Multi Variable Calculus

Multivariable calculus In your previous study of calculus, we have looked at functions and their behavior (tính chất, hành vi). Most of these functions we have examined (nghiên cứu, quan sát, kiểm tra) have been all in the form f(x) : R → R, and only occasional examination of functions of two variables – và đó là lý do xem xét hàm 2 biến. However, the study of functions of several variables is quite rich (khá phong phú) in itself, and has applications in several fields. Tuy nhiên, môn học hàm nhiều biến khá phong phú, thú vị và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. We write functions of vectors - many variables - as follows: f : Rm → Rn And f(x) for the function that maps a vector in R m to a vector in R n . Before we can do calculus in R n , we must familiarize (làm quen) ourselves with the structure of R n . We need to know which properties of R can be extended to R n Topology in ...............................................................................................................................3 Open and closed balls................................................................................................................4 Boundary points.........................................................................................................................4 Curves and parameterizations – đường cong và sự tham số hóa...............................................5 Collision and intersection points – sự va chạm và các điểm giao nhau.....................................5 Continuity and differentiability – liên tục và khả vi..................................................................6 Tangent vectors – vector tiếp tuyến...........................................................................................6 Tangent lines – Đường tiếp tuyến..............................................................................................7 Different parameterizations.......................................................................................................7 Surfaces – Mặt cong..................................................................................................................7 Level sets – Tập hợp mức..........................................................................................................7 Continuity..................................................................................................................................8 Special note about limits............................................................................................................9 Differentiable functions – Hàm khả vi......................................................................................9 Affine approximations – Xấp xỉ Affine...................................................................................10 Jacobian matrix and partial derivatives (đạo hàm riêng phần)................................................10 Continuity and differentiability...............................................................................................11 Rules of taking Jacobians – Cách lấy Jacobians......................................................................11 Chain rule – định lí dây chuyền...............................................................................................11 Alternate notations – kí hiệu luân phiên..................................................................................11 Directional derivatives – đạo hàm theo hướng........................................................................12 Gradient vectors.......................................................................................................................13 Dot Product .............................................................................................................................13 Properties of the gradient vector..............................................................................................14 Geometry – hình học...............................................................................................................14 Algebraic properties – tính chất đại số....................................................................................14 Divergence – độ phân kì..........................................................................................................14 Curl..........................................................................................................................................15 Product and chain rules............................................................................................................16 Second order differentials – vi phân bậc 2..............................................................................17

Integration................................................................................................................................18 Riemann sums..........................................................................................................................18 Iterated integrals – tích phân lặp..............................................................................................19 Order of integration.................................................................................................................19 Parametric integrals – tích phân tham số.................................................................................20 Line integrals...........................................................................................................................20 Green's Theorem......................................................................................................................21 Inverting differentials – vi phân đảo........................................................................................21 Surface and Volume Integrals..................................................................................................23 Gauss's divergence theorem.....................................................................................................23 Stokes' curl theorem.................................................................................................................24

Contents 1 Topology in Rn 1.1 Lengths and distances 1.2 Open and closed balls 1.3 Boundary points 2 Curves and parameterizations 2.1 Collision and intersection points 2.1.1 Intersection points 2.1.2 Collision points 2.2 Continuity and differentiability 2.3 Tangent vectors 2.3.1 Angle between curves 2.3.2 Tangent lines 2.4 Different parameterizations 2.5 Surfaces 2.5.1 Level sets 3 Limits and continuity 3.1 Rules 3.2 Continuity 3.3 Special note about limits 4 Differentiable functions 4.1 Properties 4.1.1 Affine approximations 4.1.2 Jacobian matrix and partial derivatives 4.1.3 Continuity and differentiability 4.2 Rules of taking Jacobians 4.2.1 Chain rule 4.3 Alternate notations 4.4 Directional derivatives

4.5 Gradient vectors 4.5.1 Properties of the gradient vector 4.5.1.1 Geometry 4.5.1.2 Algebraic properties 4.6 Divergence 4.7 Curl 4.8 Product and chain rules 4.9 Second order differentials 5 Integration 5.1 Riemann sums 5.2 Iterated integrals 5.3 Order of integration 5.4 Parametric integrals 5.5 Line integrals 5.5.1 Green's Theorem 5.5.2 Inverting differentials 5.6 Surface and Volume Integrals 5.7 Gauss's divergence theorem 5.8 Stokes' curl theorem Topology in R n We are already familiar with the nature (bản chất) of the regular real number line (đường thẳng thực chính quy), which is the set R, and the two-dimensional plane, R 2 . This examination (sự nghiên cứu) of topology in R n attempts (cố gắng) to look at a generalization (sự tổng quát hóa) of the nature of n-dimensional spaces - R, or R 23 , or R n . Sự nghiên cứu về topology trong R n cố gắng đem đến sự tổng quát hóa bản chất của ko gian n chiều. Lengths and distances If we have a vector in R 2 , we can calculate its length using the Pythagorean theorem. For instance (ví dụ mẫu), the length of the vector (2, 3) is 32 + 22 = 13 We can generalize this to R n . We define a vector's length, written |x|, as the square root of the sum of the squares of each of its components. That is, if we have a vector x = ( x1 , x 2 ,...x n ) ⇒| x |= x12 + x 22 + L + x n2 Now that we have established (thiết lập) some concept of length, we can establish the distance (khoảng cách) between two vectors. We define this distance to be the length of the two vectors' difference. We write this distance d(x, y), and it is d(x, y) =| x − y |=

∑ (xi − yi )2

This distance function is sometimes referred (được xem như) to as a metric. Other metrics arise (phát sinh) in different circumstances (hoàn cảnh). The metric we have just defined is known as the Euclidean metric.

Open and closed balls In R, we have the concept of an interval, in that we choose a certain number (1 số nào đó) of other points about some central point. Trong R, ta có khái niệm của 1 đoạn, trong đó chúng ta chọn 1 số điểm nào đó quanh điểm trung tâm. For example, the interval [-1, 1] is centered about (có tâm) the point 0, and includes points to the left and right of zero. In R2 and up, the idea is a little more difficult to carry on (tiếp tục). Trong R 2 và hơn nữa, ý tưởng có 1 chút khó hơn khi mở rộng. For R2, we need to consider points to the left, right, above, and below a certain point. This may be fine, but for R3 we need to include points in more directions. We generalize the idea of the interval by considering all the points that are a given, fixed distance from a certain point - now we know how to calculate distances in Rn, Ta có thể tổng quát hóa ý tưởng của đoạn bằng cách xem xét tất cả những điểm được cho trước, có khoảng cách cố định từ điểm trung tâm – giờ ta đã biết cách tính khoảng cách trong R n . We can make our generalization as follows, by introducing the concept of an open ball and a closed ball respectively (tương ứng), which are analogous (tương tự) to the open and closed interval respectively. Chúng ta có thể tổng quát hóa như sau, bằng cách giới thiệu khái niệm về quả cầu mở và quả cầu đóng, mà có sự tương tự với khoảng mở và khoảng đóng tương ứng. an open ball B(a, r)

