Moustaouli Mohamed

‫* ﺑﻌﺪ ﻣﺮاﺟﻌﺔ دروﺳﻚ اﺿﺒﻂ ﺳﺎﻋﺘﻚ و أﻧﺠﺰ هﺬا اﻟﻔﺮض ﻓﻲ ورﻗﺔ ﻧﻈﻴﻔﺔ ﻣﺤﺘﺮﻣﺎ اﻟﻮﻗﺖ اﻟﻤﺤﺪد‬ ‫ﻣﻊ اﺣﺘﺮام ﺿﻮاﺑﻂ و ﻃﻘﻮس إﻧﺠﺎز ﻓﺮض‪.‬‬ ‫* ﻋﻨﺪ اﻻﻧﺘﻬﺎء ﺿﻊ اﻟﻮرﻗﺔ ﻓﻲ ﻣﻠﻒ إﻟﻰ ﻳﻮم إدراج اﻟﺘﺼﺤﻴﺢ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻮﻗﻊ‪.‬‬ ‫* ﻳﻮم إدراج اﻟﺘﺼﺤﻴﺢ ﻓﻲ اﻟﻤﻮﻗﻊ هﻮ‪ 15 :‬ﻧﻮﻧﺒﺮ ‪2006‬‬

‫ﻓﺮض ﺷﻬﺮ أآﺘﻮﺑﺮ‬

‫‪ 2‬ﺳﻠﻚ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ع ر‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 3 −1‬‬ ‫‪Arc tan + Arc tan‬‬ ‫‪ .1‬أﺣﺴﺐ اﻟﻌﺪد ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3+2‬‬ ‫‪ .2‬ﺣﻞ ﻓﻲ ‪ IR‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪Arc sin 2x = Arc cos x :‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪2‬‬

‫أﺣﺴﺐ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪x2 − 2 x‬‬

‫‪6‬‬

‫; ‪x3 + 1 − x 2 + 1‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→+∞ 3 8 x + 1‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪arctan 1 − 3 x + 1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x →0‬‬

‫;‬

‫‪3‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x→+‬‬

‫; ‪x3 + 2 − x + 1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x→+‬‬

‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪arcsin  x‬‬ ‫‪ + arccos x −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫‪x −1‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪3‬‬ ‫‪/I‬‬

‫‪x x −1‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ آﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪x x +1‬‬

‫)‬

‫= ) ‪f (x‬‬

‫(‬

‫‪ .1‬ﺣﺪد ‪ D f‬و ﺣﺪد داﻟﺔ ‪ g‬ﺑﺤﻴﺚ ‪∀x ∈ D f ; f ( x) = g x x‬‬ ‫‪ .2‬اﺳﺘﻨﺘﺞ اﺗﺼﺎل ورﺗﺎﺑﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪D f‬‬

‫‪ .3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪ f‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ D f‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎل ‪ J‬ﻳﺘﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ وﺣﺪد )‪ f −1 ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪.J‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ h‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ آﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪h (x ) = Arc sin f (x ) :‬‬ ‫‪/ II‬‬ ‫‪ .1‬ﺣﺪد ‪Dh‬‬

‫‪π‬‬

‫)‬

‫‪∀x ∈ Dh ; h( x) = 2 Arc tan x −‬‬

‫‪ .2‬ﺑﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .3‬أﻧﺸﺊ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫‪G G‬‬ ‫‪O ,i , j‬‬

‫(‬

‫‪ x 6 Arc tan x‬واﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ h‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪4‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ وﻣﻤﻨﻈﻢ وﻣﺒﺎﺷﺮ )‪. (O; u; v‬‬

‫‪ z −1‬‬ ‫‪. z ' = 2‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ‪ ϕ‬اﻟﺬي ﻳﺮﺑﻂ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ M (z‬ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) ' ‪ M ' ( z‬ﺑﺤﻴﺚ‪ :‬‬ ‫‪ z ‬‬ ‫)أي ﺻﻮرهﺎ هﻲ ﻧﻔﺴﻬﺎ(‬ ‫‪ (1‬ﺣﻞ ﻓﻲ ‪ C‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ z ' = z :‬واﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﺼﺎﻣﺪة ﺑﺎﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ‪. ϕ‬‬ ‫‪ (2‬اآﺘﺐ اﻟﺤﻠﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ ‪.‬‬ ‫‪8n‬‬ ‫‪8n‬‬ ‫‪4 n +1‬‬ ‫‪. z1 + z2 = 2‬‬ ‫‪ z1 (3‬و ‪ z 2‬هﻤﺎ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺑﻴﻦ أن ‪; n ∈ IN :‬‬ ‫‪ (4‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ A(1 + i ) :‬و ) ‪ B (1 − i‬وﻧﻀﻊ ‪ z A = 1 + i :‬و ‪. z B = 1 − i‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬

‫‪z '− z B‬‬ ‫‪z − zB‬‬ ‫‪ (a‬اﺛﺒﺖ أن‪:‬‬ ‫‪=i‬‬ ‫‪z '− z A‬‬ ‫‪z − zA‬‬

‫} ‪. ∀z ∈ C /{z A ; z B‬‬

‫‪JJJG JJJJG‬‬ ‫‪JJJJJG JJJJJJG‬‬ ‫‪MA M ' A‬‬ ‫=‬ ‫و أﻋﻂ ﻗﻴﺎﺳﺎ ﻟﻠﺰاوﻳﺔ )‪ ( M ' A; M ' B‬ﺑﺪﻻﻟﺔ )‪. ( MA; MB‬‬ ‫‪ (b‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫‪MB M ' B‬‬ ‫‪ (c‬ﺣﺪد ﺻﻮرة اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( AB‬ﺑﺎﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ‪. ϕ‬‬ ‫‪ (5‬ﻧﻀﻊ ‪. z = e iθ ;θ ∈ [0; π ] :‬‬ ‫‪ (a‬اآﺘﺐ ' ‪ z‬ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ‪.‬‬ ‫‪ (b‬ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ) ' ‪ M ' ( z‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺘﻐﻴﺮ ‪ θ‬ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪. [0; π‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻨﺎن ‪ 1‬و ‪ 3‬ﻣﻘﺘﺒﺴﺎن ﻣﻦ اﻟﻔﺮض اﻟﻤﻘﺘﺮح ﻣﻦ ﻃﺮف اﻷﺳﺘﺎذ ﺣﺴﻦ ﻃﻴﻮال ﺳﻨﺔ اﻟﺪراﺳﻴﺔ ‪05/06‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 4‬ﻣﻘﺘﺒﺲ ﻣﻦ اﻟﻔﺮض اﻟﻤﻘﺘﺮح ﻣﻦ ﻃﺮف اﻷﺳﺘﺎذ ﺻﻮﻓﻲ ‪06/05‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