Monografia De Mate[1]

3 SUMARIO Presentación Sumario Capítulo I: Conozcamos las Ecuaciones 1.1. Definición de Ecuación. 1.2. Propiedades de las Ecuaciones. 1.2.1. Propiedad de la Suma 1.2.2. Propiedad de la Multiplicación 1.3. Dominio de las Variables 1.4. Pasos para resolver problemas de Ecuaciones. Capítulo II: Sistema de Ecuaciones: 2.1. Definición de Sistema de Ecuación 2.2. Tipos de Sistema. 2.2.1. Sistemas Homogéneos. 2.2.2. Sistemas Equivalentes. 2.3. Métodos para desarrollar Sistemas de Ecuaciones. 2.3.1. Método de Eliminación 2.3.2. Método de Igualación 2.3.3. Método de Sustitución. Conclusiones Bibliografía Anexos

4

CONOZCAMOS A LAS ECUACIONES 1.1.

Definición de Ecuación Lineal: El término ecuación en el mundo matemático ha ocasionado múltiples definiciones; una de las que más destaca es la que afirma Soler, F. (2003:165). “Es una ecuación polinámica de primer grado, es decir ecuación en la cual la incógnita aparece en grado 1”, pero este concepto fue más profundizado por Zegarra (2001: 65). “Es un enunciado matemático que relaciona dos expresiones algebraicas que involucra al menos una variable”. En una ecuación las expresiones de cada miembro que están separados por los signos (+) ó (-) se llaman términos. En síntesis se puede decir que una ecuación es una igualdad literal que es cierta sólo por algún valor de la variable.

5 Observemos algunos ejemplos de ecuaciones lineales con diferente número de incognitas: Con dos incógnitas  es de la forma ax + by = c Con tres incógnitas, es de la forma ax + by + cz = d Al agruparse dos o más de estas ecuaciones se formará un sistema de ecuaciones. Veamos el siguiente ejemplo: ax + by = c …… (I) ax + dy = f …… (II)

1.2.

Propiedades de las Ecuaciones: Para Soler, F (2003), las propiedades de las ecuaciones son las siguientes: Si a = b  a + c = b + c  Propiedad de la Suma. Si a = b  a - c = b - c  Propiedad de la Resta. Si a = b  ca = cb; c + 0  Propiedad de la Multiplicación. Si a = b  a/c = b/c; c + 0  Propiedad de la División. 1.2.1. Propiedad de la Suma: Si a, b, c son números reales y si a = b, entonces a+c=b+c En consecuencia, en general si estamos sumando un término en un lado de la Ecuación: a + b = c Entonces al sumar su opuesto en ambos lados de la ecuación y simplificar: Si a + b = c  a + b + b = c – b a=c–b El término “pasa” restando al otro lado de la Ecuación.

6 Por lo tanto: Si a + b = c  a = c – b Así mismo, si estamos restando un término en un lado de la ecuación: a – b = c; al sumar su opuesto en ambos lados de la ecuación obtenemos: a–b=c a–b+b=c+b a=c+b El término “pasa” sumando al otro lado de la ecuación. Por la tanto: Si a – b = c  a = c + b Estas propiedades permiten al estudiante sacar dudas; que porque cuando se está sumando se pasa al otro término a restar o cuando se está restando pasa a sumar. 1.2.2. Propiedad de la Multiplicación: Si a, b y c, son números reales y si a = b; entonces ac = bc Dividir entre su número distinto de cero es lo mismo que multiplicar por su recíproco o inverso multiplicativo, por tanto: Si a = b y c = 0  a (1/c) = b (1/c); es decir: a/c = b/c

En consecuencia, en general si un término distinto de cero está multiplicando en un lado de la ecuación ab = c, entonces al multiplicar por su recíproco en ambos lados de la ecuación y simplificar. ab = c

7 ab (1/b) = c (1/b)  a = c/b El término “pasa” al otro lado de la ecuación dividiendo. Por lo tanto: Si ab = c  a = c/b 1.3.