{

}

{

}

n is a set in the form x ∈ R , d ( x, a ) < r

a closed ball B(a, r)

n is a set in the form x ∈ R , d ( x, a ) ≤ r

In R, we have seen that the open ball is simply an open interval centered about the point x = a. In R2 this is a circle with no boundary (biên), and in R3 it is a sphere (quả cầu) with no outer surface (mặt ngoài). (What would the closed ball be?) Boundary points If we have some area, say a field, then the common sense notion (ý nghĩa thông thường) of the boundary is the points 'next to' both the inside and outside of the field. Nếu chúng ta có 1 diện tích nào đó, gọi là miền, thì nghĩa thông thường của biên là những điểm vừa ở bên trong vừa ở bên ngoài miền đó. For a set, S, we can define this rigorously (chính xác, chặt chẽ) by saying the boundary of the set contains all those points such that we can find points both inside and outside the set. Đối với 1 tập hợp S, ta có thể định nghĩa điều này chính xác bằng cách nói biên là tập hợp chứa những điểm mà ta có thể tìm thấy những điểm vừa nằm trong vừa nằm ngoài tập hợp đó. We call the set of such points ∂S Typically (điển hình mà nói, 1 cách điển hình), when it exists the dimension of ∂S is one lower than the dimension of S. e.g the boundary of a volume is a surface and the boundary of a surface is a curve. Điển hình mà nói, số chiều tồn tại của biên là thấp hơn số chiều của S, lấy ví dụ, biên của 1 khối thể tích là 1 mặt và biên của 1 mặt là 1 đường cong. This isn't always true; but it is true of all the sets we will be using. A set S is bounded if there is some positive number such that we can encompass (bao quanh) this set by a closed ball about 0. 1 tập S bị chặn nếu có 1 vài số dương mà chúng ta có thể bao

quanh tập S bằng 1 quả cầu đóng gần chính xác. If every point in it is within a finite distance of the origin, i.e there exists some r > 0 such that x is in S implies (kéo theo, có nghĩa) x < r . Curves and parameterizations – đường cong và sự tham số hóa. If we have a function f : R → Rn, we say that f's image (the set {f(t) | t ∈ R} - or some subset of R) is a curve in Rn and f is its parametrization. Parameterizations are not necessarily unique (nhất thiết duy nhất) - for example, f ( t ) = ( cos t,sin t ) such that t ∈ [ 0, 2π] is one parametrization of the unit circle (vòng tròn đơn vị), and g(t) = (cos at, sin at) such that t ∈ [0, 2π/a) is a whole family of parameterizations (họ tham số hóa) of that circle. Collision and intersection points – sự va chạm và các điểm giao nhau. Say we have two different curves. It may be important to consider when the two curves cross each other - where they intersect when the two curves hit each other at the same time - where they collide. Cho chúng ta có 2 đường cong khác nhau. Có lẽ quan trọng khi xem xét khi nào 2 đường cong cắt lẫn nhau, chỗ chúng giao nhau khi 2 đường cong chạm nhau cùng lúc – chỗ chúng va chạm. Intersection points – các điểm giao nhau. Firstly, we have two parameterizations f(t) and g(t), and we want to find out when they intersect, this means that we want to know when the function values of each parametrization are the same. Đầu tiên, chúng ta có 2 sự tham số hóa f(t) và g(t), và ta muốn tìm hiểu khi chúng giao nhau, điều này nghĩa là ta muốn biết khi nào giá trị hàm của mỗi sự tham số hóa là như nhau. This means that we need to solve f(t) = g(s) because we're seeking the function values independent of the times they intersect. Bởi vì chúng ta tìm kiếm giá trị hàm độc lập với số lần giao nhau. For example, if we have f(t) = (t, 3t) and g(t) = (t, t2), and we want to find intersection points: f(t) = g(s) (t, 3t) = (s, s2) t = s and 3t = s2 with solutions (t, s) = (0, 0) and (3, 3). So, the two curves intersect at the points (0, 0) and (3, 3). Collision points – các điểm va chạm. However, if we want to know when the points "collide", with f(t) and g(t), we need to know when both the function values and the times are the same, so we need to solve instead. Tuy nhiên, nếu ta muốn biết các điểm va chạm, với f(t) và g(t), ta cần biết khi nào cả 2 giá trị hàm và số lần va chạm là như nhau, nên ta cần giải pt thay thế: f(t) = g(t) For example, using the same functions as before, f(t) = (t, 3t) and g(t) = (t, t2), and we want to find collision points: f(t) = g(t) (t, 3t) = (t, t2) t = t and 3t = t2 which gives solutions t = 0, 3 So the collision points are (0, 0) and (3, 9).

We may want to do this to actually model physical problems (vấn đề vật lí thực tế), such as in ballistics (đường đạn). Continuity and differentiability – liên tục và khả vi. If we have a parametrization f : R → Rn, which is built up out of component functions (những hàm thành phần) in the form f ( t ) = ( f1 ( t ) ,f 2 ( t ) ,...f n ( t ) ) , f is continuous if and only if each component function is also. In this case the derivative of f(t) is

(

)

ai = f1' ( t ) , f 2' ( t ) ,... f n' ( t ) . This is actually a specific consequence of a more general fact we will see later. Điều này thực ra là hệ quả cụ thể của 1 sự thật tổng quát hơn mà ta sẽ xem xét sau. Tangent vectors – vector tiếp tuyến. Recall in single-variable calculus that on a curve, at a certain point, we can draw a line that is tangent to that curve at exactly at that point. Nhớ lại trong giải tích đơn biến, trên 1 đường cong, tại 1 điểm nào đó, ta có thể vẽ 1 đường thẳng tiếp tuyến với đường cong tại chính xác điểm đó. This line is called a tangent. In the several variable case, we can do something similar. We can expect (kì vọng) the tangent vector to depend on f ' ( t ) and we know that a line is its own tangent, so looking at a parametrised line will show us precisely (chính xác) how to define the tangent vector for a curve. Ta có thể kì vọng rằng vector tiếp tuyến phụ thuộc vào f ' ( t ) và chúng ta biết rằng 1 đường thẳng là sự tiếp tuyến với chính nó, nên việc xem xét đường thẳng tham số sẽ cho ta cách định nghĩa chính xác vector tiếp tuyến của 1 đường cong. An arbitrary line is f ( t ) = a.t + b with fi ( t ) = ai .t + bi so fi' ( t ) = ai and f ' ( t ) = a , with which is the direction of the line, its tangent vector. Với cùng hướng của đường thẳng, vector tiếp tuyến của nó. Similarly (1 cách tương tự), for any curve, the tangent vector is f′(t). Angle between curves – góc giữa 2 đường cong.

We can then formulate (làm thành công thức, xây dựng công thức) the concept of the angle between two curves by considering the angle between the two tangent vectors. If two curves, parametrized by f1 and f 2 intersect at some point, which means that f1 ( s ) = f 2 ( t ) = c , the angle between these two curves at c is the angle between the tangent vectors f1' ( s ) and f 2' ( t ) is given by  f ′ ( s )·f ′ (t )  2 c = arccos  1   | f ′ ( s ) || f ′ (t ) |   1 2 

Tangent lines – Đường tiếp tuyến With the concept of the tangent vector as being analogous to being the gradient of the line in the one variable case, we can form the idea of the tangent line. Với khái niệm vector tiếp tuyến tương tự như gradient của đường thẳng trong trường hợp 1 biến, ta có thể biểu diễn ý tưởng đường thẳng tiếp xúc. Recall that we need a point on the line and its direction. If we want to form the tangent line to a point on the curve, say p, we have the direction of the line f ' ( p ) , so we can form the tangent line. Nếu ta muốn thiết lập đường thẳng tiếp xúc với 1 điểm trên đường cong, cho p, ta có hướng của đường thẳng f ' ( p ) , nên ta có thể thiết lập đường thẳng tiếp xúc: x ( t ) = p + f ' ( p ) Different parameterizations One such parametrization of a curve is not necessarily unique (nhất thiết/chắc chắn duy nhất). Curves can have several different parametrizations. For example, we already saw that the unit circle can be parametrized by g ( t ) = ( cosat , sinat ) such that t ∈ [ 0, 2π / a ) . Generally, if f is one parametrization of a curve, and g is another, with f ( t0 ) = g ( s0 ) there is a function u(t) such that u ( t0 ) = s0 and g ' ( u ( t ) ) = f ( t ) near t 0 . This means, in a sense, the function u(t) "speeds up" the curve, but keeps the curve's shape.

