Momento De Una Va

Momentos de una v.a. Se denomina momento de orden r (para r∈ℕ), denotado por μr, a:

∑ x r p( x ) si X es discreta x r μr = E(X ) =  ∞ ∫ x r f ( x )dx si X es continua  −∞ Asimismo se denomina momento central de orden r, denotado por mr, a:

∑ ( x − E(X)) r p( x ) si X es discreta x r mr = E[(X-E(X)) ]=  ∞ ∫ ( x − E (X))r f ( x )dx si X es continua  −∞ De este modo, es claro que el valor esperado es el momento de primer orden y que la varianza es el momento central de segundo orden: μ1 = E(X), m2 = E[(X-E(X))2] = V(X) Desigualdad de Tchebycheff y v.a. tipificadas Si X es una variable aleatoria con valor esperado igual a μ (E(X)) y varianza igual a σ2, se puede demostrar que en general, una gran parte de la masa se encuentra en un intervalo centrado en μ y que tiene por amplitud varias veces σ. Más precisamente, la desigualdad de Thebycheff afirma que si se considera un intervalo de centro μ y radio kσ, o sea [μ-kσ, μ+kσ], la probabilidad de realizar una observación de la variable y que ésta no se encuentre en dicho intervalo es inferior o igual a 1/k2. Matemáticamente esto se formula como: Teorema de Thebycheff Si X es v.a. con E(X) = μ y V(X) = σ2, entonces P(|X- μ| ≥ kσ) ≤ 1/k2

para k>0

que considerando el complemento es equivalentemente a: P(|X- μ| < kσ) > 1- 1/k2 de donde: P(μ - kσ < X < μ + kσ) > 1 - 1/k2 Este importante resultado, por si sólo, justifica el que E(X) sea una medida de centralización y V(X) de dispersión de X y motiva la introducción del concepto de tipificación de variables aleatorias. Variable tipificada

Dada una v.a. X, con E(X) = μ y V(X) = σ2 se define su v.a. tipificada o estandarizada, Z, como: Z=

X−µ σ

que es una v.a. tal que E(Z) = 0 y V(Z) = 1. El teorema de Thebycheff afirma sobre Z que P(|Z| ≥ k) ≤ 1/k2 o que P(-k < Z < k) > 1 - 1/k2