3

118.5

34.6

100.2

100.2

15.3

131.4

40.5

101.5

101.4

16.8

148.5

44.4

105.4

104.6

18.8

162

49.8

112.8

109.8

19.5

174.5

51.5

112.6

111.5

21.5

185.3

53.8

112.7

112.2

SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0.99748 R Square 0.994966 Adjusted R Square 0.990938 Standard Error Observations

0.389094 10

ANOVA df

SS

MS

Regression

4

149.607

37.40176

Residual Total

5 9

0.75697 150.364

0.151394

Coefficients Standard Error

F 247.0493

t Stat

P-value

Significance F 6.27E-06

Lower 95%

Upper 95%

Intercept

-4.15552

10.3724

-0.40063

0.705236

-30.8186

22.50753

X Variable 1

0.096456

0.035756

2.697625

0.042906

0.004543

0.18837

X Variable 2

0.023858

0.066989

0.356143

0.736268

-0.14834

0.196057

X Variable 3 X Variable 4

-0.09621 0.151719

0.100689 0.176617

-0.95547 0.859026

0.38322 0.429576

-0.35504 -0.30229

0.162624 0.605726

Detectarea multicoliniarităţii (1) Nu există o metodă unică de detectare şi măsurare a intensităţii sale. Există câteva reguli pentru stabilirea existenţei sale: • R2 mare, dar puţine raţii t semnificative. Testul F de semnificaţie globală a regresiei va fi în majoritatea cazurilor, mai mare decât F teoretic, astfel că se va respinge ipoteza nulă, conform căreia coeficienţii parţiali de regresie (estimatorii variabilelor explicative) sunt simultan egali cu zero. Dar raţiile t au valori mici şi arată că nici unul sau foarte puţini coeficienţi de regresie sunt statistic semnificativ diferiţi de 0. Multicoliniaritatea este dăunătoare numai când influenţele tuturor variabilelor explicative asupra lui y nu pot fi separate. • Corelaţiile perechi puternice (perechi de câte două variabile explicative). Coeficienţii mari de corelaţie de ordinul 0 reprezintă condiţia suficientă, dar nu şi necesară pentru existenţa multicoliniarităţii, deoarece aceasta poate exista chiar dacă valorile lor sunt comparativ mici. • Pornind de la această regulă, testul lui Klein, constă în compararea R2, calculat pe modelul cu k variabile explicative: cu r2xixj , unde i≠ j. Dacă R2 < r2xixj pentru oricare i≠ j, i,j =1,2,…,k, atunci există o ˆ0test ˆ1xpropriu-zis ˆ ˆk xnici =a +a 1 + a2 x2 + ...+ a k + e nu prezumpţie de multicoliniaritate. Acest test nu esteyun şi este concludent în toate cazurile.

Detectarea multicoliniarităţii (2) • Examinarea corelaţiilor parţiale a fost propusă de Farrar şi Glauber, tocmai datorită problemei menţionate pentru coeficienţii de corelaţie simplă dintre regresori. Ei susţin că, în regresia dintre y şi x1, x2, x3, dacă se găseşte că R2yx1x2x3 este mare, şi comparativ r2yx1.x2x3 , r2yx2.x1x3 , r2yx3.x1x2

sunt mici, aceasta

poate sugera că variabilele x1, x2 şi x3 sunt puternic intercorelate şi că cel puţin una din variabilele explicative este în plus. Deşi studiul coeficienţilor de corelaţie parţială ar putea fi foarte util, totuşi nu se poate garanta că va furniza un răspuns sigur în ceea ce priveşte multicoliniaritatea. Se poate întâmpla ca atât R2yx1x2x3

cât şi toate corelaţiile parţiale să fie

suficient de mari, încât să pună sub semnul întrebării afirmaţia lui Farrar şi Glauber.