Surfaces – Mặt cong A surface in space can be described by the image of a function f : R 2 → R n . f is said to be the parametrization of that surface. For example, consider the function f ( a, b ) = a ( 2,1,3) + b ( −1, 2,0 ) This describes an infinite plane (mặt phẳng vô hạn) in R3. If we restrict (giới hạn, hạn chế) α and β to some domain (1 số miền xác định), we get a parallelogram-shaped surface (dạng măt cong hình bình hành) in R3. Surfaces can also be described explicitly (rõ ràng), as the graph of a function z = f(x, y) which has a standard parametrization (sự tham số chuẩn) as f ( x, y ) = ( x, y, f ( x, y ) ) , or implicitly (dạng ẩn), in the form f(x, y, z) = c. Level sets – Tập hợp mức The concept of the level set (or contour – đường mức) is an important one. If you have a function f(x, y, z), a level set in R3 is a set of the form {(x,y,z)| f(x,y,z) = c}. Each of these level sets is a surface. Level sets can be similarly defined in any Rn Level sets in two dimensions may be familiar from maps (ánh xạ), or weather charts (biểu đồ thời tiết). Each line represents a level set. For example, on a map, each contour represents all the points where the height is the same. Mỗi đường thẳng đại diện 1 tập hợp mức. For example, trong 1 ánh xạ, mỗi đường mức đại diện cho tất cả những điểm có chiều cao bằng nhau. On a weather chart, the contours represent all the points where the air pressure is the same. Trong 1

biểu đồ thời tiết, những đường mức đại diện cho tất cả những điểm có áp suất ko khí giống nhau. Limits and continuity Before we can look at derivatives of multivariate functions, we need to look at how limits work with functions of several variables first, just like in the single variable case. If we have a function f : R m → R n , we say that f(x) approaches b (in R n ) as x approaches a (in R m ) if, for all positive ε (epsilon) , there is a corresponding positive number (số dương tương ứng) δ, f ( x ) − b < ε whenever x − a < δ with x ≠ a . This means that by making the difference between x and a smaller, we can make the difference between f(x) and b as small as we want. Điều này nghĩa là bằng cách làm cho sai số giữa x và a nhỏ hơn, ta có thể làm cho sai số giữa f(x) và b nhỏ như ta muốn. If the above is true, we say. Nếu những điều trên được thỏa mãn, ta nói: f(x) has limit b at a lim f (x) = b x →a

f(x) approaches b as x approaches a f(x) → b as x → a These four statements are all equivalent (tương đương). 4 mệnh đề này đều tương đương. Rules – Quy luật Since this is an almost identical (đúng, chính xác) formulation of limits in the single variable case, many of the limit rules in the one variable case are the same as in the multivariate case. For f and g, mapping R m → R n , and h(x) is a scalar function (hàm vô hướng) mapping R m → R , with f(x) → b as x → a, g(x) → c as x → a, h(x) → H as x → a then:

lim ( f + g ) = b + c, lim ( h. f ) = Hb, lim ( f ·g) = b· c, lim ( f × g ) = b × c

x →a

x →a

x →a

x →a

f  b when H ≠ 0 ⇒ lim   = x →a  h  H Continuity Again, we can use a similar definition to the one variable case to formulate a definition of continuity for multiple variables. If f : R m → R n , f is continuous at a point a in R m if f(a) is defined and lim f (x) = f (a) x →a

Just as for functions of one dimension, if f, g are both continuous at p, f + g, λ.f (for a scalar (vô hướng) λ), f · g and f × g are continuous also. If φ: R m → R n is continuos at p, φf, f/φ are too if φ is never zero. From these facts we also have that if A is some matrix which is n × m in size, with x in R m , a function f(x) = A.x is continuous in that the function f(x) can be expanded (được khai triển) in the form x1.a1 + ... + xm .am , which can be easily verified (kiểm tra) from the points above. Từ

những sự thật này, ta cũng có nếu A là 1 ma trận nào đó có kích thước n × m , với x thuộc Rm, và hàm f(x) = A.x liên tục trên đó, thì f(x) có thể được khai triển theo dạng x1.a1 + ... + xm .am , mà có thể kiểm tra dễ dàng từ quan điểm trên. If f : R m → R n which is in the form f ( x ) = ( f1 ( x ) ,..., f n ( x ) ) is continuous if and only if each of its component functions (hàm thành phần) are a polynomial (đa thức) or rational function (hàm hữu tỉ), whenever they are defined. Finally, if f is continuous at p, g is continuous at f(p), so g(f(x)) is continuous at p. Special note about limits It is important to note that we can approach a point in more than one direction, and thus, the direction that we approach that point counts in our evaluation of the limit. Chú ý quan trọng rằng ta có thể tiến tới 1 điểm theo nhiều hơn 1 hướng, và do đó, hướng mà ta tiến đến điểm đó ảnh hưởng đến sự đánh giá giới hạn. It may be the case that a limit may exist moving in one direction, but not in another. Điều đó xảy ra trong trường hợp giới hạn tồn tại theo 1 hướng nhưng ko tồn tại trong hướng khác. Differentiable functions – Hàm khả vi We will start from the one-variable definition of the derivative at a point p, namely f ( x) − f ( p) lim = f ′( p ) x− p x→ p Let's change above to equivalent form of – Thay đổi dạng tương đương trên: f ( x) − f ( p ) − f ' ( p ) ( x − p ) lim =0 x− p x→ p which achieved (đạt được, hoàn thành) after pulling f ' ( p ) inside and putting it over a common denominator (mẫu số chung). Mà thực hiện sau khi kéo f ' ( p ) vào bên trong và đặt nó trên mẫu số chung. We can't divide by vectors, so this definition can't be immediately extended (trực tiếp mở rộng) to the multiple variable case. Nonetheless – tuy nhiên, we don't have to: the thing we took interest in was the quotient of two small distances (magnitudes – các đại lượng, độ lớn), not their other properties (like sign). Tuy nhiên, cái ta muốn là tỷ số của 2 khoảng cách nhỏ, ko quan tâm đến những tính chất khác (như dấu). It's worth (đáng giá, có giá trị) noting that 'other' property of vector neglected (bị bỏ qua) is its direction. Chú ý răng những tính chất khác của vector bị bỏ qua là hướng của nó. Now we can divide by the absolute value (trị tuyệt đối) of a vector, so lets rewrite this definition in terms of absolute values. Giờ ta có thể chia bằng trị tuyệt đối của vector, vậy hãy viết lại định nghĩa này trong dạng trị tuyệt đối. f ( x) − f ( p ) − f ' ( p)( x − p )

=0 x− p Another form of formula above is obtained by leting h = x − p we have x = p + h lim

x→ p

and if x → p, then h = x − p → 0, so lim

h →0

where h can be thought of as a 'small change'.

