Movimiento-relativo-de-los-fluidos-para-masas-en-equilibrio.docx

FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

MOVIMIENTO RELATIVO DE LOS FLUIDOS PARA MASAS EN EQUILIBRIO: ACELERACIÓN VERTICAL, HORIZONTAL Y ROTACIÓN ALREDEDOR DEL EJE

Integrantes:

Andonayre Andonaire Carlos Bryan López Vallejos Vanessa Araceli Purihuaman Arévalo David Alexander Noriega Quiroz María Salome

Docente:

Loayza Rivas Carlos Adolfo

Asignatura:

Mecánica de fluido I

Sección:

“A” Pimentel, 3 de junio del 2017

INTRODUCCIÓN En el presente material daremos a conocer todos los conceptos y principios en los cuales se basan las ecuaciones. La materia puede clasificarse por su forma física como un sólido, un líquido o un gas. Las moléculas de los sólidos a temperaturas y presiones ordinarias tienen atracción fuerte entre ellas y permanecen en posición fija relativa una a la otra. Luego un sólido tiene volumen y forma definida y sufre deformaciones finitas bajo la acción de una fuerza. Las moléculas de los líquidos a temperaturas y presiones ordinarias tienen poca atracción entre ellas y cambian de posición relativa una a otra. En consecuencia los líquidos tienen volumen definido tomando la forma del recipiente que los contiene, pero no lo llenan necesariamente. En este caso vamos a analizar y comprender sobre el movimiento relativo de los fluidos para masa en equilibrio, aceleración vertical, horizontal y rotación alrededor de un eje.

ÍNDICE

I.

Introducción: ........................................................................................................................... 5

II.

Objetivos: ................................................................................................................................. 5

III.

Conocimientos previos: ................................................................................................... 5

Ecuación fundamental de la hidrostática ................................................................... 5 Ecuación vectorial: ...................................................................................................... 7 Ecuación analítica: ....................................................................................................... 8 Movimiento de translación: .......................................................................................................... 9 Líquido con aceleración lineal horizontal.................................................................. 9 Movimiento de traslación con aceleración vertical ................................................. 11 Movimiento de rotación alrededor del eje ............................................................................. 12 Ejercicios ........................................................................................................................................ 14 Ejercicio N°1: .............................................................................................................. 14 Ejercicio N°2: .............................................................................................................. 14 Ejercicio N°3: .............................................................................................................. 18 Ejercicio N°4: .............................................................................................................. 19 Ejercicio N°5: .............................................................................................................. 21

ÍNDICE DE IMÁGENES Figura 1Elemento diferencial rectangular ........................................................................................... 6 Figura 2_Fuerzas que actúan sobre el elemento diferencial .............................................................. 6 Figura 3_Superficie inclinada ............................................................................................................ 10 Figura 4_Aceleración vertical ............................................................................................................ 11 Figura 5_Movimiento de rotación alrededor del eje ........................................................................ 12 Figura 6_La presión es isobara .......................................................................................................... 12

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MOVIMIENTO RELATIVO DE LOS FLUIDOS PARA MASAS EN EQUILIBRIO I.

Introducción: Semanas anterior se demostró que la presión en un punto dado tiene la misma magnitud en todas direcciones y es una función escalar, ahora se verán las relaciones que se obtienen para la variación de la presión en los fluidos que se mueven como un cuerpo sólido, con aceleración, en ausencia de cualquier esfuerzo cortante.

II. 

Objetivos: Demostrar la Ecuación fundamental vectorial y analítica de la hidrostática para fluidos en reposo relativo.



Definir cuando un fluido se encuentra en aceleración horizontal y cuando se encuentra en aceleración vertical.



Analizar el movimiento de rotación alrededor del eje.



Aplicar el tema en los ejercicios propuestos.

III.

Conocimientos previos:

Ecuación fundamental de la hidrostática Resuelve el caso general, es decir el reposo absoluto y el reposo relativo, tanto para fluidos líquidos y gases.

Ahora consideremos un móvil que transporta un fluidos que acelera se tiene que el fluido se mueve con rapidez hacia la parte posterior.

Se forma una nueva superficie libre y cada una de las partículas del fluido adquieren la misma aceleración y todo el fluido se mueve como un cuerpo rígido.

Ningún esfuerzo cortante se desarrolla dentro de la masa del fluido, ya que no se tiene deformación ni cambio en la forma.

