Momentos Y Productos De Inercia.pdf

Departamento de Ingeniería Mecánica

MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA

RECORDATORIO UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA

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Momentos de Inercia En el análisis del movimiento de un sólido rígido aparecen expresiones en las que figura el producto de la masa de un elemento diferencial de masa del sólido por el cuadrado de la distancia del elemento a un eje de interés r2 . Esta cantidad se define como el momento diferencial de inercia dI de ese elemento con respecto al eje de interés y viene dado por la expresión:

dI  r 2 dm

El momento de inercia de todo el sólido es pues:

I   r 2 dm M

El momento de inercia es siempre positivo y en el S.I sus unidades son kgm2

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Un sólido de masa M tiene tres momentos de inercia con respecto a un sistema de referencia XYZ z y

IX  

y

IY  

x

IZ  

x

M

x

M

M

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2

 z 2 dm

2

 z 2 dm

2

 y 2 dm

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El cálculo de los momentos de inercia se realiza mediante integrales. Sin embargo existen tablas con los momentos de inercia de los sólidos de geometrías sencillas.

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La patinadora aumenta la velocidad disminuyendo el momento de inercia con respecto al eje de giro.

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Momentos de Inercia de sólidos compuestos o con respecto a ejes alejados El momento de inercia de un objeto compuesto, o de un sólido que está a una cierta distancia del eje de interés, se calcula mediante el teorema de ejes paralelos o teorema de Steiner . Por ejemplo, momento de inercia de un conjunto bola esférica y varilla con respecto a un eje que pasa por su extremo.

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Z

Producto de inercia El producto de inercia PXY se define como la distancia de las masas dm del sólido con respecto a los planos X=0 e Y=0 multiplicada por dm. dm

X=0; plano YZ Y=0; plano XZ Y

PXY   X .Ydm

X

M

X es la distancia de dm con respecto al plano X=0

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Y es la distancia de dm con respecto al plano Y=0 7

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Z

Producto de inercia El sólido rígido tiene por lo tanto tres productos de inercia con respecto al sistema de referencia XYZ:

PXY

dm

Y

PXZ

PYZ

El producto de inercia puede ser: positivo negativo nulo

X

y en el S.I sus unidades son kgm2

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Simetrías La posición y orientación del sistema de referencia es estratégica para hacer nulos los productos de inercia. Si los ejes del sistema son ejes principales de inercia esto implica que los planos generados por dichos ejes son planos de simetría.

Orientar los ejes del sistema para que esto generen planos de simetría.

¿Por qué? Revisión 2015 Revisión 2015

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Simetrías Porque si se calcula el producto de inercia con respecto a dos planos, siendo uno de ellos plano de simetría EL PRODUCTO DE INERCIA ES NULO (los cálculos y le tensor de inercia se simplifican)

Plano y=0 es plano de simetría

Plano x=0 es plano de simetría

Pxy   xi .  yi dm  xi .   yi  dm  ......  0

Pxy    xi . yi dm    xi  . yi dm  ......  0

Pyz    yi  zi dm    yi  zi dm  .....  0 Revisión 2015 Revisión 2015

Pxz    xi  zi dm    xi  zi dm  .....  0

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Simetrías Si UNO de los tres planos es plano de simetría, DOS productos de inercia son nulos Si DOS de los tres planos son planos de simetría, los TRES productos de inercia son nulos.

Plano y=0 es plano de simetría Plano z=0 es plano de simetría

Plano x=0 es plano de simetría Plano z=0 es plano de simetría

Pxy  Pxz  Pyz  0

Pxy  Pxz  Pyz  0 Revisión 2015 Revisión 2015

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Ejemplo

¿Cuáles son los planos de simetría y que productos de inercia son nulos? (suponemos que el eje X está a la mitad de la altura)

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Solución Los tres planos son planos de simetría.

Pxy  Pxz  Pyz  0

El plano z=0 no es plano de simetría pero los otros dos si que lo son por lo que:

Pxy  Pxz  Pyz  0

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