f ( p + h) − f ( p) − f ' ( p) h h

=0

So, how can we use this for the several-variable case? If we switch all the variables over to vectors and replace the constant (which performs (biểu diễn, đóng vai trò) a linear map in one dimension) with a matrix (which denotes (được biểu thi, có nghĩa là) also a linear map), we have. Nếu ta chuyển đổi tất cả biến sang vector và thay thế hằng số (được biểu diễn bằng 1 ánh xạ tuyến tính 1 chiều) bằng 1 ma trận cũng có nghĩa là 1 ánh xạ tuyến tính), ta có: f (x) − f (p) − A(x − p) f (p + h) − f (p) − Ah lim = 0 or lim =0 x−p h x →p h →0 If this limit exists for some f : R m → R n , and there is a linear map A : R m → R n (denoted (được kí hiệu) by matrix A which is m×n), we refer to (xem như) this map as being the derivative and we write it as D p . f . A point on terminology - in referring to the action of taking the derivative (giving the linear map A), we write D p . f , but in referring to the matrix A itself, it is known as the Jacobian matrix and is also written J p . f . 1 điểm về thuật ngữ, khi lấy đạo hàm (đối với ánh xạ tuyến tính A), ta viết D p . f , nhưng khi tham chiếu đến matrix A, nó được biết là Jacobian matrix và cũng được viết J p . f . More on the Jacobian later. Chi tiết về Jacobian ở phần sau. Properties There are a number of important properties of this formulation of the derivative. Affine approximations – Xấp xỉ Affine If f is differentiable at p for x close to p, f ( x ) − ( f ( p ) + A ( x − p ) ) is small compared to

x − p which means that f(x) is approximately equal (gần bằng) to f ( p ) + A ( x − p ) . We call an expression of the form g(x) + c affine, when g(x) is linear and c is a constant. Ta gọi biểu thức dạng g(x) +c là affine, với g(x) tuyến tính và c là hằng số. f ( p ) + A ( x − p ) is an affine approximation (xấp xỉ affine) to f(x). Jacobian matrix and partial derivatives (đạo hàm riêng phần) The Jacobian matrix of a function is in the form

( J pf ) ij = ∂∂xfi

j p

for a f : R m → R n , J p f is a m×n matrix. The consequence (hệ quả) of this is that if f is differentiable at p, when all the partial derivatives of f exist (tồn tại) at p. However, it is possible that all the partial derivatives of a function exist at some point yet that function is not differentiable there, so it's very important not to mix (nhầm lẫn) derivative (linear map) with the Jacobian (matrix) especially when cited situation arised. Tuy nhiên, có khả năng rằng tất cả đạo hàm riêng phần của 1 hàm tồn tại tại 1 số điểm, nhưng hàm ko khả tích

tại đó, nên đừng nhầm lẫn đạo hàm (ánh xạ tuyến tính) với Jacobian (matrix), đặc biệt khi tình huống nói trên xảy ra. Continuity and differentiability Furthermore – hơn nữa, if all the partial derivatives exist, and are continuous in some neighbourhood (lân cận) of a point p, then f is differentiable at p. Hơn nữa, nếu tất cả đạo hàm riêng tồn tại và liên tục trên 1 lân cận nào đó của điểm p, thì f khả vi tại p. This has the consequence (hệ quả) that for a function f which has its component functions built from continuous functions (such as rational functions, differentiable functions or otherwise), f is differentiable everywhere f is defined. Điều này có hệ quả là nếu hàm f có các hàm thành phần được xây dựng từ các hàm liên tục (như hàm hữu tỉ, hàm khả vi or các trường hợp khác), f khả vi tại mọi điểm f được xác định. We use the terminology continuously differentiable for a function differentiable at p which has all its partial derivatives existing and are continuous in some neighbourhood (lân cận) at p. Rules of taking Jacobians – Cách lấy Jacobians. If f : Rm → Rn, and h(x) : Rm → R are differentiable at 'p': If f : R m → R n , and h ( x ) : R m → R are differentiable at 'p ' : a / J p (f + g) = J p ( f ) + J p ( g )

b / J p ( h.f ) = h.J p ( f ) + f (p).J p ( h ) c / J p (f ·g) = gT .J p ( f ) + f T .J p ( g ) Important: make sure the order is right - matrix multiplication is not commutative (tính giao hoán)! Phải chắc chắn thứ tự là chính xác – phép nhân matrix ko giao hoán. Chain rule – định lí dây chuyền. The chain rule for functions of several variables is as follows. For f : R m → R n and g : R n → R p , and g o f differentiable at p, then the Jacobian is given by

( Jf ( p) g ) ( J pf )

Again, we have matrix multiplication, so one must preserve (bảo đảm) this exact order. Compositions (sự hợp thành, tổng, tích) in one order may be defined, but not necessarily (nhất thiết, luôn như vậy) in the other way. Tích trong 1 thứ tự có thể xác định, nhưng ko chính xác trong những trường hợp khác. Alternate notations – kí hiệu luân phiên. For simplicity, we will often use various standard abbreviations (những chuẩn viết tắt khác nhau), so we can write most of the formula on one line. This can make it easier to see the important details. Điều này làm dễ dàng hơn để thấy những chi tiết quan trọng. We can abbreviate (viết tắt) partial differentials with a subscript, e.g, ∂h ∂ x h ( x, y ) = ∂ x∂ y h = ∂ y∂ xh ∂x When we are using a subscript this way we will generally use the Heaviside D rather than ∂,

∂h Dx D y h = D y Dx h ∂x Mostly, to make the formula even more compact (gọn hơn), we will put the subscript on the function itself. Dx h = hx hxy = hyx Dx h( x, y ) =

If we are using subscripts to label (đánh dấu, ghi nhãn) the axes (hệ trục), x1, x2 …, then, rather than having two layers (lớp, tầng) of subscripts, we will use the number as the subscript. Nếu ta sử dụng subscripts để ghi nhãn hệ trục x1, x2, ..., thay vì dùng 2 lớp subscripts, ta sẽ dùng số như là subscript. ∂h h1 = D1h = ∂1h = ∂ x1 h = ∂x1 We can also use subscripts for the components of a vector function, u = u x , u y , u z or u = ( u1, u2 ,...un ) . If we are using subscripts for both the components of a

(

)

vector and for partial derivatives we will separate (tách ra) them with a comma (dấu phẩy). ∂u u x, y = x ∂y The most widely used notation is hx . Kí hiệu sử dụng rộng rãi nhất là hx . Both h1 and ∂1h are also quite widely used whenever the axes are numbered. The notation ∂ x h is used least frequently (ít thường xuyên nhất). We will use whichever notation (bất cứ kí hiệu nào) best suits (đáp ứng / thỏa mãn tốt nhất) the equation we are working with. Directional derivatives – đạo hàm theo hướng Normally, a partial derivative of a function with respect to one of its variables, say, xj, takes the derivative of that "slice – miếng mỏng" of that function parallel to (song song với) the x j 'th axis. Thông thường, đạo hàm riêng của 1 hàm theo 1 biến, như xj, là lấy đạo hàm của hàm đó song song với trục xj. More precisely – chính xác hơn, we can think of cutting a function f ( x1 ,..., xn ) in space along the xj'th axis, with keeping everything but the xj variable constant. Chính xác hơn, ta có thể nghĩ việc cắt 1 hàm f ( x1 ,..., xn ) dọc theo ko gian trục xj, giữ nguyên mọi thứ, nhưng xj là biến hằng. From the definition, we have the partial derivative at a point p of the function along this slice as (dọc theo slice này là) f (p + te j ) − f (p) ∂f = lim ∂x j t →0 t provided this limit exists – với giới hạn tồn tại. Instead of the basis vector, which corresponds to taking the derivative along that axis, we can pick a vector in any direction (which we usually take as being a unit vector). Thay thế cho vector cơ bản, với sự tương ứng khi lấy đạo hàm dọc theo trục tọa độ, ta có thể lấy 1 vector theo hướng bất kì (ta thường lấy vector đơn vị). And we take the directional derivative of a function as