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Ahora consideremos un elemento rectangular diferencial de un fluido, de dimensiones dx, dy, y dz, el cual lo hemos separado de un medio continuo de fluido en reposo, consideramos la presión, P que actúa en el centro del elemento, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 1Elemento diferencial rectangular

Las fuerzas que actúan sobre el elemento son el peso y las fuerzas superficiales de presión:

𝑍

𝑃+

𝜕𝑝 𝜕𝑧

𝑃+

𝜕𝑥

dx

𝑃

𝑃+

𝑃 dz 𝜕𝑝

dz

𝜕𝑝

𝜕𝑦

dy

dx dy

𝑃

𝑌

𝑋 Figura 2_Fuerzas que actúan sobre el elemento diferencial

Sea “P” la presión que actúa sobre cada una de las caras del triedro más próximo al origen de coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones serán respectivamente:

𝑃+

𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝑑𝑥; 𝑃 + 𝑑𝑦; 𝑃 + 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

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Ecuación vectorial: Se debe tener en cuenta que el elemento diferencial de fluido se encuentra en equilibrio, para ello se verifica en cada eje coordenado:

F  0 *Condición de equilibrio en el eje “y”: 𝑃𝑑𝑥𝑑𝑧 − (𝑃 + 𝑃𝑑𝑥𝑑𝑧 − (𝑃 + 𝑃(𝑑𝑥𝑑𝑧) − (𝑃 +

𝜕𝑃 𝑑𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑧 = 𝑚. 𝑎 𝜕𝑦

𝜕𝑃 𝑑𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑧 = 𝜌𝑑𝑉𝑎𝑦 𝜕𝑦

𝜕𝑃 𝑑𝑦) (𝑑𝑥𝑑𝑧) = 𝑎𝑦 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑦

𝜕𝑃 − ( ) (𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧) = 𝑎𝑦 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑦 Simplificando:

𝜕𝑝 = −𝜌𝑎𝑦 𝜕𝑦 *Condición de equilibrio en el eje “x” y “z”: De igual manera que en el eje “y”, por lo que resulta:

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 "x":

𝜕𝑝 = −𝜌𝑎𝑥 𝜕𝑥

;

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 "z":

𝜕𝑝 = −𝜌(𝑎𝑧 + 𝑔) 𝜕𝑧

Donde: 𝝏𝒑 𝝏𝒑 𝝏𝒑 ⃑𝒌⃑ = −𝝆(𝒂𝒛 + 𝒈)𝒌 ⃑⃑ 𝒊⃑ = −𝝆𝒂𝒙 𝒊⃑ ; 𝒋⃑ = −𝝆𝒂𝒚 𝒋⃑ ; 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛

Sumando miembro a miembro las ecuaciones estáticas de Euler, tendremos: 𝝏𝒑 𝝏𝒑 𝝏𝒑 ⃑⃑ 𝒊⃑ + 𝒋⃑ + ⃑𝒌⃑ = −𝝆𝒂𝒙 𝒊⃑ − 𝝆𝒂𝒚 𝒋⃑ − 𝝆(𝒂𝒛 + 𝒈)𝒌 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 El primer miembro de la ecuación corresponde al desarrollo de 𝛻⃑⃑𝑝 ⃑⃑) 𝛻⃑⃑𝑝 = −𝜌(𝒂𝑿 𝒊⃑+𝒂𝒀 𝒋⃑ + 𝒂𝒁 𝒈𝒌

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Ahora tenemos: 𝛻⃑⃑𝑝 = −𝜌(𝑎⃑ + 𝑔𝑘⃑⃑) La expresión anterior es conocida como la Ecuación fundamental vectorial de la Hidrostática, o Ecuación de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposo absoluto o relativo.

Ecuación analítica: 𝛻⃑⃑𝑝 = −𝜌(𝑎⃑ + 𝑔𝑘⃑⃑)

Partiendo de la ecuación escalar y según la dirección dr: 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥𝑖⃗ + 𝑑𝑦𝑗⃗ + 𝑑𝑧𝑘⃑⃗ ⃑⃗𝑃. 𝑑𝑟 = [−𝜌(𝑎⃑ + 𝑔𝑘⃑⃑ )]. 𝑑𝑟 ∇