Dominio de la Variable en la ecuación: Para Rojas, L (2003). “El conjunto de reemplazo o dominio de una variable se define como el conjunto de números que permiten reemplazar la variable”. Veamos este ejemplo: 1 = X

2 X–3

Es el conjunto todos los números reales excepto el 0 y el 3, estos valores se excluyen ya que el miembro izquierdo no está definido para x = 0 y el miembro derecho no está definido para x = 3, los miembros de la derecha e izquierda presentan números reales para todos los otros reemplazados de x por números reales. Pero surgen unas manifestaciones negativas o en contra que se pueden resumir con las palabras afirmadas por Soler, F (2003). “A menos que se establezca lo contrario, se supone que el dominio de una variable que es el conjunto de aquellos números reales; para el cual las expresiones algebraicas que implican la variable son reales”. 1.4.

Resolución de Problemas con ecuaciones: Según Hernández Carrillo (2000): “Para poder resolver problemas es necesario que te familiarices con el problema, o de lo contrario relaciónalo con tu vida cotidiana”. Para resolver problemas con ecuaciones lineales es necesario que sigas un proceso, los cuales te ayudarán a su resolución. Estos son: •

Leer el problema e identificar la incógnita que debemos encontrar.

8 •

Encontrar las relaciones entre la incógnita y los otros datos del problema.

•

Plantear ecuaciones que representen las relaciones anteriores.

•

Resolver las ecuaciones y encontrar el valor de la incógnita.

SISTEMA DE ECUACIONES 2.1.

Definición: Según Zegarra, L (2001: 88). “Es un conjunto de ecuaciones cuyas soluciones se pretenden hablar”. Un sistema como se ha dicho es una agrupación, para que se de esto el sistema debe estar dentro de una llave, sus ecuaciones deben tener dos o más incógnitas, que permitan encontrar diferentes métodos. Se le llama solución del sistema a una solución común a todas las ecuaciones que la forman. Ante este comentario, es preciso señalar lo que

9 afirma. Sanz, F (1998). “Resolver una ecuación o sistema es hallar todas sus conclusiones o concluir que no tiene solución”. Observemos algunos ejemplos de sistemas de ecuaciones: 3x – 2y = 24 4x + 8y = 2

Desde mi punto de vista, creo que para que se forme un sistema es necesario que se ajunten dos ecuaciones lineales; pero que tengan dos o más variables; así como se puede mostrar en el ejemplo y que estas dos ecuaciones estén dentro de una llave que los una. 2.2.

Tipos de Sistema de Ecuaciones: Existen diversos tipos de sistema de ecuaciones, pero para Rojas, L (2003) los que mas predominio tienen son los equivalentes y homogéneos. 2.2.1. Sistemas Homogéneos: El sistema se dice que es homogéneo si todos sus términos independientes son homogéneos; es decir, terminen en un mismo valor; en este caso “cero”. (Rojas L. 2003). Veamos un ejemplo: 2x + 3x – 4x = 0

Términos

5x + x - x = 0

independientes

2.2.2. Sistemas Equivalentes: El sistema es equivalente cuando la solución de un sistema es igual con la de otro sistema. Veamos un ejemplo: 3x + 4y = 2

6x + 8y = 4

4x + 5y = 26

8x + 10y = 52

x = 94

x = 94

10 y = 70 2.3.

y = 70

Métodos de desarrollo para Sistema de Ecuaciones: Existen varios métodos de solución de sistemas, pero Molina, F (2003) advierte que existen tres métodos sencillos de resolver. Estos son: 2.3.1. Método de Eliminación: Según Molina, F (2003), afirma que el más fácil de aplicar. Veamos los pasos y un ejemplo que permitirá explicar este método en la solución de un sistema. 3x + 4y = 18

……….

(I)

4x + 3y = 17

……….