∂f f (p + td) − f (p) = lim ∂d t →0 t where d is the direction vector. If we want to calculate directional derivatives, calculating them from the limit definition is rather painful (vất vả), but, we have the following: if f : R n → R is differentiable at a point p, ∂f p = 1, = Dp f (d) . ∂d There is a closely related formulation which we'll look at in the next section. Gradient vectors Dot Product The partial derivatives of a scalar (1 đại lượng vô hướng) tell us how much it changes if we move along one of the axes. Đạo hàm riêng của 1 đại lượng vô hướng nói cho ta biết sự thay đổi khi di chuyển dọc theo trục tọa độ. What if we move in a different direction? Cái gì thay đổi nếu ta di chuyển theo 1 hướng khác. We'll call the scalar f, and consider what happens if we move an infintesimal direction (hướng vi phân, đoạn rất nhỏ) dr = ( dx, dy, dz ) , using the chain rule. ∂f ∂f ∂f df = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z This is the dot product (tích chấm) of dr with a vector whose components are the partial derivatives of f, called the gradient of f  ∂f ( p ) ∂f ( p )  grad f = ∇f =  ,L ,  ∂ x ∂ x 1 n   We can form directional derivatives at a point p, in the direction d then by taking the dot product of the gradient with d. Ta có thể biểu diễn đạo hàm theo hướng tại điểm p, theo hướng d bằng cách lấy tích chấm của gradient với d. ∂f ( p ) ∂f ( p ) ∂f ( p ) = d· ∇f ( p ) = dx1 + ... + dxn ∂d ∂x1 ∂xn . dr = ( dx1,..., dxn ) Notice that grad f looks like a vector multiplied by a scalar. This particular combination (sự kết hợp đặc biệt) of partial derivatives is commonplace (thông thường), so we abbreviate (viết tắt) it to  ∂ ∂ ∂  ∇= , ,   ∂x ∂y ∂z  We can write the action of taking the gradient vector by writing this as an operator. Ta có thể viết cách lấy vector gradient bằng cách xem như phép toán tử. Recall that in the one-variable case we can write d/dx for the action of taking the derivative with respect to x. Nhớ rằng trong trường hợp 1 biến, ta có thể viết d/dx cho cách lấy đạo hàm theo biến x. This case is similar, but ∇ acts (đóng vai trò) like a vector. Trường hợp này tương tự, nhưng ∇ đóng vai trò như 1 vector. We can also write the action of taking the gradient vector as:

 ∂ ∂  ∇= ,...,  ∂xn   ∂x1 Properties of the gradient vector Geometry – hình học. Grad f(p) is a vector pointing in the direction of steepest slope of f. Grad f(p) là vector chỉ hướng dốc nhất (hướng thẳng đứng) của f. |grad f(p)| is the rate of change of that slope at that point – tỉ lệ thay đổi độ dốc tại điểm đó. For example, if we consider h ( x, y ) = x 2 + y 2 . The level sets (tập mức) of h are concentric circles (những vòng tròn đồng tâm), centred on the origin (tâm tại gốc tọa độ O), and ∇h = ( hx , hy ) = 2( x, y ) = 2r grad h points directly away from the origin, at right angles to the contours (đường mức). Along a level set, (∇f)(p) is perpendicular (trực giao, vuông góc) to the level set { x | f ( x ) = f ( p ) at x = p} . If dr points (chỉ hướng) along the contours of f, where the function is constant, then df will be zero. Nếu dr chỉ hướng dọc theo đường mức của f, tai đó f là hằng số, thì df thành zero. Since df is a dot product, that means that the two vectors, df and grad f, must be at right angles, i.e the gradient is at right angles to the contours. Algebraic properties – tính chất đại số. Like d/dx, ∇ is linear. For any pair of constants (cặp hằng số), a and b, and any pair of scalar functions (cặp hàm vô hướng), f and g d d d ( a. f + b.g ) = a. f + b. g ∇(a. f + b.g ) = a.∇f + b.∇g dx dx dx Since it's a vector, we can try taking its dot and cross product with other vectors, and with itself. Divergence – độ phân kì. If the vector function u maps R n to itself, then we can take the dot product of u and ∇ (nabla). This dot product is called the divergence. ∂un ∂u ∂u div u = ∇ ·u = 1 + 2 + L ∂x1 ∂x2 ∂xn

(

)

2 If we look at a vector function like v = 1 + x , xy we can see that to the left of the origin all

the v vectors are converging towards the origin (hội tụ về tâm), but on the right they are diverging away from it (phân kì ra xa). Div u tells us how much u is converging or diverging. Div u nói cho ta biết vector u hội tụ or phân kì bao nhiêu. It is positive when the vector is diverging from some point, and negative when the vector is converging on that point. Nó dương khi vector phân kì từ 1 điểm nào đó và âm khi vector hội tụ trên điểm đó. Example:

(

)

2 For v = 1 + x , xy , div v = 3x , which is positive to the right of the origin, where v is diverging,

and negative to the left of the origin, where v is converging. Like grad, div is linear.

∇ · ( au + bv ) = a.∇ ·u + b.∇ · v Later in this chapter we will see how the divergence of a vector function can be integrated to tell us more about the behaviour of that function. Phần sau ta sẽ xem làm thế nào độ phân kì của 1 hàm vector được lấy tích phân nói cho ta biết thêm về tính chất của hàm đó. To find the divergence we took the dot product of ∇ and a vector with ∇ on the left. If we reverse the order (đảo ngược thứ tự) we get ∂f ∂f ∂f u· ∇ = u x Dx + u y D y + u z Dz ⇒ u· ∇f = u x . + u y . + u z . ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∇· u = 1 + L + n ∂x1 ∂xn To see what this means consider i·∇ This is Dx , the partial differential in the i direction. Similarly, u·∇ is the the partial differential in the u direction, multiplied by |u| Curl If u is a three-dimensional vector function on R3 then we can take its cross product (tích chéo) with ∇ (toán tử nabla). This cross product is called the curl. r r r i j k curl u = ∇ × u = Dx D y Dz ux

u y uz r r r = i D y .u z − Dz .u y + j ( Dz .u x − Dx .u z ) + k Dx .u y − D y .u x r r r u = u x .i + u y . j + u z .k

(

)

(

)

r  ∂u ∂u y  r  ∂u x ∂u z  r  ∂u y ∂u x  curl u = i  z − −  + j  + k  ∂x − ∂y  ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x       Curl u tells us if the vector u is rotating (xoay tròn) round a point. Curl u nói cho ta biết nếu vector u xoay tròn quanh 1 điểm. The direction of curl u is the axis of rotation. Hướng của curl u là trục của sự xoay tròn. We can treat (xem như) vectors in two dimensions as a special case of three dimensions, with u.z = 0 and Dz .u = 0 . We can then extend (mở rộng) the definition of curl u to twodimensional vectors curl u = D y .u x − Dx .u y This two dimensional curl is a scalar (đại lượng vô hướng). In four, or more, dimensions there is no vector equivalent to the curl. Trong ko gian 4 chiều or hơn, ko có vector tương đương với curl. Example: Consider u = ( − y, x ) . These vectors are tangent to circles centred on the origin, so appear to be rotating around it anticlockwise. Những vector này tiếp tuyến với vòng tròn có tâm tại gốc tọa độ, nên xuất hiện sự quay quanh vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ. curl u = D y (− y ) − Dx .x = −2

Example Consider u = ( − y, x − z, y ) , which is similar to the previous example. i curl u = Dx −y

j Dy

k Dz

x−z

y

r r r r r = i D y . y − Dz ( x − z ) + j ( Dz . ( − y ) − Dx . y ) + k D y . ( x − z ) − D y ( − y ) = 2i + 2k This u is rotating round the axis i + k Later in this chapter we will see how the curl of a vector function can be integrated to tell us more about the behaviour of that function.