(

∂p ∂p ∂p ⃑i + ⃑j + ⃑⃑ k) . ( 𝑑𝑥𝑖⃗ + 𝑑𝑦𝑗⃗ + 𝑑𝑧𝑘⃑⃗ ) = [−𝜌(𝑎⃑ + 𝑔𝑘⃑⃑ )]. (𝑑𝑥𝑖⃗ + 𝑑𝑦𝑗⃗ + 𝑑𝑧𝑘⃑⃗ ) ∂x ∂y ∂z

Aplicando el producto escalar de dos vectores: ⃑⃑ = |𝐴̅||𝐵̅|. cos 𝜙 𝐴⃑. 𝐵

El desarrollo de la expresión anterior resulta: 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑃 𝑑𝑥 + dy+ 𝑑𝑧 = −𝜌𝑎𝑋 𝑑𝑥 − 𝜌𝑎𝑌 𝑑𝑦 − 𝜌(𝑎𝑍 + 𝑔)𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

El desarrollo del primer miembro de la ecuación corresponde a “dP”, luego esta puede ser escrita, como: 𝒅𝑷 = −𝝆𝒂𝑿 𝒅𝒙 − 𝝆𝒂𝒀 𝒅𝒚 − 𝝆(𝒂𝒁 + 𝒈)𝒅𝒛 La expresión anterior, es conocida como la Ecuación Fundamental Analítica de la Hidrostática, o Ecuación de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposo absoluto o relativo.

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Movimiento de translación LÍQUIDO CON ACELERACIÓN LINEAL HORIZONTAL Considere un recipiente lleno con un recipiente lleno con líquido. El recipiente se mueve sobre una trayectoria recta con una aceleración constante. Tome la proyección de la trayectoria de movimiento sobre un plano horizontal como el eje x y la proyección sobre el plano vertical como el eje z, como se muestra en la figura:

𝑎𝑥

Como se produce solo una aceleración horizontal 𝑎𝑥 , por lo tanto 𝑎𝑧 𝑦 𝑎𝑦 = 0 . Entonces, las ecuaciones del movimiento para fluidos en aceleración se reducen a: 𝜕𝑃 = −𝜌𝑎𝑥 , 𝜕𝑥

𝜕𝑃 =0 𝜕𝑦

𝑦

𝜕𝑃 = −𝜌(𝑔) 𝜕𝑧

Por lo tanto, la presión es independiente de y. Entonces la diferencial total de 𝑃 = 𝑃(𝑥, 𝑧), la cual es (𝜕𝑃/𝜕𝑥) 𝑑𝑥 + (𝜕𝑃/𝜕𝑧) 𝑑𝑧, queda: 𝑑𝑃 = −𝜌𝑎𝑥 𝑑𝑥 − 𝜌(𝑔) 𝑑𝑧 Para 𝜌 = constante, la diferencia de presión entre dos puntos 1 y 2 en el fluido se determina por integración como: 𝑃2 − 𝑃1 = −𝜌𝑎𝑥 (𝑥2 − 𝑥1 ) − 𝜌(𝑔)(𝑧2 − 𝑧1 )

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El ascenso (o descenso) vertical de la superficie libre en el punto 2, con relación al punto 1, se puede determinar cuándo se elige tanto 1 como 2 sobre la superficie libre (de modo que 𝑃1 = 𝑃2 ), y se despeja 𝑧1 − 𝑧2 en la ecuación: Δ𝑧𝑠 = 𝑧𝑠2 − 𝑧𝑠1 = −

𝑎𝑥 (𝑥2 𝑔

− 𝑥1 )

Figura 3_Superficie inclinada

Donde ∆𝑍𝑠 es la coordenada Z de la superficie libre del líquido. Para poder hallar la dirección de dicha superficie inclinada seria: 𝑍2 − 𝑍1 𝑎𝑥 =− 𝑋2 − 𝑋1 𝑔 ∆𝑧 𝑎𝑥 =− ∆𝑥 𝑔 El tangente sería negativo puesto que la superficie libre es de pendiente negativa −𝑇𝑔𝜃 = − 𝑇𝑔𝜃 =

𝑎𝑥 𝑔

𝑎𝑥 𝑔

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MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN CON ACELERACIÓN VERTICAL (az) Para el movimiento de traslación con aceleración vertical en la que sólo actúa la aceleración de la gravedad la ecuación básica de la estática de fluidos expresa que: 𝜕𝑃 = −𝛾 = −𝜌𝑔 𝜕𝑧 Cuando se tiene un movimiento que además tiene una aceleración az: 𝜕𝑃 𝑎𝑧 = −𝜌(𝑔 ± 𝑎𝑧 ) = −𝛾(1 ± ) 𝜕𝑧 𝑔 𝜕𝑃 𝑎𝑧 → = −𝛾(1 ± ) 𝜕𝑧 𝑔