(II)

a. Lo primero que se hace es colocarle números romanos para diferenciar las ecuaciones una de otra. 3x + 4y = 18 … (3)

9x + 12y = 54

4x + 3y = 17 … (4)

16x + 12y = 68

b. Si queremos anular “y” multiplicamos el inverso de cada ecuación con respecto a la variable “y”. 9x + 12y = 54 ... (-1) 16x + 12y = 68 c. Multiplicamos a la ecuación (I) por negativo para poder anular “y” y así encontrar “x”. -9x – 12y = -54

y

3x + 4y = 18

16x + 12y = 68

3(2) + 4y = 18

7x = 14

6 + 4y = 18

x=2

4y = 12 y=3

d. Por último reemplazo “x” en una ecuación y hallo “y”. 2.3.2. Método de Igualación:

11 Para resolver un sistema utilizando este tipo de método, Molina, F (2003). Señala que se siguen los siguientes pasos: 3x + 4y = 18 4x + 3y = 17 a. Si se quiere hallar “y”, se despeja “x”; en ambas ecuaciones 3x = 18 – 4y

4x = 17 – 3y

x = 18 – 4y

x = 17 – 3y

3

4

b. Igualamos ambos x = x 18 – 4y

=

17 – 3y

3

4

72 – 16y

=

51 – 9y

21

=

7y

3

=

y

c. Por último reemplazamos “y” y hallamos “x” x = 17 – 3y 4 x = 17 – 3(3) 4 x = 17 – 9 4 x=8 4 x=2 2.3.3. Método de Sustitución: Para Molina, F (2003), este método es un poco complejo y hay que tener habilidad para desarrollar un sistema con este método. 3x + 4y = 18 .......... (I) 4x + 3y = 17 .......... (II)

12 a. En la ecuación I despejamos “y” 4y = 18 – 3x y = 18 – 3x 4 b. Reemplazamos “y” en II y obtenemos “x” 4x + 3y = 17 4x + 3 18 – 3x = 17 4 4 (4x) + 54 – 9x = 4 (17) 16x + 54 – 9x = 4 (17) 7x = 14 x=2 c. Por último reemplazamos “x” en una ecuación y hallamos “y” 4x + 3y = 17 4 (2) + 3y = 17 8 + 3y = 17 3y = 9 y=3

13

CONCLUSIONES Una ecuación es una igualdad literal, en la cual se tiene que hacer una transposición de términos y de signos para así poder hallar la incógnita. Para que se forme un sistema es necesaria que exista un conjunto de ecuaciones encerradas en una llave, estas ecuaciones deben tener en tu interior dos o más incógnitas a hallar. Existen tres métodos sencillos y fáciles de aplicar para desarrollar sistemas de ecuaciones: el de igualación, eliminación y de sustitución.

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Desarrolla los siguientes Sistemas de Ecuaciones 3x + y = 11

3x + y = 11

x +y=7

2

2

x+y=7

3x + 2y = 22

2x + y = 14

x = 22 – 2y

x = 14 – y

2

2 3x + 2y = 22

3

2

2x + y = 14 ... (-2) 22 – 2y 3x + 2y = 22

=

3

2

-4x – 2y = -28 -x = -6

44 – 4y

=

42 – 3y

x=6

2 = y

y=2

x=6

3x + 2y = 22 2x + y = 14 y = 22 – 3x 2 2x +

22 – 3x = 14 2

4x + 22 – 3x = 28

14 – y

15 x=6

y=2

5x – y = 9

5x – 12y = 108

12

x = 108 + 12y

x – 3y = 15

x = 60 + 3y

5

4

4 108 + 12y = 60 + 3y 5x – 12y = 108 (3)

5

4

4x – 3y = 60 (12) 432 + 48y = 300 + 15y -5x + 12y = -108 16x – 12y = 240

132 = -33y

11x = 132 x = 12

-4 = y

y = -4

x = 12

5x – 12y = 108 5x – 108 = 12y 5x – 108 = y 12

4x – 3y = 60 4x – 3 5x – 108 = 60 12

16

48x – 15x + 324 = 720 33x = 346 x = 12

y = -4 BOBLIOGRAFÌA

Segarra. Fajardo. F, Molina. Pacazzia, Fy Rojas Cortes L. (2003). Algebra lineal y Prograaciòn Lineal. Bogotà: Ecoe ediciones. Segarra, L (2000). Algebra lineal. Mirico: Internacional Thomson Editores. Zapata. Lillo, J (1981). Fundamento del Algebra Lineal. Bogotà: Limasa.