(

)

(

)

Product and chain rules Just as with ordinary differentiation, there are product rules for grad, div and curl. If g is a scalar function (hàm vô hướng) and v is a vector, then the divergence of gv is ∇ ·( g.v) = g∇ · v + (v· ∇ ) g  g.∂ ( v1 ) g .∂ ( vn )   v1.∂ ( g ) v .∂ ( g )  = + ... + + ... + n +  ∂x1 ∂xn ∂xn   ∂x1 ∂xn   ∂x1 the curl of gv is: ∇ × ( g .v) = g (∇ × v) + (∇g ) × v r r r i j k ∇ × ( g.v) = Dx Dy Dz ∇ ·( g.v) =

∂ ( g .v1 )

+ ... +

g.vx

g.v y

∂ ( g.vn )

r = i. D y ( g .v z ) − Dz g .v y

(

(

g .v z

))

r r + j. ( Dz ( g .v x ) − Dx ( g.vz ) ) + k . Dx g .v y − D y ( g .v x )

( (

)

)

r = i. vz .D y ( g ) + g.D y ( vz ) − v y .Dz ( g ) − g .Dz v y r + j. ( vx .Dz ( g ) + g.Dz ( vx ) − vz .Dx ( g ) − g .Dx ( vz ) ) r + k . v y .Dx ( g ) + g .Dx v y − vx .D y ( g ) − g .D y ( vx ) r r r = g i.  D y ( vz ) − Dz v y  + j.  Dz ( vx ) − Dx ( vz )  + k .  Dx v y − D y ( vx )      r r r + i. vz .D y ( g ) − v y .Dz ( g )  + j.  vx .Dz ( g ) − vz .Dx ( g )  + k . v y .Dx ( g ) − vx .D y ( g )  r r r r r r i j k i j k = g . Dx D y Dz + Dx ( g ) D y ( g ) Dz ( g ) = g (∇ × v) + (∇g ) × v

(

( ))

(

(

)

( ) ( )

(

vx

vy

vz

vx

vy

( )

vz

If u and v are both vectors then the gradient of their dot product is ∇(u· v) = u × (∇ × v) + v × (∇ × u) + (u· ∇)v + (v· ∇)u the divergence of their cross product is

)

)

∇ ·(u × v) = v·(∇ × u) − u·(∇ × v) the curl of their cross product is ∇ × (u × v) = (v· ∇)u − (u· ∇)v + u(∇ · v) − v(∇ ·u) We can also write chain rules. In the general case, when both functions are vectors and the composition (hàm thành phần) is defined, we can use the Jacobian defined earlier. ∇u(v) r = Ju ∇v r

( J pf ) ij = ∂∂xfi

j p

where J u is the Jacobian of u at the point v. Normally J is a matrix but if either the range or the domain (miền giá trị và miền xác định) of u is R1 then it becomes a vector. In these special cases we can compactly write (viết gọn lại) the chain rule using only vector notation. If g is a scalar function of a vector and h is a scalar function of g then dh ∇h ( g ) = .∇g dg  ∂h ( g ) ∂h ( g )  ⇒ ∇ h g = ,..., ( )   ∂xn   ∂x1 dh  ∂g ∂g  dh = ,..., .∇g  = dg  ∂x1 ∂xn  dg If g is a scalar function of a vector then d ∇ = ( ∇g ) dg  ∂ ∂ ∇= ,..., ∂xn  ∂x1

  ∂h ∂g ∂h ∂g  = . ,..., .    ∂ g ∂ x ∂ g ∂xn  1  

 ∂ ∂   ∂ ∂g ∂ ∂g  d  ∂g ∂g  d ∇= ,..., ,..., . ,..., = . =   = ( ∇g ) ∂xn   ∂g ∂x1 ∂g ∂xn  dg  ∂x1 ∂xn  dg  ∂x1 This substitution (sự thay thế) can be made in any of the equations containing ∇ Second order differentials – vi phân bậc 2. We can also consider dot and cross products of ∇ with itself, whenever (bất cứ khi nào) they can be defined. Ta có thể xem xét dot and cross products của ∇ với chính nó, khi chúng được xác định. Once we know how to simplify (đơn giản) products of two ∇'s we'll know out to simplify products with three or more. 1 khi ta biết cách đơn giản tích của 2 ∇ (toán tử nabla) ta sẽ biết cách đơn giản tích của or nhiều hơn. The divergence of the gradient of a scalar f is 2

∇ f ( x1 , x2 ,… xn ) =

∂2 f

∂2 f

∂2 f

+ +…+ ∂x12 ∂x22 ∂xn2 This combination of derivatives is the Laplacian of f. It is commmonplace in physics and multidimensional calculus because of its simplicity and symmetry. Đó là điều bình thường trong vật lí và giải tích nhiều chiều bởi vì tính dễ hiểu và tính đối xứng. We can also take the Laplacian of a vector,

∇ 2 u( x1, x2 ,… xn ) =

∂2u

+

∂2u

+…+

∂2u

∂x12 ∂x22 ∂xn2 The Laplacian of a vector is not the same as the divergence of its gradient ∇(∇ ·u) − ∇ 2 u = ∇ × (∇ × u) Both the curl of the gradient and the divergence of the curl are always zero. ∇ × ∇f = 0 ∇ ·(∇ × u) = 0 This pair of rules will prove useful. Cặp định lí này sẽ chứng tỏ là hữu ích. Integration We have already considered differentiation of functions of more than one variable, which leads us to consider how we can meaningfully look at integration. Ta vừa xem xét vi phân của hàm nhiều biến, mà dẫn ta đến việc làm thế nào để xem xét ý nghĩa đầy đủ của tích phân. In the single variable case, we interpret the definite integral of a function to mean the area under the function. Trong trường hợp 1 biến, ta giải thích định nghĩa tích phân của 1 hàm là diện tích bên dưới hàm đó. There is a similar interpretation in the multiple variable case: for example, if we have a paraboloid in R3 , we may want to look at the integral of that paraboloid over some region of the xy plane, which will be the volume under that curve and inside that region. Có sự giải thích tương tự trong trường hợp nhiều biến, ví dụ, nếu ta có 1 paraboloid trong R3 , ta muốn xem xét tích phân của paraboloid đó trên 1 số miền của mặt phẳng xy, nó sẽ trở thành thể tích bên dưới đường cong và bên trong miền đó. Riemann sums When looking at these forms of integrals, we look at the Riemann sum. Recall in the onevariable case we divide the interval we are integrating over into rectangles and summing (lấy tổng) the areas of these rectangles as their widths get smaller and smaller. Nhớ lại trong trường hợp 1 biến, ta chia nhỏ đoạn lấy tích phân thành những hình chữ nhật và lấy tổng diện tích của những hình chữ nhật khi chiều rộng của chúng ngày càng nhỏ hơn. For the multiple-variable case, we need to do something similar, but the problem arises (nảy sinh) how to split up R2, or R3, for instance (cho ví dụ). To do this, we extend the concept of the interval, and consider what we call a n-interval. An ninterval is a set of points in some rectangular region (miền chữ nhật) with sides of some fixed width in each dimension. 1 n-interval là 1 tập các điểm trong 1 miền chữ nhật nào đó với các cạnh có chiều rộng cố định trong mỗi chiều ko gian, that is, a set in the form {x ∈ R n | a i ≤ x i ≤ bi with i = 0,..., n} , and its area/size/volume (which we simply call its measure to avoid confusion – mà ta gọi đơn giản là độ đo để tránh sự bối rối) is the product of the lengths of all its sides. So, an n-interval in R2 could be some rectangular partition (phân hoạch chữ nhật) of the plane, such as {(x,y) | x ∈ [0,1] and y ∈ [0, 2]}. Its measure is 2. If we are to consider the Riemann sum now in terms of sub-n-intervals of a region Ω (Omega), it is

