Monotonia Delle Funzioni Inverse

Teorema: Se una funzione è crescente (o decrescente), allora ammette funzione inversa che risulta crescente (o decrescente). Ipotesi: 𝑓 crescente: ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑐𝑜𝑛 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 Tesi: 𝑓 −1 crescente: ∀𝑦1 , 𝑦2 ∈ 𝑓 𝐴 , 𝑐𝑜𝑛 𝑦1 < 𝑦2 ⟹ 𝑓 −1 𝑦1 < 𝑓 −1 𝑦2 , ovvero 𝑥1 < 𝑥2 .

Dimostrazione: Sia 𝑓: 𝐴 → 𝑓 𝐴 una funzione crescente. Per ammettere funzione inversa essa deve essere biunivoca, infatti si ha: 

𝑓 è iniettiva, in quanto, per definizione di funzione crescente, si ha che: ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑐𝑜𝑛 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 ed è facile notare come una funzione crescente sia iniettiva, perché ad ogni elemento di 𝐴 associa uno e un solo elemento di 𝑓 𝐴 ;



𝑓 è suriettiva da 𝐴 in 𝑓 𝐴 , per definizione di funzione suriettiva.

Essendo 𝑓 una biiezione tra 𝐴 ed 𝑓 𝐴 , essa è invertibile. Proviamo adesso che la funzione 𝑓 −1 è anch’essa crescente. Siano 𝑦1 , 𝑦2 ∈ 𝑓 𝐴 e siano 𝑥1 = 𝑓 −1 𝑦1 e 𝑥2 = 𝑓 −1 𝑦2 . Da 𝑦1 < 𝑦2 deve necessariamente discendere che 𝑥1 = 𝑓 −1 𝑦1 < 𝑓 −1 𝑦2 = 𝑥2 , ovvero che 𝑓 −1 è crescente. Infatti se per assurdo fosse 𝑥1 ≥ 𝑥2 , essendo la 𝑓 crescente, si avrebbe 𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓 𝑥2 , ovvero 𝑦1 ≥ 𝑦2 . Ciò contraddice l’ipotesi 𝑦1 < 𝑦2 .

Erasmo

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