Figura 4_Aceleración vertical

De aquí podemos obtener: 𝑃

𝑧

𝑎𝑧 𝑎𝑧 𝑑𝑃 = −𝛾 (1 ± ) 𝑑𝑧 → ∫ 𝑑𝑃 = − 𝛾 ∫ (1 ± ) 𝑑𝑧 𝑔 𝑔 0

0

Como dz aumenta en el sentido que dP disminuye, entonces:

𝑃 = 𝛾(1 ±

𝑎𝑧 )𝑧 𝑔

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MOVIMIENTO DE ROTACIÓN ALREDEDOR DEL EJE Si un vaso lleno con agua gira alrededor de su eje, la fuerza centrífuga es responsable de que el fluido se mueva hacia afuera formándose una superficie libre cóncava. Lo anterior se conoce como movimiento de vértice forzado. No se tiene deformación, razón por la cual no hay esfuerzo cortante ya que no hay desplazamiento entre las diferentes partículas del fluido. Se tiene que la aceleración radial es: 𝑎𝑟 = −𝑟𝑤 2 Las ecuaciones del movimiento para los fluidos en rotación son:

𝜕𝑃 = 𝜌𝑟𝑤 2 𝜕𝑟

𝜕𝑃 =0 𝜕𝜃

Figura 5_Movimiento de rotación alrededor del eje

𝜕𝑃 = −𝜌𝑔 𝜕𝑧

La diferencial total de presión es: 𝑑𝑃 = 𝜌𝑟𝑤 2 𝑑𝑟 − 𝜌𝑔𝑑𝑧 A partir de la expresión anterior, si consideramos: 𝑑𝑃 = 0, se está trabajando sobre líneas de presión constante, es decir, isobaras, entonces la expresión queda: 𝑑𝑧𝑖𝑠ó𝑏𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑤 2 = 𝑑𝑟 𝑔

𝑑𝑧𝑖𝑠ó𝑏𝑎𝑟𝑎 =

𝑟𝑤 2 𝑑𝑟 𝑔 Figura 6_La presión es isobara

Luego integrando se obtiene la ecuación para las superficies de presión constante: 𝑑𝑧𝑖𝑠ó𝑏𝑎𝑟𝑎 =

𝑟𝑤 2 2 𝑟 +𝐶1 2𝑔

Esta es la ecuación de una parábola. El valor de la constante de integración es de diferente para línea de presión constante.

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Luego para la superficie libre cuando 𝑟 = 0 𝑦 𝑍𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 (0) = 𝐶1 = ℎ𝑐 𝑧𝑖𝑠ó𝑏𝑎𝑟𝑎 = 𝐶1 En este caso la constante es la distancia de la superficie libre al fondo del recipiente a lo largo del eje de rotación. A esta distancia le llamamos, entonces: 𝑧𝑠 =

𝑤2 2 𝑟 + ℎ𝑐 2𝑔

El volumen de un elemento de cascaron cilíndrico 𝑅

𝑅

𝑉 = ∫ 2𝜋𝑧2 𝑟𝑑𝑟 = 2𝜋 ∫ ( 0

0

𝑤2 2 𝑤 2 𝑅2 𝑟 + ℎ𝑐 ) 𝑟𝑑𝑟 = 𝜋𝑅 2 ( + ℎ𝑐 ) 2𝑔 4𝑔

Este volumen es igual al volumen original del fluido en el recipiente, el cual es: 𝑉 = 𝜋𝑅 2 ℎ0 Donde ℎ0 es la atura del fluido en el recipiente sin rotación. Entonces igualando los dos volúmenes: 𝑤 2𝑅2 𝑉 = 𝜋𝑅 2 ℎ0 = 𝜋𝑅 2 ( + ℎ𝑐 ) 4𝑔 Simplificando ℎ𝑐 = ℎ0 −