∑

i;Si ⊂Ω

( )

f xi* .m ( Si )

where m ( Si ) is the measure of the division of Ω into k sub-n-intervals Si , and xi* is a point in

Si . Ở đây m ( Si ) là độ đo của phép chia ω thành k n-đoạn con Si , and xi* là 1 điểm nằm trong Si . The index is important - we only perform the sum where Si falls completely within Ω - any Si that is not completely contained in Ω we ignore. Nội dung này là quan trọng – ta chỉ biễu diễn tổng khi Si nằm hoàn toàn trong Ω, bất kì Si nào ko nằm hoàn toàn trong Ω, ta bỏ qua. As we take the limit as k goes to infinity, that is, we divide up Ω into finer and finer (mịn hơn) sub-n-intervals, and this sum is the same no matter how we divide up Ω, we get the integral of f over Ω which we write. Khi ta lấy giới hạn k tiến tới vô cùng, đó là ta chia Ω thành những đoạn con ngày càng mịn hơn, và tổng này là như nhau ko phụ thuộc cách ta chia Ω, ta được tích phân của f trên miền Ω mà ta viết: ∫f For two dimensions, we may write

∫ ∫Ω f

Ω

and likewise (cũng như thế) for n dimensions.

Iterated integrals – tích phân lặp Thankfully (may mắn là), we need not always work with Riemann sums every time we want to calculate an integral in more than one variable. There are some results that make life a bit easier for us. Có 1 số kết quả làm cuộc đời dễ dàng hơn 1 chút. For R2, if we have some region bounded (miền bị chặn) between two functions of the other variable (so two functions in the form f(x) = y, or f(y) = x), between a constant boundary (so, between x = a and x = b or y = a and y = b), we have b g ( x)

∫ ∫ h ( x, y ) dydx

a f ( x)

An important theorem (called Fubini's theorem) assures (bảo đảm, chắc chắn) us that this integral is the same as ∫∫ f Ω

Order of integration In some cases the first integral of the entire (toàn bộ, hoàn toàn) iterated integral is difficult or impossible (ko thể) to solve, therefore, it can be to our advantage (sự thuận lợi) to change the order of integration. b g ( x)

d f ( y)

a f ( x)

c e( y )

∫ ∫ h ( x, y ) dxdy, ∫ ∫ h ( x, y ) dydx

As of the writing of this, there is no set method to change an order of integration from dxdy to dydx or some other variable. Khi viết như thế này, ko có phương pháp chuẩn để thay đổi thứ tự tích phân từ dxdy sang dydx or những biến khác. Although, it is possible to change the order of integration in an x and y simple integration by simply switching the limits of integration around also – dù vậy, có thể thay đổi thứ tự tích phân trong tích phân đơn giản theo x và y bằng cách thay đổi cận tích phân, in non-simple x and y integrations the best method as of yet (cho tới

nay) is to recreate (tạo lại, khôi phục lại) the limits of the integration from the graph of the limits of integration. In higher order integration that can't be graphed, the process can be very tedious (mệt mỏi). For example, dxdydz can be written into dzdydx, but first dxdydz must be switched to dydxdz and then to dydzdx and then to dzdydx (but since 3-dimensional cases can be graphed, doing this would be seemingly idiotic – nhưng trong ko gian 3 chiều có thể vẽ đồ thị, làm như thế có vẻ ngu ngốc). Parametric integrals – tích phân tham số. If we have a vector function, u, of a scalar parameter (tham số vô hướng), s, we can integrate with respect to s simply by integrating each component of u seperately. Nếu ta có 1 hàm vector u, của 1 tham số vô hướng s, ta có thể tích phân theo s đơn giản bằng cách tích phân riêng từng phần của u. v( s ) = ∫ u( s ) ds ⇒ vi ( s ) = ∫ ui ( s ) ds

Similarly, if u is given a function of vector of parameters, s, lying in Rn, integration with respect to the parameters reduces (quy về, rút gọn về) to a multiple integral of each component. Line integrals In one dimension, saying we are integrating from a to b uniquely specifies the integral. Trong ko gian 1 chiều, nói rằng ta lấy tích phân từ a đến b được đồng nhất là tích phân. In higher dimensions, saying we are integrating from a to b is not sufficient (đầy đủ). Khi số chiều cao hơn, nói rằng ta lấy tích phân từ a đến b là ko đầy đủ. In general, we must also specify the path taken between a and b. Trong trường hợp tổng quát, ta phải cụ thể hóa đường lấy tích phân giữa a và b. We can then write the integrand as a function of the arclength (độ dài cung) along the curve, and integrate by components. Ta có thể viết hàm dưới dấu tích phân như là 1 hàm của độ dài cung dọc theo đường cong, và tích phân từng phần. E.g, given a scalar function h(r) we write dr ∫C h(r) dr = ∫C h(r) ds ds = ∫C h ( r ( s ) ) t ( s ) ds where C is the curve being integrated along, and t is the unit vector tangent to the curve. Ở đây C là đường cong được lấy tích phân dọc theo, và t là vector tiếp tuyến đơn vị của đường cong. There are some particularly natural ways to integrate a vector function, u, along a curve. Có 1 vài cách đặc biệt tự nhiên để tích phân hàm vector u dọc theo đường cong. ∫ u ds ∫ u· dr ∫ u × dr ∫ u·n ds C

C

C

C

where the third possibility only applies in 3 dimensions. Trong đó cách thứ 3 có thể dùng cho ko gian 3 chiều. Again, these integrals can all be written as integrals with respect to the arclength (độ dài cung), s. ∫ u· dr = ∫ u· t ds, ∫ u × dr = ∫ u × t ds C

C

C

C

 dr   dr  u · dr = u ·   ds = u · t ds, u × dr = u ×   ds = u × t ds  ds   ds 

If the curve is planar (2 chiều) and u a vector lieing in the same plane, the second integral can be usefully rewritten. Nếu đường cong là 2 chiều và u là 1 vector nằm trên cùng mặt phẳng, tích phân thứ 2 có thể được viết lại 1 cách hữu ích. r Say,r r u = ut t + un n + ub b where t, n, and b are the tangent (tiếp tuyến), normal (pháp tuyến), and binormal (phó pháp tuyến) vectors uniquely (đơn nhất) defined by the curve. Then u × t = −bun + nub r r r t n b r r r r r u × t = 1 0 0 = t.0 + n ( ub − 0.ut ) + b ( un − 0.ut ) ut un ub r r = n.ub + b.un For the 2-d curves specified b is the constant unit vector normal to their plane, and ub is always zero. Đối với những đường cong 2 chiều mà b là vector đơn vị hằng vuông góc với mặt phẳng chứa đường cong , và ub luôn bằng zero. Therefore, for such curves, ∫ u × dr = ∫ u·n ds C

C

Green's Theorem

Let C be a piecewise smooth (trơn từng khúc), simple closed curve that bounds a region S on the Cartesian plane. If two function M(x,y) and N(x,y) are continuous and their partial derivatives are continuous, then  ∂N ∂M  ∫ ∫S  ∂x − ∂y  dA = Ñ ∫ C M dx + N dy = Ñ ∫ C F· dr In order for Green's theorem to work there must be no singularities (điểm kì dị) in the vector field within the boundaries of the curve. Để sử dụng định lí Green phải ko có điểm kì dị trong trường vector trong biên của đường cong. Green's theorem works by summing the circulation (lưu số) in each infinitesimal segment (đoạn vi phân) of area enclosed within the curve. Định lí Green làm việc bằng cách lấy tổng lưu số trong mỗi đoạn vi phân của miền được bao bên trong đường cong. Inverting differentials – vi phân đảo.

