Momentum Linear & Impuls

Momentum linier, impuls dan tumbukan

Momentum linier


Analisa dinamika benda:













Konsep gaya  hukum-hukum gerak Newton Konsep energi, usaha Konsep momentum

Orang menembak terdorong ke belakang. Kecepatannya? Sulit diselesaikan dengan konsep gaya maupun energi Akan lebih mudah dianalisa menggunakan konsep momentum

Momentum linier 2 benda berinteraksi dengan gaya yang memenuhi sifat aksi-reaksi (Hukum gerak III) F21 = −F12

F12 + F21 = 0

F12 F21

m1a1 + m 2 a2 = 0 dv dv m1 1 + m 2 2 = 0 dt dt d (m1 v1 ) d (m 2 v 2 ) + =0 dt dt d (m1 v1 + m 2 v 2 ) = 0 dt

Jika m konstan

Momentum linier


Momentum benda bermassa m yang bergerak dengan kecepatan v p = mv




Momentum menyatakan ukuran sulit tidaknya mengubah kecenderungan gerak benda  dapat dikaitkan dengan pengertian gaya dp ∑ F = dt

Impuls dan momentum dp F= → dp = Fdt dt t2

p2

t1

p1

I = ∫ Fdt = ∫ dp = p 2 − p1 = ∆p I

Secara grafis impuls menyatakan luas daerah di bawah kurva F(t)

Kekekalan momentum


Misalkan 2 benda yang berinteraksi dengan gaya yang memenuhi hukum III Newton

F12 + F21 = 0 →

dp1 dp2 + =0 dt dt

d (p1 + p2 ) = 0 → p1 + p 2 = konstan dt

Jika gaya-gaya yang bekerja pada benda hanyalah gayagaya interaksi yang memenuhi hukum III Newton, maka momentum sistem tersebut kekal




Jika ada gaya eksternal pada benda selain gaya aksi-reaksi dp1 dt dp 2 + F21 = dt

∑ F = F1,ext + F12 = benda 1

∑F = F

2 ,ext

benda 2

dp1 dp 2 + = F1,ext + F2 ,ext dt dt dp total = ∑ Fext dt sistem Jika ada gaya eksternal maka perubahan momentum total sistem sama dengan gaya eksternal total yang bekerja pada benda

Kekekalan momentum


Peristiwa tumbukan merupakan contoh keadaan dengan momentum yang kekal








Interaksi antar benda hanya terjadi saat benda bertumbukan, tidak ada gaya lain yang bekerja Gaya interaksi tersebut memenuhi sifat aksi-reaksi (hukum III Newton)

Selain tumbukan, peristiwa pecahnya inti (pada reaksi inti) atau pecahnya benda akibat gaya internal juga merupakan contoh berlakunya kekekalan momentum

Tumbukan 1 1 2 2 K = m v + m v Energi kinetik sistem sebelum tumbukan i 1 1i 2 2i 2 2

Energi kinetik sistem setelah tumbukan K = 1 m v 2 + 1 m v 2 f 1 1f 2 2f 2 2 Energi kinetik yang hilang dalam proses tumbukan

K loss = K i − K f

Tumbukan








Jika tak ada energi kinetik yang hilang dalam proses tumbukan (Kloss = 0) maka tumbukan tersebut dinamakan tumbukan elastik (elastic collision)  Ki = Kf yang berarti energi kinetik kekal Jika ada energi kinetik yang hilang (Kloss ≠ 0), tumbukan tersebut dinamakan tumbukan tak elastik (inelastic collision) Kehilangan energi kinetik terbesar terjadi jika setelah bertumbukan kedua benda bergerak bersama (dengan kecepatan yang sama) tumbukan seperti ini dinamakan tumbukan tak elastik sempurna (perfectly inelastic collision)

Tumbukan








Pada ketiga jenis tumbukan tersebut berlaku kekekalan momentum Tambahan untuk tumbukan elastik, juga berlaku kekekalan energi kinetik Meskipun untuk tumbukan takelastik energi kinetik tidak kekal, namun energi total tetap kekal (kekekalan energi total). Sebagian energi kinetik berubah menjadi bentuk energi lain misalnya panas, bunyi, dll