𝑤 2𝑅2 4𝑔

Remplazando en: 𝑧𝑠 =

𝑤2 + ℎ𝑐 2𝑔

La ecuación de la superficie libre queda como: 𝑧𝑠 = ℎ0 −

𝑤2 2 (𝑅 − 2𝑟 2 ) 4𝑔

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EJERCICIOS Ejercicio N°1: Se tiene un depósito rectangular con longitud, ancho y alto de 10m, 2m y 5,2m respectivamente. Si inicialmente el agua se encuentra a una altura de 3m dentro del tanque y se somete a una aceleración en dirección de su longitud de 3 𝑚/𝑠 2, calcule:

a) La máxima aceleración a la que se puede someter el depósito para que el agua no se derrame.

b) Hallar la cantidad de agua que se derrama si el deposito se acelera a 5 𝑚/𝑠 2 Solución:

a) Para que el agua del depósito no se derrame la altura (h) máxima que tomariamos deberá ser igual a 5.2 𝑚

Entonces:

Entonces el: ∆𝑧 = ℎ − 3𝑚

→

∆𝑧 = 5.2𝑚 − 3𝑚

∆𝑧 = 2.2𝑚

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Se sabe que:

∆𝑧 𝑎𝑥 = ∆𝑥 𝑔 Despejamos la 𝑎𝑥 :

𝑎𝑥 =

∆𝑧 𝑔 ∆𝑥

Reemplazamos:

𝑎𝑥 =

2.20 𝑚 (9.81 𝑚/𝑠 2 ) 5𝑚 𝑎𝑥 = 4.32 𝑚/𝑠 2

b) Nos dicen la cantidad de agua que se derrama si: 𝑎𝑥 = 5 𝑚/𝑠 2 , como nos dan esta condición hallaremos cual debería ser la altura inicial del agua en el depósito para que no se derrame (ho)

Entonces:

hallaremos ∆𝑧 para poder hallar el ℎ𝑜 ,Se sabe que:

∆𝑧 𝑎𝑥 = ∆𝑥 𝑔

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Despejamos el ∆𝑧

𝑎𝑥 ∆𝑧 = ∆𝑥 𝑔

5 𝑚/𝑠 2 ∆𝑧 = (5𝑚) 9,81 𝑚/𝑠 2

→

∆𝑧 = 2.55 𝑚 Hallamos el ℎ𝑜 : 5.2 − ∆𝑧 = ℎ𝑜 →

5.2 − 2.55 = 2.67𝑚

ℎ𝑜 = 2.67 𝑚

La altura del agua dentro del recipiente para que no se derrame es de 2.67 m y como tenemos 3 m, va a haber una pérdida de fluido; entonces compararemos volúmenes con esos datos y la diferencia será la cantidad de agua que se perdida:

𝑉2 = (10𝑚)(2𝑚)(2.65𝑚) → 𝑉1 = (10𝑚)(2𝑚)(3𝑚) →

𝑉𝑓 = 53 𝑚3 𝑉𝑓 = 60 𝑚3

Por ultimo restamos los volúmenes para hallar el total de agua que se derrama:

𝑉2 − 𝑉1 = 𝐴𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑟𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 60 𝑚3 − 53 𝑚3 = 7 𝑚3

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Ejercicio N°2: Se tiene un recipiente cilíndrico de 80 cm de alto y 24 cm de diámetro parcialmente lleno con agua hasta una altura de 55 cm. Si se hace girar a velocidad constante determine: a) ¿Cuál es la máxima velocidad angular que puede alcanzar sin que se derrame agua? b) ¿Cuál es la máxima presión a la que se somete el fondo del tanque en este caso?

Solución: a) ¿Cuál es la máxima velocidad angular que puede alcanzar sin que se derrame agua?

Se sabe que: 𝑧𝑠𝑚𝑎𝑥 = ℎ0 +

𝑤2 2 𝑅 4𝑔

Despejando: 𝑤=

2 √𝑔(𝑧𝑠𝑚𝑎𝑥 − ℎ0) 𝑅

Reemplazando: 𝑤=

2 √9,81(0.8 − 0.55) 0.12

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De donde: 𝑤 = 26.10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝒘 = 𝟐𝟒𝟗. 𝟐𝟒 𝑹𝑷𝑴

b) ¿Cuál es la máxima presión a la que se somete el fondo del tanque en este caso? Se sabe que: 𝑃1 − 𝑃2 =

𝜌𝑤 2 2 (𝑟2 − 𝑟12 ) − 𝜌𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) 2

Entre los puntos A y O: 𝑃𝐴 − 𝑃𝑜 =

𝜌𝑤 2 2 (𝑟𝐴 − 𝑟02 ) − 𝜌𝑔(𝑧𝐴 − 𝑧0 ) 2

De donde: 𝑃𝐴 = 𝜌𝑔𝑧0 Reemplazando: 𝑃𝐴 = (1000)(9.81)(0.80) Rpta: 𝑷𝑨 = 𝟕𝟖𝟒𝟖 𝑷𝒂

Ejercicio N°3: Una pecera de 80 cm de alto, con sección transversal de 2 m x 0.6 m que está inicialmente llena con agua se va a transportar sobre la parte posterior de un camión. El camión acelera desde 0 hasta 90 km/h en 10 s. Se quiere que el agua no se derrame durante la aceleración, determine la altura del agua en la pecera.