We can use line integrals to calculate functions with specified (cụ thể) divergence, gradient, or curl. If grad V = u p

V (p) =

∫ u · dr + h ( p )

p0

where h is any function of zero gradient and curl u must be zero. If div u = V u ( p) =

p

∫ V dr + w ( p )

p0

where w is any function of zero divergence. If curl u = v 1 u ( p) = 2

p

∫ v × dr + w ( p )

p0

where w is any function of zero curl. For example, if V = r 2 then grad V = 2( x, y, z ) = 2r and r

r

0

0

r

r

r

2 2 2 ∫ 2u · du = ∫ 2 ( u du + v dv + w dw) = u 0 + v 0 +  w  0

= x2 + y2 + z 2 = r 2 so this line integral of the gradient gives the original function (hàm ban đầu). Similarly, if v = k then p

u(p) =

∫ k × dr

p0

Consider any curve from 0 to p = (x, y', z), given by r = r(s) with r(0) = 0 and r(S) = p for some S, and do the above integral along (dọc theo) that curve. S S S S dr dry  drx drx dr y u ( p ) = ∫ k × ds = ∫  j− i  .ds = j ∫ .ds − i ∫ .ds ds ds ds ds ds  0 0 0 0 S

S = j [ rx ( s ) ] 0 − i  ry ( s )  = p x j − p y i = x j − y i 0 and curl u is

i 1 Dx 2 −y

j Dy x

k Dz = k = v 0

as expected – như mong muốn.

We will soon see that these three integrals do not depend on the path, apart from a constant. Ta sẽ thấy rằng 3 tích phân ko phụ thuộc vào đường đi, trừ trường hợp là hằng số. Surface and Volume Integrals Just as with curves, it is possible to parameterise surfaces then integrate over those parameters without regard to geometry of the surface. Như với đường cong, có thể tham số hóa mặt cong, rồi lấy tích phân theo tham số mà ko cần quan tâm đến dạng hình học của đường cong. That is, to integrate a scalar function V over a surface A parameterised by r and s we calculate ∫ V ( x, y, z ) dS = ∫ ∫ V (r , s) det J drds A

A

where J is the Jacobian of the tranformation to the parameters. To integrate a vector this way, we integrate each component seperately (riêng biệt). However, in three dimensions, every surface has an associated normal vector n (vector pháp tuyến n riêng), which can be used in integration. We write dS = ndS. For a scalar function (hàm vô hướng), V, and a vector function, v, this gives us the integrals ∫ VdS, ∫ v· dS, ∫ v × dS, A

A

A

These integrals can be reduced (được rút gọn) to parametric integrals but, written this way, it is clear that they reflect (phản ánh) more of the geometry of the surface. Những tích phân này có thể được quy về tích phân tham số, nhưng viết theo cách này, nó phản ánh nhiều hơn tính chất hình học của mặt cong. When working in three dimensions, dV is a scalar, so there is only one option (chọn lựa) for integrals over volumes. Gauss's divergence theorem

We know that, in one dimension, b

b

∫ Df dx = [ f ] a

a

Integration is the inverse (phép nghịch đảo) of differentiation, so integrating the differential of a function returns the original function. Tích phân là phép nghịch đảo của vi phân, nên tích phân 1 vi phân trở về hàm ban đầu. This can be extended to two or more dimensions in a natural way, drawing on the analogies between single variable and multivariable calculus. Điều này có thể được mở rộng cho ko gian nhiều chiều hơn theo 1 cách tự nhiên, dựa trên sự tương tự giữa giải tích đơn biến và giải tích đa biến.

The analog (sự tương tự) of D is ∇, so we should consider cases where the integrand (hàm dưới dấu tích phân) is a divergence. Instead of integrating over a one-dimensional interval, we need to integrate over a ndimensional volume. In one dimension, the integral depends on the values at the edges (cạnh biên) of the interval, so we expect the result to be connected with values on the boundary. Trong ko gian 1 chiều, tích phân phụ thuộc giá trị biên của đoạn, nên ta mong muốn kết quả được liên kết với giá trị biên. This suggests (đề nghị) a theorem of the form, ∫ ∇ ·u dV = ∫ n·u dS ∂V

V

This is indeed true (thật sự đúng), for vector fields in any number of dimensions. This is called Gauss's theorem. There are two other, closely related (liên quan gần), theorems for grad and curl: ∫ ∇ u dV = ∫ u n dS , ∫ ∇ × u dV = ∫ n × u dS ∂V

V

∂V

V

with the last theorem only being valid where curl is defined. Với định lí cuối chỉ đúng khi curl xác định. Stokes' curl theorem

These theorems also hold (có hiệu lực, có giá trị) in two dimensions, where they relate surface and line integrals. Gauss's divergence theorem becomes ∫ ∇ ·u dS = Ñ ∫ n·u ds ∂S

S

where s is arclength (chiều dài cung) along the boundary curve and the vector n is the unit normal (vector pháp tuyến đơn vị) to the curve that lies in the surface S, i.e in the tangent plane of the surface at its boundary, which is not necessarily the same as the unit normal associated with the boundary curve itself. Ở đây, s là chiều dài cung dọc theo biên đường cong và vector n là vector pháp tuyến đơn vị đối với đường cong nằm trong mặt cong S, là trong mặt phẳng tiếp tuyến với đường cong tại biên, nó ko nhất thiết giống với vector pháp tuyến đơn vị riêng của đường cong biên. Similarly, we get ∫ ∇ × u dS = ∫ n × u ds (1) S

C

where C is the boundary of S In this case the integral does not depend on the surface S.

To see this, suppose we have different surfaces, S1 and S2, spanning the same curve C, then by switching the direction of the normal on one of the surfaces we can write ∇ × u dS = ∫ ∇ × u dS − ∫ ∇ × u dS (2) ∫ S1+ S2

S

S

The left hand side is an integral over a closed surface bounding some volume V so we can use Gauss's divergence theorem. Vế trái là 1 tích phân trên 1 mặt đóng bao quanh thể tích V nào đó, nên ta có thể dùng định lí Gauss. ∇ × u dS = ∫ ∇ · ∇ × u dV ∫ S1+ S2

V

but we know this integrand is always zero so the right hand side of (2) must always be zero, i.e the integral is independent of the surface. This means we can choose the surface so that the normal to the curve lying in the surface is the same as the curves intrinsic normal (pháp tuyến bên trong mặt cong). Điều này có nghĩa là ta có thể chọn mặt cong sao cho pháp tuyến đối với đường cong nằm trên mặt cong giống với pháp tuyến bên trong mặt cong. Then, if u itself lies in the surface, we can write u = ( u· n) n + ( u·t ) t u = un .n + ut .t , n = ( 1,0,0 ) , t = ( 0,1,0 ) , ub = 0 just as we did for line integrals in the plane earlier, and substitute (thế vào) this into (1) to get ∫ ∇ × u dS = ∫ n × u ds = ∫ u· dr S

This is Stokes' curl theorem

C

C