Detectarea multicoliniarităţii (3) •

Regresiile auxiliare. Aflarea variabilei explicative care este corelată cu alte variabile x, prin efectuarea regresiilor pentru fiecare variabilă xi şi restul variabilelor x. Fiecare din aceste regresii se consideră ca fiind auxiliară faţă de regresia principală, considerată a fi regresia lui y în funcţie de toate variabilele explicative x. Un coeficient mare de determinaţie sugerează că xi este puternic corelată cu celelalte variabile x. Pentru fiecare din aceste regresii auxiliare se calculează statistica F, după formula: , unde

Rxi2 .x2x3...xk /(k − 1) Fi = k este numărul de variabile regresori modelul auxiliar, n este volumul eşantionului, iar (1 − Rxi2 .x2xdin 3...xk ) /(n − k − 1) R2xi.x2x3…xk

∗

este coeficientul de determinaţie corespunzător fiecărei regresii.

Se compară Fi* cu valoarea critică din tabela Fisher, pentru un prag de semnificaţie α şi (k-1), (n-k-1) grade de libertate. Dacă Fi* > F αk-1,n-k-1

acesta înseamnă că acea variabilă xi este

coliniară cu celelalte variabile x. Dacă Fi* < Fα k-1,n-k-1

se spune că variabila xi nu este coliniară cu

celelalte variabile x, caz în care respectiva variabilă xi se reţine în model. Această metodă are neajunsurile ei, în sensul că atunci când multicoliniaritatea presupune implicarea a mai multor variabile, este dificil să se identifice interrelaţiile separate.

Remedierea multicoliniarităţii (1) Există mai multe reguli de remediere a multicoliniarităţii, dar care nu reprezintă metode sigure de înlăturare a ei. • creşterea volumului eşantionului – este eficientă numai dacă se adaugă observări semnificativ diferite de cele care sunt deja considerate în model, în caz contrar, multicoliniaritatea se menţine; • înlăturarea variabilei puternic corelate poate conduce la o specificare incorectă a modelului. Eroarea de specificare duce la obţinerea de estimatori eronaţi, fiind mai dăunătoare decât acceptarea unei multicoliniarităţi mici; • transformarea variabilelor în serii ale diferenţelor de ordinul 1. Modelul de regresie pe diferenţele de ordinul 1, reduce severitatea multicoliniarităţii. Dezavantajele sunt: – termenul eroare din forma transformată a diferenţelor de ordinul 1, s-ar putea să nu respecte una din ipotezele modelului liniar clasic, şi anume erorile nu sunt serial corelate (corelaţie de ordinul 1). Dacă în seriile iniţiale erorile sunt independente sau necorelate, în seria transformată, acestea vor fi serial corelate în majoritatea cazurilor. – se pierde o observare prin diferenţiere, ceea ce este important când volumul eşantionului este mic, şi numărul gradelor de libertate se micşorează cu 1. Mai mult, în seriile de date instantanee, procedura de diferenţiere nu este corespunzătoare, deoarece nu există o ordine logică a datelor observate. • utilizarea altor metode: analiza factorială, analiza în componente principale, sunt deseori folosite pentru a ″ rezolva″ problema multicoliniarităţii.

Remedierea multicoliniarităţii (2) •

Se observă că nu în orice situaţie, când se obţin valori t nesemnificative pentru estimatorii coeficienţilor de regresie, există multicoliniaritate. Lipsa de semnificaţie se poate datora şi altor cauze, cum ar fi: – metoda folosită pentru culegerea datelor, de exemplu eşantionarea variabilelor regresori peste valorile lor limită, pe care acestea le iau în populaţie; – restricţii asupra modelului sau asupra populaţiei şi a metodei de eşantionare folosită; – specificarea modelului; – supradimensionarea modelului, prin introducerea unui număr de variabile explicative, mai mare decât numărul de observări (în domeniul medical, când numărul de pacienţi este mai mic decât informaţiile despre ei, cuprinse într-un număr mare de variabile).

Aplicarea în practică a uneia din modalităţile de remediere, depinde de natura datelor şi de severitatea multicoliniarităţii. Nu se recomandă utilizarea regresiei afectată de multicoliniaritate, pentru previziune.