Tumbukan elastik 1D m1 dengan kecepatan v1i menumbuk m2 yang kecepatannya v2i setelah tumbukan masing-masing kecepatannya v1f dan v2f m1v 1i + m 2v 2i = m1v 1f + m 2v 2f ⇒ m1 (v 1i − v 1f ) = m 2 (v 2f − v 2i ) 1 1 1 1 m1v 12i + m 2v 22i = m1v 12f + m 2v 22f 2 2 2 2 ⇒ m1 (v 12i − v 12f ) = m 2 (v 22f − v 22i )

v 1f

 m1 − m 2   2m 2    v 2i = v 1i +    m1 + m 2   m1 + m 2 

v 2f

 2m1   m 2 − m1  v 1i +  v 2i =   m1 + m 2   m1 + m 2 

Tumbukan elastik 1 D


Jika v2i = 0 (target awalnya diam) v 1f

 m1 − m 2  v 1i =   m1 + m 2 

v 2f

 2m1  v 1i =   m1 + m 2 




Kasus m1 = m2 ≡ m

v 1f = 0 v 2f = v 1i

v1i v2i = 0 x m

m

v1f = 0

Bertukar kecepatan

v2f x

m




m2 >> m1

m

v 1f

 m1 / m 2 − 1  v 1i ≅ −v 1i =   m1 / m 2 + 1 

v 2f

 2m1 / m 2  v 1i ≅ 2(m1 / m 2 )v 1i =   m1 / m 2 + 1 

m1 berbalik arah, m2 bergerak dengan kecepatan rendah




Kasus m1 >> m2

v1i

v 1f

 1 − m 2 / m1  v 1i ≅ v 1i =   1 + m 2 / m1 

v 2f

  2 v 1i ≅ 2v 1i =   1 + m 2 / m1 

v2i = 0 m1

m2

x v1f v2f m1

x

m2

Benda 1 bergerak dengan kecepatan yang hampir sama Benda 2 bergerak dengan kecepatan 2 kali kecepatan benda pertama

Tumbukan 2 D

Kekekalan momentum (ingat dalam notasi vektor)  dalam komponen x dan y jika elastik berlaku juga kekekalan energi kinetik

m1v 1i + m 2v 2i = m1v 1f cos θ + m 2v 2f cos φ Dalam arah horizontal 0 = m1v 1f sin θ − m 2v 2f sin φ Dalam arah vertikal Jika tumbukan elastik

1 1 1 1 2 2 2 m1v 1i + m 2v 2i = m1v 1f + m 2v 22f 2 2 2 2 Jika v2i = 0, ada 3 persamaan dengan 4 variabel yg tdk diketahui: v1f,v2f,θ dan

φ Harus ada informasi lain yang menghubungkan variabel-variable tersebut untuk mendapatkan variabel-variable yang belum diketahui

Sistem partikel


Pusat massa

x pm




x 1m1 + x 2m 2 = m1 + m 2

Dapat diperluas untuk sistem yang terdiri dari i benda dengan masing-masing bermassa mi dan posisinya ri ri m i ∑ r1m1 + r2m 2 + ... 1 i rpm = = = ri m i ∑ m1 + m 2 + ... ∑ mi M i i

Gerak pusat massa


Jika posisi pusat massa berubah terhadap waktu, maka dapat dinyatakan kecepatan dan percepatan pusat massa d ∑ ri m i v pm

drpm = = dt

i

dt ∑ mi

1

d (ri m i ) 1 = = ∑ M i dt M

∑i v i mi

d (v i mi ) 1 = ∑ M i dt M

∑i ai m i

i

d ∑ vi mi apm

dv pm = = dt

i

dt ∑ mi i

=

1

Gerak sistem partikel v pm =

apm

1

mi vi ∑ M i

=

∑i pi M

=

p total

M

dv pm d  p total  1 d 1 = = = ( p ) =   total dt dt  M  M dt M

∑F

ext

= Mapm

∑F

ext

Total gaya eksternal yang bekerja pada sistem partikel sama dengan massa total dikalikan percepatan pusat massa sistem partikel tersebut

Gerak sistem partikel


Jika gaya eksternal total yang bekerja pada benda sama dengan nol, maka

∑F

ext

apm =

= 0 ⇒ apm = 0

1 d

M dt

Pusat massa sistem bergerak dengan kecepatan konstan

(p total ) = 0 ⇒ p total = konstan Momentum total sistem konstan







Gerak sistem partikel mempunyai persamaan yang mirip dengan gerak benda titik Dinamika sistem partikel mirip dengan dinamika benda titik Benda titik

Sistem partikel (banyak benda titik) Posisi benda Posisi pusat massa Massa benda Massa total sistem

Pusat massa benda kontinu


Sistem benda kontinu dapat dipandang sebagai kumpulan benda titik yang sangat banyak rpm

∑i ri mi = ∑i mi

→ rpm

rdm ∫ = ∫ dm

=

1

M

∫ rdm