Momentum Sudut (fisika Kuantum )

MOMENTUM SUDUT R. Yosi Aprian Sari

Pengantar  Postulat

Bohr: Peranan momentum sudut berupa lintasan / orbital dalam menentukan keadaan sistem atom H (elektron dalam atom hidrogen).  Model atom Sommerfeld: Momentum sudut menentukan tenaga sistem melalui bilangan kuantum azimuth.  Mekanika Kuantum: Momentum sudut ikut menentukan bentuk fungsi gelombang sistem

Tujuan Pembelajaran Operator momentum sudut dengan sifatsifatnya. 2. Persamaan swanilai momentum sudut dengan penyelesaiannya. 1.

Operator Momentum Sudut     Definisi klasik: L ≡ r × p

  dengan r adalah vektor posisi, dan p adalah momentum garis partikel.  Komponen-komponen momentum sudut (sistem kordinat Kartesian): Lx = yp z − zp y L y = zp x − xp z Lz = xp y − yp z

 Komponen-komponen

momentum sudut (berupa operator-operator) dalam mekanika kuantum: Lˆ = i  y ∂ − z ∂  x

∂y   ∂z ∂  ∂ Lˆ y = i  z − x  ∂z   ∂x  ∂ ∂  Lˆ z = i  x − y  ∂x   ∂y

 Dalam

koordinat bola:

 ∂ ∂   Lˆ x = i  sin φ + cot θ cos φ ∂θ ∂φ  

 ∂ ∂   Lˆ y = i  − cos φ + cot θ sin φ ∂θ ∂φ   ∂  ∂  1 ∂2  2 2 1 ∂ ˆ L =−   sin θ +  L = − i ∂θ  sin 2 θ ∂φ 2  z ∂φ  sin θ ∂θ 

Penggambaran Koordinat Bola

Relasi Komutasi Momentum Sudut  ˆ  dL  ˆ = 0 ⇒ H, L = 0   dt



Kekekalan momentum sudut:



Relasi komutasi komponen-komponen momentum sudut: Lˆ x , Lˆ y = i Lˆ z



[ ] [ Lˆ , Lˆ ] = i Lˆ [ Lˆ , Lˆ ] = i Lˆ y

z

x

z

x

y

Yang berarti antara Lˆ x , Lˆ y , dan Lˆ z bersifat saling tidak komut. Sifat komutasi ini menunjukkan bahwa tidak mungkin menemukan swafungsi operator Lˆ , artinya swafungsi dari Lˆ x , Lˆ y , dan Lˆ z dengan swanilai yang tidak nol

Relasi Komutasi  Besar

momentum sudut: Lˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z

 Relasi

komutasi

[

] [

] [

]

2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ L , Lx = L , L y = L , Lz = 0               Lˆ2 , Lˆ  =0  

Operator Ladder karena L2 kompatibel (komut) ˆ dengan setiap komponen L , dapat diharapkan swakeadaan yang simultan antara L2 dan (katakanlah) Lˆ z :

 Oleh

L2 f = λf Lˆ z f = µf

 Operator

Ladder:

1  d  aˆ± ≡ ± im ω x   ⇔ Lˆ± = Lˆ x ± iLˆ y      i dx 2 m              MomentumSudut Osilator Harmonik

 Relasi

Komutasinya:

[ Lˆ , Lˆ ] = ± Lˆ [ Lˆ , L ] = 0 z

2

±

±

±

f merupakan swafungsi dari Lˆ2 dan Lˆ z , maka

 Jika

(

)

(

)

(

Lˆ2 Lˆ ± f = Lˆ ± Lˆ2 f = Lˆ ± ( λf ) = λ Lˆ ± f

ˆ  Dan L

)

ˆ2 f merupakan swafungsi dari L ±

dengan swanilai yang sama λ,

(

) (

)

Lˆ z Lˆ ± f = Lˆ z Lˆ ± − Lˆ ± Lˆ z f + Lˆ ± Lˆ z f = ± Lˆ ± f + Lˆ ± ( µf ) = ( µ ± ) Lˆ f

 Lˆ +  Lˆ

−

(

±

)

disebut operator naik disebut operator turun

Operator Ladder  Syarat

batas atas:

 Lˆ z f t = f t  Lˆ + f t = 0 ⇒  λ = 2  Lˆ f t = λf t 

 Syarat

2

(  + 1)

2

(  − 1)

batas bawah:

 Lˆ z f b = f t  Lˆ − f b = 0 ⇒  λ = 2  Lˆ f b = λf b 