Selecţia variabilelor explicative (1) Procedurile statistice de selecţie a variabilelor explicative permit determinarea acelor variabile, care se adaugă sau se retrag dintr-un model. Aceste demersuri exclud raţionamentul economic, permiţând găsirea unor modele, care deseori sunt bune din punct de vedere statistic, dar a căror interpretare economică poate fi nulă sau aberantă. De aceea tehnicile automate de selecţie a variabilelor explicative se utilizează cu prudenţă, completându-se rezultatele cu raţionamentul economic. Există cinci proceduri pentru selecţia variabilelor explicative - cele mai corelate cu variabile explicată şi - cel mai puţin corelate între ele. Aceste proceduri sunt: • toate regresiile posibile; • eliminarea progresivă; • selecţia progresivă; • regresia pas cu pas; • regresia pe faze.

Selecţia variabilelor explicative (2) •

•

•

Toate regresiile posibile - constă în efectuarea tuturor regresiilor posibile (2k – 1), unde k este numărul variabilelor explicative, candidate la intrarea în model. Se reţine acel model care are R2 cel mai mare şi toate variabilele explicative semnificative. Dezavantajul este legat de numărul k, de variabile explicative, care cu cât este mai mare, cu atât duce la realizarea unui număr considerabil de regresii (de exemplu: k=10, număr regresii posibile = 1023). Eliminarea progresivă (Backward Elimination) - constă în efectuarea regresiei cu toate variabilele explicative şi apoi eliminarea pe rând, a acelora a căror raţie Student este mai mică decât valoarea critică. Procedura se utilizează, numai dacă se poate estima efectiv, modelul iniţial, ceea ce nu este mereu posibil. Modelul poate avea un număr mare de variabile explicative, şi atunci, riscul multicoliniarităţii este mare, iar matricea poate fi singulară. Selecţia progresivă (Forward Regression) - se parcurge un sens invers celui descris în eliminarea progresivă. – în prima etapă, se selectează în model o variabilă xi, care are coeficientul de corelaţie simplă cu variabila y, cel mai mare. – în a doua etapă se calculează coeficienţii de determinaţie parţială r2yxj.xi pentru j ≠ i şi se reţine acea variabilă xj, care are cel mai mare coeficient de corelaţie parţială. Selecţia variabilelor se opreşte când raţiile t calculate devin mai mici decât valoarea critică citită din tabela Student.

Selecţia variabilelor explicative (3) • Regresia pas cu pas (Stepwise regression) - este identică cu cea precedentă, a selecţiei progresive, doar că înainte de a incorpora o nouă variabilă explicativă se examinează raţia t* a fiecăreia din variabilele explicative selecţionate în prealabil şi se elimină din model cele care au raţiile t* mai mici decât valoarea critică. • Regresia pe faze sau pe stadii (Stagewise Regression) - permite minimizarea intercorelaţiilor dintre variabilele explicative, prin studiul reziduurilor. Etapele care se parcurg sunt următoarele: – etapa 1: se selecţionează acea variabilă explicativă, xi, care are coeficientul de corelaţie simplă cu y, cel mai mare; ˆt = yt − (a ˆ0 + a ˆ1xit ) – etapa a 2-a: se calculează reziduurile e1t = yt − y şi coeficienţii de corelaţie simplă între e1t şi restul variabilelor explicative; se reţine aceea dintre ele, xj, care are acest coeficient cel mai mare, considerând că va explica în continuare, cel mai bine, varianţa reziduurilor; – etapa a 3-a: se calculează reziduurile: e2t = yt − yˆt = yt − (aˆ0 + aˆ1xit + aˆ2 xjt ) şi coeficienţii de corelaţie simplă între e2t şi restul variabilelor explicative; se reţine aceea dintre ele, xk, care are acest coeficient cel mai mare, ceea ce duce la obţinerea altor reziduuri; procedura se termină când de coeficienţii de corelaţie simplă dintre reziduuri şi variabilele explicative rămase, devin nesemnificativ diferiţi de 0.