Moment De Torsion Rectangle Plein.pdf

MOMENT DE TORSION D’UNE SECTION RECTANGULAIRE PLEINE Soit une section rectangulaire pleine. Normalement, on note la base, b et la hauteur h. Rappel : Moments quadratiques �

𝐼𝐼𝑥𝑥 =

𝐼𝐼𝑦𝑦 =

𝑏𝑏.ℎ3

h

12 ℎ.𝑏𝑏3 12

b Le moment d’inertie de torsion IT ou J et le moment de résistance de torsion WT peuvent être calculés à l’aide des formules suivantes à partir des coefficients de torsion α et β donnés ci-dessous dans le tableau.

�

𝐸𝐸 𝐼𝐼𝑇𝑇 = 𝛼𝛼 × 𝑏𝑏 3 × ℎ ⟹ 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅é à 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝐽𝐽 = 𝐺𝐺. 𝐼𝐼 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐺𝐺 = 𝑇𝑇 2(1 + 𝜗𝜗) 𝑊𝑊𝑇𝑇 = 𝛽𝛽 × 𝑏𝑏 2 × ℎ

ν = coefficient de poisson ; G : module de rigidité ou de cisaillement ou de coulomb)

ATTENTION : La valeur b représente toujours la plus petite dimension du rectangle (sa largeur ou épaisseur).

Rapport h/b 1,00 1,20 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,00 4,00 5,00 6,00 8,00 10,00 Ꝏ

α 0,141 0,1661 0,171 0,1958 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,299 0,307 0,312 1/3

β 0,208 0,216 0,221 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,299 0,307 0,312 1/3

Au-delà du rapport h/b=6, les valeurs α et β deviennent équivalentes. Elles peuvent approximativement être calculées par la formule suivante : 𝑏𝑏 0.6 �1 − 0.6 � 1 − ℎ = 𝑟𝑟 𝛼𝛼 = 𝛽𝛽 = 3 3 ℎ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑟𝑟 = 𝑏𝑏

L’inertie de torsion IT peut aussi être très bien approchée selon la formule simplifiée suivante (code ASTER) Nota sur la nomenclature du code ASTER : IT ≈ constante CT ; hy correspond à h ; hz correspond à la base b La formule est valable si hy > hz ; dans l’autre cas, il suffit d’échanger les places respectives de hy et hz.

5

ℎ𝑦𝑦 ℎ𝑧𝑧3 16 ℎ𝑧𝑧 ℎ𝑧𝑧 3 𝐶𝐶𝐶𝐶 ≈ 𝐼𝐼𝑇𝑇 = 𝛼𝛼 × 𝑏𝑏 × ℎ = � − 3.36 + 0.280 � � � 16 ℎ𝑦𝑦 ℎ𝑦𝑦 3

Exemple en prenant une section rectangulaire de base b=hz=0m10 et une hauteur h=hy variable… h/b 2,5 7 9 15

h=hy 0.25 0.70 0.90 1.15

b=hz 0,10

α approché [0,249] 0,304762 0,311111 0,32

IT (m4) 0,00006225 0,000213333 0,00028 0,00048

CT ≈ IT (m4) 0,00006238 0,00021233 0,000279 0,000479

α = CT / (h3z.hy) 0,249513 0,303334 0,3100003 0,3193334

Le calcul des moments d’inertie à la torsion est complexe et dépend essentiellement de la forme de la structure. On distingue normalement les sections massives des sections à parois minces fermées ou ouvertes. On considère une section à parois minces dès lors que le coté le plus long est au moins 10 fois supérieur à l’autre

MOMENT DE TORSION D’UNE POUTRE ACIER EN T

𝐬𝐬 𝐛𝐛𝐬𝐬 𝟑𝟑 + (𝐝𝐝 − )𝐭𝐭 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝐈𝐈𝐓𝐓 = 𝐉𝐉 = 𝟑𝟑

MOMENT DE TORSION D’UNE POUTRE ACIER EN T AVEC TALON

(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝐬𝐬 𝟑𝟑 + (𝐝𝐝 − 𝐬𝐬)𝐭𝐭 𝟑𝟑 𝐈𝐈𝐓𝐓 = 𝐉𝐉 = 𝟑𝟑

MOMENT DE TORSION D’UNE POUTRE BETON MASSIVE La poutre à examiner présente une hauteur de 150cm pour une largeur de 50cm.  h/b = 150/50 = 3 < 10  pièce massive. Comme les calculs de la partie chanfreinée sont complexes, on simplifiera la géométrie pour obtenir la poutre située à droite. On calcule en premier lieu, la poutre enveloppe rectangulaire. Itorsion poutre enveloppe : h/b=3  α = 0,263  I = 0,263 x 0,53 x 1,5 = 0,0493125 m4 Ensuite, on examine la poutre minimale d’épaisseur d’âme. Itorsion poutre minimale : h/b = 150/25 = 6  α = 0,299 I = 0,299 x 0,253 x 1,5 = 0,0070078125 m4 On considère finalement les 4 débords des ailes. h/b = 25/25 = 1 α = 0,141 I = 0,141 x 0,254 = 0,00055078125 m4 Itorsion = 0,0070078125 + 4 x 0,00055078125 = 0,0092109375 m4 On peut calculer différemment l’influence des débords des 2 ailes avec une hauteur de 50cm et une base de25cm. Semelles : h/b = 50/25 = 2  α = 0,229  I = 0,229 x 0,253 x 0,5 = 0,0017890625m4 Itorsion = 0,0070078125 + 2u x 0,0017890625 = 0,0105859375 m4 On peut aussi faire un autre calcul toujours selon la même démarche employée pour les parois ouvertes : On observe cette fois-ci 3 éléments constitutifs de la poutre, matérialisés par l’axe figurant en pointillé. Semelles : Hauteur = 50cm et base = 25  h/b=50/25=2  α = 0,229  I = 0,229 x 0,253 x 0,5 = 0,0017890625 m4 Ame : Hauteur = 125cm et base = 25 h/b=125/25=5  α = 0,291  I = 0,291 x 0,253 x 1,25 = 0,00568359375m4 Cela conduit à : Itorsion = 2 x 0,0017890625 + 0,00568359375 = 0,00926171875 m4 La valeur obtenue est légèrement inférieure puisqu’on n’a pas pris la hauteur totale de la poutre. Le mieux reste d’employer un logiciel de calcul de structure permettant une modélisation correcte. Néanmoins, en utilisant le module ossature du logiciel libre RDM IUT Le Mans version 7.04, on obtient les constantes suivantes de torsion de Saint Venant, pour les formes géométriques standards: -

poutre rectangulaire enveloppe : I = 4937400.798 cm4 soit 0,049374 m4 à comparer au 0,0493125 m4 (OK) poutre en I équivalente : I = 1076226.489 cm4 = 0,010762265m4

On se rend ainsi compte que l’approximation la plus pertinente est celle qui consiste à considérer une section verticale d’épaisseur d’âme et deux sections correspondant aux ailes (membrures inférieure et supérieure). L’écart entre les 2 valeurs est d’environ 1,67% < 2%. La marge d’erreur s’avère acceptable pour un calcul manuel. Ainsi, en considérant : -

un module E de 34 180 MPa un coefficient de poisson v=0,15 s’il s’agissait d’une poutre précontrainte ou v=0 si le béton est armé.

G = 34180/2(1+0.15) ≈ 14 861 Mpa  RIGIDITE A LA TORSION DE LA POUTRE : J = 14 861 MPa x 0,010586 m4 = 157,318546 MN.m² ≈ 157 MN.m²