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Solución:

𝑎𝑧 𝑎𝑥

Se toma el eje x como la dirección del movimiento, que el eje z está en la dirección vertical ascendente y que el origen es la esquina inferior izquierda de la pecera. Nótese que el camión pasa de 0 a 90 km/h en 10 s, la aceleración del camión es.

𝑎𝑥 =

Δ𝑉 (90 − 0)𝐾𝑚 1𝑚/𝑠 = ( ) = 2.5𝑚/𝑠 Δ𝑡 10𝑠 3.6𝐾𝑚/ℎ

La tangente del ángulo que la superficie libre forma con la horizontal es:

tan 𝜃 =

𝑎𝑥 2.5 = = 0.255 𝑔 + 𝑎𝑧 9.81 + 0

(𝑦, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒, 𝜃 = 14.3°)

El ascenso vertical máximo de la superficie libre ocurre en la parte posterior de la pecera, y el plano vertical a la mitad no experimenta ascenso ni descenso durante la aceleración, ya que es un plano de simetría. Entonces, el ascenso vertical en la parte posterior de la pecera en relación con el plano de en medio, para las dos orientaciones posibles, queda:

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Caso 1: El lado largo es paralelo a la dirección del movimiento: (2𝑚) 𝑏1 ∆𝑧𝑠1 = ( ) tan 𝜃 = [ ] 𝑋 0.255 = 0.255𝑚 = 25.5𝑐𝑚 2 2 Caso 2: El lado corto es paralelo a la dirección del movimiento: (0.6𝑚) 𝑏2 ∆𝑧𝑠2 = ( ) tan 𝜃 = [ ] 𝑋 0.255 = 0.076𝑚 = 7.6𝑐𝑚 2 2

Ejercicio N°4: Un depósito de forma cilíndrica de 4 m de altura y 2 m de diámetro contiene aceite hasta 3,2 m de altura. ¿A cuántas rpm debe girar el recipiente alrededor de su eje para que el aceite alcance el borde superior?

Solución: Volumen del paraboloide = (volumen del cilindro)/2

z

 

 2r 2 2g

 h 

2 gh r

2(9,81m / s 2 )(0,8m)  3,96rad / s 1m

1rev 60   (3,96rad / s)( 2rad )  3,96 rpm 1min 2 60s Rpta: 𝜛 = 37.83 𝑟𝑝𝑚

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Ejercicio N°5: Un recipiente rectangular que contiene agua experimenta una aceleración constante hacia abajo sobre el plano inclinado, como se muestra en la figura. Determine la pendiente de la superficie libre del agua.

Solución: Datos e incógnitas

Para resolver el problema se traza el DCL de una partícula en la superficie libre del fluido, tal como se muestra en la figura.

Aplicando las ecuaciones de movimiento según las direcciones mostradas se tiene ∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 𝑁𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 30° 𝐴 = 𝑚(0) 𝑁𝑐 =

𝑚𝑔. 𝑐𝑜𝑠 30° … (1) 𝑐𝑜𝑠 𝜃

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∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑔. 𝑠𝑖𝑛 30° − 𝑁𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑚𝑎𝑥 … (2) Reemplazando la ec. (1) En (2). Resultara

mg. sin 30° − 1

mg.cos 30° cos 𝜃

. sin 𝜃 = m.𝑎𝑥

√3

32,2. (2) − 32,2 ( 2 ) . tan 𝜃 = 10

tan 𝜃 = 0,219

El ángulo será: 𝑅𝑡𝑎 𝜃 = 12,34

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BIBLIOGRAFÍA Yunus A., Cengel y Jhon M. (2006) Mecánica de Fluidos Fundamentos y Aplicaciones Merle C.Potter y David C. Winggert (2002) Mecánica de Fluidos

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